合并同类项与移项(第一课时)教学设计_百度文库
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合并同类项与移项(第一课时)教学设计
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七年级数学(上册)第3章一元一次方程导学案 投稿：许覙覚
问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1小时经过B地。A，B两地间的路程是多少？1、请你用算术方法解决这个问题？列算式试试。2、如何用方程的知识解决这个问题？…
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问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，
卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1小时经过B地。A，B两地间的路程是多少？
1、请你用算术方法解决这个问题？列算式试试。
2、如何用方程的知识解决这个问题？
（3）根据等量关系列出方程
1、方程的概念及理解
（1）观察等式：3x?3?6,5y?25,x?1?7,xx
?1，它们有什么共同特点？
（2）方程：含有未知数的等式叫做方程
注意：两个要点（1）含有未知数；（2）是等式。缺一不可。
（3）下列式子(1)5x+1，(2)3-t=1，(3)7x-8=y，(4)1+2=3，(5)2+y>2，(6)3x-3=6中，哪些是方程，请写出来。
（1）用字母表示题目中的未知量——设未知数（用x,y,z表示）； （2）找出题目中的等量关系；
（3）列出含未知数的等式——方程。
【例1】下列各式中，是方程的有（
?3??7;?2?3x?5?2x?1;?3?2x?6?4?x?y?0;?5?a?b?3;?6?a2?a?6?0
【例2】根据下列语句列出式子，并说出它是不是方程。
（1）a的相反数与b的和等于0；
（2）x的倒数与1的差。
【例3】把一个长方形分成如图所示的7个小长方形，且这7个小长方形能完全重合，已知大长方形的宽为14㎝，求小长方形的宽（只列方程）。
方程??定义：含有未知数的等式列方程：依据等量关系列出含未知的等式
★方程是只含有未知数的等式，判断一个式子是方程要满足两点： ①它必须是一个等式； ②它必须含有未知数。
1、在①2x-1; ②2x+1=3x; ③??3???3；④t+1=3中，等式有
。（填序号）
2、根据下列条件，能列出方程的是（
A、一个数的2倍比3大2
B、a与1的差的1/4
C、甲数的3倍与乙数的1/2的和
D 、a与b的和的3/5
3、一件标价600元的上衣，按8折销售仍可获利20元，设这件上衣的成本价为元，根据题意，下面所列的方程正确的是（
A.600?0.8?x?20B.600?8?x?20
C.60?00.?8x?20D.?600?x8?
4、A种饮料比B种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，求A、B两种饮料的单价？（只列方程）
5、某校组织学生夏令营订了几间客房，如果再增加一间客房，则每个房间恰好住8人，如果减少一间客房，每个房间恰好住9人，则该校原来订了多少房间？（只列方程不求解）
1、问题：小雨、小思的年龄和是25，小雨年龄的2倍比小思的年龄大8岁，小雨、小思的年龄各是几岁？
设小雨的年龄为x岁，
（1）请你用两种不同的方法表示小思的年龄
（2）写出你列出的方程：
2、根据下列问题，设未知数并列出方程
（1）用一根长24 ㎝的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？
（2）一台计算机已使用1700h，预计每月再使用150h，经过多少月这台计算机的使用时间达到2450h？
（3）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？
1、一元一次方程的概念及理解
（1）观察下列方程，找出它们的共同特点？
（1）25?x?2x?8，（2）4x?24，（3）50，（4）0.52x??
1?0.52?x?80（2）一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
（3）理解一元一次方程的概念时要注意： ①方程属于整式方程，即方程两边分母中不含未知数； ②一元，即方程中只含有一个未知数，此未知数可以出现多次，但只能是同一未知数，同一方程中不能出现两个不同的未知数； ③一次，未知数的次数是1次，指的是化为一般形式 ax?b?0?a?0?后，未知数的次数是1次（还
。 （4）下列各式哪些是一元一次方程
?1?5?1?4;?2?3x?5?10;?3?x?0;?4?
?2?1?5?4y??1;?6?x2?2x?1?0;?7?x?y?2 2、方程的解与解方程
（5）方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 检验3，4是否是方程3x?3?6的解
（6）解方程：就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程（即求方程的解的过程），
【例1】下列是一元一次方程的是（
B.x?2y?6C.3x
?1D.2x2?1?5x?2x2?1 【例2】方程?
?x?2x的解是（
） A.x?12B.x??12C.x?2D.x??2
【例3】已知方程?m?2?x
?3?m?5是关于x的一元一次方程，则m的值为 【例4】已知3是关于x的方程2x?a?1的解，则a的值为
1、一元一次方程；2、方程的解；3、解方程：4、列方程的步骤：
1.下列语句： ①含有未知数的代数式叫方程;②方程中的未知数只有用方程的解去代替它时，该方程所表示的等式才成立; ③含有一个未知数的方程是一元一次方程; ④x=-1是方程
?1?x?1 的解.其中错误的语句的个数为（
2.某校师生共328人，准备乘车参加奥运会，已有一辆 校车可乘64人，如果租用客车，每辆可乘44人，那么还 要租用多少辆客车？如果设还要租x辆客车，可列方程 为（
A．44x－328=64
B．44x+64=328
C．328+44x=64
D．328+64=44x
3．下列说法：①等式是方程；②x=-4是方程5x+20=0的解； ③x=-4和x=4都是方程12-x=16的解．其中说法不正确的 是_______．（填序号）
4.若x=0是关于x的方程2x-3n=1的根，则n=_______．
5.已知?m?3?x
?18是关于x的一元一次方程，求m的值.
