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高考数学冲刺指导：以实战心态对待模拟试题
日17:20 　
高考数学考场上很简单的题也会忘记该怎么解决？
王春辉：这是一个挺广泛的问题。许多孩子说就是算不对。甚至一些孩子说老师我看见2×3就是想得5。有的同学说，短期可以提高吗？我不知道，但是我想说的是，这是广泛的，大家存在的问题。是我记得前一段一个初中的孩子，家长带孩子我这儿来，他说我们家的孩子都懂，都会，一算就错，我拿孩子的卷子看了一下。我看解方程，这是不好解的。我看孩子打了好几叉。我说做错不丢人。为什么呢？
谁还没有犯错的时候，这着急可能出错。比如解方程，本来得2，可能得3/2。我说算错不丢人，我说把错的答案放在这儿丢人。算错都可能，但是最起码可以带回去瞧一下。我们要么不会做，要么做对了。不能做错了，一扔，这样不负责任。
我举一个例子。我说复数运算的离子，上面是一个分式，上面是根号2，减I的立方，下面是1减少根号2，算得什么？这是05年全国一卷第一个题，这个题有四个答案。
我不想太多说什么。第一把上面的I立方处理称负的立方，也有更高水平的人，可以看出来，低下乘以I就是上面的。这个题的正确答案是I。我想说这个意思。
我见过数学考140分的人，复数做错的多了。对与错是一方面，这个题算完了，就赶紧做下面一个题，这不应该。
应该把算得I，乘以分母看看得不得，要是不得的话，就错了。
错是难免的，这不是你可以注意到的问题。我只是说要好的考试习惯。
我再举一个例子，我念一下，2+2的4次方，加上2的7次方，加上2的10次方，最后加到2的3N+10方，求得多少？
我们孩子很清楚，这是一个等比数列求和。有四个选项。我不念了。你可以去做。算完了，这个等比数列求和，重要是你数清多少个。这是06年北京考的题，这个题当时考的情况。这个考完了以后，知道怎么样吗？
难度系数是0.57。0.57是什么意思呢？
100个人平均有57个人作对，43人错了。有18个人选择A，为什么呢？他求多项和都以为是A项。还有18人选择D，为什么呢？是数错个数了。选错了，没有关系。一个题也不可能是百分之百。我想于43个孩子说一些。
18个人A，18个人选D，有57人选正确的。你起码可以取一个值试一下。
你把0代进去试一下，就知道答案了。这样的孩子做错了，复查意识不够。
习惯是什么？
做选择题的时候，选择题应该选什么？我们考试有草稿纸，这个题不是做选择题的。选择题是单一纸，我们高考过的人都知道，选择题是单一的纸。与二卷分开的，二卷是进入人工的。一卷是收上去的，为什么把草稿打在选择题上，回来靠查。知道写哪。填空题写在选择题的背面。那个大白纸是做什么的？
对于水平好的学生，前三个题的不用的是用来做后三个题的。对一些弱一点的孩子，大白纸是做后面的题的。这是习惯，草稿的纸也是定好的。
还有什么习惯，作完要查。北京市有八个，外省有10个，12个。我不主张作完12个再查。我是主张查的。是选取不同的方法像刚才说的，是算出来的把N代进去。如果是复数乘法，可以乘回去看看结果。
下一个题有再大的诱惑也要忍住。我记得一个孩子作填空题，他最后一个小题的时候，草稿写对的。往试卷腾错了，他说你写对了，抄的时候，错了。他说我觉得没有问题了，眼睛看下面的大题了，经常有三角的题，我已经开始想思路了。这样的孩子是这儿没有做清楚，就想下面的。
与这样的孩子说，有好的习惯。考试当中那些东西是要坚持的，什么是习惯，习惯是不能轻易改的东西。在考试的时候，再紧张也要部分保持一些既有的节奏，不能由当时的心情打乱节奏，这样会坏了。
我要与孩子说，第一要及时的查，草稿写哪儿要清楚。查的方法要知道，比如排列组合，一些孩子说做几遍几个数。排列组合是不容易。容易错。不见得没有思路做。
你可以数。但是我想说，你做一遍可能是分几类算的。你查的时候，可以找到不同的方法。比如这个题是算出来的，可以划一个图。我主张用不同的方法查而且是及时的查。这个应该是习惯，而且在考试当中不应该转变。
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小学数学特级教师教学案例与评析集锦
上传: 陈振鹏 &&&&更新时间： 14:40:21
小学数学特级教师教学案例集&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&[案例1]《百分数的意义》教学
&&&&&&&讲台上放着三个透明杯子，里面分别放了10克、20克和50克的水。老师用汤勺向三个杯子里加糖，糖的数量依次为2克、3克和5克。
&&&&&&&师：怎么样才能知道哪个杯子里的糖水更甜些呢？
&&&&&&&（生说。）
&&&&&&&其中有一个学生：让我上来喝喝就知道了。
&&&&&&&教师A：你就知道喝。老师是让你用数学的方法去判断。哪位同学来说？
&&&&&&&教师B：很好！这种方法最简单易行了。除了用口尝外，我们还能用什么方法知道哪个杯子里的水更甜些呢？
&&&&&&&[案例2]《找规律》教学
&&&&&&&屏幕上出现一幅图画。商店门口挂了很多灯笼，红、黄、蓝三种颜色有规律地排列着。其中一部分被一辆停在商店门口的汽车给遮住了。
&&&&&&&师：你能知道被汽车挡住的灯笼，分别是什么颜色吗？
&&&&&&&（生说）
&&&&&&&其中有一个学生：只要把汽车开走就知道了。
&&&&&&&教师A：（没理睬这位学生）哪位同学再来说？
&&&&&&&教师B：对啊！只要把汽车开走，不就都清楚了吗？！在汽车还没开走之前，我们也能看出来吗？
&&&&&&&两个案例都注重了从学生的生活经验出发。但是在具体的处理过程中，A教师与B教师对生活经验的认识还是有差距的。A教师注重的还是知识的内在逻辑体系，而忽视了学生的情感状态以及经验状态。从学生的生活经验出发，首要的一条就是要尊重学生的生活经验。让我们牢牢记住前苏联教育家阿莫纳什维利的一句话吧：&儿童回答教师提问的精确性，主要取决于儿童自己的经验的逻辑性，而不在于事物本身的逻辑性。&
&&&&&&&[案例3]《除法的初步认识》
&&&&&&&A教学：
&&&&&&&师：把6个桃子平均放到3个盘子里，该怎样分呢？
&&&&&&&仔细观察课本上的插图，你能用小棒代替桃子，也试着这样分分吗？
&&&&&&&（生用小棒分）
&&&&&&&师：同学们看，把6个桃子平均放到三个盘子里，要一个一个地分。先拿3个桃子分别放到3个盘子里，然后再拿三个桃子&&
&&&&&&&B教学：
&&&&&&&师：这有6个桃子，要平均放到3个盘子里。你会放吗？
&&&&&&&用小棒代替桃子，试试看！
&&&&&&&（生用小棒放）
&&&&&&&师：谁来说说，你是怎样放的？
&&&&&&&生1：我是先拿2个放在一个盘子里，然后再拿2个放在第二个盘子里&&
&&&&&&&生2：我是拿起6个小棒，然后一个一个地放到盘子里去&&
&&&&&&&生3&&
&&&&&&&师：放的方法，我们可以多种多样，但是结果都应是怎样的呢？
&&&&&&&从生活经验出发，指的是学生自己的生活经验而非教师的生活经验，更不是教师的&教学经验&。要尊重学生的经验，让他们尽可能地把经验充分地表达出来，而不是一开始教师就规定好了&前进的路线&，让学生的经验与学习相隔离。
&&&&&&&二、激活
&&&&&&&[案例4]《比例尺》的教学
&&&&&&&A教学：
&&&&&&&师：同学们，什么是比例尺呢？请看这幅地图。这两个城市之间的距离，实际上是有500千米，而图上的距离却只有2厘米。&&
&&&&&&&B教学：
&&&&&&&师：同学们，观察一下咱们的课桌面是个什么样的形状。你能把它画在纸上而不走样吗？我们来个比赛，看谁画得又快又好，愿意吗？
