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已知数列{an}满足：a1=2且an+1=2(n+1)anan+n（n∈N*）（1）求证：数列{nan-1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）证明：a11+a22+a33+…+ann＜n+2（n∈N*）．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（本小题满分14分）（1）由题得：an+1（an+n）=2（n+1）an，即anan+1+nan+1=2（n+1）an，故2(n+1an+1-1)=nan-1即数列{nan-1}为等比数列，…（3分）∴nan-1=(-12)(12)n-1=-(12)n，∴an=n+n2n-1…（7分）（2）由（1）知ann=1+12n-1…（8分）∴a11+a22+a33+…+ann≤n+120+121+122+…+12n-1=n+[1-(12)n]1-12=n+2-(12)n-1＜n+2…（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}满足：a1=2且an+1=2(n+1)anan+n（n∈N*）（1）求证：数列{n..”主要考查你对&&等比数列的定义及性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等比数列的定义及性质
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
发现相似题
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去括号=64.5-64.5+1.2=1.2
∫1/(1-p*e^(-ix))dx
= ∫{1 + p*e^(-ix)/(1-p*e^(-ix)) dx
+ ∫{p*e^(-ix)...
an=2a(n-1)+2^(n-1)
=2^2a(n-2)+2^(n-1)+2^(n-1)
=2^3a(n-3)+3*2^(n-1)
大家还关注1+2+3+4+……（n-1）在这个数列中一共有多少项,这几项的和为多少?
1+2+3+4+……（n-1） 在这个数列中一共有:n-1项,这几项的和为:[1+(n-1)]*(n-1)/2=n(n-1)/2
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RSA算法原理（二）
上一次，我介绍了一些。
有了这些知识，我们就可以看懂。这是目前地球上最重要的加密算法。
六、密钥生成的步骤
我们通过一个例子，来理解RSA算法。假设要与鲍勃进行加密通信，她该怎么生成公钥和私钥呢？
第一步，随机选择两个不相等的质数p和q。
爱丽丝选择了61和53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。）
第二步，计算p和q的乘积n。
爱丽丝就把61和53相乘。
　　n = 61×53 = 3233
n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是，一共有12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。
第三步，计算n的欧拉函数φ(n)。
根据公式：
　　φ(n) = (p-1)(q-1)
爱丽丝算出φ(3233)等于60×52，即3120。
第四步，随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质。
爱丽丝就在1到3120之间，随机选择了17。（实际应用中，常常选择65537。）
第五步，计算e对于φ(n)的模反元素d。
所谓就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。
　　ed ≡ 1 (mod φ(n))
这个式子等价于
　　ed - 1 = kφ(n)
于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。
　　ex + φ(n)y = 1
已知 e=17, φ(n)=3120，
　　17x + 3120y = 1
这个方程可以用求解，此处省略具体过程。总之，爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753。
至此所有计算完成。
第六步，将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。
在爱丽丝的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（）。
实际应用中，公钥和私钥的数据都采用格式表达（）。
七、RSA算法的可靠性
回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字：
这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。
那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？
　　（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。
　　（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
　　（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。
