一阶线性微分方程Cauchy问题的求解_图文_百度文库
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一阶线性微分方程Cauchy问题的求解
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[1]王全义.华侨大学学报(自然科学版),):279.[doi:10.11830/ISSN.91.03.0279]　Weng Quanyl.On Almost-Automorphic Differential Equations[J].Journal of Huaqiao University(Natural Science),):279.[doi:10.11830/ISSN.91.03.0279][2]王全义.华侨大学学报(自然科学版),):283.[doi:10.11830/ISSN.93.03.0283]　Wang Quanyi.Almost Periodic Solutions of Almost Periodic Differential Systems[J].Journal of Huaqiao University(Natural Science),):283.[doi:10.11830/ISSN.93.03.0283][3]王全义.华侨大学学报(自然科学版),):341.[doi:10.11830/ISSN.97.04.0341][4]佘志炜,王全义.华侨大学学报(自然科学版),):235.[doi:10.11830/ISSN.10.02.0235]　SHE Zhi-wei,WANG Quan-yi.Existence of Periodic Solutions for a Class of Second Order Differential Equations[J].Journal of Huaqiao University(Natural Science),):235.[doi:10.11830/ISSN.10.02.0235][5]陈应生.华侨大学学报(自然科学版),):467.[doi:10.11830/ISSN.12.04.0467]　CHEN Ying-sheng.Periodic Solutions for a Class of Second Order Differential Equation with Deviating Arguments[J].Journal of Huaqiao University(Natural Science),):467.[doi:10.11830/ISSN.12.04.0467]
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评论/Comments一阶偏微分方程/一阶偏微分方程
正文/一阶偏微分方程
　　最简单的一类偏微分方程。一个未知函数u(x)=u(x1,x2,…, xn)所适合的一组一阶偏微分方程即 , (1)式中(Rn之开集)，u是，。适合(1)的函数u称为其解。单个 　(2) 是式(1)的重要特例。解u=u(x)定义了D×R中一个曲面，称为(1)的积分曲面，是其上一点(x,u)处的法线方向数，(α1，α2，…，αn,b))则定义一个方向场,称为特征方向场。式(2)表明积分曲面在其各点上均与该方向场相切。特征方向场的，称为(2)的特征曲线。它们是常微分方程组(特征方程)
　(3)的积分曲线。由上所述,可见式(2)的积分曲面是由式(3)的积分曲线织成的。反之,若一曲面u=u(x)是由(3)之积分曲线织成的，则必为式(2)的积分曲面。因此式(3)的讨论对研究偏微分方程(2)有特别的重要意义。 　　式(2)的中，最重要的是柯西问题，即在U中给定一个n－1维子流形 у及其上的函数φ(x)，要求式(2)的解u=u(x)满足以下的附加条件（）： 。 　(4)从几何上看，集是U×R中一个给定的n－1维子流形，而条件(4)即要求积分曲线(它是U×R中的一个n维子流形)通过Γ。 　　