&&&&&&&生：愿意。
&&&&&&&师：什么才叫不走样呢？
&&&&&&&生回答。
&&&&&&&师：怎样才能不走样呢？&&
&&&&&&&知识是有一个体系的，但它的表现形式却不一定要那么严肃和充满逻辑。尽可能地对教材进行一些加工处理，让学生的学习从熟悉的生活开始，可以使学习过程更加亲切些，更加具有挑战性些。
&&&&&&&[案例5]《圆的认识》教学
&&&&&&&A教学：
&&&&&&&师：请同学们拿出桌子上的圆形纸片，把它对折，再对折，再连续对折两次。然后打开。你发现了什么了吗？
&&&&&&&生：发现了很多折痕。
&&&&&&&生：这些折痕都经过一个点。
&&&&&&&师：用笔把这些折痕描出来。量量看，这些线段的长度都相等吗？
&&&&&&&生量后，回答：都相等。
&&&&&&&师：这些线段，我们称它为直径。直径有哪些特征呢？
&&&&&&&B教学：
&&&&&&&师：同学们都认识了圆。那你们能想办法画出一个圆吗？
&&&&&&&生画。有的用硬币、墨水瓶、钢笔套等作为工具画。也有的用圆规作工具画。
&&&&&&&师：好！一会儿工夫，大家就画出了一个个漂亮的圆形图案。你们是怎样画出来的呢？愿意交流一下吗？
&&&&&&&生交流。
&&&&&&&师：真不错。老师这里有这样两条线，用它也能画圆吗？
&&&&&&&（学生建议。）
&&&&&&&师：好！我就来试试看。（用一条皮筋线系上粉笔，在黑板上画圆，有意让皮筋一会儿长一会儿短）
&&&&&&&师：同学们，不行啊！这画出来的是圆吗？
&&&&&&&（生建议。长度要固定&&）
&&&&&&&师：那老师换一根线。这次再试试看。
&&&&&&&（有意拉拉，长度不变。再画，故意移动定点）
&&&&&&&师：同学们，还是不行啊！
&&&&&&&（生建议。）
&&&&&&&师：老师明白了，画一个圆时，至少要注意两点&&
&&&&&&&在此基础上，总结画圆的要领，并引出圆心、半径和直径。
&&&&&&&有效的学习总是在经验的基础上进行的。教学的过程，就是要成为不断地激活学生经验的过程。只有在具有一定的自主空间里，只有在不断地对话和刺激中，学生沉睡的经验才有可能被唤醒而处于积极状态，不断地同化、调整或重构。
&&&&&&&[案例6]《分与合》
&&&&&&&A教学：
&&&&&&&师：小朋友，7可以分成几和几呢？
&&&&&&&生：7可以分为2和5；
&&&&&&&生：7可以分为3和4；
&&&&&&&师：很好！跟老师读，7可以分为2和5&&
&&&&&&&B教学：
&&&&&&&师：小朋友，帮老师思考一个问题。地上放着两只盘子，里面放了些米。现在有7只小鸡去吃米，想象一下，小鸡吃米可能会有哪些种情况呢？
&&&&&&&你能在纸上画出来吗？
&&&&&&&生画。
&&&&&&&师：咱们交流一下。
&&&&&&&生1：一边4只，一边3只；
&&&&&&&生2：一边6只，一边1只；
&&&&&&&生3：一边7只，一边0只；
&&&&&&&师：小朋友们真聪明。现在这7只小鸡吃饱了肚子，要坐到这桌子边休息了（出现一张长方形的桌子）。你们猜猜，它们坐的情况可能是怎样的呢？
&&&&&&&数字是抽象的，但与实际生活联系起来，它就会变得活泼可爱起来了。给数字赋予生活的意义（最好是&拟人化&的），让孩子对数学的理解多一些形象上的依托，也许我们的数学会容易和有趣得多。
&&&&&&&三、提升
&&&&&&&[案例7]《角的初步认识》
&&&&&&&师：同学们已经初步认识了角。生活中哪些地方有角呢？
&&&&&&&生：黑板上；
&&&&&&&生：钟面上；
&&&&&&&生：还有墙角、桌角。
&&&&&&&A教师：那是角吗？请你再看看书上是怎么说的。搞清楚后，再回答。
&&&&&&&B教师：你看这位小朋友可真会联想。讲到角，就想到了我们的墙角和桌角。这可是我们日常生活中经常用到的词语啊！
&&&&&&&让我们来观察比较一下，这里的角和我们今天学习的角，有没有什么不同呢？
&&&&&&&生观察并说。
&&&&&&&师：是啊！它们两者有很多相似的地方，但也有很多的不同。我们看，从一个墙角上，可以看出几个和我们书上画的一样的角呢？
&&&&&&&生：三个。
&&&&&&&师：从一个桌角上看呢？
&&&&&&&生：也是三个。
&&&&&&&学生头脑中已经有着许多和&学校数学&内涵不同但名称相同的概念，有着很多被称为&日常数学&或&民俗数学&的知识。从学生的生活经验出发，就必须要研究这些知识，了解孩子们已有的实际认知结构，并努力地促进二者的相融，不断地提升学生的生活经验。
&&&&&&&[案例8]《加和减》的教学
&&&&&&&师：13-9等于多少呢？小朋友们算算看。
&&&&&&&生算。
&&&&&&&师：谁愿意来交流一下？
&&&&&&&生1：我一个一个地去减，最后剩下4个；
&&&&&&&生2：我先从10个里面减去9个，&&
&&&&&&&生3：我先减去3个&&
&&&&&&&生4：因为9+4=13，所以&&
&&&&&&&A教师：小朋友们真聪明。每个人都有自己的方法。好，就按照你们喜欢的方法，再计算下面的题目：15-9&17-9&
&&&&&&&B教师：小朋友们真聪明。每个人都有自己的方法。这些方法中，哪种方法算起来更简单些呢？谁来说说。
&&&&&&&生说。
&&&&&&&师：小朋友们都发表了各自不同的意见。这样吧，老师有个建议，下面这道题（15-9），你们试着用三种不同的方法去算，然后再看看自己最喜欢哪种方法，好吗？
&&&&&&&提倡算法多样化，在某种程度上就是要给每个孩子以更大的空间，将自己的算法个性化地表达出来。这种个性化的算法，与孩子的经验是紧密相联的。但教学如果仅仅停留在这一点上，是远远不够的。试想，一个孩子如果不去思考、比较和体验其他同学的算法，而只是满足于自己的最初经验之上，他的思维能得到发展、能力能得到提高吗？
&&&&&&&从经验出发的同时，还需思考怎样让经验得到提升，这是数学的本质所在。
小学数学教学优秀案例(一)
&&&&&&（一）平均数
&&&&&&吴：你们喜欢什么球类运动？
&&&&&&生1：我喜欢足球。
&&&&&&生2：篮球。
&&&&&&生3：乒乓球。
&&&&&&吴：由于受到场地的限制，我们只能在这里进行一次拍球比赛，你们看怎么样？
&&&&&&生：好。
&&&&&&吴：那我们以这里为界，一分为二，这边算一队，那边算一队。第一件事，先给自己的队起一个自己喜欢的名字，然后派一个代表把名字写在黑板上。第二件事，咱们得商量商量，这么多小朋友参加比赛怎么个比法，你们得出点招儿。听懂了吗？
&&&&&&&&&&（学生七嘴八舌商量开了，一分钟后，一个同学在黑板上写了&胜利队&。另一对也写了&吴正队&）
&&&&&&吴&:吴正是什么意思？
&&&&&&生：因为您的课讲得特别好，我们用您的名字，一定能赢。
&&&&&&吴：行行行。队名产生了，那咱们怎么比呢？
&&&&&&生：选出每个队最厉害的一位参加比赛。
&&&&&&吴：那你们选吧，再挑一个裁判，每队再请一个小朋友纪录。
&&&&&&&&&&&&&预备，开始！20秒后，吴老师喊停，然后统计：&吴正队&：30，&胜利队&：29。
&&&&&&&&&&&&下面我宣布，本次比赛胜利者为&吴正队&。&胜利队&服不服气？
&&&&&&&胜利队&：不服气！
&&&&&&吴：为什么？
&&&&&&生：就一个人能代表我们吗？应该每队再选几个。
&&&&&&吴：我建议每队再选三个人，好吗？
&&&&&&&&&&&（每队三人继续比赛，老师把每个人的拍球数写在黑板上。)
&&&&&&吴：下面用最快的速度算出&胜利队&和&吴正队&的总数各是多少，报数。
&&&&&&生;118,124.
