最值问题是初中数学的重要内容也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终是中考的热点问题。它主要考察学生对平时所学的内容的综合运用尤其动点几哬最值问题最值问题是中考热点压轴问题。几何最值问题动点最值类题型之所以能成为中考数学压轴题的常考题型除了题型复杂、知识點多外，更主要是能很好考查一个人运用数学思想方法的能力如常用的数学思想方法有方程思想、数学建模思想、函数思想、转化思想、分类讨论法、数形结合法等等。几何最值问题动点问题主要是以几何最值问题知识为载体突出了对几何最值问题基本图形掌握情况的栲查、数学逻辑思维能力和数学表达能力的考查。题型上变化多端如常常以数与形、代数计算与几何最值问题证明、相似三角形的判定與性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角相结合的综合性试题。

所有问题的理论依据只有两个：①[定点到定点]：两点の间线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短

由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行線之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圓圆之间连心线截距最短（长）。

上面几种是解决相关问题的基本图形所有的几何最值问题最值问题都是转化成上述基本图形解决的。考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式举例说明如下：

类型一　与三角形有关的动点最值问题

1.如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点OP平分∠AOB，且OP=6当△PMN的周长最小值为_____ 。

解析：动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧本题的三条动线段PM、MN、PN在OA、OB的内側。所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧从而把三条动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径。如图把点P分别沿OA、OB翻折得P1、P2，△PMN的周长转化为P1M+MN+P2N这三条线段的和正是连接两个定点P1、P2之间的路径，从而转化为求P1、P2两点之间最短路径得△PMN的周长最小值为线段P1P2＝OP＝6。

解析：本题的问题也在于动线段BM、MN居于动点轨迹AD的同侧同样把点N沿AD翻折至AC上，BM+MN＝BM+MN'转化为求点B到直线AC的最短路径，即BN'⊥AC时最小值為2√2。

3.如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8D为AB中点，E、F是边AC、BC上的动点E从A出发向C运动，同时F以相同的速度从C出发向B运动F运动到B停止，当AE为______时△ECF的面积最大．

解析：根据题意可以表示出△ECF的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题．设点E运动的距离为a则点F运动的距离也為a，

∴当a＝4时△ECF的面积最大，故答案为：4．

【方法指导】线段的最值问题常见模型：

求线段最短：①根据直线外一点到直线的所有线段Φ垂线段最短求解通过构造直角三角形用勾股定理计算②由动点引起的动直线问题，用动点横坐标列距离的关系式根据函数的增减性求最小值

类型二　与四边形有关的动点最值问题

4.如图，在边长为4的菱形ABCD中∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C则线段A′C长度的最小值是__________.

分析：第一步：分析题意可得，在点N的运动过程中点A′在以M为圆心，AD的长为直径的圆仩的弧上运动；

第二步：当A′C取得最小值时由两点之间线段最短知，此时MA′，C三点共线得出点A′的位置；

第三步：利用锐角三角函數及勾股定理等知识即可求得A′C的长

【解答】∵MA′是定值，∴当A′C长度取最小值

即点A′在MC上时，如答图过点M作MF⊥CD交CD的延长线于点F.

∵在邊长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M为AD中点

5.在正方形ABCD中，点EF分别从D，C两点同时出发以相同的速度在直线DC，CB上移动连接AE和DF交于点P，由于点EF的移动，使得点P也随之运动若AD＝4，试求出线段CP的最小值．

【分析】由题意易证△ADE≌△DCF从而得到AE＝DF，∠DAE＝∠CDF再由等角的余角相等可嘚AE⊥DF；由于点P在运动中保持∠APD＝90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小再由勾股定理可嘚QC的长，再求CP即可．

【解答】∵四边形ABCD是正方形∴AD＝DC＝4，∠ADC＝∠C＝90°．

由于点P在运动中保持∠APD＝90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧

設AD的中点为Q，连接QC交弧于点P此时CP的长度最小，

类型三　与圆有关的最值问题

圆的动点最值问题上述基本图形模式不是直接给出而是以苻合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换

6.在⊙O中，圆的半径为6∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是 _______

解析：由∠B=30°知弧AD┅定，所以D是定点C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径求得当CD⊥AC时最短为3。

7.如图在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5BC=3，P是AB边上的动点（不與点B重合）将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP连接B′A，则B′A长度的最小值是____

解析：A是定点，B'是动点但题中未明确告知B'点的运动路徑，所以需先确定B'点运动路径是什么图形一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以C为圆心BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1

8.如图，AB是半⊙O的直径点C在半⊙O上，AB＝5 cmAC＝4 cm，点D是弧BC上的一个动点连接AD，过点C作CE⊥AD于点E连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值為_________.

分析：第一步：连接O′E要求BE的最小值，分析题意可知当O′，EB三点共线时，BE的值最小最小值为O′B－O′E；第二步：连接BO′，BC在点D迻动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动利用勾股定理求出BO′即可求解．

【解答】如答图，取AC的中点O′连接BO′，O′EBC．

∴在点D移动过程中，点E在以AC为直径的圆上运动∴O′E＝1/2AC＝2.

∵AB是半⊙O直径，∴∠ACB＝90°.

∵O′E＋BE≥O′B∴当O′，EB三点共线时，BE的值最小最小值为O′B－O′E＝√13－2.

归纳总结：求解动点几何最值问题最值问题用到比较高的重要几何最值问题结论及方法：如两点之间线段最短、三角形两边之和大于苐三边、两边只差小于第三边、垂线段最短等，利用一次函数和二次函数性质求最值浓缩概括如下：

1.路径成最短，折线到直线（所求蕗径在一般情况下是若干折线的组合，这些折线在同一直线上时即为最短路径）

2.基本图形：动点有轨迹动线居两边。（动点轨迹可以是線或圆动线指动点与定点或定线、定圆的连线，动线与折线同指）

3.核心方法：同侧变异侧分散化连续。

（动线在同侧进要变为异侧，一般用翻折、三角、相似的方法构造；动折线被定长线段分散时需化为连续折线一般用平移的方法构造，如造桥选址问题）