柯西问题的解的局部存在的条件从几何上看是很清楚的：若在(x0, u0)∈Γ附近,则在该点附近特征向量场微分同胚于场，特征曲线族则微分同胚于平行直线族。如果Γ在(x0,u0)附近横截（即不平行）于该平行直线族,就可以以Γ为底,以该平行直线为“母线”作一“柱面”。它就是所求的积分曲面，亦即柯西问题的解。 　　对一般的单个一阶非线性偏微分方程 ， 　(5)则应以代替上述的U×R。对于积分曲面u=u(x),它在(x,u(x))处的法线方向由所确定，因此(x,u,p)决定了一个过(x,u)的以为法线的超平面,即过该点的积分曲面的切超平面。于是，在U×R中来看,｛(x, u,p)｝给出一个超平面场，每一个这样的超平面称为过（x, u）的接触元素。对于给定的(x, u)，适合方程(5)的p不是惟一的，从而有一个接触。它们的包络是一个以(x, u)为顶点的锥,称为蒙日锥。方程(5)的积分曲面在各点均切于过该点的蒙日锥。 　　对于拟线性方程(2),蒙日锥蜕化为过（x，u）的以为方向的轴。 　　积分曲面既切于蒙日锥，则必沿某一母线切于它。这条母线的方向给出了积分曲面上的一个方向场。对于方程(2)来看,它就是特征方向场。所以在一般的非线性方程(5)，也称它为特征方向场,其积分曲线也称为方程(5)的特征曲线。积分曲面仍由特征曲线织成。 　　但是，与方程(2)也有所不同,即现在必须在U×R×Rn中来考虑特征方向场，从而可以得到如下的常微分方程组 ， (6)
(8)解出这个方程组将得到一个特征带，它在U×R中的投影则称为方程(5)的特征曲线。特征带是一个在 U×R×Rn中的概念。 　　解柯西问题的特征线法&　在解柯西问题(4)时，将у写成参数形式
(10)然而，以它为初始条件还不能解出特征带的方程组，还需要有pj所适合的初始条件。 　　对于拟线性方程(2)，以(9)、(10)为初始条件解特征方程组(3)，可得
(12)令 若在t=0时，即在у上，Δ|t=0≠0,则可以在|t|充分小时即在у附近由(11)解出为 (x1,x2,…, xn)的函数，代入(12)即得柯西问题的解。在以上讨论中，条件 (13) 极为重要。它在几何上表示特征线横截于Γ。没有这种，一般说来特征曲线不能织成积分曲面，然而若仍可能有解，那么解称为。条件(13)称为特征条件。 　　对于非线性偏微分方程(5),需要解出特征带的方程组(6)、(7)、(8)。这时需要 pj所适合的初始条件。很容易看到，在t=0时，pj应适合以下条件 ， 　(14) 。 　(15)(14)、(15)共有n个方程,它们称为带条件。为了能从其中解出pj，又需要在t=0时
(16)在方程(2)的特例下,它就是式(13)。所以式(16)也称为特征条件。 　　若带条件和特征条件得以满足，就将得出在 t=0时xj、u和pj所适合的初始条件。于是可以得到 ， (17) ， (18) ， (19)　　利用特征条件,可以从式(17)中解出为(x1,x2,…,xn)的函数，代入式(18)即得u=u(x)为柯西问题的解。代入式(19)得pj=pj(x),可以证明恰好有。 　　拉格朗日－查皮特方法&　求解柯西问题(5)、(4)的另一方法,是求(5)的含有n个参数α=( α1, α2,…, αn)的解u=u(x,α)。它称为(5)的完全积分。 　　将(4)所定义的子流形Γ局部地表为 。再取α=α(s)使u=u(x,α(s))经过(x(s),u(s))而且在该点切于Γ，即有 这一族解的包络仍是(5)的积分曲面,而且通过Γ，亦即所求柯西问题的解。于是，将问题归结为求(5)的含n-1个参数s=(s1,s2,…,sn-1)的解u(x,α(s))，它称为(5)的通积分。 　　若将完全积分对n个α求包络，即由 中消去α，还可得到方程(5)的另一种解，称为奇异积分。 　　于是问题归结为如何求完全积分。为此考虑一个与之相关的问题：求函数u=u(x)使之满足一组偏微分方程
(20)因为方程个数超过未知数个数，故(20)称为。超定方程组有解，需有一定条件称为可积性条件。对于(20)，可积性条件为
(21)(Fj, Fj)称为泊松括号。若一个方程组适合(21),则称之为对合方程组。 　　方程(5)可以化为不显含u的情形。因为若将u=u(x)写为隐函数v(x,u)=с，而以v为新的未知函数,则(5)成为。若视u为自变量则未知函数v不显现。因此可以限于求解以下形式的方程