&&&&&&吴：现在胜利者是&吴正队&，可以吗？
&&&&&&生：不可以。
&&&&&&&&&&（这时，吴老师走到胜利队同学面前。）
&&&&&&吴：别急，虽然现在咱们落后，但吴老师决定加入&胜利队&，欢迎吗？
&&&&&&胜利队：欢迎！
&&&&&&吴：现在把吴老师拍的22个加进来，算一算一共多少个？
&&&&&&生;140个。
&&&&&&吴;下面我宣布，今天的胜利者是&胜利队&。
&&&&&&生：不同意！
&&&&&&吴：为什么？
&&&&&&生;胜利队有5次拍球机会，我们只有4次，不公平。
&&&&&&吴;哦，在人数不等的情况下，我们还用总数这个统计量来比较，显然不公平，那么，在人数不等的情况下，我们能不能比出两个队总体的拍球水平呢？
&&&&&&&&&（学生开始思考，相互交流。）
&&&&&&&&&（终于有一个声音出现了：在人数不等的情况下，可以先求平均数。）
&&&&&&吴：怎样求平均数呀？
&&&&&&生;就是用拍球的总数，除以拍球的人数。
&&&&&&点评：排球是孩子喜欢的游戏，吴老师把游戏引进课堂的时候，在许多环节上都进行了改造：让学生自拟队名、自定比赛规则，是要培养学生的参与意识，是为了激发学生内在的学习动力；教师选择加入，是为了加深学生对平均数意义的体会，从而激发学生对平均数知识学习的需要。实际上，几乎每个环节都自然的指向对平均数的理解。一个原生态的生活情境，是难以有如此明显而丰富的教学意义的。
&&&&&&吴正宪小学数学优秀教学案例（二）
&&&&&&二&分&之&一
&&&&&&&&&&&
&&&&&&&把一个圆分成两份，每一份一定是它的1/2吗？&在学习1/2时，这个问题搅起了课堂的波澜。每个同学经过独立思考都纷纷发表了自己的意见，有的同意，有的不同意，无形之中就形成了两大阵营。正方、反方分别选出两名代表站在台前，一场唇枪舌战即将开始。
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&吴老师顺手递给一边一张圆纸片，宣布：&同意不同意都要提出问题，如果能问得对方心服口服，同意了你的观点，就是胜利者。这张纸可以折，可以撕。下面的同学两人一组，先讨论一下。&
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&讨论过后，同学们把目光集中到讲台前，吴老师对座位上的学生说：&我们请正方和反方的代表发表自己的意见，可以吗？我们静静的听，然后还可以发表自己的意见，看那位同学最会倾听别人的发言。&辩论开始。正方同学把圆从中间对折，问：&这一半不是1/2?既然你们都承认，为什么不给老师画勾？&大有先声夺人之势。
&&&&&&&&&&&&&反方同学把圆随意撕了一小块下来，问：&这圆是不是两部分？&
&&&&&&&&&&&&&正方：&是。&
&&&&&&&&&&&&&反方：&这两半都是圆的1/2吗？&
&&&&&&&&&&&&&正方：&不是。&
&&&&&&&&&&&&&反方：&既然不是，为什么你们还认定把一个圆分成两份，每一份都一定是1/2呢？&好一个咄咄逼人的反问。
&&&&&&&&&&&&&正方仍然不服气：&我们怎么就得到1/2呢？&
&&&&&&&&&&&&&坐着的同学开始按捺不住了，举手发言。一个说：&这个圆可以折成1/2，也可以不折成1/2。&真是一语中的。
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&另一个说：&如果一个圆平均分成两份，每份是1/2,但这里说分成两份，怎么分都行。&他在&分成两份&上特别加重了语气。理越辩越明，几个回合下来，大家就达成了共识：这句话错就错在&一定&上，如果一定是1/2的话，前面应该加上&平均&这个词。这是对分数本质意义的认识。
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&点评：数学是其他自然学科的皇后，良好的数学素养离不开周密、严谨的思维。当然，这种严谨的思维习惯，不是靠教师的严厉逼出来的，而是要让学生在切身的体验中、在解决问题的活动中慢慢养成。教师所能做的职能是引导。
&&&&&&吴正宪小学数学优秀教学案例（三）
&&&&&&小括号
&&&&&&刚刚认识了小挂号可以改变原有运算顺序的规则后，突然有一位同学提出：&我认为小括号没有什么了不起的，没有它的存在，照样可以解决实际问题。&一边说一边走到黑板前把&12&（4+3）&式子改写成了&12&4+12&3&，一脸不喜欢的样子：&反正我不喜欢小括号。&如果学生体会不到小括号的作用，这节课岂不白上了？吴老师思考着如何把这节课引向深处。突然，他看到了讲台上摆放的同学们为灾区捐的书，灵机一动，一个教学思路产生了。他不慌不忙地提出一个问题：&王红同学积极支援灾区，她有92本课外读物，自己留下32本后，把剩下的送给5个小朋友，平均每个小朋友得到几本？请列综合算术解答。&吴正宪特意请那位同学板演并讲解。过了一会儿，那位同学不好意思地说:&我在算式中画了一个小括号，表示先求92与32的差，最后再除以5。&吴正宪故意问：&这个小括号有什么了不起，不写它不是也可以解决问题吗？&&这个小括号非写不可，不然就得先算32&5这一步了，不符合题目要求。&
&&&&&&那位同学着急地说。一位同学抢过话头：&你现在是不是和大家一样也喜欢小括号了？&&小括号挺好的。&那位同学感慨地说。
&&&&&&&&&&&&&点评：看似枯燥的数学知识，不再是由教师灌输给学生，而是学生自己体
&&&&&&吴正宪小学数学优秀教学案例（四）
&&&&&&课上，学生四人一组围桌而坐。桌面上摆放着水杯、可乐瓶、圆形纸片、刻度尺、绳子和剪刀。吴老师说：&龙潭湖公园有一个圆形花坛，为了保护花草，准备沿花坛围一圈篱笆，需要多长的篱笆呢？你们能帮助解决这个问题吗？请用手中的工具，小组合作探索周长的计算方法。&话音一落，学生们就忙开了。他们兴致勃勃的设想着各种方法，全身心投入到问题的探索之中。
&&&&&&过了一会儿，小组代表开始发言。A组抢先说：&我们小组是把圆形纸片立起来放在刻度尺上滚动一圈，就测出了它的长度。&
&&&&&&吴老师肯定了他们积极动手、动脑参与学习，但同时提出：&如果有一个很大的圆形水池，要求它的周长，能用你们小组的方法把水池立起来在刻度尺上滚动一圈吗？&
&&&&&&&是啊，行吗？&A组的同学陷入了沉思。
&&&&&&接着，B组代表有几分得意地向大家推荐自己小组的做法：&我们研究了一个好方法，先用绳子在水池周围绕一圈，再量一量绳子的长度，不就是水池的长度了吗？&
&&&&&&&好！好！这的确是个不错的方法。&吴老师称赞道。这话在B组同学的脸上洒下了一片灿烂。
&&&&&&停顿片刻，吴老师拿出了一端系有小球的线绳，在空中旋转了一圈，又旋转了一圈，问：&小球走过的地方形成了一个圆，要想求这个圆的周长，还能用你们的方法吗？&同学们摇摇头，再次陷入沉思。
&&&&&&&我们又发现了一种求圆周长的方法。&一个兴奋的声音从教室里掠过，C组的同学发言了：&将这张圆形的纸对折三次，这样圆形的周长就被平均分成8段，我们测量出每条线断的长度是2厘米，8段是16厘米，也就是圆的周长。&
