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秀水：数独游戏简介
［作者：郑美霞&&&&发布时间： 10:27:02&&&&点击数：85
数 独（逻辑游戏）
数独，是源自18世纪瑞士发明，流传到美国的一种数学游戏。是一种运用纸、笔进行演算的。玩家需要根据9&9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫内的数字均含1-9，不重复。
数独盘面是个九宫，每一宫又分为九个小格。在这八十一格中给出一定的已知数字和解题条件，利用逻辑和推理，在其他的空格上填入1-9的数字。使1-9每个数字在每一行、每一列和每一宫中都只出现一次，所以又称&九宫格&。
中文名& 数独
其他名称& 九宫格，Sudoku Crosswords
游戏类型& 逻辑游戏
内容主题& 推理数字
玩家人数：单人
&&& 既然&数独&有一个字是&数&，人们也往往会联想到数学，那就不妨从大家都知道的数学家说起，但凡想了解数独历史的玩家在网络、书籍中搜索时，共同会提到的就是欧拉的&拉丁方块&。数独的祖先就是拉丁方块。
拉丁方块（Latin square）：n阶拉丁方块是每边n小格，总共有n&n小格的方阵，方阵里填入n种符号，在每行每列中同，一种符号不能重复出现，因此每种符号各出现n次。其实拉丁方块就是没有宫的标准数独，只有两个限制条件，即行、列中的符号不能相同，因此趣味性相对于三个限制条件的数独而言低了不少，这方面也有可能是当初没能风靡一时的原因之一。
下面给出一个拉丁方块，有兴趣的可以做一下：
数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的（Latin Square）。19世纪80年代，一位美国的退休建筑师格昂斯（Howard Garns）根据这种拉丁方阵发明了一种填数趣味游戏，这就是数独的雏形。20世纪70年代，人们在美国纽约的一本益智杂志《Math Puzzles and Logic Problems》上发现了这个游戏，当时被称为填数字（Number Place），这也是目前公认的数独最早的见报版本。1984年一位日本学者将其介绍到了日本，发表在Nikoli公司的一本游戏杂志上，当时起名为&Suuji wa dokushin ni kagiru&，就改名为&sudoku&，其中&su&是数字的意思，&doku&是单一的意思。这个名字也是国际上对数独的比较通用的叫法。后来一位前任的新西兰籍法官高乐德（Wayne Gould）在1997年3月到日本东京旅游时，无意中发现了。他首先在英国的《》上发表，不久其他报纸也发表，很快便风靡全英国，之后他用了6年时间编写了电脑程式，并将它放在网站上（这个网站也就是著名的数独玩家论坛），后来因一些原因，网站被关闭，幸好Glenn Fowler恢复了数据，玩家论坛有了新处所。在90年代国内就有部分的益智类书籍开始刊登，南海出版社在2005年出版了《数独1-2》，随后日本著名数独制题人西尾彻也的《》也由出版。《》、《》、《》、《》、《》等等报纸媒体也先后刊登了数独游戏。
水平方向有九横行，垂直方向有九纵列的正方形，画分八十一个小，称为（Grid），这就是数独（Sudoku）的作用范围。
行&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&& 列&
水平方向的每一横行有九格，&&&&&&&&&&&& 垂直方向的每一纵列有九格，
每一横行称为行（Row）。&&&&&&&&&&&&&&& 每一纵列称为列（Column）。
三行与三列相交之处有九格，每一单元称为小九宫（Box、Block），简称，如图四所示（在杀手数独中，宫往往用单词Nonet表示）。
&&& 上述行、列、宫统称为单元（Unit）。
由三个连续宫组成大区块（Chute），分大行区块（Floor）及大列区块（Tower）。
第一大行区块：由第一宫、第二宫、第三宫组成。
第二大行区块：由第四宫、第五宫、第六宫组成。
第三大行区块：由第七宫、第八宫、第九宫组成。
第一大列区块：由第一宫、第四宫、第七宫组成。
第二大列区块：由第二宫、第五宫、第八宫组成。
第三大列区块：由第三宫、第六宫、第九宫组成。
格位按所处的行列单元赋予坐标值，如下图所示。
坐标有多种标示法，有横行 A~I，纵列 1~9（如中国），也有横行 1~9，纵列 A~I（如日本），这两种标示容易混淆，故最被广泛使用的是横行R1~R9，纵列C1~C9的标示法。
在九宫格的格位填上一些数字，做为填数判断的（Hint），称为提示数（Clue）。
基本解题方法
解题的本质有二种，隐性唯一解（Hidden Single）及和显性唯一解（Naked Single），他们的名称都是在候选数法的基础上命名的。
解题必须以逻辑为依归，猜测的方法被称为&暴力型&解法（Brute Force），这不是提倡数独的本意。根据解题本质发展出来的基本解题方法以下几类：
一、摒除法
摒除法：用数字去找单元内唯一可填空格，称为摒除法，数字可填唯一空格称为摒余解（隐性唯一解）。根据不同的作用范围，摒余解可分为下述三种：
1. 数字可填唯一空格在「宫」单元称为宫摒余解（Hidden Single in Box），这种解法称宫摒除法。
2. 数字可填唯一空格在「行」单元称为行摒余解（Hidden Single in Row），这种解法称行摒除法。
3. 数字可填唯一空格在「列」单元称为列摒余解（Hidden Single in Column），这种解法称列摒除法。
行摒余解和列摒余解合称行列摒余解（Hidden Single in Line）。
得到行列摒余解的方法称为行列摒除法。
二、余数法
余数法：用格位去找唯一可填数字，称为余数法，格位唯一可填数字称为唯余解（Naked Single）。余数法是删减等位群格位（Peer）已出现的数字的方法，每一格位的等位群格位有 20 个，如上图所示。
依解题填制的过程可区分为直观法与候选数法。
直观法就是不做任何记号，直接从数独的盘势观察线索，推论答案的方法。
2. 候选数法
候选数法就是删减等位群格位已出现的数字，将剩余可填数字填入空格做为解题线索的参考，可填数字称为候选数（Candidates，或称备选数）。
直观法和候选数法只是填制时候是否有注记的区别，依照个人习惯而定，并非鉴定题目难度或技巧难度的标准，无论是难题或是简单题都可用上述方法填制，一般程序解题以候选数法较多。
上述方法称为基础解法（Basic Techniques），其他所有的解法称为进阶解法（Advanced Techniques），是在补基本解法之不足，所以又称辅助解法。
&&& 进阶解法包括：区块摒除法（Locked Candidates）、数组法（Subset）、四角对角线（X-Wing）、唯一矩形（Unique Rectangle）、全双值坟墓（Bivalue Universal Grave）、单数链（X-Chain）、异数链（XY-Chain）及其他数链的高级技巧等等。已发展出来的方法有近百种之多。
其中前两种加上基础解法为一般数独书中介绍并使用的方法，同时也是大部分人可以理解并掌握的数独解题技法。
通过基础解法出数只需一种解法，摒除法或唯余法，超出此范围而需要施加进阶解法时，解题点需要进阶解法协助基础解法来满足隐性唯一或显性唯一才能出数，该解题点的解法需要多个步骤协力完成，因此称做组合解法。
区块摒除法
