二次函数中考知识点及典型例题讲解
二次函数中考知识点及典型例题讲解
典型例题1：解题反思：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．典型例题2：解题反思：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．典型例题3：解题反思：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．典型例题4：解题反思：本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，是一道值得练习的题目．【作者：吴国平】
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二次函数基础检测题
　　第26章二次函数基础检测题　 姓名　　　　　
（加油哟）
一、选择题：
1、二次函数y=ax2+bx+c的图象如右图所示，根据图象可
得a、b、c与零的大小关系是（　　）
A、a&0,b&0,c&0　　　B、a&0,b&0,c&0　　
C、a&0,b&0,c&0　　　D、a&0,b&0,c&0　　　　　　　　　　　
2、开口向上，顶点坐标为（－9,3）的抛物线为（　　　）。　　　　
　A、y=2(x－9)2－3　　&
B、y=2(x+9)2+3　　
C、y=－2(x－9)2－3　　D、y=－2(x+9)2+3　　　　&
3、把函数y=－3x2的图象沿x轴向右平移5个单位，得到的图象的解析式为（　　&
　 A、y=－3x2+5　&
B、y=－3x2－5　　 C、y=－3(x+5)2　　　D、y=－3(x－5)2
4、二次函数y=2(x+2)2－1的图象是（　　 ）。
5、下列函数中,是二次函数的是(　 )
　&A.y=8x2+1　　　 B.y=8x+1;　　　　
C.y=　　　　　&
6、把函数y=－2x2的图象沿x轴对折，得到的图象的解析式为（　　　）。
　A、y=－2x2　　　B、y=2x2　　　C、y=－2(x+1)2　　D、y=－2(x－1)2　　　　　　
7、下列四个函数中，y随x增大而减小的是（　　　
A、y=2x　　　　B、y=－2x　　 C、y=x2　　　　　　　　　
D、 y=－x2　
8、二次函数y=a(x－1)2+c的图象如右下图所示，则直线y=－ax－c不经过（　　 ）
A、第一象限　　 B、第二象限　　&
C、第三象限　　 D、第四象限
9、由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：
“已知二次二函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)，…，
求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称。”
根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是（　　）。
A、过点（3,0）　　　　　　&
&B、顶点是(2,－2)　　　　　　　　　　
C、在x轴上截得的线段长是2　 D、与y轴的交点是(0,c)
10、抛物线的形状、开口方向与y=x2-4x+3相同,顶点在(-2,1),则关系式为(　 )
　A.y=(x-2)2+1&
B.y=(x+2)2-1; C.y=(x+2)2+1　　　　D.y=-(x+2)2+1
11、如下左图，抛物线顶点坐标是P(1,3)，则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是（　　　）。　　　　　　　　　　　&
　A、x&3　　　B、x&3　　　 C、x&1　　　 D、x&1
12、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如右图所示，对称轴是x=1，则下列结论正确的是（　　）
　A、ac&0　 　　　　B、b&0　　　 C、b2－4ac&0　　　　D、2a+b=0
13、如果二次函数y=－x2－2x+c的图象在x轴的下方，则c的取值范围为（　　&
　 A、c&－1　　&
B、c≤－1　　　 C、c&0　　　 D、c&1
14、二次函数y=x2－4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积是（　　　）
　A、6　　　　
B、4　　　　
C、3　　　　
15、二次函数y=x2+10x－5的最小值为（　　&
　 A、－35　　　　B、－30　　　 C、－5　　&
16、圆的面积S与其半径r的函数关系用图象表示大致是（　　　　）
17、在函数①y=3x2 ； ②y=x2+1 ；③y=－x2－3 &中，图象开口大小按题号顺序表示为（　　 ）　 A、①&②&③　　　 B、①&③&②　　　C、②&③&①　　　D、②&①&③
18、抛物线y=x2+3x的顶点在( 　　&)
　A.第一象限　　 B.第二象限　　 C.第三象限　　 D.第四象限
19、抛物线y=-3x2+2x-1的图象与x轴交点的个数是(　　　)
　A.没有交点　　 B.只有一个交点　　C.有两个交点　 D.有三个交点
20、二次函数y=4x2-mx+5,当x&-2时,y随x的增大而减少;当x&-2时,y随x的增大而增大,则当x=1时,y的值为( 　　&)
　A.-7　　 B.1　　 C.17　　 D.25
21、如图所示,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C, 则△ABC的面积为(　 )