&&&&&&很有创意，吴老师竖起大拇指，&你们用折纸的方法求出这个圆的周长，很了不起。但是用滚动的方法、绳绕的方法、折纸的方法只能求出某些圆的周长，都有局限性。我们能不能找到一条球圆周长的普遍规律呢？
&&&&&&学生的思维又活跃起来，把对圆周长的探索推向了一个新的高潮。
&&&&&&经过一番思考，学生们提出了这样一个问题：&是什么决定了圆周长的长短？圆的周长到底与什么有关系？&观察、操作、实验，同学们终于发现圆的周长是它的直径的三倍多一些。规律找到了，同学们沉浸在成功的喜悦之中┄┄
&&&&&&点评：吴老师善于创造绚丽的思维波澜景观，她总是恰到好处地打破学生的思维平衡，使学生原有的认识、经验受到挑战，形成适当的失衡，从而促使学生去探索、去创造，以寻找新的答案。如此循环往复，就使得学生的思维一步步深化，一步步逼近真理，一次比一次飞溅起更高的浪花。
&&&&&&吴正宪小学数学优秀教学案例（五）
&&&&&&在&分数的初步认识&这一课上，吴老师请部分同学到黑板上用画图的方式表示自己心目中的一半。学生按照自己的想象，划出了不同的1/2图。
&&&&&&&同学们，你们知道有一种非常科学简单的表示方法吗？&在学生们七嘴八舌的猜测中，她自然而然的引出了1/2的概念，然后问：&那你们看1/2能不能代表你们画的这些图的意思呢？&&如果你认为它可以，就把你画的图擦掉，如果你认为1/2没有你画的图漂亮或不能代表，可以不擦掉。&多数同学都擦了，只有几位同学没有擦。没关系，吴老师等待着，让他们慢慢去体会。
&&&&&&在临下课前，吴老师安排了一个环节，请两个同学到黑板前用画图的方法来表示5/100。画着画着，一个男孩对老师说;&画不了了，太麻烦了。&吴老师问：&那你说是画图好还是分数好？&&分数好。&看来他是真的体会到分数的价值了。另一位女同学还在埋头画她的5/100，吴老师又在分母上加了一个&0&，变成了5/1000。微笑着对同学们说：&她愿意画就画吧。&5/1000该怎么用画图表示呢？就让女孩继续想吧，最终她会感悟到用分数表示这个关系是又准确又简单的。
&&&&&&点评：这种等待在课堂上是经常需要的。这是一份源自博爱的宽容。宽容让学生敢于展示真实的自我，勇于正视自己的不足，宽容让学生的智慧充分涌流。
&&&&&&一个教师之所以博大，就在于它告别了强迫学生认同的习惯，学会了等待，学会了宽容。
[案例4]《多一些、少一些》教学
&&&&&&&教师出示选择题：
&&&&&&&苹果有60个，梨的个数比苹果少得多，梨有多少只？
&&&&&&&a&28&b&48&c&50
&&&&&&&师：应该怎样选择呢？
&&&&&&&生1：28只。
&&&&&师：还有不同意见吗？
&&&&&&&生2：48只。
&&&&&&&A教师：48只对吗？
&&&&&&&生3：不对，应该是28只。因为&&
&&&&&&&B教师：你选48只，能说说你的想法吗？
&&&&&&&教师的作用不是评判，而是激励；教师需要的是倾听，而非主观臆断。学生在学习中应该有犯错误的空间，更应该有表达自己的权利。即使我们认为学生的答案是绝对错误的时候，多问一句&你是怎样想的&，又费多大力气呢？简单的一句问话，也许会给我们带来许多意料不到的惊喜。
&&&&&&&三、&是填空，还是选择？
&&&&&&&[案例5]《分数的意义》教学
&&&&&&&A教学：
&&&&&&&师：请同学们拿出有关材料，我们在操作中学习分数的知识。
&&&&&&&把一张纸平均分成2份，表示出它的12&。
&&&&&&&生：&&
&&&&&&&师：把这条彩带折成8等份，表示出它的38&
&&&&&&&生：&&
&&&&&&&师：拿出这捆小棒（6根）的23&
&&&&&&&生：&&
&&&&&&&B教学：
&&&&&&&师：同学们，老师要求大家带一些小物品到教室来，你们都带来了吗？都有些什么呢？
&&&&&&&生：我带了纸张、小棒&&
&&&&&&&生：我带了橡皮泥、小圆片&&
&&&&&&&师：真好。大家带来了这么多物品，你们能分别拿出每样物品的23&来吗？
&&&&&&&生：&&
&&&&&&&师：你们能自己先想一个分数，然后再用每样物品的一部分表示出这个分数吗？
&&&&&&&生：&&
&&&&&&&[案例6]《三角形面积》练习
&&&&&&&A练习：三角形的底是3厘米，高是4厘米，它的面积是多少？
&&&&&&&B练习：画一个面积为6的三角形。你能画出几种？
&&&&&&&固定的材料，固定的方法，固定的结果，何以构建个性化的学习？把空间增大，让教学开放，需要我们关注每个教学细节。只有当学生真正地有了&自决权&的时候，个性学习才会有可能。
&&&&&&&[案例7]家庭作业的布置
&&&&&&&A教师：今晚回家，做练习&的第&到第&题。
&&&&&&&B教师：同学们可以继续选定自己的家庭作业。可以做今天学的内容，也可以做明天将要学的内容。可以写数学日记，也可以作预习笔记&&
&&&&&&&大量的统一的家庭作业，对于很多基础好的同学来说，其实是一种精力浪费，他们完全可以把精力花在更有价值的学习上。而对于基础较差的同学，又是一项沉重的负担。为何不让他们各得其所呢？相信他们，给他们自己以选择的机会和责任，对于孩子个性与主动性的培养，对于孩子良好学习习惯的养成，都会有很大的益处。
&&&&&&&12、怎样评价学生的数学学习
&&&&&&&夏青峰
&&&&&&&评价的方式，在很大程度上影响甚至决定了学习的方式。作为一线教师，我们不能总是在等待着高考、中考的变革，而应该从自我做起，在自己力所能及的范围之内改革评价，让孩子能真正地享受数学的学习。
&&&&&&&一、是甄别，还是激励？
&&&&&&&[案例1]《应用题》教学
&&&&&&&师：这道题该怎样解答呢？谁愿意把你的解题过程写到黑板上来？
&&&&&&&（一学生上台在黑板上书写，其他方面都写对了，唯有在写单位时忘记了加括号）
&&&&&&&A教师：同学们，他的解法对吗？
&&&&&&&生：对。
&&&&&&&师：对？仔细看看，他丢掉了什么？
&&&&&&&生：丢掉了括号。
&&&&&&&师：是啊，还是太粗心了。（随手在黑板上画了个&&&）
&&&&&&&B教师：&&同学，你能向同学们解释一下你的解题过程吗？
&&&&&&&生说。
&&&&&&&师：同学们，你们赞同他的解法吗？
&&&&&&&生：&&
&&&&&&&师：真好，&&同学的解法很有道理。我们再完整地看一下他的书写过程，按照规定，这里写单位时好象应该&&？
&&&&&&&生：加上括号。
&&&&&&&师：&&同学，你愿意上来补写一下吗？
&&&&&&&生上台在黑板上添上括号。
&&&&&&&师：真好！（随手在黑板上写了个&优&）
&&&&&&&严格不等于挑剔，求全责备的教学只会换来孩子们对学习的自卑。《美国数学课程标准》把&对自己的数学学习有信心&作为数学教育的第二大目标，能给我们一些启迪吗？评价不是甄别，评价最应该发挥的功能就是激励。
&&&&&&&[案例2]《计算题》教学
&&&&&&&师：这些计算题，同学们会算吗？作在草稿本上，看谁又对又快。
&&&&&&&生计算。
&&&&&&&A教师：好，老师报一下答案。大家自我批改一下。
&&&&&&&师报答案，生批改。
&&&&&&&师：好，作错了的同学请举手。
&&&&&&&几个学生缓缓地举起手来。
&&&&&&&师：&&同学，说说你错在什么地方？为什么错了？
&&&&&&&该生很不情愿地站起来，低着头小声地说道：我把运算顺序弄错了。