6.检验下列和数是不是方程4x?3?2x?3的解.
（1）x＝3；（2）x＝8
7.X＝3是方程2?x?k??5的解，求k的值.
8.一次晚餐中有座位若干排，每排座30人则有8人无座位，每排座31人则空26个座位，求座位有多少排？（只列方程）
1、什么是方程，什么是方程的解，什么是解方程？ 2、问题：你能说出下列哪个方程的解？
?1?x?5?22?2?0.23?0.13y?0.47y?1
第（2）题较复杂，说出它的解比较困难，为了求出其解，我们必须学习解一元一次方程的.
1、什么是等式：用等号“＝”表示相等关系的式子就是等式。
判断下列式子哪些是等式：3x+2=4, 7x+2y=7, 4x8, 2+3=5,
2、等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.
即：如果a?b，那么a?c?b?c（C可以表示什么？有什么限制？） 3、等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为０的数，结果仍相等。
即：如果a?b，那么ac?bc（C可以表示什么？有什么限制？）
如果a?b，那么ac?b
（C可以表示什么？有什么限制？）
理解等式的性质时注意：（1）等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算；（2）等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子；（3）等式两边不能都除以0，即0不能作除数或【例1】用等式的性质回答下列各题
（1） 从x=y能不能得到x+5=y+5呢？为什么？ （2）从a+2=b+2能不能得到a=b呢？为什么？
（3）从－3a=－3b能不能得到a=b呢？为什么？ （4）从x=y能不能得到x9?y
呢？为什么？
（5）从x=y能否得到xa?yxy
a呢？为什么？ （6）从x=y能否得到a2?1?a2
呢？为什么？
（1）如果12x?0.5，那么2?1
x?，根据；
(2)如果x-3=2，那么x-3+3=
； (3)如果
4x=-12y，那么x=
； (4)如果?0.2x?6，那么x?
【例3】在学习了等式的性质后，小红发现运用等式的性质可以使复杂的等式变得简洁，这使她异常兴奋，于是她随手写了一个等式:3ａ+ｂ-2＝7ａ+ｂ
-2，并开始运用等式性质对这个等式进行变形，其过程如下：
3ａ+ｂ＝7ａ+ｂ（等式两边同时加上2）
3ａ＝7ａ（等式两边同时减去ｂ）
3＝7（等式两边同时除以ａ）
变形到此，小红顿时就傻了：居然得出如此等式！于是小红开始检查自己的变形过程，但怎么也找不出错误来。
聪明的同学，你能让小红的愁眉在恍然大悟中舒展开来吗？ 【例4】判断下列说法是否成立，并说明理由
?1?、由a?b,得a?b?2?、由x?y,y?3,得x?355 ?3?、由?2?x,得x??2
1、等式：用等号“＝”表示相等关系的式子叫做等式。
2、等式的性质１：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
1、在等式2x-1=4，两边同时________得2x=5，根据
。 2、在等式-x=4的两边都______，得x=______，根据
。 3、下列各组方程中，解相同的是（
A.x-1=3与2x=3
B.x+5=3与2x+6=0
C.与2x-6=0
D.x+8=2x与2x=5 4、如果 ax = bx ,那么下列变形不一定成立的是(
A. ax +1=bx+1
B.5ax =5bx
C.2ax- 3 =2bx- 3
5、下列变形符合等式性质的是（
A、如果2x-3=7，那么2x=7-3
B、如果3x-2=1，那么3x=1-2
C、如果-2x=5，那么x=5+2
3x?1,那么x??3
6、依据等式性质进行变形，用得不正确的是（
A、如果x?y?5,那么x?5?y
B、如果x?y?5,那么x?y?5?0
C、如果x?y?5,那么
22D、如果x?y?5,那么x?y?5
7、用等式的性质解方程． （1）x-9=8
（3）5x+4=0
（4）5x-6=3x+2
1、叙述等式的性质1、2，并用式子表示出来。
2、解下列方程：(1)x?7?5?2?2x?5
思考：（1）每一步的依据分别是什么？
例：利用等式的性质解方程：?1?0.6?x?2.4?2??1
分析：先对第1题进行尝试①要把方程0.6?x?2.4转化为x?a的形式，必须去掉方程左边的0.6
，怎么去？②要把方程?x?1.8转化为x?a的形式，必须去掉前面的“－”，怎么去？
小结：（1）这个方程的解答中两次运用了等式的性质；（2）解方程的目标是把方程最终化为x?a的形式，在运用等式性质进行变形时，始终要朝着这个目标去转化。
【例1】服装厂用355米布做成人服装和儿童服装，成人服装每套平均用布3.5米，儿童服装每套平均用布1.5米，现已做了80套成人服装，用余下的布还可以做几套儿童服装？
【例2】用等式的性质解下列方程（）－112
x?2?4(2)2?3x?5
【例3】已知关于x的方程3a?x?x2
?3的解是4，求??a?2
1、用等式的性质解方程时要把好两关：
（1）由等式的性质1把方程两边化为ax?b的形式；
（2）由等式的性质2把方程ax?b继续化为x?