　A.6　　　B.4　　 C.3　　 D.1
22、二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是(　　&)
　A.a&0,b2-4ac&0　　　 B.a&0,b2-4ac&0　　
&C.a&0,b2-4ac&0　　　 D.a&0,b2-4ac&0
23、已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a&b&c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的(　&)
24、关于函数y=2x2-8x,下列叙述中错误的是(　　　&)
　A.函数图象经过原点　　　　　　　　　&
B.函数图象的最低点是(2,-8)
　C.函数图象与x轴的交点为(0,0),(4,0)　 D.函数图象的对称轴是直线x=-2
25、二次函数y=m2x2-4x+1有最小值-3,则m等于(　　　)
　A.1　　B.-1　　C.±1　　D.±
26、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点P(a,)所在的象限是(　 )
　A.一　　B.二　　C.三　　 D.四
27、如图所示,当b&0时,函数y=ax+b与y=ax2+bx+c在同一坐标系内的象可能是(　　&)
28、抛物线y=2(x+3)(x-1)的对称轴的方程是(　　　&)
A. x=1　 　　B. x=-1　　　　C. x=　 　　　D. x=-2
29、下列判断中唯一正确的是( 　　　)
　A.函数y=ax2的图象开口向上,函数y=-ax2的图象开口向下
　B.二次函数y=ax2,当x&0时,y随x的增大而增大
　C.y=2x2与y=-2x2图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全相同
　D.抛物线y=ax2与y=-ax2的图象关于x轴对称
30、抛物线y=x2-6x+24的顶点坐标是(　　　&)
A.(-6,-6)　　　B.(-6,6);　　　　C.(6,6)　　　&
31、一个二次函数的图象经过点A(0,0),B(-1,-11),C(1,9)三点,则这个二次函数的关系式是(　 　)
A.y=-10x2+x　　　B.y=-10x2+19x　　　 C.y=10x2+x　　　 D.y=-x2+10x
二、填空题
32、用长与宽分别是6cm、8 cm的矩形纸片剪下一个边长为x cm的正方形后，剩余部分的面积S与x之间的关系式为　　　　　　
，其中S是x　　　　　　&
33、某种商品的价格为5元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，则y与x之间的关系式为　　　　　&
34、抛物线y=－3x2的对称轴是　　　　
，顶点是　　　　&
，开口　　　　&
，顶点是最　　　　
点，与x轴的交点为　　　　　　
35、若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(-4,0)、(2,6),　则这个二次函数的关系式为
　　　　　　　　　　　
36、若函数y=ax2+b的图象经过点（0,1），（1,2），则a+b=　　　　　
37、已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（－2,7），B（6,7） C(3,－8)，则该抛物线的解析式为　　　　　　　　&
该抛物线上纵坐标为－8的另一个点的坐标为　　　　　　&
38、用配方法将二次函数y=4x2－24x+26写成y=a(x－h)2+k的形式是　　　　　　　　
，对称轴为　　　　　　&
，顶点坐标为　　　　　
39、将抛物线y=－2x2+4x向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到抛物线的解析式为
　　　　　　　　　　　　&.
40、将二次函数解析式y=2x2－8x+5配方成y=a(x－h)2+k的形式为　　　　　&
41、函数y=ax2－ax+3x+1的图象与x 轴有且只有一个交点，那么a的值为　　　　
42、已知二次函数y=x2－2x－8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，则△ABC的面积为　　　　　&
43、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示。
（1）这个二次函数的解析式为　　　　　　　　　
（2）这个二次函数的对称轴是　　　　　　　
（3）函数y有最　　值，当x=　　　 时，y的最值为　　
（4）当x=　　　　　　
44、某商人开始时将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件，他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件提高1元，每天的销售量就会减少5件。
（1）写出售价x（元/件）与每天所得的利润y（元）之间的函数关系式是y=　　　　　&
（2）每件售价定为　　　　　
元时，才能使一天的利润最大。
45、抛物线y=－2(x+3)2－4是　　　　&
对称图形，开口向　　　　,顶点坐标是　　　　&
，对称轴是　　　　　　
，与x轴的交点为　　　　　　　　　　
46、若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,-1),(5,-1), 则它的对称轴方程是________.