结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。
可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道：
　　"对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。
　　假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。
　　只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。"
举例来说，你可以对3233进行因数分解（61×53），但是你没法对下面这个整数进行因数分解。
它等于这样两个质数的乘积：
　　　　×
事实上，这大概是人类已经分解的最大整数（232个十进制位，768个二进制位）。比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。
八、加密和解密
有了公钥和密钥，就能进行加密和解密了。
（1）加密要用公钥 (n,e)
假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m，他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意，m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于n。
所谓"加密"，就是算出下式的c：
　　me ≡ c (mod n)
爱丽丝的公钥是 (3233, 17)，鲍勃的m假设是65，那么可以算出下面的等式：
　　6517 ≡ 2790 (mod 3233)
于是，c等于2790，鲍勃就把2790发给了爱丽丝。
（2）解密要用私钥(n,d)
爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后，就用自己的私钥() 进行解密。可以证明，下面的等式一定成立：
　　cd ≡ m (mod n)
也就是说，c的d次方除以n的余数为m。现在，c等于2790，私钥是()，那么，爱丽丝算出
　　27902753 ≡ 65 (mod 3233)
因此，爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。
至此，"加密--解密"的整个过程全部完成。
我们可以看到，如果不知道d，就没有办法从c求出m。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以RSA算法保证了通信安全。
你可能会问，公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m，那么如果要加密大于n的整数，该怎么办？有两种解决方法：一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；另一种是先选择一种"对称性加密算法"（比如），用这种算法的密钥加密信息，再用RSA公钥加密DES密钥。
九、私钥解密的证明
最后，我们来证明，为什么用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子：
　　cd ≡ m (mod n)
因为，根据加密规则
　　ｍe ≡ c (mod n)
于是，c可以写成下面的形式：
　　c = me - kn
将c代入要我们要证明的那个解密规则：
　　(me - kn)d ≡ m (mod n)
它等同于求证
　　med ≡ m (mod n)
　　ed ≡ 1 (mod φ(n))
　　ed = hφ(n)+1
将ed代入：
　　mhφ(n)+1 ≡ m (mod n)
接下来，分成两种情况证明上面这个式子。
（1）m与n互质。
根据欧拉定理，此时
　　mφ(n) ≡ 1 (mod n)
　　(mφ(n))h × m ≡ m (mod n)
原式得到证明。
（2）m与n不是互质关系。
此时，由于n等于质数p和q的乘积，所以m必然等于kp或kq。
以 m = kp为例，考虑到这时k与q必然互质，则根据欧拉定理，下面的式子成立：
　　(kp)q-1 ≡ 1 (mod q)
进一步得到
　　[(kp)q-1]h(p-1) × kp ≡ kp (mod q)
　　(kp)ed ≡ kp (mod q)
将它改写成下面的等式
　　(kp)ed = tq + kp
这时t必然能被p整除，即 t=t'p
　　(kp)ed = t'pq + kp
因为 m=kp，n=pq，所以
　　med ≡ m (mod n)
原式得到证明。
布尔代数是计算机的基础。没有它，就不会有计算机。
DNS 是互联网核心协议之一。不管是上网浏览，还是编程开发，都需要了解一点它的知识。
《计算机原理》课本说，启动时，主引导记录会存入内存地址0x7C00。
函数式编程有一个重要概念，叫做Monad。当前位置： >
& 分解因式16x2-1 分解因式：①16x^2.24x+9②4+9x^2-1)2x③-12x+36x^2+1④（4x。
分解因式16x2-1 分解因式：①16x^2.24x+9②4+9x^2-1)2x③-12x+36x^2+1④（4x。