的形式，从而求出x.
2、求出的x的值，是不是方程的解，要代入方程进行检验.
1、下列方程变形正确的是（
A.由47x?5?2
x得4x?5?2x
B.由x?6?8得x?8?6?2
C.由2x?3?4x?6得2x?4x??6?3
x0.2?1?x得10x
?10?x 2、x增加2倍的值比x扩大5倍少3，列方程得（
A.2x?5x?3B.2x?5x?3C.3x?5x?3D.3x?5x?3
3、由方程4x?3?3x?4得x?7的变形是（
A、方程两边都除以4
B、方程两边都加上3
C、方程两边都加上?3x?3?
D、方程两边都减去?3x?3? 4、利用等式的性质解下列方程并检验：?1?0.5x?6?
5、已知方程2x?1?3和方程2x?a?0的解相同，求a的值.
6、油箱中共有油40升，若汽车每小时耗油3升，汽车连续行驶几小时后，油箱中的剩余油量为10升？
7、甲乙两辆卡车所运货物的吨数比是6：7，已知乙车比甲车多运1吨货物，求两辆卡车共运货物多少吨？
1、什么是方程？什么是方程的解？ 2、合并下列同类项
(3)y?5y?2y
问题1：某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的
倍．前年这个学校购买了多少台计算机？
分析：（1）设前年这个学校购买了计算机x台，则去年购买计算机_____台，今年购买计算机_____台；
（2）问题中的相等关系是：
. （3）你列出的方程是：
. （4）你是如何解这个方程的，第一步做什么？第二步做什么？
思考：合并同类项的作用是什么？
【例1】解下列方程
?2?7x?2.5x?3x?1.5x??15?4?6?3
【例2】在一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及草卷中, 记载着一些数学问题.其中一个翻
译过来就是“啊哈,它的全部,它的十八分之一， 其和等于19”.你能求出问题中的“它”吗？请你能根据题意列出方程并求其解.
【例3】某套书有上、中、下三册，印上册用了全部时间的40%，印中册用了全部时间的36%，印下册用了24天，印完全套书共用了多少天？
1. 你今天学习的解方程有哪些步骤?
合并同类项
系数化为1（等式的性质2） 2：如何列方程？分哪些步骤？ （3）根据等量关系列方程.
1、解下列方程
?1?5x?2x?9
x?0.x5? 1 0 (4)m6?1.m5?2.m?5
2、请欣赏一首诗： 太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼； 一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中；
剩下十五围着我，共有多少请算清。你能列出方程来解决这个问题吗？
3、洗衣厂今年计划生产洗衣机25500台,其中ⅰ型, ⅱ 型, ⅲ 型三种洗衣机的数量之比为1:2:14,这三种洗衣机计划各生产多少台?
1、观察以下数列，指出该数列的特征：
2，－4，6，－8，10，－12，,,,,
2、观察下面两列数：
① 2，－4，8，－16，32， ,,,,； ② －6，12，－24，48，－96，,,,,
这两列数的联系：
3、在日历上圈出一个竖列上相邻的3个数，它们的和是30，则这三个数是
4、小刚期中考试语文、数学、英语成绩分别为三个连续奇数，其和为189，则他的
，英语成绩为
1、有一列数按规律排列成：1，－3，9，－27，81，－243，,,,,，其中某三个相邻数的和是－1701，这三个数和是多少？
解题思路：从符号和绝对值两方面观察这列数有什么变化规律.
这列数的排列规律是：
. 如果三个相邻数中的第1个数记为x,则后面两个数分别是
2、将一列数按如图的方式排列成一个方阵，用一个小长方形框住其中的三个数，这三个数的和为111，则这三个数分别是多少？这三个数的和能不能是157，为什么？
【例1】观察下面的一列数，回答问题.5，－10，15，－20，25，－30，,,,,
（1）第20个数是多少？ （2）若某三个相邻的数的和是80，这三个数分别是多少？
【例2】现将连续自然数1 ～2012按如图方式排列成一个长方形阵列.用一个长方形框出4个数（如图所示），若这四个数的和是132，求这四个数分别是多少.
找规律的题目，都会涉及一个或几个变化的量，所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律.所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关系，而这一变量通常按照一定的顺序给出，.
1、三个连续奇数的和为33，则这三个数分别为
2、三个连续偶数的和比中间的一个数大12，这三个连续偶数 的和为
3、如图是某月份的日历，如图中那样，用一矩形在日历中任意
框出4个数，请用一个等式表示a,b,c,d之间的关系
4、某年的某月份中有5个星期三，它们的日期之和为80（把日期作为一个数，例如把22日看作22）那么这个月的3号是星期（
5、王会计在记账时发现现金少了153.9元，查账后得知是一笔支出款的小数点看错了一位，王会计查出这笔看错了的支出款实际是多少元.
6、小明在日历上圈出五个数，呈十字框形，它们的和是40，求中间的数是几号？ 7、有一些分别标有6，12，18，24， ,,的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片处的数大6，小彬拿了相邻三张卡片，且这些卡片上的数之和为342.问小彬拿到哪3张卡片？
8、按规律排列的一列数：2，－4，8，－16，32，－64，,,，其中某四个相邻数的和为－640，求这四个数中最大数与最小数的差？
问题 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本，如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少人？
分析: 设这个班有x名学生.