区块摒除法包括宫区块摒除法（Pointing）与行列区块摒除法（Claiming）。在基础题里，利用区块摒除可以替代一些基础解法的观察，或辅助基础解法寻找焦点。在非基础题里，区块可以隐藏任何其他结构，简单的可以把基础解法隐藏起来，难的可以隐藏数对等等其他进阶技巧。
首先数字6对第五宫摒除，得到第五宫的6在R4C5或者R6C5。不论是在R4C5或者R6C5，C5的其他格都不能再有数字6。（R4C5与R6C5就是数字6的区块，这也是区块摒除作用的观点）& 数字6对第二宫摒除，得解R1C4=6。
相对概率不是真实的概率，而是用于同一格中的几个数字之间相互比较出现的可能。
相对概率 = 九宫格出现的概率 & 行出现的概率 & 列出现的概率
九宫格出现的概率：如果九宫格中有2个格可能出现1，目标格可能的数字为1、2、3，另一个格可能出现的数字为1、4，那么：目标格中的1在九宫格出现的概率 = 目标格中出现1的概率 & (1 - 另一个格中出现1的概率)，得1/3 & (1-1/2) = 1/6。
注意：1-1/2表示另一个格不出现1的概率，1/3 & (1-1/2) 的意思就是在另一个格不出现1的情况下，目标格出现1的概率。
如果九宫格中有三个格可能出现1，目标格可能的数字为1、5、6，另一个格可能出现的数字为1、7，还有一个格可能出现的数字为1、8、9，得1/3 & (1-1/2) & (1-1/3) = 1/9。依此类推。
行出现的概率和列出现的概率与九宫格出现的概率的算法原理相同。最后，把三个概率相乘，得到相对概率，把目标格中3个数字的相对概率进行对比，相对概率越大，出现的可能性越大。
影响数独难度的因素很多，就题目本身而言，包括最高难度的技巧、各种技巧所用次数、是否有隐藏及隐藏的深度及广度的技巧组合、当前盘面可逻辑推导出的出数个数等等。对于玩家而言，了解的技巧数量、熟练程度、观察力自然也影响对一道题的难度判断。市面上数独刊物良莠不齐，在书籍、报纸、杂志中所列的难度或者大众解题时间纯属参考，常有难度错置的情况出现，所以不必特别在意。网络上有很多数独难度的分析软件，比较著名的是 Nicolas Juillerat 开发的&Sudoku Explainer&和 Bernhard Hobiger 开发的&Hodoku，它们都是免费的软件。因为每种软件的都有不同的解题策略，所以也只能作为难度的大致界定，无法真正的解析出难度的内涵。
如果一道题目的提示数少，那么题目就会相对难，提示数多则会简单，这是一般人判断难易的思维模式，但数独谜题提示数的多寡与难易并无绝对关系，多提示数比少提示数难的情况屡见不鲜，同时也存在增加提示数之后题目反而变难的情形，即使是相同提示数（甚或相同谜题图形）也可以变化出各式各样的难度。提示数少对于出题的困难度则有比较直接的关系，以20-35提示数而言，每少一个提示数，其出题难度会增加数倍，在制作谜题时，提示数在22以下就非常困难，所以常见的数独题其提示数在23~30之间，其原因在于制作比较不困难，可以设计出比较漂亮的图形（Pattern），另外这个提示数范围的谜题变化多端是一个重要因素。
数独中的数字排列千变万化，那么究竟有多少种终盘的数字组合呢？
6,670,903,752,021,072,936,960（约为6.67&10的21次方）种组合，2005年由Bertram Felgenhauer和Frazer Jarvis计算出该数字，并将计算方法发布在他们网站上，如果将等价终盘（如旋转、翻转、行行对换，数字对换等变形）不计算，则有5,472,730,538个组合。数独终盘的组合数量都如此惊人，那么数独题目数量就更加不计其数了，因为每个数独终盘又可以制作出无数道合格的数独题目。
数独到如今发展，出现了越来越多的（Variants），按照规则划分则成百上千，各国的数独爱好者也不断制作出新的变形。
（Diagonal Sudoku、Sudoku-X）：
&&& 在标准数独规则基础上，两条大的数字不重复。
迷你数独（Mini Sudoku）：
每个谜题都由一个在不同位置给与提示数字的4x4或6x6网格组成。游戏的目的是将空方格填上数字1到4（对于4x4大小的谜题）或者1到6（对于6x6的谜题），使得每一行，每一列以及每一个宫都没有重复的数字出现。
& &&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&
Maga数独（Maga Sudoku）：
每个谜题都由一个在不同位置给与提示数字的12x12或16x16的网格组成。游戏的目的是将空方格填上数字1到12（对于12x12的谜题）或者1到16（对于16x16的谜题），使得每一行，每一列以及每一个宫都没有重复的数字出现。
锯齿数独（Jigsaw Sudoku）：
相对标准数独而言，宫变成了不规则的。玩家需在对应的锯齿方框内填入不重复的九个数或N个数，并保证横纵也不重复。
连体数独（Multi Sudoku）：
每个谜题都由俩个或者更多的数独网格重叠组成，该网格可能是标准数独谜题也可能是混合类型的数独谜题，这些网格都有一个或多个宫重叠。游戏的目的是通过其规则将每个网格均解出。温馨提示，重叠的区域必须同时满足其所在网格的规则。
杀手数独（Killer Sudoku、Sum Sudoku）：
在标准数独规则的基础上，每个虚线框左上角的数字表示虚线框内所有数字之和，每个虚线框内数字无重复。
从有到无的出题方法。先生成一个终盘，然后挖去部分数字形成一道题目。
从有到无的出题方法。在一个空盘面上填上部分数字形成一道题目。值得一提的是，2007年日本NPGenerator软件的网站提出了一种边推理边出题的出题法，可以手工打造出漂亮图案的数独题目，有兴趣出题的可以试试。
（Puzzle）：排除文化差异对做题者的影响，只用数字和图形表示的逻辑推理游戏。数独是谜题中的一个成员，由于其规则简单、种类众多从而从众多谜题脱颖而出，成为大众熟知的数字谜题。
不过除了数独以外，还有不少谜题也非常出色，也有众多的拥护者，而且与数独有千丝万缕的关系。数独爱好者同样不能错过这些优秀的逻辑推理游戏。下面简单介绍几类谜题：
（Kakuro）：与杀手数独很像的一类谜题，规则要求同行、同列（同一段）数字不能重复，且每段数字之和等于左边和上边的提示数字。
（Nonograms/Griddlers）：根据盘面周围的数字提示，把盘中涂成符合条件的图案，很像&十字绣&。
（Slither Link）：游戏由0,1,2,3四个数字组成。每一个数字，代表四周划线的数目，并在最后成为一个不间断、不分岔的回路。
数墙（Nurikabe）：数墙的世界，是一个非黑即白的二元世界；在游戏中，你要决定的是，哪些格子需要涂黑，哪一些应该留白。
（Number Link）：与数独一样，数连是一个简单明快的游戏。你只需要把属于相同数字的同伴，以线连接起来。不过，这个游戏看起来非常简单，实际上是很有深度的。
（Kenken）游戏的目的是将数字1到N（N为网格的行列数）填满空格，使得每一行，每一列的数字不重复，并且每一个粗线框左上角代表了该粗线框内数字的运算法则以及计算结果。算数数独的粗线框内，相同数字可能使用不止一次。
数独破解工具
数独克星是一个在线的数独破解工具。 采用较优的算法，对数独进行求解。在求解过程中，可以进行人工干预。
数独计算器是一个特殊的数独解答工具,它试图提供人性化的数独解题方法，完全模拟人脑的思维过程解题，并且能一步一步的讲解每步的理由。
在你对数独难题一筹莫展的时候,该数独软件将为了提供帮助, 数独计算器是一个特殊的数独工具。我们希望数独计算器成为很好的使用逻辑方法解数独的工具，大家可以从数独助手的运行过程掌握更好的解数独题技巧，作为数独技巧教学的工具。