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分解因式：①16x^2.24x+9②4+9x^2-1)2x③-12x+36x^2+1④（4x。解： ①16x^2+24x+9=(4x+3)^2 ②4+9x^2-12x=(3x-2)^2 ③-12x+36x^2+1=(6x-1)^2 ④（4x-1）^2-(2x+3)^2=(6x+2)(2x-4) ⑤-2xy-x^2-y^2=-(x+y)^2 ⑥4ax^2+8a^2x+4a^3=4a(x+a)^2 ⑦m^2(x-2)+m(2-x)=m(x-2)(m-1) ⑧12a^2b(x-y)^2-8a^2b^2(y-x)^3=4a^2b(x-y)^2[3+2b(x-y)]。把下列各式分解因式：（1）16x&sup2;-64(2)-27m&sup2;n+9mn&sup2;-18。(1)16x&sup2;-64=16(x-2)(x+2) (2)-27m&sup2;n+9mn&sup2;-18mn=9mn(n-3m-2) (3)20a&sup2;bx-45bxy&sup2;=5xb(4a&sup2;-9y&sup2;)=5xb(2a+3y)(2a-3y) (4)4m(m-n)+4n(n-m)=4(n-m)(m+n) (5)4a&sup2;+2a-36= (6)2a(x+1)&sup2;=2a(x+1)&sup2; （7）(a&sup2;+4)&sup2;-16a&sup2;=（a+4-4a）(a+4+4a)=(4-3a)(4+5a) (8)(x&sup2;-3)&sup2;-12(x&sup2;-3)+36=(x&sup2;-3-6)&sup2;=[（x+3）(x-3)]&sup2; （9）(a&sup2;+5b&sup2;)&sup2;-（2a&sup2;+b&sup2;）&sup2;=（3a&sup2;+6b&sup2;）（4b&sup2;-a&sup2;）=3(a&sup2;+2b&sup2;)（2b-a）(2b+a) (10)(x&sup2;+16y&sup2;)&sup2;-64x&sup2;y&sup2;=（x&sup2;+16y&sup2;+8xy）(x&sup2;+16y&sup2;-8xy)=(x+4y)&sup2;（x-4y）&sup2;。计算[2x/(x-1)-3x/(x+1)&x/x^2-1 分解因式：x^3y-xy^3 x^2-16x+64。[2x/(x-1)-3x/(x+1)]&x/(x^2-1)=x[2(x+1)-3(x-1)](x&sup2;-1)/[x(x&sup2;-1)]=2x+2-3x+3=5-3xx^3y-xy^3 =xy(x&sup2;-y&sup2;)=xy(x+y)(x-y)x&sup2;-16x+64=x&sup2;-2*8x+8&sup2;=（x-8）&sup2;。因式分解16x^4n-1;x^2-mx-my-y^2;(a+b+c)^2-(a-b-c)^2;-1/4(xy+。16x^4n-1=(4x^2n)^2-1=[4x^(2n)+1][4x^(2n)-1]x^2-mx-my-y^2=(x^2-y^2)-m(x+y)=(x+y)(x-y)-m(x+y)=(x+y)(x-y-m)(a+b+c)^2-(a-b-c)^2=[(a+b+c)+(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)]=(a+b+c+a-b-c)(a+b+c-a+b+c)=2a(2b+2c)=4a(b+c)-1/4(xy+1)^2+1/16(1-xy)^2=[1/4(1-xy)]^2-[1/2(xy+1)]^2=[1/4(1-xy)+1/2(xy+1)][1/4(1-xy)-1/2(xy+1)]=(1/4-1/4xy+1/2xy+1/2)(1/4-1/4xy-1/2xy-1/2)=(1/4xy+3/4)(-3/4xy-1/4)=-1/4(xy+3)(xy+1)。分解因式1. 16x^2y^2-1 2. 16(a-b)^2-9(a+b)^2 3.121a^2+44ab。1=(4xy+1)(4xy-1) 2=[4(a-b)+3(a+b)][ 4(a-b)-3(a+b)]=(7a-b)(a+7b) 3=(11a+2b)^2 4.= .(a+b)^2-4(a+b)+4=(a+b+2)^2 5=(a+b+1)^21. (4X^y^2+1)(4X^y^2 -1) 2. (7a-b)(13a-19b) 3. (11a+2b)^2 4. a(b+2)^2 (a-4+2b) 5. (a+b+1)^2。把下列各式分解因式-1+16x^2;a^2b^3-4a^2b;16x^4-y^4;(2x+1)。-1+16x^2=(4x+1)(4x-1)a^2b^3-4a^2b=a&sup2;b(b&sup2;-4)=a&sup2;b(b+2)(b-2)16x^4-y^4=(4x&sup2;+y&sup2;)（4x&sup2;-y&sup2;）=（4x&sup2;+y&sup2;）（2x+y）(2x-y)(2x+1)^2-x^2=[(2x+1)+x][(2x+1)-x]=(3x+1)(x+1)。初二因式分解：1、16x?2-31xy-2y?2, 2、a?2-13a?2+36_。2;2-31xy-2y?，=（16x+y）(x-2y)2、a?2-13a?、16x?(30x+2y)(1/2x-y)(3x-12y)(1/3x-3y)。因式分解：（1）16x^2-8x-y^2+1;(2)a^2-b^2+a-b(1)16x^2-8x-y^2+1 =(4x+1)^2-y^2 =(4x+y+1)(4x-y+1)
(2)a^2-b^2+a-b =(a+b)(a-b)+(a-b) =(a-b)(a+b+1)(1)(4x-1+y)(4x-1-y)
(2)(a+b+1)(a-b)。因式分解16x^2-116x^2-1=(4x+1)(4x-1)16x^2-1=(4x+1)(4x-1)原式=（4x+1）(4x-1)。
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