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求一个一阶常微分方程,
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　ylnydx+(x-lny)dy=0‍方法①常数变易法方程可变换为
dx/dy+[1/(ylny)]x=1/y先求齐次方程
dx/dy+[1/(ylny)]x=0变量分离得
(1/x)dx=[-1/(ylny)]dy两边积分得
ln|x|=-ln(lny)+C1即
ln(|x|lny)=C1→
xlny=±e^C1
令C==±e^C1得ylnydx+xdy=0 的通解为
x=C/lny (C为常数)
于是设原方程通解为x=C(y)/lny→
C'(y)=lny/y→
C(y)=ln²y/2+C
(C为常数)故原方程的通解为
x=lny/2+C/lny 方法②公式法： 方程可变换为
dx/dy+[1/(ylny)]x=1/y套公式x=e^(-∫1/(ylny)dy)[∫ (1/y)e^(∫1/(ylny)dy) dy + C]=e^(-∫1/lnydlny)[∫ (1/y)e^(∫1/lnydlny) dy + C]=e^(-lnlny)[∫ (1/y)e^(lnlny) dy + C]=1/(lny)[∫ lny/y dy + C]=1/(lny)[∫ lny dlny + C]=1/(lny)[(1/2)ln²y + C]=(1/2)lny + C/lny
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方程有积分因子：h(y)=1/y
扫描下载二维码摘要：本文介绍一阶微分方程的初等解法及其若干应用；化为积分问题,应用到实际中；所学知识的理解；方程进行了归纳总结,作为对此问题的一些探索.；定义：微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的；的解是一个符合方程的函数；微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化；法求解的微分方程称为可积方程；；一阶微分方程的一般形式为：；f?x,y,y???0；一阶常微分
摘要：本文介绍一阶微分方程的初等解法及其若干应用,把微分方程的求解问题
化为积分问题,应用到实际中。用理论指导实践,由抽象总结出具体规律,加深对
所学知识的理解。本文就常见的可化为变量分离方程后采用积分法求解的常微分
方程进行了归纳总结, 作为对此问题的一些探索.
定义：微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程
的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值，一阶常
微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方
法求解的微分方程称为可积方程；
一阶微分方程的一般形式为：
f?x,y,y???0
一阶常微分方程是数学中常见而基础的一类微分方程，通常写成如下的形：
dx?f?x?t?,t?dt 其中x是要解的未知函数t是函数的自变量，f是一个已知的连续函数。
微分方程的解：若把某函数带入微分方程能使该方程成为恒等式，则称这个函数
为该微分方程的解。
通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程
的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
特解：在通解中，给任意常数以确定的值而得到的解称为特解
初始条件：给定微分方程中未知函数及其导数在指定点的函数值的条件。
1.分离变量法：
dy?f(x)?(y)dx
的方程，称为变量可分离方程，其中f(x)和?(y)分别是x,y的连续函数。
以微分形式出现的变量分离方程，
dx?a?t?b?x?dt
则称其为变量分离方程。“变量分离”意为方程右端的部分可以分离成两个不同
部分的乘积，其中一个只与自变量t相关，另一个则只与未知函数x相关
以微分形式出现的变量分离方程，形如m?x?n?y?dx?p?x???y?dy?0可化为
g(y)dy?f(x)dx的形式，则该微分方程称为可分离变量的微分方程
两边积分，得?g(y)dy??f(x)dx ，设函数g(y)和f?x?分别为
f(x)的原函数。 则微分方程的通解为：g?y??f?x??c
例1.1dy?xydx
lny??c(c为常数)y?02解：当时，有有y两边积分得到
lny??c(c为常数) 2
所以y?c1ex2
2y?0显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为
x22(c为常数)
2.积分因子法： 如果方程p?x,t?dx???x,t?dt?0中的函数p和?不满足上述的关系式， 则为了将其转化为恰当微分方程，会探讨能否通过添加适当的函数μ， 使得：
??x,t?p?x,t?dx???x,t???x,y?dt?du?x,t?
这样的函数μ称为方程的积分因子。可以证明，只要原方程有解函数存在，则积分因子也必然存在，而且不一定是唯一的。
例1.2求解方程
(6yx2?y2)dx?(?3x3?xy)dy?0
解： p?6yx2?y2,Q??3x3?xy,
则可得：?Q??9x2?y?x
?P?Q???15y2?x.
取 f(x)?x，g(y)?y2.
?P?Q?15x2?y?y?x? dfdg(?3x3?xy)y2?(6yx2?y2)2xyQg?Pfdxdy
1x2y 1文章虽给出了一些以特殊积分x2y从而由定理知方程有积分因子u(x,y)??