数独计算器可以进行一步一步计算、指定步数计算、一次性计算，对于每一步计算给出详细的说明。对于有多个解的数独题目，会给出提示，并可人工干预。对每一步计算生成步骤列表，可以回到任意步骤进行研究。
&&& 由组织的国际性最高水准数独赛事，该赛事每年举办一次，由不同的会员国轮流申请举办。首届于2006年在意大利的卢卡举办，第八届于2013年在北京举办。每年由世在各国的唯一授权组织选拔国家队参加。&
北京国际数独大奖赛：
&&& 由北京广播电视台主办的一项国际数独赛事，该赛事奖金较高，也吸引了国际上众多高手踊跃参与，给国内高手提供了一个可以与国外高手同场竞技的平台。首届于2011年举办，第二届于2012年5月举办，目前国内参赛的选手均为以往进入过数独国家队或在国内选拔赛中名列前茅者。
&& 由国内的世智联授权组织每年举办一次，目的是选拔出当年的数独高手组队参加一年一度的世界数独锦标赛。该比赛不设置门槛，无论新人还是老手均可参加。具体的时间和地点请关注官方的数独选拔赛通知。
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免责声明：相关内容：
计数原理练习卷一、排列数与组合数计算1. 若 n∈N且 n&20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（& ）&（A）&&& （B）&&&& （C）&&&& （D） 2. 已知 ，则 =&&&&&&&&&&&&&& 3. 化简 =&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 二、站队相邻与不相邻问题4. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端， 不同的排法共有（　　）& Ａ．1440种&&Ｂ．960种&&& Ｃ．720种&Ｄ．480种5. 把5件不同的商品在货架上排成一排，其中a，b两种必须排在一起，而c，d两种不能排在一起，则不同排法共有（& ） A.12种&& B.20种&& C. 24种& D. 48种6. 三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？三、定序问题7.& 五人并排站成一排，其中A,B,C顺序一定，那么不同的排法种数是&&&&&&&& 四、错排问题8. 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（&&&& ） A. 6种&&&&& B. 9种&&&&& C. 11种&&&& D. 23种五、分组分配问题9. 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是&&&&&&&&& 10. 5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（&& ）&& A. 480种&&&&& B. 240种&&&&& C. 120种&&&& D. 96种11. 有6名志愿者（其中4名男生，2名女生） 义务参加某项宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有（&&&& ）&A.40种&&&&&&&&&&& B.48种&&&&&&&&&& C.60种&&&&&&&&&&& D.6812. 有2红3黄4白共9个球，同色球不加以区分，将这九个球排成一列，共有多少种方法？六、名额分配问题13. 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案14. 方程 有多少组自然数解（用排列或组合表示）&&&&&&&&&&&&&&&&& 七、限制条件的分配问题15.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？八、组数问题16. 用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位、百位上数字之和为偶数的四位数有&&&&&&&&&&&&& 个.17. 从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？（3）在（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？（4）在（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？九、特殊元素与特殊位置问题18. 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？19. 从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少 种不同的参赛方案？20. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种.十、“至少”“至多”问题21. 从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （&&&& ）A、140种&&&&& B、80种&&&&& C、70种&&&& D、35种十一、配对问题22. 9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？23. 从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为（&&&&&& ）&&&& A.120&& B.240&&&& C.360&&&&& D.72十二、排除法相关问题24. 以正方体的顶点为顶点的四面体共有（&&&&& ）A.70种&&& B.64种&&& C.58种&& D.52种25. 四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（&&&& ）A. 150种&&&&& B. 147种&&&&& C. 144种&&&& D. 141种十三、环形排列问题26. 4名女生和6名男生站成一圈，每个女生都不相邻，有&&&&&&&&&& 种站法.27. 5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有&&&&&&&&&& 种不同站法.十四、染色问题 28. 用6种颜色对右图五个区域染色，相邻区域颜色不同，有&&&& 种方法十五、多面手问题29. 某小组有12名同学，每人至少会唱歌跳舞中的一种，其中8人会唱歌，6人会跳舞，从中选取唱歌跳舞各一人，有多少种方法？十六、几何问题30. AB和CD为平面内两条相交直线，AB上有m个点，AC上有n个点，，则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是(&& )&& A.&&&& B.&&& C.&&&& D.& 31. 过三棱柱的任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（&&& ）&& A. 18对&&&& B. 24对&&&& C. 30对&&& D. 36对十七、构造模型问题32. 马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有&&&&&&&&&&&&& 种.