每人分3本，共分出___本，加上剩余的20本，这批书共____________本.
每人分4本，需要______本，减去缺的25本，这批书共____________本.
这批书的总数有几种表示法？它们之间的关系有什么关系？本题哪个相等关系可作为列方程的依据呢？
写出你列出的方程，你准备如何解这个方程？
3x?20?4x?25
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
解方程中“移项”起到了什么作用？
【例1】解下列方程：
【例2】某班开展为贫困山区捐书活动，捐的书比平均每人捐3本多21本，比平均每人捐4本少27本，求这个班有多少名学生？
【例3】运用移项的方法解下列方程
(1)6x?7?4x?5
?4?9?3y?y5? 5
1、解方程的步骤：
（1）移项（等式的性质1），（2）合并同类项，（3）系数化为1（等式性质2）. 1、运用移项的方法解下列方程：
?1?2?3.5x?4.5x?1
2?0.3x?0.8x?0.2
?4?10y?5?11y?y?2y
2、下面的移项对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正?
(1)从7+x=13,得到x=13+7
(2)从5x=4x+8,得到5x–4x=8
3.（2010·宿迁中考）已知５是关于ｘ的方程3x?2a?7的解，则a的值为________． 4、小明在解方程x–4=7时，是这样写解的过程的:
x–4=7=x=7+4=x=11
(1)小明这样写对不对？ (2)应该怎样写？ 5、（2010·淮安中考）小明根据方程5x+2=6x-8编写了一道应用题．请你把空缺的部分补充完整．
某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个；
．请问手工小组有几人?(设手工小组有x人) 6、父子二人绕操场逆向跑步，在第一圈中两人相遇时父亲跑了
圈多56米，儿子跑了半圈少14米，求此时父子各跑了多少米？
7、把一堆桃子分给一群猴子，每个猴子分3个，则剩余20个桃子；每个猴子分4个，则差25个桃子.问共有多少个桃子，多少只猴子？
解下列方程
x?4x?9?2??4x??2x?6
?3?5x?4?4x?3??4
1、某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t；如用新
工艺，则废水排量比环保限制的最大值少100t.新旧工艺的废水排量之比为2：5，两种工艺的废水排量各是多少？ 思考下列问题：
（1）如果设新工艺废水排量是x吨，则旧工艺废水排量是
（2）如果设旧工艺废水排量是x吨，则新工艺废水排量是
（3）由新旧工艺的废水排量比是2：5，我们能否设新、旧工艺的废水排量是2x吨和3x吨？
（4）比较上述几种设未知数的方法，你觉得哪种方法更简单？
（5）题目中的等量关系是根据什么来确定的？环保限制的最大量如何表示？
(1)(2)对于某个本地通话时间，会出现两种计费方式收费一样多吗？
【例1】 张师傅加工一批零件，第一天完成的个数与零件的总个数之比是2：5，如果再加工15个，就可以完成这批零件的一半，这批零件共有多少个？
【例2】 三角形三边之比为7：5：4，若中等长度的一边长的2倍比其他两边的和少3 ㎝ ，求三角形的周长？
【例3】 A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行.已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，求经过几小时两车相距50千米？
题目中含有比的应用题在设未知数时，一般根据比去设，如果题目告诉的比是a:b，一般设为ax和bx两部分，如果比是a:b:c，一般设为ax，bx，cx，然后找出题目中的等量关系列出方程，并解答.
1、有三个有理数a，b，c，满足a:b:c=1:2:3，若这三个数的和为24，则a为（
2、A厂库存钢材为100吨，每月用去15吨；B厂库存钢材82吨，每月用去9吨.若经过x个月后，两厂库存钢材相等，则（
3、某同学花了30元钱购买图书会员阅览证，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证入场券每张4元，要想使得购会员证比不购会员证合算，该同学去图书馆阅览应超过（
4、关于x的方程ax?1?2?a与5x?8?2的解相同，则a的值为
5、小明、小华、小丽三个小朋友用积木搭长城，三人用的积木数量之比为1：3：2，数了数，小华用的积木比小丽用的多11块，请你帮小朋友算算共有多少块积木？
6、根据下列条件列方程，并求出方程的解 （1）某数的三分之一比它本身小6，求这个数；
（2）一个数的2倍与3的和等于这个数与7的差，求这个数.
7、某中学组织七年级的同学去游玩，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位，如果租用同样数量的60座客车，则多出一辆且其余客车恰好座满，试问七年级有多少人？原计划租用45座客车多少辆？
8、一个两位数的个位数字与十位数字之和为4，如果将个位数字与十位数字对调，所得新数比原数大18，求原两位数是多少？
1、解方程：6x-7=4x-1
2、移项，合并同类项，系数化为1， 要注意什么？
3、我们在方程6x-7=4x-1后加上一个括号得 6x-7=4（x-1），你会解吗？
（x-1），你又会解吗？
某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000度，全年用电
15万度，这个工厂去年上半年每月平均用电多少度？
分析：找出本题中的等量关系
（1）下半年月平均用电量＝
（2）上半年用电量+下半年用电量＝
（3）若设上半年每月平均用电x度，则下半年每月平均用电
度，上半年共用电
度，下半年共用电
（4）因为全年共用了15万度电，所以,可列方程
（5）这个方程有什么特点，和以前我们学过的方程有什么不同？怎样使这个方程向x=a转化？
思考（1）本题中用含x的式子表示其它未知量时，用的哪个等量关系？列方程又用的哪个等量关系？ （2）你还有其它列方程的方程吗？用其他方法列出的方程怎样解？
【例1】 解下列方程
?1?2x??x?10??5x?2?x?1?
