已知直角坐标平面中有两个定点M（-1，0）、N（1，0），问在此平面内是否存在一点P，使得下面两个条件：（1）P到M的距离与P到点N距离的比为（2）点N到直线PM的距离为同时成立？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
小讯wan1529
（1）设P（x，y），因P到点M（-1，0）距离与到点N（1，0）距离的比为．即，2+y2(x-1)2+y2=2，化简得：x2-6x+y2+1=0．（2）令lPM：y=k（x+1），kx-y+k=0点N到直线PM的距离2+1=，k=±1．∴直线PM方程是y=±（x+1）．由2-6x+y2+1=0得：x2-2x+1=0，解得x=1．代入得y2=4，解得y=±2．∴P（1，±2）．所以存在这样的P点（1，2）、（1，-2）使条件（1）（2）同时成立．
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（1）设P（x，y），由（1）的条件P到点M（-1，0）距离与到点N（1，0）距离的比为，利用两点间的距离公式可得，2+y2(x-1)2+y2＝2，化简即可得到一个方程；（2）令lPM：y=k（x+1），kx-y+k=0可得点N到直线PM的距离2+1=，即可解得k．与（1）圆的方程联立即可解得．
本题考点：
轨迹方程；直线和圆的方程的应用．
考点点评：
熟练掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等是解题的关键．
不存在，用假设法做很简单的，
存在，P点坐标为（1，2）或（1，-2）论证如下：假设PN=a,则PM=根号2a，P的坐标为（x,y）则Spmn=1/2*2*|y|=1/2*根号2a*根号2a==>a=|y|,即有PN与x轴垂直x=1,a=2,|y|=2,PN=2,PM=根号2aP点坐标为（1，2）或（1，-2）
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已知M（-3，0）﹑N（3，0），P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m（m≥-1，m≠0）．（1）求P点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？（2）若m=-59，P点的轨迹为曲线C，过点Q（2，0）斜率为k1的直线l1与曲线C交于不同的两点A﹑B，AB中点为R，直线OR（O为坐标原点）的斜率为k2，求证k1k2为定值；（3）在（2）的条件下，设QB=λAQ，且λ∈[2，3]，求l1在y轴上的截距的变化范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）设p（x，y）由yx+3oyx-3=m，得y2=m（x2-9），若m=-1，则方程为x2+y2=9，轨迹为圆（除A&B点）；若-1＜m＜0，方程为x29+y2-9m=1，轨迹为椭圆（除A&B点）；若m＞0，方程为x29-y2-9m=1，轨迹为双曲线（除A&B点）．（2）m=-59时，曲线C方程为x29+y25=1，设l1的方程为：x=ty+2与曲线C方程联立得：（5t2+9）y2+20ty-25=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=-20t5t2+9①，y1y2=-255t2+9②，可得R(185t2+9，-10t5t2+9)，k1k2=1to(-5t9)=-59．（3）由BQ=λQA得y2=-λy1代入①②得：(1-λ)y1=-20t5t2+9③，λy21=255t2+9④，③式平方除以④式得：1λ-2+λ=16t25t2+9，而1λ-2+λ在λ∈[2，3]上单调递增，12≤1λ-2+λ≤43，34≤5t2+916t2≤2，l1在y轴上的截距为b，b2=(-2t)2=4t2∈[289，12]，b∈[-23，-273]∪[273，23]．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知M（-3，0）﹑N（3，0），P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线PN的..”主要考查你对&&函数的定义域、值域，动点的轨迹方程，圆锥曲线综合&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的定义域、值域动点的轨迹方程圆锥曲线综合
定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则& 。
&3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）&动点的轨迹方程：
&在直角坐标系中，动点所经过的轨迹用一个二元方程f(x,y)=0表示出来。求动点的轨迹方程的基本方法：
直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。 1、直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2、定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件。定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件；3、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x′，y′）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。 4、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。要特别注意消参前后保持范围的等价性。多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。 5、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
求轨迹方程的步骤：
(l)建系，设点建立适当的坐标系，设曲线上任意一点的坐标为M（x，y）；(2)写集合写出符合条件P的点M的集合{M|P(M)}；(3)列式用坐标表示P(M)，列出方程f(x，y)=0；(4)化简化方程f(x，y)=0为最简形式；(5)证明证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，&圆锥曲线的综合问题：
1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法： （1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部； （2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。 2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。直线与圆锥曲线的位置关系：
(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ&0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ&0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．
直线与圆锥曲线相交的弦长公式：
若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．&
发现相似题
与“已知M（-3，0）﹑N（3，0），P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线PN的..”考查相似的试题有：
476343270015401955782073523773497129当前位置：
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在平面直角坐标系中，动点P和点M（-2，0）、N（2，0）满足|MN|o|MP|+MNoNP=0，则动点P（x，y）的轨迹方程为______．
题型：填空题难度：中档来源：不详
∵点M（-2，0）、N（2，0）满足|MN|o|MP|+MNoNP=0，∴4(x+2)2+y2+（4，0）o（x-2，y）=0，化简可得y2=-8x．故答案为：y2=-8x．
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据魔方格专家权威分析，试题“在平面直角坐标系中，动点P和点M（-2，0）、N（2，0）满足|MN|o|MP|+..”主要考查你对&&动点的轨迹方程&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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动点的轨迹方程
&动点的轨迹方程：
&在直角坐标系中，动点所经过的轨迹用一个二元方程f(x,y)=0表示出来。求动点的轨迹方程的基本方法：
直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。 1、直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2、定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件。定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件；3、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x′，y′）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。 4、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。要特别注意消参前后保持范围的等价性。多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。 5、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
求轨迹方程的步骤：
(l)建系，设点建立适当的坐标系，设曲线上任意一点的坐标为M（x，y）；(2)写集合写出符合条件P的点M的集合{M|P(M)}；(3)列式用坐标表示P(M)，列出方程f(x，y)=0；(4)化简化方程f(x，y)=0为最简形式；(5)证明证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，&
发现相似题
与“在平面直角坐标系中，动点P和点M（-2，0）、N（2，0）满足|MN|o|MP|+..”考查相似的试题有：
413313401856627207404696628633402544在平面直角坐标系xoy中,O为坐标原点,动点P与两个定点M（1,0）,N（4,0）的距离之比为1/2.求若直线y=kx+3与曲线W交于A,B两点,在曲线W上是否存在一点Q,使得向量OQ=OA+OB,若存在,求出此时的直线l的斜率；若不,说明理由.