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第一章 计数原理 综合检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知C7n＋1－C7n＝C8n(n∈N*)，则n等于(　　)A．14　　 　&B．12　　 　C．13　　 　&D．15[答案]　A[解析]　因为C8n＋C7n＝C8n＋1，所以C7n＋1＝C8n＋1.∴7＋8＝n＋1，∴n＝14，故选A.2．设f(x)＝(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1，则f(x)等于(　　)A．(2x＋2)5& &B．2x5C．(2x－1)5& &D．(2x)5[答案]　D[解析]　f(x)＝C05(2x＋1)5(－1)0＋C15(2x＋1)4(－1)1＋C25(2x＋1)3•(－1)2＋C35(2x＋1)2(－1)3＋C45(2x＋1)－1•(－1)4＋C55(2x＋1)0(－1)5＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5.3．(;济南高二期末)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为(　　)A．18& &&&B．24& C．30& &&&D．36[答案]　C[解析]　本题主要考查排列组合的知识．不同分法的种数为C24A33－A33＝30.4．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a0＋a1＋…＋an＝30，则n等于(　　)A．5& &&&B．3& C．4& &&&D．7[答案]　C[解析]　令x＝1得a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝30得n＝4.5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有(　　)A．20种& &&B．30种& C．40种& &&D．60种[答案]　A[解析]　由题意，从5天中选出3天安排3位志愿者的方法数为C35＝10(种)，甲安排在另外两位前面，故另两位有两种安排方法，根据分步乘法计数原理，不同的安排方法数共有20种，故选A.6．(;全国Ⅱ理，6)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有(　　)A．12种& &&B．18种& C．36种& &&D．54种[答案]　B[解析]　把标号为1,2的卡片作为一个整体，放入同一信封有C13种放法，然后将剩下的4个卡片放入另外两个信封中，有C24C22种方法，所以共有C13C24C22＝18种方法．7．某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则小组中的女生数为(　　)A．2& &&&B．3& C．4& &&&D．5[答案]　A[解析]　由题意可用排除法，设有女生x人，则有男生6－x人，于是有C36－C36－x＝16，即(6－x)(5－x)(4－x)＝24，将各选项逐个代入验证可得x＝2.8．(;陕西•理9)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(　　)A．300& &&B．216& C．180& &&D．162[答案]　C[解析]　本小题主要考查排列组合的基础知识．由题意知可分为两类，(1)选“0”，共有C23C12C13A33＝108，(2)不选“0”，共有C23A44＝72，∴由分类加法计数原理得72＋108＝180，故选C.9．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有(　　)A．252种& &&B．112种& C．20种& &&D．56种[答案]　B[解析]　每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人、3人、4人、5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定．∴有C27＋C37＋C47＋C57＝112种．10．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的的子集共有(　　)A．10个& &&B．16个& C．20个& &&D．32个[答案]　D[解析]　(1,10)(2,9)(3,8)(4,7)(5,6)．C12C12C12C12C12＝32.11．(;全国Ⅰ理，6)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(　　)A．30种& B．35种& C．42种& D．48种[答案]　A[解析]　可分以下2种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C13C24种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C23C14种不同的选法．所以不同的选法共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30种．12．已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有交点，且交点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有(　　)A．66条& &&B．72条& C．74条& &&D．78条[答案]　B[解析]　先考虑x≥0，y≥0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)(5,5)(7,1)，依圆的对称性知，圆上共有3×4＝12个点的横、纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C212＝66(条)，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线ax＋by－1＝0不经过原点，而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有66＋12－6＝72(条)．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．[答案]　11[解析]　因为good有两个相同字母，所以可能出现错误为A44－3A22A22－1＝11种．14．(2;四川理，13)2－13x6的展开式中的第四项是________．[答案]　－160x[解析]　2－13x6的展开式中第4项为T4＝C;－13x3＝－160x.15．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对．[答案]　24[解析]　由六棱锥图形分析可知，一条侧棱所在直线与底面上不和该直线相交的四条棱所在的四条直线中的一条才能构成异面直线，故完成这件事分两步：第一步从六条侧棱中任取一条，有六种方法；第二步从底面上不与此侧棱相交的四条棱中任取一条，有四种方法．根据乘法原理，有6×4＝24(对)．16．(;江西文，14)将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)[答案]　90种[解析]　本题考查了排列组合中的平均分组分配问题，先分组C25C23C11A22，再把三组分配乘以A33得：C25C23C11A22&#种．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设32＋133的展开式的第7项与倒数第7项的比是1：6，求展开式中的第7项．[解析]　T7＝C6n(32)n－61336，Tn－7＋2＝Tn－5＝C6n(32)6133n－6.