　(22)对(22)补充以n-1个新的方程
(23)式中αj为参数。可以适当取F2,F3,…,Fn使(22)、(23)成为对合方程组。再从(22)、(23)中解出： (其中含常数α2,α3,…,αn)，即可得(5)的含有n个常数的解（即完全积分） 以上方法称为拉格朗日-查皮特方法。 　　方程组、费罗贝尼乌斯条件& 在 U嶅Rn中若给定了一个充分光滑的向量场,则过U之每一点必有其惟一的积分曲线。若给定r(1&r&n)个光滑向量场,则不一定经过每一点都有 r维子流形使得在其各点上均与这些向量场相切（也不一定能找到 n-1维子流形使得在其各点上均与这些向量场相切）。若有这样的 r维子流形存在，就说这些向量场可积，该流形称为其积分流形。 　　求积分流形发生障碍的几何原因，可由下例看出。设在R3中给出一个平面场（相当于两个向量场），作柱面如图，则该平面场在柱面上决定一个向量场。若原平面场可积而有积分曲面存在，则积分曲面与柱面相截将给出柱面上的向量场的封闭积分曲线。但是柱面上的向量场不一定有封闭的积分曲面存在。 　　上述问题稍加改述：求一个超曲面u=u(x)（而不只是r维子流形）与r个向量场相切，即 ， (24)这是一个超定方程组。前述拉格朗日－查皮特方法中已遇到这种问题。 　　式（24）规定出 r个一阶偏微分算子(亦即向量场)。它们的仍是一阶偏微分算子：
指出：超定方程组(24)可积的充分必要条件是存在函数使得满足式(25)的向量场x1,x2,…,xr称为对合的。 　　一阶偏微分方程的几何理论有悠久的历史渊源，以后经过等人的发展,在几何学、力学和物理学中都有重大的意义。&
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苦逼签到天数: 172 天连续签到: 1 天[LV.7]常住居民III
暑假就要到了，我们一阶的高等数学差不多都要结束了，此时此刻，跨考教育想跟大家聊聊关于考研数学高等数学中的常微分方程问题。要想学好微分方程这一章节，我们首先要把前面的导函数和不定积分学会，因为，微分方程这一章节，我们可以把它看做导数和不定积分的结合。数一、二、三的考研大纲中的要求是不一样的，因此，我们在学这一章节前，一定要看清自己所考试的范围和内容。这些，在我们相关老师的课堂上也会经常提到。在一阶基础阶段时，微分方程这一块的要求是同学们要知道微分方程的定义、结构性质以及微分方程的分类和解法。等到后面暑期强化阶段时便会有更高的要求，微分方程在几何和物理方面的应用就是在暑期强化阶段讲的。微分方程这一章节是考研所要求考的内容，包括解的结构性质、求解二阶、三阶常系数线性微分方程，以及与其他知识结合出现的综合题(物理和几何方面的应用)。关于微分方程的历年真题中，填空、选择、解答题等都有出现过。题目难度大都是中等偏难的。具体考察的内容：在一阶微分方程中，数学一、二、三都需要掌握可分离变量微分方程、齐次微分方程以及一阶线性微分方程。其中的一阶线性微分方程考研考过多次，是重点，同学们必定要掌握。对于数学一、二还需要掌握伯努利微分方程，其解法是替换转化为一阶线性微分方程来做。另外，数学一还需要掌握全微分方程。对于二阶微分方程，二阶线性微分方程同学们只用掌握性质就可以了。而二阶常系数微分方程是数学一、二、三都需要掌握的。同学们要知道方程的结构以及求法。二阶常系数微分方程的解法是考研的重点。另外数学一、二还需要掌握的是可降阶微分方程，同学们要知道关于可降解微分方程的三种类型和解法。还有就是数学一还需要掌握欧拉微分方程，数学三需要掌握的是差分方程，关于欧拉方程和差分方程同学们要掌握其基本的解法。关于考研数学中的微分方程问题，同学们在掌握各类方程的解法后多做习题，加以巩固掌握。还是那句老话：考研，我们是认真的。加油，汤家凤老师编写的2017《考研数学15年真题解析与方法指导》这本书收录了历年真题，并且有详细的答案解析，考生们要好好利用哦。
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