因子解线性微分方程的方法，但是在学习中依然存在许多其它特殊的积分因子用以上方法难以解决，还需要继续探索．
3.齐次方程解法： 定义：形如ydyy??的方程叫做齐次方程 .特点：右端能化为以 为内函数的xdxx
复合函数。
解法: 令u?ydydu 则y?ux,?u?xxdxdx du???u?， dx代入原方程得：u?x
分离变量: dudx??(u)?ux dudx???(u)?u?x 两边积分得：
积分后再用y代替 ?x 便得原方程的通解.
例1.3 解微分方程：y??yy?tan
解: 令u?y则y??u?xu? x
代入原方程得：u?xu??u?tanu 分离变量cosudxcosudxdu?du?? 两边积分?sinuxsinux
得：lnsinu?lnx?lnC, 故原方程的通解为sin
4．常数变易法： 一阶线性微分方程y?Cx ( C 为任意常数 ) ( 当c?0时,y?0 也是方程xdy?P?x?y?Q?x?,其中P?x?,Q?x?在考虑的区间上是x的连续dx
函数,若Q?x??0,变为dy?P?x?y,称为一阶齐次线性微分方程,若Q?x??0,称为dx
P?x?dx一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为y?ce?,这里c
是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是的特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c变易为x的待定函数,使它满足方程,从而求出c?x?,为此，令y?c?x?e?
得到 P?x?dx,微分之, P?x?dxdydc?x??P?x?dx?e?c?x?P?x?e?. dxdx
P?x?dxP?x?dxdc?x??P?x?dxe?c?x?P?x?e??P?x?c?x?e??Q?x?,dx 以代入得到
?P?x?dx?P?x?dxdc?x??Q?x?e?,积分后得到 c?x???Q?x?e?dx?c1,这里c1是任意常dx
P?x?dx数。将代入得到y?e??Q?x?e??P?x?dxdx?c? 这就是方程的通解。 ??1???
例1.4求微分方程 x2dy??2xy?x?1?dx?0
满足初始条件y?1??0的解 dy2x?1?y?2 dxxx
x?1Q(x)?2,x
22?x?1?xdx?xdx???y?e??x2?edx?C???
?x?1?1?1??e?2lnx??2?e2lnxdx?C??2?x2?x?C?.?x?x?2?
把初始条件y?1??0 代入上式，得c?
故所求方程的特解为y?
5.贝努力方程解法
dy?P(x)y?Q(x)yn, 形如
解法：令 u?y1?n，
有 du?(1?n)y?ndy， 代入得到：du?(1?n)P(x)u?(1?n)Q(x)， dx
例1.5.dyy?6?xy2 dxx
du6?u?xdxx
解：令u?y?1，有 du??y?2dy，代入得到
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　15 一阶常微分方程的奇解 摘要 在常微分方程中, 我们知道方程的解可以有多种,现在我们来讨论求奇解的 方法。我们看到某些微分方程,会存在一些特殊的积分曲线,他... 　常数 变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程的重要方法。 1、一般方程 为求解一阶非齐次线性微分方程(1.01),先解对应的其次线性微分方程 (1.02),用分离变量法... 　一阶线性非齐次微分方程求解方法归类_数学_自然科学_专业资料。一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程 dy ? P ( x ) y ? Q( x ) dx 叫做一阶线性微分... 　Key words: D Solution 引言 对于一阶微分方程的一些常见的...参考文献 [1]王高雄等.常微分方程(第三版).高等教育出版社.30-60. [2]... 　这些问题都可以化 为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题。因此,学 好一阶线性方程对我们日后的学习和研究有着奠基作用。 ... 　一阶常微分方程习题(一)_理学_高等教育_教育专区。一阶常微分方程习题(一) 1. dy =2xy,并满足初始条件:x=0,y=1 的特解。 dx 解: dy =2xdx y x2 ... 　总结一阶常微分方程奇解的求法_教学反思/汇报_教学研究_教育专区。总结一阶微分方程奇解的求法 摘要:利用有关奇解的存在定理,总结出求一阶微分方程奇解的几种... 　1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。 如:f(x)(3)+3f(x)+x=f(x)为 3 阶方程。 2.若 f(x)使常微分方程两端恒等,则 f(... 　乐山师范学院毕业论文(设计) 浅析一阶微分方程的解法龙利乐山师范学院 数学与应用数学
[摘要]:本论文对一阶常微分方程的解法作了浅析,并举出例子分析了...一阶常微分方程习题(一)_百度文库
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