由C6n(32)n－)6133n－6＝16，化简得6n3－4＝6－1，所以n3－4＝－1，所以n＝9.所以T7＝C69×(32)9－6×1336＝C39×2×19＝563.[点评]　(1)本题是应用二项式定理的通项公式的典型问题，要能熟练地应用通项公式写出所需的各项．(2)本题的解题思路实质是利用方程思想列出方程，解出n，这是解本题的关键．18．(本题满分12分)已知A＝{x|1&log2x&3，x∈N*}，B＝{x||x－6|&3，x∈N*}，试问：从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？[解析]　A＝{3,4,5,6,7}，B＝{4,5,6,7,8}．(1)从A中取一个数作为横坐标，从B中取一个数作为纵坐标，有5×5＝25(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种，故共有5×5＋5＋4＝34个不同的点；(2)A∪B＝{3,4,5,6,7,8}，C36＝20(个)；(3)A中取3，则3不能作为首位有C35C13A33＝180(个)；A中不取3，相当于从4,5,6,7,8中取4个数的全排列有A45＝120(个)，共有300个符合要求的自然数．[点评]　注意A，B两集合中相同的元素在组合为点的坐标时无顺序之分．19．(本题满分12分)求(x－3x)9的展开式中的有理项．[解析]　Tr＋1＝Cr9•(x)9－r•(－3x)r＝(－1)rCr9x27－r6.因为27除以6的余数为3，要使27－r6为整数，r必为3的奇数倍．因为0≤r≤9，所以需检验当r＝3和9时27－r6的值．当r为3和9时，27－r6分别为4和3，所以展开式中的有理项为T4＝(－1)3C39x4＝－84x4，T10＝(－1)9C99x3＝－x3.[点评]　要求展开式中的有理项，必须观察展开式通项公式中x的指数，当r取什么值时，能使x的指数为整数．[拓展]　在求使27－r6为整数的r值时，一方面要注意r的取值范围是0≤r≤9，另一方面还要尽可能观察、分析r需要满足的条件，以减少检验的次数，例如，若仅注意到r为3的倍数，则需检验r分别为0,3,6,9时，27－r6的4个值，然后再进行取舍．有时题中不是求出有理项，而是问第几项是有理项，这时应注意，求出的r表示第r＋1项是有理项．20．(本题满分12分)把7个大小完全相同的小球，放置在三个盒子中，允许有的盒子一个也不放．(1)如果三个盒子完全相同，有多少种放置方法？(2)如果三个盒子各不相同，有多少种放置方法？[解析]　(1)∵小球的大小完全相同，三个盒子也完全相同，∴把7个小球分成三份，比如分成3个、2个、2个这样三份放入三个盒子，不论哪一份小球放入哪一个盒子均是同一种放法，因此，只需将7个小球分成如下三份即可，即(7,0,0)、(6,1,0)、(5,2,0)、(5,1,1)、(4,3,0)、(4,2,1)、(3,3,1)、(3,2,2)．共计有8种不同的放置方法．(2)设三个盒子中小球的和分别为x1，x2，x3，显然有：x1＋x2＋x3＝7，于是，问题就转化为求这个不定方程的非负整数解，若令yi＝xi＋1(i＝1,2,3)由y1＋y2＋y3＝0，问题又成为求不定方程y1＋y2＋y3＝10的正整数解的组数的问题，在10个1中间的9个空档中，任取两个空档作记号，即可将10分成三组，∴不定方程的解有C29＝36组．21．(本题满分12分)某校高三年级有6个班级，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．这10个名额有多少不同的分配方法？[解析]　解法一：除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：(1)4个名额全部给某一个班级，有C16种分法；(2)4个名额分给两个班级，每班2个，有C26种分法；(3)4个名额分给两个班级，其中一个班级1个，一个班级3个．由于分给一班1个，二班3个和一班3个、二班1个是不同的分法，因此是排列问题，共有A26种分法；(4)分给三个班级，其中一个班级2个，其余两个班级每班1个，共有C16•C25种分法；(5)分给四个班，每班1个，共有C46种分法．故共有N＝C16＋C26＋A26＋C16•C25＋C46＝126种分配方法．解法二：该问题也可以从另外一个角度去考虑：因为是名额分配问题，名额之间无区别，所以可以把它们视作排成一排的10个相同的球，要把这10个球分开成6段(每段至少有一个球)．这样，每一种分隔办法，对应着一种名额的分配方法．这10个球之间(不含两端)共有9个空位，现在要在这9个位子中放进5块隔板，共有N＝C59＝126种放法．故共有126种分配方法．22．(本题满分12分)已知3a－3an(n∈N*)的展开式的各项系数之和等于43b－15b5的展开式中的常数项，求3a－3an的展开式中a－1项的二项式系数．[解析]　对于43b－15b5：Tr＋1＝Cr5(43b)5－r－15br＝Cr5•(－1)r•45－r• .若Tr＋1为常数项，则10－5r＝0，所以r＝2，此时得常数项为T3＝C25•(－1)25－1＝27.令a＝1，得3a－3an展开式的各项系数之和为2n.由题意知2n＝27，所以n＝7.对于3a－3a7：Tr＋1＝Cr73a7－r•(－3a)r＝Cr7•(－1)r• .若Tr＋1为a－1项，则5r－216＝－1，所以r＝3.所以3a－3an的展开式中a－1项的二项式系数为C37＝35.&
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1.4计数应用题作业（2）班级姓名1.已知集合 ，从集合A中取两个元素相乘组成集合B，集合B的子集个数是.2.在某次数学测验中，记座位号为 的同学的考试成绩为 ，若 ，且满足 ，则这四位同学考试成绩的所有可能有种.3.英文字母3个a，4个b排成一行有种不同的排法.4.把6张不同颜色的卡片，按每个人两张分给3位小朋友，不同的方法共有种.5.从1，2，3，…，9九个数字中，任取两个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，可以组成个不同的对数值.6.用0，1，2，3，4，5六个数字组成没有重复数字的六位数，问:（1）偶数有多少个？（2）奇数有多少个？（3）小于500000的偶数有多少？7．有4本不同的书，按下列方式分配，问各有多少种不同的分配方式？（1）分给甲1本，乙3本；（2）分成两堆，分别是1本和3本；（3）分给甲、乙各两本；（4）分成两堆，每堆都有2本•8.有翻译8人，其中6人会英语，5人会日语，现从中选4人，其中2人翻译英语，2人翻译日语，共有多少种不同的选法？&
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专题六：概率与统计、推理与证明、算法初步、复数第一讲& 计数原理、二项式定理【备考策略】根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时，要注意以下几个方面：1．复习时要注意控制难度，以中低档题为主；2．注意各知识点的交汇，如统计与概率，计数原理与概率等；3．统计部分应重视茎叶图的复习，概率部分应重视条件概率，相互独立事件同时发生的概率和几何概型；程序框图应有所降温。【最新考纲透析】1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；（2）会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。2．排列与组合（1）理解排列、组合的概念；（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；（3）能解决简单的实际问题。3．二项式定理（1）能用计数原理证明二项式定理；（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。【核心要点突破】要点考向1：利用分步加法和分步乘法计数原理计数考情聚焦：1．