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已知函数f（x）=ex-e-x（x∈R），（1）判断函数f（x）的奇偶性与单调性；（2）是否存在实数t，使得不等式f（x-t）+f（x2-t2）≥0对一切x都成立？若存在，求t，若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵f(x)=ex-1ex∴&f(x)单调递增又∵f(-x)=e-x-ex=-f(x)∴f（x）是奇函数（2）假设存在∵f（x-t）+f（x2-t2）≥0恒成立∴&&f(x-t)≥-f(x2-t2)=f(t2-x2)恒成立∴x-t≥t2-x2∴(t+12)2≤(x+12)2min=0∴&&t=-12即存在t=-12使不等式f（x-t）+f（x2-t2）≥0恒成立
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=ex-e-x（x∈R），（1）判断函数f（x）的奇偶性与单调性；（..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，分段函数与抽象函数&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的奇偶性、周期性分段函数与抽象函数
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。&抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。 知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
发现相似题
与“已知函数f（x）=ex-e-x（x∈R），（1）判断函数f（x）的奇偶性与单调性；（..”考查相似的试题有：
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已知函数fx=ex-x-1.当x≥0时,fx≥(t-1)x恒成立,求t的范围.
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x≥0时,f(x)≥(t-1)x恒成立,等价于f(x)-(t-1)x≥0恒成立然后求解f(x)-(t-1)x的最小值即可
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扫描下载二维码已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
（1）奇函数．增函数（2）存在实数t＝－
(1)∵f(x)＝ex－x，且y＝ex是增函数，y＝－x是增函数，所以f(x)是增函数．由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，∴f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R恒成立f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R恒成立x2－t2≥t－x对一切x∈R恒成立t2＋t≤x2＋x对一切x∈R恒成立2≤对一切x∈R恒成立2≤0t＝－.即存在实数t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立．
试题“已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对...”；主要考察你对
等知识点的理解。
，则a2-6a-1的值为______．
，则a2-6a-2的值为______．
的值为______．
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已知f(x)=e x -t(x+1).（1）若f(x)≥0对一切正实数x恒成立，求t的取值范围；（2）设
，且A(x 1 ，y 1 )、B(x 2 ，y 2 )(x 1 ≠x 2 )是曲线y=g(x)上任意两点，若对任意的t≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；（3）求证：
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；（3）详见解析.
试题分析：（1）对函数
求导数，分离变量得
，用导数法判断
的单调性、极值，从而求出
的取值范围；（2）设x 1 、x 2 是任意的两实数，且x 1 &x 2
，构造函数
上是增函数，即
恒成立，即对任意的t≤-1，x∈R，
恒成立，再用均值不等式求
的最小值，从而求得
；（3）由（1）知，
用导数法（1）
(x&0)恒成立.设
(x≥0)，则
单调递增，
（x=1时取等号），∴t≤1&&&&&&&&&4分.（2）设x 1 、x 2 是任意的两实数，且x 1 &x 2
，则F(x)在R上单增，（7分）即
恒成立.即对任意的t≤-1，x∈R，
故m&3.（9分）（3）由（1）知，
(n∈N*).（14分）
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已知函数f(x)=|x|/e^x,若关于的方程f^2(x)-tf(x)+t-1=0恰好有4个不相等的实数根,则实数的取值范围为
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当&x&0&时,f(x)=&-x/e^x&为减函数；当&x=0&时&f(0)=0&；当&x&0&时,f(x)=x/e^x&,f&'(x)=(1-x)&/&e^x&,可以看出,当&0&x&1&时&f&'(x)&0,当&x&1&时&f&'(x)&0&,因此函数在（0,1）上增,在（1,+∞）上减,函数在&x=1&处取极大值&f(1)=1/e&.综上可知,方程&f(x)=k&的根的情况如下：（1）当&k&0&时&无根；（2）当&k=0&时有惟一实根&x=0&；（3）当&0&k&1/e&时有三个不同实根；（4）当&k=1/e&时有两个不同实根；（5）当&k&1/e&时有惟一实根.要使关于&x&的方程&k^2-tk+t-1=0&有四个不相等的实数根,只须0&k1&1/e&,k2=0&或&k2&1/e&；当&k=0&时,t=1&,此时方程&k^2-k=0&的两根为&k1=1&,k2=0&,k1&不满足&0&k1&1/e&,因此必有&0&k1&1/e&k2&,令&g(k)=k^2-kt+t-1&,因此得&（1）g(0)=t-1&0&；（2）g(1/e)=1/e^2-t/e+t-1&0&；以上两式解得&1&t&(e+1)/e&.附：函数 f(x)=|x| / e^x 的图像 .
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