?2?3x?7?x?1??3?2?x?3?
【例2】 一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h.已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度？
分析：一般情况下可以认为这艘船往返的路程相等，由此填空：
1、去括号实际上就是利用乘法分配律和乘法法则来计算，注意：（1）括号外的因数应该和括号内的每项都相乘；（2）前面是负因数，括号内相应各项都要变号. 2、解方程实际上就是将一个复杂的方程，利用等式的性质和其他法则逐步转化，最后变成. 1、解下列方程 ?1?2?5x?10??3?2x?5??1?2?3?y?1??5?4y?1?
?3?5?x?8??5?6?2x?7??4?1?3?8?x???2?15?2x?
2、若代数式12－3(9－y)与代数式5(y－4)的值相等，求y的值.
3、已知关于x的方程3x+2a=2的解是a-1，求a的值.
4、某城市按以下规定收取每月的水费：用水量不超过6吨，按每吨1.2元收费；如果超过6吨，未超过部分仍按每吨1.2元收取，而超过部分则按每吨2元收费.如果某用户5月份水费平均每吨1.4元，那么该用户5月份应交水费多少吨？
1、一个数,
它的三分之二,它的一半,它的七分之一,它的全部,加起来总共是33.试问这个数是多少?
分析：（1）这个方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可使解方程中的计算更简便些.
（2）由于等式两边同乘一个数，结果仍相等，而这个方程中各分母的最小公倍数是42，因此，方程两边同乘42，化去分母.
3x?13x?22?2?2x?3
解下列方程
x?12x?2?1?2?4
解方程：2x?110x?3?16?2x?1
1、解下列方程:
x?14x2??25?2?x?1? ?2?x?6x?5x?4x?37?6?5?4
?3?5x?12x?1
y?4y?3y?20.3x?0.52x?1x0.17?0.2x3?y?5?3?2 ?5?0.2?3?6?
丢番图的墓志铭:
“坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,它忠实地记录了所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一.又过十二分之一,两颊长胡.再过七分之一,点燃结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子,可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半,便进入冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补,又过四年,他也走完了人生的旅途.”
1、若x?2是关于x的方程2x?m1x?m1
3的解，求4
??4m?8???m?1?的值.
解题思路：根据方程的解的意义，把2代入方程中，得关于m的方程，解这个方程得m的值，再
把m的值代入代数式中求值.
2、解方程：94
?y?1??53?y?3??12
1?2?1??3?1?1?4??5x?1????
1、x为何值时，代数式
x?1x?22x?3
3?x?1的值与代数式 4?
的值互为相反数.
2、 两缸共有水48升，甲缸给乙缸加水1倍后，乙缸又给甲缸加入甲缸剩余水的1倍，若这时两缸的水相等，则甲缸最初有水多少升？
解题思路：由于未知量很多，利用列表分析如下：请填写各空格
1、认真分析题意，把求值问题转化为解方程的问题；
2、掌握解方程中的整体思想、去括号的技巧、化小数分母为整数的方法；
1、若方程x?1a2?2x?15?12x?1与方程2x?6a?x2?a
?2x的解相同，求的
2、已知a?3??b?1?2
?0，代数式2b?a?m2的值比1
b?a?m多1，求m的值. 3、已知关于x的方程3??x?2??
?4x与方程3x?a1?5x
??12?8?1的解相同，求a的值. 4、如果a?3a?92a?1
互为相反数，求关于x的方程ax?3?a?x的解.
1、解下列方程：?1?
?10?0.5y??
4?1.5y?2??2?
2、 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
分析：（1） “1个螺钉配2个螺母”这句话是什么意思，包含着什么等量关系？
（2） 若设x名工人生产螺钉，那么
人生产螺母，生产螺钉的数量是
，生产的螺母的数量是
变式：某车间有38名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母.2个螺钉需要配3个
螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
整理一批图书，由一人做需40小时完成．现在计划由一部分人先做4小时，然后增加2
人与他们一起做8小时，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
例3 用如图1的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2竖式和横式的两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰好使库存的纸板用完？
为庆祝校运会开幕，七年级（1）班学生接受了制作校旗的任务．原计划一半同学参加制作，每天制作40面．而实际上，在完成了小旗总数的三分之二以后，全班同学一起参加，结果比原计划提前一天半完成任务．假设每人的制作效率相同，问共制作小旗多少面？
1、配套问题中隐含着一种比例关系，往往通过这种比例关系找出等量关系列出方程，因此要认真审题，把这种隐含的比例关系挖掘出来，如例3中，横式长方体中，正方形与长方形的比为2：3，竖式长方体中，正方形与长方形的比是1：4，要在读题时挖掘出来；
2、工程问题中，要弄清工作总量、工作时间与工作效率这三者的关系及变式应用；
工作总量＝工作效率?工作时间工作效率＝工作总量工作总量工作时间工作时间＝
工作效率各段时间内完成的工作量之和等于工作总量 1、现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，问有多少张铁皮做盒身，多少张铁皮做盒底可以正好制成一批完整的盒子?