两个计数原理是排列、组合的基础，又是古典概率的必要工具，在每年的高考中都直接或间接考查。2．多在选择、填空题中出现，属中档或较难题目。考向链接：1．“分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步。分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理将种数相乘。2．对于较复杂的问题，一般要分类讨论，此时要注意分类讨论的对象和分类讨论的标准。例1：用1，2，3这三个数字组成四位数，要求这三个数字必须都使用，但相同的数字不能相邻，以这样的方式组成的四位数共有&（&&& ）&A．9个&B．12个&C．18个&D．36个【解析】选C.先选取使用两次的数字有 种，然后将剩余的两个数字全排列有 种，再将使用两次的数字插入到这两个数字之间有 种，故共有&& =18种组合方式.要点考向2：利用排列组合计数问题考情聚焦：1．在高考题中可单独考查，也可与古典概型结合起来考查。常与两个计数原理交汇命题，是各省市高考的热点。2．以选择、填空题的形式呈现，属中档题或较难题目。考向链接：解排列组合综合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手。“分析”就是找出题目的条件、结论。哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决。例2：（;北京高考理科•Ｔ4）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（& ）（A）&&&&&&&&& （B）&&&&&&&& （C）&&&&&&& （D）& 【命题立意】本题考查排列组合的相关知识。所用技巧：有序排列无序组合、不相邻问题插空法。【思路点拨】先排8名学生，再把老师插入到9个空中去。【规范解答】选A。8名学生共有 种排法，把2位老师插入到9个空中有 种排法，故共有 种排法。【方法技巧】解决排列组合问题常用的方法与技巧：（1）有序排列无序组合；（2）不相邻问题插空法：可以把要求不相邻的元素插入到前面元素间的空中；（3）相邻问题捆绑法。要点考向3：二项式定理考情聚焦：1．二项展开式的指定项、二项式系数和各项的系数是高考的重点。常与组合数、幂的运算交汇命题。2．多出现在选择题、填空题中，属容易题或中档题。例3：（;陕西高考理科•Ｔ4） （ ）展开式中 的系数为10，则实数 等于（&&& ）（A）-1&&&&&&&&&&&& （B）&&&&&&&&&&&&& (C)& 1&&&&&&&&& (D)&& 2【命题立意】本题考查二项式定理的通项公式的应用及运算能力，属保分题。【思路点拨】&&&&&& 【规范解答】选D& ，令 ，所以 ，所以 【高考真题探究】1．（;山东高考理科•Ｔ8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A）36种&&&&（B）42种&&&(C)48种&&&（D）54种&【命题立意】本题考查排列组合的基础知识，考查分类与分步计数原理，考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力.&【思路点拨】根据甲的位置分类讨论.&【规范解答】选B，分两类：第一类：甲排在第一位，共有 种排法；第二类：甲排在第二位，共有 种排法，所以共有编排方案 种，故选B. 【方法技巧】排列问题常见的限制条件及对策1、有特殊元素或特殊位置，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置.2、元素必须相邻的排列，将必须相邻的的元素捆绑，作为一个整体，但要注意其内部元素的顺序.3、元素不相邻的排列，先排其他元素，然后“插空”.4、元素有顺序限制的排列.2．（;天津高考理科•Ｔ１0）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（A）288种& （B）264种& （C）240种& （D）168种【命题立意】本题考查分类计数原理，排列组合等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力。【思路点拨】先分步再排列【规范解答】先涂色点E，有4种涂法，再涂点B，有两种可能：1、B与E相同时，依次涂点F,C,D,A，涂法分别有3,2,2,2种；2、B与E不相同时有3种涂法，再依次涂F、C、D、A点，涂F有2种涂法，涂C点时又有两种可能：（1）C与E相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：&&&&&&&&& ①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；&&&&&&&&& ②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法。&&&&&& （2）C与E不相同，有1种涂法，再涂点D，有两种可能：&&&&&&&&& ①D与B相同，有1种涂法，最后涂A有2种涂法；&&&&&&&&&&&&& ②D与B不相同，有2种涂法，最后涂A有1种涂法。所以不同的涂色方法有&。【方法技巧】解题的关键是处理好相交线端点的颜色问题，解决排列组合应用题，要做到合理的分类，准确的分类，才能正确的解决问题。3．（;辽宁高考理科•Ｔ13） 的展开式中的常数项为___-5______.【命题立意】考查了二项式的展开式，【思路点拨】展开式中的常数项只可能是 中的常数项与 中的常数项的积和 中的一次项与 中的 项的积以及 中的二次项与 中的 项积的和【规范解答】&【方法技巧】1、分清常数项是如何产生的。展开式中的常数项并不是 中的常数项与 中的常数项的积，而是 中的各项与 的展开式中的项的乘积中各常数项的和。2、 展开式中第k+1项Tk+1＝ ，不要漏掉负号。4．（;安徽高考理科•Ｔ12） 展开式中， 的系数等于________。【命题立意】本题主要考查二项式定理，考查考生对二项式定理理解认知的水平。& 【思路点拨】方法1：写出展开式的通项，进而确定 的项及其系数。方法2：要得到 项，必须 出现4次， 出现2次，即 ，这样直观快捷。【规范解答】方法1： 展开式的通项为：&，当且仅当 时，能得到 的项，此时 ，所以 的系数等于15。方法2： 所以 的系数等于15。答案：155．（;浙江高考理科•Ｔ17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）.【命题立意】本题考查排列组合的相关知识，考查数学的应用能力。【思路点拨】可以先安排上午的测试项目，再安排下午。【规范解答】记4位同学分别为：A、B、C、D。则上午共有 =24种安排方式。不妨先假定上午如表格所示安排方式，项目&身高与体重&立定跳远&肺活量&握力&台阶上午&A&B&C&&D下午&&&&&则下午可如下安排：BADC、BCAD、BCDA、BDAC、CABD、CADB，CDAB、CDBA，DABC、DCAB、DCBA，共11种安排方式。因此，全天共有 =264种安排方式。答案：264。【方法技巧】解决排列组合问题时，常用的技巧：（1）特殊位置优先安排；（2）合理分类与准确分步。6．（;广东高考理科•Ｔ8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯商量的颜色各不相同。记这这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5妙。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是A、 1205秒&&& B.1200秒&&&&& C.1195秒&&&&&&& D.1190秒【命题立意】本题考察排列的综合问题。【思路点拨】先用排列算出闪烁个数& ，还要考虑每个闪烁间的时间。【规范解答】选& 每次闪烁时间为 秒，共 ，每两次闪烁之间的间隔为 ，共 ，总共就有 【跟踪模拟训练】一、选择题(每小题6分，共36分)1.