设函数f（x）=xlnx（x＞0）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设F（x）=ax
2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；
（3）斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x
2）两点，求证：
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设函数f（x）=xlnx（x＞0）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设F（x）=ax
2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；
（3）斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x
2）两点，求证：
设函数f（x）=xlnx（x＞0）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设F（x）=ax
2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；
（3）斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x
2）两点，求证：
科目:最佳答案
f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．（2分）∵当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，（3分）∴当时，min=
F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），2+1
(x＞0)．（5分）①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；（6分）②当a＜0时，令F'（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；（7分）令F'（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得．（8分）综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减．（9分）
证：2)-f′(x1)
＜x2，即证1＜
＜x2，等价于证2
，则只要证，由t＞1知lnt＞0，故等价于证lnt＜t-1＜tlnt（t＞1）（*）．①设g（t）=t-1-lnt（t≥1），则，故g（t）在[1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，g（t）=t-1-lnt＞g（1）=0，即t-1＞lnt（t＞1）．②设h（t）=tlnt-（t-1）（t≥1），则h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，h（t）=tlnt-（t-1）＞h（1）=0，即t-1＜tlnt（t＞1）．由①②知（*）成立，得证．（14分）
解析（1）解：f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得
时，f'（x）＜0；当
时，f'（x）＞0，（3分）
（2）F（x）=ax
2+lnx+1（x＞0），
(x＞0)．（5分）
①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；（6分）
②当a＜0时，
令F'（x）＞0，得2ax
2+1＞0，解得
令F'（x）＜0，得2ax
2+1＜0，解得
综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，F（x）在
上单调递增，在
上单调递减．（9分）
2)-f′(x1)
＜x2，即证
＜x2，等价于证
，由t＞1知lnt＞0，故等价于证lnt＜t-1＜tlnt（t＞1）（*）．
①设g（t）=t-1-lnt（t≥1），则
，故g（t）在[1，+∞）上是增函数，
∴当t＞1时，g（t）=t-1-lnt＞g（1）=0，即t-1＞lnt（t＞1）．
②设h（t）=tlnt-（t-1）（t≥1），则h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函数，
∴当t＞1时，h（t）=tlnt-（t-1）＞h（1）=0，即t-1＜tlnt（t＞1）．
由①②知（*）成立，得证．（14分）知识点:&&基础试题拔高试题热门知识点最新试题
关注我们官方微信关于跟谁学服务支持帮助中心求函数单调性：f(x)=(ax^2-x)lnx-1/2ax^2+x为什么要讨论0
首先就是求导啦求完导之后得到的是f'(x)=(2ax-1)lnx(x>0).接下来讨论a(1)a≤0.x>0,则2ax-1<0令f'(x)=(2ax-1)lnx<0,可得当0<x0；x>1时,f'(x)<0所以f(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)递减(2)0<a<1/2,令f'(x)=(2ax-1)lnx=0得x=1/(2a)或x=1,当0<a1,所以当x属于(0,1)时,f‘(x)>0,f(x)在(0,1)单调递增；当x属于(1,1/2a)时,f‘(x)1/2a时,f‘(x)>0,f(x)在(1/2a,+∞)单调递增.(3)a>1/2,令f'(x)=(2ax-1)lnx=0得x=1/(2a)或x=1,当a>1/2时,1/(2a)<1,所以当x属于(0,1/2a)时,f‘(x)>0,f(x)在(0,1/2a)单调递增；当x属于(1/2a,1)时,f‘(x)1时,f‘(x)>0,f(x)在(1,+∞)单调递增.讨论完了.楼主在分类讨论的时候要理清思路,对a讨论就先把a的区间分割好,然后一个一个区间进行讨论,这样就不会乱.
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扫描下载二维码已知函数fx=lnx-ax2+(2-a）x 讨论fx单调性.
怪蜀黍00149
f(x)=lnx-ax&#178;+(2-a)x ,x>0f ′(x)=1/x-2ax+2-a=[-2ax&#178;+(2-a)x+1]/x=(2x+1)(1-ax)/x=(2+1/x)(1-ax)因为x>0所以2+1/x>0当a≤0时,因为1-ax>0所以f ′(x)=(2+1/x)(1-ax)>0恒成所以f(x)在定义域单调递增当a>0时,因为2+1/x>0所以令f ′(x)=(2+1/x)(1-ax)>0得x
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f(x)=lnx-ax^+(2-a）x,x>0,f'(x)=1/x-2ax+2-a=[-2ax^+(2-a)x+1]/x=（1+2x)(1-ax)/x,a0,f(x)↑；a>0时0<x0,f(x)↑；x>1/a,f'(x)<0,f(x)↓.
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＞＞＞已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1，(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)设a..
已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1，(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性； (Ⅱ)设a＜-1，如果对任意x1，x2∈(0，+∞)，|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|，求a的取值范围。
题型：解答题难度：偏难来源：辽宁省高考真题
解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0，+∞)，，当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，+∞)单调增加；当a≤-1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，+∞)单调减少；当-1＜a＜0时，令f′(x)=0，解得，则当x∈时，f′(x)＞0；x∈时，f′(x)＜0，故f(x)在单调增加，在单调减少． (Ⅱ)不妨假设x1≥x2，而a＜-1，由(Ⅰ)知f(x)在(0，+∞)单调减少，从而，等价于，① 令g(x)=f(x)+4x，则， ①等价于g(x)在(0，+∞)单调减少，即，从而；故a的取值范围为（-∞，-2]。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1，(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)设a..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
与“已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1，(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)设a..”考查相似的试题有：
273143493566457861755556393913806271已知函数fx=lnx-ax^2+(2-a)x 讨论函数的单调性!已知函数fx=lnx-ax^2+(2-a)x 讨论函数单调性.
答：f(x)=lnx-ax&#178;+(2-a)x,x>0求导得：f'(x)=1/x-2ax+2-a=[-2ax&#178;+(2-a)x+1]/x=-(2x+1)(ax-1)/x因为：x>0所以：-(2x+1)/x0,f(x)是单调增函数；2）当a03.1）当0
你的qq多少 我有一点不太明白
呵呵，非常少用QQ，有问题可以私信，谢谢
恭喜，呵呵
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