&&&&&&&师：知道了，下次改正。
&&&&&&&师：（眼睛又看向另外一位同学）你呢？说说你又为什么错了？
&&&&&&&B教师：哪位同学愿意交流一下自己的答案？
&&&&&&&一生报答案，其他同学判断对与错。
&&&&&&&师：全部作对的同学请举手。
&&&&&&&很多学生很快地举起手来。
&&&&&&&师：大家都很不错。如果自己哪道题作错了，现在把它订正过来，并在傍边写出错误的原因，待会老师再单独与你们交流，好吗？
&&&&&&&诸如A教师所采用的&暴光式&等评价方法，在目前的课堂中仍是大量存在，甚至还被称赞为&当堂问题当堂解决&的好方法。如果我们的教师与学生进行一下换位，其中的滋味又当如何呢？
&&&&&&&[案例3]《思考题》教学
&&&&&&&A教师：昨天的&每日一题&&，很多同学都积极地开动脑筋，想出了很多办法。其中&&同学的解法最好，他真是我们班最聪明的同学！
&&&&&&&B教师：昨天的&每日一题&&，很多同学都积极地开动脑筋，想出了很多办法。其中&&同学的解法很独特，他真是越来越聪明了。
&&&&&&&表扬一位同学，不能以打消其他所有同学的自信心为代价。激励，更多地要关注纵向发展而非横向比较。
&&&&&&&二、是知识，还是能力？
&&&&&&&[案例4]《统计知识》考试题
&&&&&&&A练习:
&&&&&&&观察下列统计图（关于降水量的条形统计图，图略）
&&&&&&&1、&该地区5月份的平均降水量是多少？
&&&&&&&2、&该地区6月份的平均降水量是多少？
&&&&&&&3、&该地区5月份的平均降水量相当于6月份的百分之几？
&&&&&&&&&&
&&&&&&&B练习：&
&&&&&&&上面是一个画好的统计图，请观察这个图，回答以下的问题⑴：
&&&&&&&1、&你认为这个图可能用来表示什么？
&&&&&&&2、&按你的想法给这个图起名。
&&&&&&&3、&写下根据这个统计图你所想到的任何事情。
&&&&&&&评价学生对书本知识的理解是重要的，但评价学生的数学创造力和想象力更为重要。从知识考试扩展到能力考试，是数学教育应当探索的重点课题。
&&&&&&&[案例5]《长方体表面积》的考试题
&&&&&&&A习题：
&&&&&&&一个教室长8米，宽6米，高3.5米，用石灰粉刷四周墙壁，扣除门窗面积20平方米。问粉刷部分面积是多少平方米？
&&&&&&&B习题⑵：
&&&&&&&你班的教室墙壁需要粉刷，要求用两种涂料粉刷两层。为了准备与一个公司谈合同，你需要事先做一些准备。请计算出粉刷教室所要花费的资金。
&&&&&&&完成这样的问题，你需要计算涂料的桶数和所需要的费用。为此至少需要做下面的事：
&&&&&&&1、&测量并计算出教室墙壁的面积；
&&&&&&&2、&计算出一桶涂料能粉刷多大的面积；
&&&&&&&3、&计算出涂两层涂料所需要的桶数。
&&&&&&&打破纸笔测验一统天下的局面，适当地安排一些开卷考试题，让学生在开放的实践活动中，综合运用各种知识解决具体的情景问题，对于学生数学学习也许会更有引导与促进作用。
&&&&&&&[案例6]&有关考试题的比较
&&&&&&&这里有几道题，A类型和B类型，究竟哪一种对孩子数学思维的发展，才更为有利呢？
&&&&&&&1、A、下面哪些数是质数？哪些数是合数？81、2、53、111、&&
&&&&&&&B、小明说，91与93都是质数，因为它们的个位上的数都是奇数。你认为呢？能说出理由吗？
&&&&&&&2、A、三角形的底是3厘米，高是4厘米，它的面积是多少？
&&&&&&&B、画一个面积为6平方厘米的三角形。你能画出几种？
&&&&&&&3、A、把一个长240厘米、宽100厘米的长方形分解为10个长为60厘米的小长方形。小长方形的宽为多少？
&&&&&&&B、把一个长240厘米、宽100厘米的长方形分解为10个长为60厘米的小长方形。试着把它画出来。
&&&&&&&4、A、把化成分数、小数。
&&&&&&&B、（图：把一个长方形，按长边10等份、宽边4等份分成若干个小长方形，上面画出一些阴影部分）你能分别用分数、小数和百分数解释上面的阴影部分吗？
&&&&&&&5、A、&=&&=&&&
&&&&&&&B、你能把&在方格中表示出来吗？
&&&&&&&发挥评价的引导功能，让学生的学习淡化记忆与演练，而强化一种有联系、有现实意义、有挑战性的活动，学生的数学素养将会日益提高。
&&&&&&&三、是结果，还是过程
&&&&&&&[案例7]《分数乘法》单元教学
&&&&&&&A教学：
&&&&&&&按照教学进度，一课一课地教下去，每课有作业。整个单元教完以后，进行单元测试，记下每位同学的单元考试成绩。
&&&&&&&B教学：
&&&&&&&也是按照教学进度，一课一课地教下去，每课有作业。但是在单元学习之前，向学生宣布：每位同学都可以不按照老师的教学进度，自学该单元知识。如果自我感觉对该单元知识已经掌握，随时都可以向老师申请单元考试。考试包括三项内容：
&&&&&&&1、&当老师。向全班同学讲解今天（按常规进度）所学习的内容，要求同学们都能听明白，并能回答老师与同学的提问。
&&&&&&&2、&出试卷。出一份该单元的测试题，要求能全面考察该单元的知识点。老师给予定性评价。
&&&&&&&3、&做考题。一份闭卷，老师从学生出的试卷里或题库里抽取。一份开卷，考察综合运用该单元知识解决实际问题的能力。
&&&&&&&三项考察都获通过的同学，可以不做老师布置的常规作业，上课可以看课外书籍或自学下一单元知识。
&&&&&&&同时，老师准备的试卷至少分A、B、C三种，每种的难度系数不一样。针对不同思维水平的同学，老师有意识地抽取相应的试卷让其考。不同的学生在对单元知识掌握的程度上可以不一样。
&&&&&&&学生的学习有&时间差&与&路径差&，我们不能以同样的试卷、同样的进度来评价不同的人。让评价适应学生并促进学生，而非学生适应统一的评价。
&&&&&&&[案例8]《素质报告单》
&&&&&&&A教师：在素质报告单的数学栏目里，写上该同学的分数。分数的依据是期末考试成绩。
&&&&&&&B教师：同样也在素质报告单的数学栏目里，写上该同学的分数。分数的依据是单元考试的平均成绩、期中考试成绩和期末考试成绩按照一定比例的折合。
&&&&&&&C教师：在一张特制的素质报告单的数学栏目里，写的不是分数，而是一段评语。素质报告单放在学生的《成长档案袋》里。学生的《成长档案袋》里，一般还含有以下材料：
&&&&&&&1、&学生的单元测试卷和期中、期末试卷。
&&&&&&&2、&学生的1&2本作业本。
&&&&&&&3、&学生自己做的兴趣作业。
&&&&&&&4、&学生的实践活动作业报告。
&&&&&&&5、&学生自己出的试卷。
&&&&&&&6、&学生的数学日记。
&&&&&&&7、&本学期数学学习总结。
&&&&&&&学生的数学学习状况，仅仅通过一个分数去描述，是很不全面的。探索表现性的评价方式，淡化结果，关注过程，&是学生数学学习成效评价的一个重要选择。
怎样让学生经历数学的过程
数学新课标，无论是在前言部分，还是在目标部分，都多次提到了让学生&经历&&的过程&。如何理解该理念，落实此要求？本人愿结合一些实例谈点体会，并求教于同行。
一、学生有需要吗？
[案例1]《简单的统计》教学.