某班级有一个7人小组,现任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整方案的种数为(&&& )(A)35&&(B)70&&(C)210&&(D)1052.从6人中选出4人参加数、理、化、英语比赛，每人只能参加其中一项,其中甲、乙两人都不能参加英语比赛，则不同的参赛方案种数共有(&& )(A)96种&&&&& (B)180种&&&& (C)240种&&&&& (D)288种3.在(1-x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中若2a2+an-5=0,则自然数n的值是(&& )(A)7&&(B)8&&(C)9&&(D)104．在 的展开式中， 的幂的指数是正整数的项共有（&& ）(A) 3项&&(B)4项&&(C)5项&&(D)2项5.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,则实数m的值为(&&& )(A)1或3&&&&& (B)-3&&&&&& (C)1&&&&&&& (D)1或-36. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（&&& ）（A）360&&&& （B）288&&&& （C）216&&&&& （D）96二、填空题（每小题6分，共18分）7．若函数& ，则 8.二项式(2+x)n的展开式中,前三项的系数依次为等差数列,则展开式的第8项的系数为______.(用数字表示)9.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个（用数字作答）.三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)10.有同样大小的9个白球和6个红球.(1)从中取出5个球,使得红球比白球多的取法有多少种?(2)若规定取到一个红球记1分,取到一个白球记2分,则从中取出5个球,使得总分不小于8分的取法有多少种?11．对于二项式& , 求：（1）展开式的中间项是第几项？写出这一项；（2）求展开式中除常数项外，其余各项的系数和；（3）写出展开式中系数最大的项12．甲，乙，丙…等六人，身高各不相同，将他们排成二行三列，求下列条件的排法种数．&&&&&& (I)甲、乙不在同一行；&&&&&& (Ⅱ)甲不在第一列且乙不在第一行；&&&&&& (Ⅲ)每列中第一行的人比第二行的人高且每行中的三人中间高两边矮．参考答案1．【解析】选B.从7人中选出3人,有 种方法,3人相互调整座位,共有2种调整方案,故总的调整方案种数为 ×2=70(种).2．【解析】选C。分三类：①甲、乙均不参赛，有 种；②甲、乙只一人参赛，有 ③甲、乙均参赛，有 故不同的参赛方案种数共有 =240种。3．&4．【解析】选A。 由题意 为正整数且 故&& 的幂的指数是正整数的项只有3项。5．【解析】选D.当x=0时,得a0=1，当x=1时,得a0+a1+a2+…+a6=(1+m)6，∴a1+a2+…+a6=(1+m)6-1=63，即(1+m)6=64=26，∴1+m=±2，∴m=1或m=-3.6．【解析】选B。先保证3位女生中有且只有两位女生相邻有 种排法，在这些排法中甲站两端的排法有 ，故所求的不同的排法种数有 种。7．【解析】f(x)=(1+x)8，∴f(3)=(1+3)8=48=216，∴log2f(3)=log2216=16.答案:168．【解析】前3项的系数分别为 由题意知： 即 ∴n=8，∴展开式中 ∴第8项的系数为16。答案:169．【解析】分两大类：（1）四位数的4个数字如果有0，则0一定排在个、十、百位的任一位上。个、十、百位剩余的2个位置，一定是偶数或一定是奇数，故共有& （2）四位数的4个数字如果没有0，则个、十、百位应全是偶数，或两奇一偶，此时共有 180种，故符合题意的四位数共有144+180=324（个）。答案:32410．【解析】（1）5个全是红球有 种取法，4个红球、1个白球有 种取法，3个红球、2个白球有 种取法，所以取出的红球比白球多取法共有 + + =861（种）。（2）要使总分不小于8分，至少需取3个白球2个红球，3白2红有 种取法，4白1红有 种取法，5个全是白球有 种取法，所以总分不小于8分的取法共有 + + =2142（种）。11．【解析】（1）展开式共11项，中间项为第6项，& ……4分&12．【解析】（Ⅰ）第一步：确定甲，乙所在行有（2种）；&&&&&&&&&&&& 第二步：确定甲位置（3种）；&&&&&&&&&&&& 第三步：确定乙位置（3种）；&&&&&&&&&&&& 第四步：将其它人排好（ 种）；&&&&&&&&&& ∴有 （种）……2分（Ⅱ）分两类：&&&&& 第一类： 甲在二、三列且甲在第一行.&&&&& 第一步：先排甲乙（2种）；第二步：再排乙（3种）；第三步：再排其它（ 种）；&&&&& 所以有 （种）.&&&& 第二类：甲在二、三列且甲在第二行.&&& 第一步：先排甲（2种）；第二步：再排乙（2种）；第三步：再排其它（ 种）；&&& 所以有 （种）&&& ∴共有 （种） （Ⅲ）由已知第一行中间人一定是最高的，第二行两侧的某人一定是最矮的.∴第一步：排最高的人（1种）；& 第二步：确定最矮人的位置（2种）；& 第三步：在剩下的四人中选取一人到最高最矮人的角落（ 种）；& 第四步：在剩下的三人中有 种排法：（∵剩下三个位子的角落必排剩下三人中最矮的） ∴有 种方法选手【备课资源】1.有两排座位,前排4个座位,后排5个座位,现安排2人就坐,并且这2人不相邻(一前一后也视为不相邻),那么不同坐法的种数是(&&& )(A)18&&(B)26&&(C)29&&(D)58【解析】选D.2个人从9个座位中选2个座位坐好,共有 种坐法,其中两人相邻的坐法有7 .故两人不相邻的坐法有 -7 =58（种）2．下面是高考第一批录取的一份志愿表。现有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择，如果表格填满且规定学校没胡重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有几种不同的填写方法（& ）&&【解析】选D。分4步完成，第1步，选择学校有 种选择方法。第2步，选择第一志愿的专业，有 种选择方法。第3步，选择第二志愿的专业，有 种选择方法。第4步，选择第三志愿的专业，有 种选择方法。故填写志愿共有 种填写方法。&&4. (1+x)7的展开式中x2项的系数是______.【解析】∵T3= x2=21x2，∴x2的系数为21.答案:21&&6.已知(1-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若5a1+2a2=0,则a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=_______.【解析】& ∵5a1+2a2=0，&即n2-6n=0，解得n=6或n=0(舍)，令x=-1得a0-a1+a2-a3+…+(-1)6a6=(1+1)6=64.答案：64