2、 某水利工地派 48 人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？ 3、某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 4、一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在由甲单独做4小时，剩余的部分由甲、乙合作，需要几小时完成？ 5、抗洪抢险中修补一段大堤，甲队单独施工12天完成，乙队单独施工8天完成；现在由甲队先
工作2天，剩下的由两队合作完成，还需几天完成？
一件商品的标价为50元，现以八折销售，售价为
元，如果进价为25元，则它的利润为
元,利润率为_____.
1、 一块手表的成本价是x元，利润率是30﹪，则这块手表的利润是________元，售价应是_________元。
2、利润是72元，成本价是900元，则售价是（
）元.利润率是(
)。 标价是(
)元。利润为35元，则成本价是(
问题：某服装店在某一时间以每件60元的价格卖出两件服装，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 分析：（1）盈利、亏损指的是什么？
（2）这一问题中有哪些已知量？未知量？如何设未知数？相等关系是什么？
此可知卖这两件衣服总的盈亏情况是_________. 解：
1、某商人一次卖出两件衣服，一件赚15﹪，另一件赔15﹪，卖价都为1955元，在这次生意中商人 (
A、不赔不赚
C、赚100元
2、某商人一次以同样的价格卖出两件衣服，其中一件成本为1700元，另一件成本为2300元，卖价为多少元时，商人在这次生意中不赔不赚？
3、据市场调查，个体服装商店做生意，只要销售价高出进货价的20
%便可盈利； 假如你准备买一件标价为 200元的服装。
（1）个体服装商店若以高出进价的50 %要价，你应怎样还价？
（2）个体服装商店若以高出进价的100%要价，你应怎样还价？
（3）个体服装商店若以高出进价的50 %～ 100%要价，你在什么范围内还价？
本节课我们利用一元一次方程来解决商品销售中的一些实际问题。要解决商品销售的利润率问题类型的应用题，首先要弄清商品利润、商品进价、售价、标价、打折的意义，以及它们之间的关系。然后分析题目中的数量关系，找出相等关系，列方程，求出实际问题的解。 1、某商品的每件销售利润是72元，进价是120，则售价是__________元。 2、某商品利润率13﹪，进价为50元，则利润是
元。 3、某商品进价200元，加价80％后， 标价（
），后因清仓处理打八折销售，则售价为（
），仍可获利（
4、水果店购进苹果1000千克，运输途中碰坏了一些，没有碰坏的苹果卖完后，利润率为40%，碰坏的苹果只能降低出售，亏了60%，最后结算时发现总的利润为32%，问：碰坏多少千克苹果？5、某商店进了一批笔记本，按30%的利润定价，当售出这批笔记本的80%后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售。问销完后商店实际获得的利润率是多少？ 6、商店对某种商品作调价，按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，此商品的进价为1 600元。商品的原价是多少？
7、甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价.在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲乙两件服装的成本各是多少元？
8、某商品如果成本降低8%，而零售价不变，那么利润将由目前的m%增加到(m+10)%.求m的值.
增元法：在一个方程中可以含有两个未知数，但是一个未知数在解方程中可以约去，这种方法可使列出的方程更直观、更简捷.
分析：（1）通过观察积分表，你能选择 出其中哪一行最能说明负一场积几分吗?
（2）你能求出胜一场积几分吗？
（3）列式表示积分与胜、负场数之间的
解: 如果一个队胜m场，则负______场，
则胜场积分为_____, 负场积分为_________,
（4）有没有某队的胜场总积分能等于 负场总积分吗？
（5）如果删去积分榜最后一行，你还能解决这两个问题吗？如果能，请你解决.
设胜一场积x分，观察第一行，用含x的式子表示负一场积
分.再选哪 一行可以列出方程？为什么？并列出方程.
某校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分的记分制.某班与其他7个班各赛1场后，以不败战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛？
1、能读懂表格，从表格中找到各量之间的关系是解决这类问题的切入点。 2、利用方程不仅能求未知数值，而且可以进行推理判断。
3、用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。 1、为了迎接2014年世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球赛，其记分规则及奖励方案（每人）如下表：
当比赛进行到每队各比赛12场时，A队（11名队员）共积分20分，并且没有负一场. （1）试判断A队胜、平各几场；
（2）若每赛一场每名队员均得出场费500元，那么A队的某
一名队员所得奖金与出场费的和是多少元？
2、在学完“有理数的运算”后，实验中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行一次知识竞赛，竞赛规则是：每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分.
（1）如果（二）班代表队最后得分142分，那么（二）班代表队回答对了多少道题？
（2）（一）班代表队的最后得分能为145分吗？请说明理由.