其间都有让学生走下座位采访听课老师的环节，但两位老师的处理方式不一样。
A教师说：&同学们，我们刚才已对全班同学进行了荤菜口味的统计，大部分同学都喜欢吃炸鸡腿。可是同时吃饭的还有我们的老师呀，成人的口味是不是和我们儿童的口味一样呢？大家说怎么办？（学生马上建议去采访老师）
B教师说：&同学们，我们刚才进行了一些统计活动，现在你们看，台下有很多老师，你们敢去采访他们，对他们进行一些统计吗？小组商量一下，我们可以去统计什么？&
同样是下台采访老师，一个是由于解决问题的需要而去采访和统计，一个是为了统计而去统计，哪一个效果更好呢？还是让学生的学习活动从需要开始吧！
[案例2]《平行四边形面积》的教学。
教师先进行了一些割补的渗透。尔后出示一平行四边形，引导学生求面积，求到面积后，也有两种不同的学习过程。
A教学：（平行四边形纸片，给出了底和高的数据。）
师：谁来说说你是怎么求的？
生：我把平行四边形象这样剪开。（拿着一平行四边形纸片，并演示）拼过来就是长方形了，这个长方形面积就是它的面积。
师：小组讨论一下，平行四边形的底与高和长方形的长与宽有什么关系？面积呢？
生：（讨论、汇报略）
师：所以平行四边形的面积就等于？
生：底乘以高。
B教学：（平行四边形纸片，没有给出数据）
师：谁说说你是怎样求的？
生：（汇报同A过程，加了一些进行测量的话，略）
师：好！你们都会求了！那再试试桌子上的第二块平行四边形纸片，它的面积是多少呢？看谁最快。
（生继续剪拼、测量）
师：谁再说说面积是多少？你是怎样做的？
生：（汇报略）。
师：咱们再比赛，看谁最快地求出第三块平行四边形纸片的面积。
（生继续剪拼、测量，有个别同学开始不剪，直接测量了。）
师：这位同学最快，你能说说你为什么会这么快？
（生回答，意思是不要剪，直接想象出长方形。略）
师：你在脑海中完成了拼剪的动作。好！再来一次，求出第四块的面积，看谁最快。
（大部分学生不再去剪拼，而是直接测量了。）
师：好！大家都快起来了！你们是怎样做的？
（生汇报略）
师：那也就是，只要测量出这个平行四边形的什么，就可以求出它的面积？
生：底和高。
师：为什么呢？
同样是推导平行四边形的面积公式，一个是在教师的引导下，通过观察得出的，另一个是在情急的状态下，急中生智，由学生自己想出来的，由于需要而主动地进行了比较，发现了规律。引导学生经历数学过程，就要多一些这些&迫切需要&的情景！
二、学生在体验吗？
[案例3]《长方体的认识》教学
A教学：（先认识生活中的长方体）
师：拿出你的长方体，观察一下它有几个面？面又有什么特征呢？
（生观察，并汇报）
师：再看看，它的棱又有何特征呢？
（生继续观察汇报）
师：长方体还有几个顶点？
师：谁来完整地说说长方体的特征？
B教学：（先认识生活中的长方体）
师：好！同学们都认识了长方体，那你能用橡皮泥做出一个长方体吗？
（生动手做，并展示、汇报和交流）
师：大家的长方体作品真漂亮。（出示一长方体框架）这是一长方体框架，你们有本事，也能把它给做出来吗？
（生动手做，并展示、交流。）
师：老师想请教一下，你们刚才用了几根小棒，用这些小棒有什么特别的要求吗？另外用橡皮泥捏了几个点呢？
（生汇报交流，师板书棱的有关特征。）
师：冬天到了，你能象老师这样，给框架穿上衣服吗？（出示一个用纸做面，包好了的长方体）想想看，应用剪刀剪出怎样的纸片？
（生操作、汇报、交流）
师：刚才剪出的纸片又有什么特点呢？
通过观察去认识与通过体验去认识，认识的深度是不一样的，参与的情感也是不一样的，留下的印象更是不一样的。
[案例4]《年月日》的教学
师：同学们，拿出你的年历卡。数一数看，一年有几个月？一个月又有多少天呢？哪几个月是31天？哪几个月又是30天呢？
师：同学们，你知道一年有几月，一月有几天吗？
（生汇报略）
师：真好！继北京申办奥运成功后，上海申办世博会又取得成功，全中国人都在期盼着2008年和2010年的到来，你能把2008年或2010年的年历卡提前设计出来吗？想想看，应注意些什么？
（老师提供出2008年和2010年的元月1日是星期几的数据。）
学生头脑中已有很多关于年、月、日的知识，如其让他们再对着年历去观察、去发现，还不如让他们先把已有的知识运用起来，在创造性的设计活动中去感悟、去体验很多新的知识点。
三、能再创造吗？
[案例5]《分数的意义》教学练习
1、是表示把（&&&）平均分成（&&&）份，表示这样（&&&）的数。
2、判断：把一个苹果分成8份，其中的3份，占苹果的&&&&。
3、下面阴影部分的面积是整个图形的&&&吗？（图略）
阴影部分是&&&吗？说明理由！
你能在下面的图形中表示出更多的&&&吗？
理解，是重要的。能够将知识创造性地运用，能够让知识不断地生成和发展，是一种更深层次的理解。
[案例6]《三角形的面积》教学练习
1、求下面各三角形的面积（单位：厘米）
2、下列三角形的面积是多少？（各个不同的三角形，给出底和高。图略）
1、你能画几个面积为8平方厘米的三角形吗？试试看？
2、你能设计出几个面积为8平方厘米的平面图形吗？试试看？
代入数据的运用，与创造设计的运用，哪一个对学生的思维发展更有帮助呢？
[案例7]《圆柱体》教学总结
师：今天我们学了什么知识？哪位同学能把今天所学的知识完整地总结一下？
（生总结略）
师：今天这节课，大家表现得真棒。可惜今天张强同学生病缺席了，你们愿意通过电话把今天所学的内容告诉他吗？
生：愿意！
师：那想一想，怎样讲，才能让张强同学脑海中一下就能浮现出圆柱体的形象呢？还有哪些注意点要转告他呢？
知识不能简单地复制到脑中，要把书本知识转化为自己的知识并能创造性地表达出来，教师需要不断地提供机会。
2、《11到20各数的认识》片段：
一：创设情境，导入新知：
[电脑：机器猫]
师：小朋友，你们看，谁来了？
猫：小朋友，你们好，我叫小叮当，今天我想跟你们一快儿学习，你们愿意吗？
猫：太好了，我在学校里也是一个好孩子，已经得到很多小红花了，不信你们数数。
师：小朋友，我们一起来数一数小叮当得到了多少朵小红花，好吗？举起右手，一边打手势一边数。[数到10]
[电脑演示10朵花，第11朵打问号]
师：再往下数就要用到比10更大的数了，今天，我们就来学习比10更大的数，[课题：11&20各数的认识]然后再帮小叮当把小红花数完。
二、实践操作，初步认识11&20各数。
1、建立计数单位&十&的概念。
师：老师为你们每人准备了一些小棒，就在小盆里，数一数你有几根小棒，在桌上排成一排。（小盆里都是12根小棒）
学生汇报，指名2人把小棒拿到讲台上数一边。&&