设动点P的坐标为（X,Y）,则由已知有：根号下[（X-1）的方+Y的方]/根号下[（X-4）的方+Y的方]=1/2,化简得：X的方+Y的方=4———（1）,若曲线W的方程为（1）,与曲线W交于A、B两点的直线为：Y=KX+3———（2）,假设在曲线W上存在一点Q,使得向量OQ=OA+OB,设A、B两点的坐标分别为（X1,Y1）、（X2,Y2）,则Q点的坐标为（X1+X2,Y1+Y2）,解由（1）、（2）组成的方程组得：X1+X2=-6*K/（1+K的方）,Y1+Y2=6/（1+K的方）,由于向量OQ=OA+OB,所以Q点的坐标为[-6*K/（1+K的方）,6/（1+K的方）],由于Q点在曲线W上,所以：[-6*K/（1+K的方）]的方+[6/（1+K的方）]的方=4,解之得K=2倍的根号下2,K=-（2倍的根号下2）
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扫描下载二维码（2013o鄂州）在平面直角坐标系中，已知M1（3，2），N1（5，﹣1），线段M1N1平移至线段MN处（注：M1与M，N1与N分别为对应点）．
（1）若M（﹣2，5），请直接写出N点坐标．
（2）在（1）问的条件下，点N在抛物线y=16?&&x2+2?√33&&x+k 上，求该抛物线对应的函数解析式．
（3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为B，与y轴交于点A，点E为线段AB中点，点C（0，m）是y轴负半轴上一动点，线段EC与线段BO相交于F，且OC：OF=2：√3?& ，求m的值．
（4）在（3）问条件下，动点P从B点出发，沿x轴正方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将△ABP沿边PE折叠，△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的14?&& ，求此时BP的长度．
（1）首先根据点M的移动方向和单位得到点N的平移方向和单位，然后按照平移方向和单位进行移动即可；
（2）将点N的坐标代入函数的解析式即可求得k值；
（3）配方后确定点B、A、E的坐标，根据CO：OF=2：√3? 用m表示出线段CO、FO和BF的长，利用S△BEC=S△EBF+S△BFC= 12?&S△ABC&得到有关m的方程求得m的值即可；
（4）分当∠BPE＞∠APE时、当∠BPE=∠APE时、当∠BPE＜∠APE时三种情况分类讨论即可．
解：（1）由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同，
由点M到点M′可知，点的横坐标减5，纵坐标加3，
故点N′的坐标为（5﹣5，﹣1+3），即（0，2）．
N（0，2）；
（2）∵N（0，2）在抛物线y=16?&&x2+2?√33&&x+k上
∴抛物线的解析式为y=16?&&x2+2?√33&&x+2&&&
（3）∵y=16?&&x2+2?√33&&x+2= 16?&&（x+2√3? ）2
∴B（﹣2√3? ，0）、A（0，2）、E（﹣√3? ，1）
∵CO：OF=2：√3?
∴CO=﹣m，FO=﹣√32?&& m，BF=2√3? +√32?&& m
∵S△BEC=S△EBF+S△BFC= 12?&S△ABC
∴ 12?&（& 2√3? +√32?&& m&）（﹣m+1）=12&×12&×2√3（2-m）&
整理得：m2+m=0
∴m=﹣1或0 & & & & & & & & & & & &
∴m=﹣1 & & & & & & & & &
（4）在Rt△ABO中，tan∠ABO=AOBO&=22√3&=√32?&&
∴∠ABO=30°，AB=2AO=4
①当∠BPE＞∠APE时，连接A1B则对折后如图2，A1为对折后A的所落点，△EHP是重叠部分．
∵E为AB中点，∴S△AEP=S△BEP=12?& S△ABP
∵S△EHP= 14?&&S△ABP
∴ S△A1HE=S△EHP=S△BHP=14?&& S△ABP
∴A1H=HP，EH=HB=1
∴四边形A1BPE为平行四边形
∴BP=A1E=AE=2
即BP=2 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
②当∠BPE=∠APE时，重叠部分面积为△ABP面积的一半，不符合题意；
③当∠BPE＜∠APE时．
则对折后如图3，A1为对折后A的所落点．△EHP是重叠部分
∵E为AB中点，
∴S△AEP=S△BEP=12?& S△ABP
∵S△EHP= 14?&&S△ABP
∴S△EHP=S△BHP=S△A1HP=14?&& S△ABP
∴BH=HP，EH=HA1=1
又∵BE=EA=2
∴EH &AP，12?&&
在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2．
∴∠APB=90°，
∴BP=2√3?& ，
综合①②③知：BP=2或2√3?& ；}