3、为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司对每户月用水量进行分段计费，每户每月用水量在规定吨数以下的收费标准相同，规定吨数以上的超过部分收费标准相同.以下是小明家1至4月份用水量和交费情况：
根据表格中提供的信息，回答以下问题： （1）求出规定吨数和两种收费标准；（2）若小明家5月份用水20吨，则应缴多少元？（3）若小明家6月份缴水费29元，则6月份用水多少吨？
预习P104页电话计费问题
（1）从表格中的数据，你能把主叫时间分为几部分？
（2）你认为选择哪种计费方式更省钱呢？
（3）请你分别把主叫时间不同的话费情况用含t的代数式表示出来
（4）在两种收费方式下，会不会有这么一个时间，打同样多时间的电话，却收费相同呢？
（5）如果有这一时间，在哪段时间？如何根据收费相等列出方程？
（6）当t >350分时，两种计费方式哪种更合算呢？
（7）小结归纳：
某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下，甲、乙两家出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒10元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠，该班需买球拍6副，乒乓球若干盒（不小于6盒）. （1）当购买乒乓球多少盒时两种优惠办法付款一样？
（2）当购买20盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？
（3）当购买40盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？
（4）由以上三个问题的解决，请你制订一个完备的购买方案.
解决优化方案问题的一般步骤：
1、运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况；
2、用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，分别代入两种方案中计算，比较两种方案的优劣后下结论.
1、（P1062）用A4纸在某誊印社复印文件，复印页数不超过20时每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费0.09元. 在某图书馆复印同样的文件,不论复印多少页，每页收费0.1元. 如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？（复印的页数不为零）
2、某市移动通讯公司开设了两种通讯业务，收费情况如下表： （1）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费
用相同？ （2）若某人预计一个月内使用话费60元，则应该选择哪种通讯方式较合算？
3、新华中学七（1）班准备外出进行野外考察活动，需要租用一辆大客车一天，现有甲乙两辆客车的租用方案，甲车每天租金180元，另按实际行程每千米加收2元；乙车每天租金140元，另按实际行程每千米加收2.5元.
（1）当行程为多少千米时，两种方案的费用一样？
（2）若实际路程为100千米，为了节省费用，你认为租用哪辆车合算？
1、上数学课，老师给学生出了一道有趣的数学题，老师对学生说：我在你这个年龄的时候，你只有2岁，等你到了我现在年龄时，我就41岁了，请根据老师说的话，求出老师和学生两人的年龄.
分析：年龄问题中由于涉及的未知量较多，通常采用列表法把未知量都表示在表格中，再根据两人的年龄差不变得方程，再解方程解决问题.
2、幼儿园小朋友分玩具。如果每人分4件，则剩余12件；如果每人分5件，则还缺8件.这个班有多少个小朋友？有多少玩具？
分析：余缺问题中要抓住问题中的不变量，用含未知数的式子表示出来，因不同的式子表示的是同一量，所以相等，从而得出方程.
设有x名小朋友，则玩具可表示为：
；还可以表示为：
3、一个两位数，个位数字与十位数字之和是14，如果个位上的数字和十位上的数字位置对调，则所得两位数比原来两位数小18，求这个两位数.
分析：数字问题中关键是用代数式把这个数表示出来，由于涉及的量较多，故用表格分析较好.
4、某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在45天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 分析：配套问题中关键是找准配成一套中的比例关系，利用这个比例关系得等量关系，然后得方程.
5、有一些相同的房间需要粉刷墙面．一天3名一级技工粉刷8个房间，结果其中有50m2
来得及刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40m2
墙面．每名一
级技工比二级技工多粉刷10m2
墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积．
分析：工效问题中关键弄清：工作总量＝工作效率×工作时间×人数；各部分工作量总和等于1.
6、一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s时间。隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s。根据以上数据，你能否求出火车的长度？若能，火车的长度是多少？若不能，请说明理由。
分析：关键弄清从车头经过灯下到车尾经过灯下和车头进入隧道到车尾离开隧道火车所走的路程与火车的长度的关系.
1、甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁”，乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁了，算一算，甲乙现在各自几岁？
2、有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住；如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子，原有多少只鸽子和多少个鸽笼？（课本112页第7题）
3、用绳子量井深，把绳子三折来量，井外余绳4尺，把绳子4折来量，井外余绳1尺，求井深和绳长各几尺？
4、一个四位数，左边第一个数字是7，若把这个数字调到最后一位，得到的新四位数比原来四位数少864，求原来的四位数.
5、一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？
6、一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？
将上方程化为下面的形式后，便可用习惯的方法解了。
=1.6 知识点一、等式的基本性质
等式的性质1：等式的两边同时加（或减）
），结果仍相等。
即：如果a=b，那么a±c=b
等式的性质2：等式的两边同时乘
数，结果仍相等。
即：如果a=b，那么ac =bc；
如果a=b，那么
（c≠0） 1、若a+2b = x + 10，则2a + 2b = x + 10+
. 2、已知 x =
y，下列变形中不一定正确的是（
） A.x-5=y-5
B.- 3x= - 3y
3.判断对错,如果x=y,那么2x－
4.下列变形中，正确的是(
A、若ac=bc，那么a=b
，那么a=b C、若a2
，那么a=b。
D、若︱a︱=︱b︱，那么a=b 知识点二、方程：含
的等式叫做方程 。 1.判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”并说明原因。
(1)-2+5=3 (
(2) 3χ-1=7
(4) χ﹥ 3
(5)χ+y=8 (
(7) 2a +b (
（ ） 知识点三、一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
1.判断下列方程是否为一元一次方程？为什么？
?1?0?2?7x?6y?0?3?3x?0?4?x2?2x?1?0?5?