1、很多时候，我们都注重创设情景，激发兴趣，引出课题。但是正当学生饶有兴趣的时候，我们的教学却嘎然而至，匆忙把学生引入另外一个话题。教学中，我们能否把一个话题做充分一点，以问题为出发点，让孩子切切实实地去解决问题，而不是素材变来变去。为什么这样变，只有教师知道，学生反正跟着后面跑。
2、无疑，数到10，对于学生来说是旧知识了。但是数到11、12，就一定是新知识吗？书本上是新知识点，但孩子的认知结构却未必如此。如果我们试着让孩子数下去呢？至少我们会了解他们真实的知识储备。从孩子的实际出发教学，需从每个细节做起。
3、什么是有价值的数学？
价值是抽象的、相对的和发展的，我们很难给有价值的数学下个准确的定义。但是通过对一些案例的比较分析，我们或许可以从中找到一些启发与感悟。
&[案例4]《工程问题》教学
&&&&&&&A教学：
&&&&&&&师：咱们来个比赛，下面这几道题，看谁解答得最快。
&&&&&&&1、&修一条长250米的公路,每天修全长的15&,几天才能修好？
&&&&&&&2、&修一条长150米的公路,每天修全长的15&,几天才能修好？
&&&&&&&3、&修一条长1000米的公路,每天修全长的15&,几天才能修好？
&&&&&&&4、&修一条公路,每天修全长的15&,几天才能修好？
&&&&&&&[案例5]《分数的意义》教学
&&&&&&&A教学：
&&&&&&&（电脑屏幕上出示一幅图，图上画了六只熊猫）
&&&&&&&师：把这六只熊猫平均分成三份，每份占整体的几分之几呢？（电脑显示平均分成三份）
&&&&&&&生1：13&
&&&&&&&生2：23&
&&&&&&&生3：&&
&&&&&&&师：我们仔细看看，这虽然是两只熊猫，但是它占整体的几份啊？
&&&&&&&B教学：
&&&&&&&师：咱们来个快速抢答，好吗？
&&&&&&&把8支铅笔平均分给2位同学，每位同学得的铅笔数是？（生：4支）
&&&&&&&把10支铅笔平均分给2位同学，每位同学得的铅笔数是？&（生：5支）
&&&&&&&把这个文具盒里的所有铅笔平均分给2位同学，每位同学得到的铅笔数是？
&&&&&&&生：是1/2。
&&&&&&&师：为什么是1/2&呢？
&&&&&&&生1：因为把它平均分成了2份。
&&&&&&&生2：因为不知道有几支铅笔，我们可以把它看作一个整体。
&&&&&&&师：每位同学得到的铅笔数就是这个整体的？
&&&&&&&生：2份中的1份，就是1/2。
&&&&&&&师：真好！如果把它平均分给5位同学呢？10位呢？50位呢？（生答略）
&&&&&&&师：可是这个文具盒里只有6支铅笔。（拿出6支铅笔）
&&&&&&&现在把它平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔数还能用1/2表示吗？
&&&&&&&生：能！
&&&&&&&师：为什么还能呢？这不是3支了吗？
&&&&&&&生1：这3支也是2份中的1份。
&&&&&&&生2：1/2也就表示这里的3支。
&&&&&&&师：也就是说，把6支铅笔看成一个整体，把它平均分成2份，每一份中的3支铅笔占这个整体的？（手拿铅笔演示）
&&&&&&&生：1/2。
&&&&&&&师：如果把8支铅笔平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔还能用1/2表示吗？
&&&&&&&（生答）
&&&&&&&师：如果是100支铅笔呢？1000支铅笔呢？5吨苹果呢？
&&&&&&&学生对于解答工程问题的困难，不在于&工作总量、工作时间、工作效率&数量关系的理解上,而在于把具体的工作总量用抽象的&１&表示、把具体的工作效率用抽象的分数来表示。同样，学生对于理解&把很多物体看成一个整体来平均分&的困难，是在于把握&份数&与&个数&之间的关系。如果我们直接就把问题呈现在学生面前，让学生去理解，有时很难突破难点。反之，对材料进行一定程度的加工，让学生在&体验&中去感悟知识的本质，往往会达到事半功倍的效果。
&&&&&&&教师要发挥引导作用，就必须要深入分析学生的思维，精心组织材料。淡化&告诉&，强化&体验&与&感悟&。
&&&&&&&[案例6]《分数的意义》教学
&&&&&&&（概括分数的意义）
&&&&&&&A教学：
&&&&&&&师：同学们，刚才我们写出了很多分数。我们来观察一下这些分数。它们分别都是把一个物体、一个图形、一个计量单位以及许多物体组成的整体平均分的。这些我们都可以用一个词来概括。书上用的是什么词？
&&&&&&&生：单位&1&。
&&&&&&&师：对啦。哪些东西可以用单位&1&来表示呢？
&&&&&&&生回答。
&&&&&&&师：单位&1&的&1&为什么要加双引号呢？
&&&&&&&生回答。
&&&&&&&师：把单位&1&平均分，可以2份，也可以是3份、4份&&。我们也能用一个词来概括吗？
&&&&&&&生：若干份。
&&&&&&&师：分数可以表示这样的1份，也可以是2份、3份&&书上就概括为？
&&&&&&&生：一份或几份。
&&&&&&&师：明白这几个词的意思了吗？
&&&&&&&生：明白了。
&&&&&&&师：那好。我们共同来把分数的意义齐读一遍。
&&&&&&&B教学：
&&&&&&&师：说说下列分数所表示的意义。（出示：57&）
&&&&&&&生1：把一组红旗平均分成7份，表示这样的5份的数。
&&&&&&&生2：把一个蛋糕平均分成7份，表示这样的5份的数。
&&&&&&&生3：把一个整体平均分成7份，表示这样的5份的数。
&&&&&&&师：到底把一个什么平均分呢？我们能不能用一个词概括一下？
&&&&&&&生1：用一个单位。
&&&&&&&生2：用一个整体。
&&&&&&&师：反正都是一个什么！就用&1&吧！书上称为？
&&&&&&&生：单位&1&。
&&&&&&&师：好的。说说下列分数所表示的意义。
&&&&&&&师出示38&。（生说）
&&&&&&&师再出示：&，
&&&&&&&生：把单位&1&平均分成&&（这里有几种不同的声音出现），表示这样的3份的数。
&&&&&&&师：为什么大家在这个地方的声音有些不整齐了？
&&&&&&&生：因为它平均分成的份数不确定。
&&&&&&&师：平均分成的份数不确定，用什么词来概括？
&&&&&&&生：若干份（师板书，生完整说一遍意义）。
&&&&&&&师再出示：&，谁又能说说它所表示的意义呢？
&&&&&&&生：把单位1平均分成9份，表示这样若干份的数。