47、已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为P(-2,3),且过A(-3,0), 则抛物线的关系式为　　　　　　　　&
48、二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过点(-1,-1),则m=　　　　　
49、二次函数y=x2-2x+m的最小值为5时,m=　　　　　　　
50、若抛物线y=ax2+3x-1与x轴有两个交点,则a的取值范围是　　　　　
51、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则ac_____0(填“&”、“&”、“＝)”
52、抛物线y=-(x-1)(x+2)与x轴的交点坐标是_______,与y 轴的交点坐标是______.
53、函数y=x2+2x-1的最小值是_____ ________.
54、已知二次函数y=mx2+2x+m-4m2的图象经过原点，m=　　　　　
&这个二次函数的对称轴是　　　　
开口方向　　　　，顶点坐标　　　　　
，y的最　　 值是　　　
55、抛物线y=x2-5x+6与y轴交点是　　　　　　&
,与x轴交点是　　 　　　　　　　　。
三、解答题
56、已知正方形的周长是Ccm,面积是Scm2.
(1)求S与C之间的函数关系式;(2)当S=1cm2时,求正方形的边长
&(3)当C取什么值时,S≥4cm2?（1）A（-2，0），B（6，0）；(2) y=-x2+2x+6，抛物线对称轴为x=2，顶点坐标为（2，8）；(3) P（2，4）；(4)2.试题分析：（1）解一元二次方程x2-4x-12=0可求A、B两点坐标；（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，可求二次函数解析式，配方为顶点式，可求对称轴及顶点坐标；（3）作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，P点即为所求；（4）由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面积，利用三角形面积公式表示△ACQ的面积，根据S△CDQ=S△ABC-S△BDQ-S△ACQ，运用二次函数的性质求面积最大时，m的值．试题解析：（1）A（-2，0），B（6，0）；（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，得，解得，∴y=-x2+2x+6，∵y=-（x-2）2+8，∴抛物线对称轴为x=2，顶点坐标为（2，8）；（3）如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，∵C（0，6），∴C′（4，6），设直线AC′解析式为y=ax+b，则，解得，∴y=x+2，当x=2时，y=4，即P（2，4）；（4）依题意，得AB=8，QB=6-m，AQ=m+2，OC=6，则S△ABC=AB×OC=24，∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA，∴即S△BDQ=，又S△ACQ=AQ×OC=3m+6，∴S=S△ABC-S△BDQ-S△ACQ=24--(3m+6)=-m2+m+=-（m-2）2+6，∴当m=2时，S最大．
请在这里输入关键词：
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
已知抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点M，对称轴与BC相交于点N，与x轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式及点M的坐标；（2）连接ON，AC，证明：∠NOB=∠ACB；（3）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为时，求点E的坐标；（4）在满足（3）的条件下，连接EN，并延长EN交y轴于点F，E、F两点关于直线BC对称吗？请说明理由．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．（1）如图1，若m=．①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
已知抛物线与x轴交点为A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．（1）试用含m的代数式表示A、B两点的坐标； （2）当点B在原点的右侧，点C在原点的下方时，若是等腰三角形，求抛物线的解析式；（3）已知一次函数，点P（n，0）是x轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交抛物线于点N，若只有当时，点M位于点N的下方，求这个一次函数的解析式．
科目：初中数学
来源：不详
题型：填空题
将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是&&&&&&&&&&&&&&&&
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，二次函数的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；②若⊙M的半径为 ，求点M的坐标．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为(O，2)，直线AB交轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED的面积为S．（1）当时，求S的值．（2）求S关于的函数解析式．（3）①若S＝时，求的值；②当m＞2时，设，猜想k与m的数量关系并证明．
科目：初中数学
来源：不详
题型：填空题
抛物线y=-2（x-3）2-5的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标______．
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