?6?2y?3?12?7?2x?3?2?x?2??x
2、已知方程?m?2?x
?5?9是关于x的一元一次方程，则m?知识点四、方程的解：使方程的等号左右两边相等的
，就是方程的解。 1、已知方程mx-4=2的解为x=-3，则m=____ 2、方程x?x?1??12的解是（
A.x??3B.x?4C.x??3,x?4D.都不正确
3.若关于x的方程(6－m)x2＋3xn
＝7是一元一次方程，则m＋n＝________．
4.下列说法正确的是
A.在等式2x+5=6 两边都加5,
可得2x=11;
B.在等式ab=ac 两边除以a ，可得b=
C.在等式a=b 两边都除以（c2
+1），可得ab
D.在等式2x=2a-b 两边除以2，可得 x=a-b 知识点五、解一元一次方程 1.小明同学解方程
，不小心在去分母时，1忘了乘以12而解得x??4，你知道的m值是多少吗？你能求出这个方程的正确解吗？
2、0.01?0.02x10.03??0.3x
3、解下列方程
2?x?3??5?1?x??3?x?1?
2x?1?10x?1?2x?1
x?33?64?4?0.3?2x?0.1
4、方程5b－3x＝12－14x的解是x＝1
，求关于y的方程by＋2＝b（1－2y）的解
1、某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍，如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的
.问原来每个仓库各有多少粮食？ 2、用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125mm2 ，内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（结果保留整数）
3、机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
4、三个正整数的比为1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？
5、一件工作，甲单独做20个小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做。剩下的部分需要几小时完成？
6、一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的2倍，如果把十位与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数.
7、有一个七位数若把首位5移到末位，则原数比新数的3倍还大8，求原数
8、某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。
9、从夏令营营地到学校要先下山再走一段平路,一学生骑车以每小时12千米的速度下山,再以每小时9千米的速度通过平路,到学校共用了55分钟,原路返回时,若通过平路的速度不变,但以每小时6千米的速度上山回到营地,要花1小时10分钟时间,求夏令营营地到学校的距离.
10、若明明以每小时4千米的速度上学，哥哥半小时后发现明明忘了作业，就骑车以每小时8千米追赶，问哥哥需要多长时间才可以送到作业？
11、甲、乙两地相距162公里，一列慢车从甲站开出，每小时走48公里，一列快车从乙站开出，每小时走60公里试问：
1）两列火车同时相向而行，多少时间可以相遇？
2）两车同时反向而行，几小时后两车相距270公里？
3）若两车相向而行，慢车先开出1小时，再用多少时间两车才能相遇？ 4）若两车相向而行，快车先开25分钟，快车开了几小时与慢车相遇? 5）两车同时同向而行（快车在后面），几小时后快车可以追上慢车？ 6）两车同时同向而行（慢车在后面），几小时后两车相距200公里？
12、一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？
13、某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折．
14、某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的7.5折出售时将亏损25元，而按九折出售就赚20元，这种商品的定价为多少元？
15、甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50﹪的利润定价，
乙服装按40﹪的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
16、某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？
17、孙子问爷爷多少岁，爷爷说我像你这么大时你才2岁，你长我这么大时，我就128岁了，求爷爷今年多少岁？
18、某工厂食堂第三季度一共节煤7400斤，其中八月份比七月份多节约20%，九月份比八月份多节约25%，问该厂食堂九月份节约煤多少公斤？ （间接设元） 19、根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题
（1）一个月内本地通话多少分钟时，两种通讯方式的费用相同？ （2）
若某人预计一个月内使用本地通话费90元，则应该选择哪种通讯方式较合算？
20、为了加强居民的节水意识合理利用水资源,某市采用价格调控手段达到节水的目的.该市自来
请根据上面的表格回答下列问题： ①若某户居民一月份用水8立方米,则应向其收水费多少元?
②若该用户二月份用水12.5立方米则应向其收水费多少元?
③若该用户三、四月份共用水15立方米(月份用水量不超过6立方米),共交水费44元,则该用户三、四月
份各用水多少立方米?
21、A、B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司的招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差别：A公司年薪1万元，每年加工龄工资200元，B公司半年年薪5000元，每半年加工龄工资50元，从经济角度考虑应该选择哪家公司？
22、商场计划投入一批紧俏商品，经过调查发现，如果月初销售，可获利15%，并可利用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；到月末出售可获利30%，但要付出仓储费700元。根据商场的资金状况，如何获利最多？
23、某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计了两种处理污水的方案． 方案一：工厂污水先净化处理后再排放，每处理1立方米污水所用的原料费为2元，并且每月排污设备损耗为30000元．
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：如果你是厂长，在不污染环境又节约资金的前提下，你会选用哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明．
问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1小时经过B地。A，B两地间的路程是多少？1、请你用算术方法解决这个问题？列算式试试。2、如何用方程的知识解决这个问题？…
问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1小时经过B地。A，B两地间的路程是多少？1、请你用算术方法解决这个问题？列算式试试。2、如何用方程的知识解决这个问题？…
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