&&&&&&&师：真好！用若干份来代替不确定的份数。可是好象与前面有重复的感觉。能换一个词吗？
&&&&&&&生：一份或几份。
&&&&&&&师：它要么表示的是这样的1份，要么表示的是这样的几份，用这个词，同意吗？（师板书，生齐读）
&&&&&&&师：再出示&，怎么样，再说说！
&&&&&&&生：把单位&1&平均分成若干份，表示这样的1份或者几份的数。
&&&&&&&师：这就是分数的意义！
&&&&&&&如其让学生去理解书本上的概念，还不如让学生去创造自己的概念，并让书本概念与自己的概念能够相融。如何能让学生&水到渠成&地创造出概念，是教师作为一个引导者必须努力探索的课题。
&&&&&&&11、怎样让学生的数学学习更富有个性
&&&&&&&夏青峰
&&&&&&&《数学课程标准》指出：&学生的数学学习活动应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程。&怎样让学生的数学学习活动更富有个性呢？
&&&&&&&一、&是控制，还是服务？
&&&&&&&[案例1]&《分数大小的比较》教学
&&&&&&&A教学：
&&&&&&&师：25&和35&谁大呢？
&&&&&&&生：35&大。
&&&&&&&师：同意吗？
&&&&&&&生：同意。
&&&&&&&师：我们看，25&的分数单位是？有几个这样的分数单位？
&&&&&&&生：分数单位是15&，有2个15&。
&&&&&&&师：35&的分数单位是？有几个这样的分数单位？
&&&&&&&生：分数单位是15&，有3个15&。
&&&&&&&师：因为3个15&比2个15&大，所以？
&&&&&&&生：35&比25&大。
&&&&&&&师：谁能把刚才的话连起来说一遍？
&&&&&&&生：25&的分数单位是15&，有2个15&；35&的分数单位也是15&，有3个15&；因为3个15&比2个15&大，所以35&比25&大。
&&&&&&&师：谁能仿照刚才的说法，说说38&与58&的大小？
&&&&&&&B教学：
&&&&&&&师：25&和35&谁大呢？谁能用你最喜欢的方法说说理由？
&&&&&&&生1：35&大。因为3份总比2份大。
&&&&&&&生2：一个是2个15&，另一个是3个15&。肯定3个15&比2个15&大。
&&&&&&&生3：我们画画示意图就知道了。（到黑板上画）这表示35&，这表示25&，很明显35&比25&长。
&&&&&&&生4：&&
&&&&&&&师：真好！我们可以有很多理由说明35&比25&大。这两个分数有什么相同点与不同点吗？
&&&&&&&生：分母相同，分子不同。
&&&&&&&师：分母相同就说明了什么？分子不同呢？
&&&&&&&生：分母相同说明每份数相同，分子不同说明含有的份数不一样
&&&&&&&师：这样比较分母相同的分数大小的时候，我们只要怎样？
&&&&&&&生：看分子。
&&&&&&&我们总喜欢循循善诱，而很多时候，我们的这种循循善诱是在一种&打乒乓&式的问答中进行的。在&启发&的光环下，教师的思维代替或控制了学生的思维。学生还需要自己个性化的想法吗？真正的教学，是要把学生带入一个&渔场&，让他们有一个探索的空间与交流的阵地，而不一定就是要提供多少现成的&鱼&或&渔&。
&&&&&&&[案例2]《小数的性质》教学
&&&&&&&通过人民币单位的换算、长度单位的换算等例子，老师在黑板上写出了三个算式：
&&&&&&&0.3=0.30=0.300
&&&&&&&0.5=0.50=0.500
&&&&&&&1.8=1.80=1.800
&&&&&&&A教学：
&&&&&&&师：请同学们仔细观察上面的三个算式，并思考下面的问题：
&&&&&&&1、&从左往右看，你发现了什么？
&&&&&&&2、&从右往左看，你又发现了什么？
&&&&&&&3、&你能得出什么结论吗？
&&&&&&&B教学：
&&&&&&&师：黑板上出现了这样的三个算式。
&&&&&&&1、&你也能写出几个和它相类似的算式吗？并说说几个数之间为什么可以画等号。
&&&&&&&2、&你能写出多少个这样的算式？为什么？
&&&&&&&你能用语言把你的发现描述出来吗？
&&&&&&&我们好象是引导学生在主动发现规律。但深究其实质，学生需要动多少脑筋呢？面对一个数学现象（或问题情景）时，我们老师能不能&少规定些路线&、&少插一些路标&，而让学生自己去探索、体验和感悟呢？
&&&&&&&二、&是抱怨，还是赏识？
&&&&&&&[案例]《角的认识》教学
&&&&&&&师：谁能到黑板上画一个角？
&&&&&&&（一学生在黑板上画了一个角，但是他画角的时候并没有按照规定从一个顶点出发）
&&&&&&&A教学：
&&&&&&&师：同学们，他画得对吗？
&&&&&&&生：对！
&&&&&&&师：对？！你们注意到了他画角的顺序吗？角的两条边应是什么线？
&&&&&&&生：射线。
&&&&&&&师：射线应怎样画？这样画行吗？（用手比划）
&&&&&&&生：不行。
&&&&&&&师：那他画得对吗？
&&&&&&&生：不对！
&&&&&&&B教学：
&&&&&&&师：感谢这位同学，为我们画出了一个角。（面向画角的那位同学）你能谈谈体会吗？
&&&&&&&生：我画出了一个顶点、两条边。
&&&&&&&师：一个角有几个顶点？几条边？
&&&&&&&生：一个顶点、两条边。
&&&&&&&师：好极了。大家都能画出角吗？
&&&&&&&生：能！
&&&&&&&师：老师有个建议。想想看，角的两条边分别是什么线？
&&&&&&&生：射线。
&&&&&&&师：既然是从一点引出的两条射线（用手比划），我们画的时候最好按什么样的顺序画呢？
&&&&&&&C教学：
&&&&&&&师：感谢这位同学，为我们画出了一个角。（面向画角的那位同学）你能谈谈体会吗？
&&&&&&&生：我画出了一个顶点、两条边。
&&&&&&&师：一个角有几个顶点？几条边？
&&&&&&&生：一个顶点、两条边。
&&&&&&&师：好极了。一个顶点、两条边就组成了一个角。大家都能画出角吗？
&&&&&&&偶尔的一次否定并不足为奇，但是如果学生因为数学的严密而经常地遭到否定，那么他对数学的认识会是怎样的呢？他还愿意尝试吗？他还会积极地动脑筋想出自己的方法吗？更何况，所谓的数学严密性真的就那么重要吗？&从一点引出两条射线就组成了角&是对的，但是我们仅仅因为这句话，就能规定&角的两边一定是射线&、&画角时一定要按照画射线的方法&吗？
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