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计数原理复习（2）&一、知识点：1．根据具体问题的特征选择计数原理，利用排列、组合知识解决实际问题。2．分清是排列还是组合问题。二、基础训练1．某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的所有可能方式有& 种。2．已知， ，设& ，则 的值为&&&&&&&& 。3．有5部各不相同的手机参加展览，排成一行，其中有2部手机来自同一厂家，则此2部手机恰好相邻的排法总数为　&&&& 　。４．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有&&&&&&&&&&& 种 。5．等腰三角形的三条边长均为正整数，它的周长不大于10，这样不同形状的等腰三角形的种数为&&&&&&&&&&& 。三、典型例题例1．5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数（只列式）(1) 甲站正中间的排法有&&&&&&&&&& 种，甲不站在正中间的排法有&&&&&&&&&& 种．(2) 甲、乙相邻的排法有&&&&&&&&&& 种，甲乙丙三人在一起的排法有&&&&&&&&&& 种．(3) 甲站在乙前的排法有&&&&&&&& 种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有&&&&&&&&&&&&&& 种，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有&&&&&&&&&&& 种．(4) 甲乙不站两头的排法有&&&&&&& 种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有&&&&&&&& 种．(5) 5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有&&&&&&&&&&& 种．(6) 女生互不相邻的排法有&&&&&&&&&& 种，男女相间的排法有&&&&&&& 种．(7) 甲与乙、丙都不相邻的排法有&&&&&&&&&&& 种。(8) 甲乙之间有且只有4人的排法有&&&&&&&&&&&& 种．&例２．用0，1，2，3，4，5这六个数可以组成多少个分别符合下列条件且无重复数字的五位数：（1）奇数；（2）能被25整除的数；（3）比12345大且能被5整除的数。 例3．（１）求 展开式中含x的项的系数。（２）已知 ，若 ，求n. 四、巩固练习1．现有男、女学生共 人，从男生中选 人，从女生中选 人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有 种不同方案，那么男、女生人数分别是&&&&&&& ，&&&&&&&&& 。2．由 这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数。 3．在 展开式中，如果第 项和第 项的二项式系数相等，则&&&&&&&&& ，&&&&&&&&&&& 五、课堂小结六、课后反思七、课后作业1.用1、5、9、13中任意一个数作分子，4、8、12、16中任意一个数作分母，可构成&&&&&&&&& 个不同的分数？可构成&&&&&&&&&& 个不同的真分数？2.设 且a&20，则(27－a)(28－a)(29－a)(30－a)…(34－a)用排列数可表示为&&&& 　&& 。3.用4种不同的颜色涂入如图四个小矩形中，要求相邻矩形的涂色不得相同，则不同的涂色方法共有&& &&& 种。& 4.从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为　　　　　。5.从 中任取三个数字，从 中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有多少个这样的数？&6.已知 其中 是常数,计算 &7．已知 的展开式的各项系数之和等于 展开式中的常数项，求 展开式中含 的项的二项式系数.&8．把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.（1）&43251是这个数列的第几项？（2）&这个数列的第96项是多少？&订正栏：
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第01课时1.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（一）学习目标1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；2．会利用两个原理分析和解决简单的应用问题.学习过程一、学前准备阅读课本P1内容，知道：（1）现实生活中的计数问题普遍存在的；（2）计算问题的思路；（3）明确本章学习的主要内容。二、新课导学◆探究新知（预习教材P2～P6，找出疑惑之处）问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？你能说说这个问题的特征吗？&问题2：用前6个大写英文字母和 九个阿拉伯数字，以 的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？你能说说这个问题的特征吗？&◆应用示例例1．(课本P2例1)在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：&&&&&&&& A大学&&&&&&&&&&& B大学&&&&&&&& 生物学&&&&&&&&&&&& 数学&&&&&&&& 化学&&&&&&&&&&&&&& 会计学&&&&&&&& 医学&&&&&&&&&&&&&& 信息技术学&&&&&&&& 物理学&&&&&&&&&&&& 法学&&&&&&&& 工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？&例2. (课本P4例2)设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？&例3. (课本P5例3)书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.（1）从书架中任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？&例4. (课本P5例4) 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？&◆反馈练习1．（课本P6练1）填空：&( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是&&&&&&&&& ; ( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B村到C村 的路线有&&&&&&&&&&&& 条．2．（课本P6练3）在例1中，如果数学也是 A 大学的强项专业，则 A 大学共有 6 个专业可以选择， B 大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择共有 6 + 4 = 10 （种） . 这种算法有什么问题？ &学习评价1.从甲地到乙地每天有直达班车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地，不同的乘车法有(& )A.12种&&& B.19种&&& C.32种&&& D.60种2.若x∈｛1，2，3｝，y∈｛５，7，9｝，则 的不同值有(&& )A.2个&&& B.6个&&& C.9个&&& D.3个?3.某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方案有(&&& )A.3种&&& B.6种&&& C.7种&&& D.9种?课后作业1．（课本P6练2）现有高一年级的学生 3 名，高二年级的学生 5 名，高三年级的学生 4 名． ( 1 ）从中任选1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？( 2 ）从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？ &2．(课本P12A1)一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有4种，外地的产品有7种，要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？&3．一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码?&
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