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设0＜a＜1，0＜b＜1，则limn→∞an+bn(a+b)n=______．
题型：填空题难度：中档来源：普陀区一模
由于（a+b）n=Cn0an+cn1an-1b+…+cnnbn则limn→∞an+bn(a+b)n=limn→∞an+bnan+nan-1b+…+bn=limn→∞11+n1abn-1+C2n1a2bn-2+…+n1an-1b&=0故答案为：0
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据魔方格专家权威分析，试题“设0＜a＜1，0＜b＜1，则limn→∞an+bn(a+b)n=______．-数学-魔方格”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系，二项式定理与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的极值与导数的关系二项式定理与性质
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&&二项式定理：
， 它共有n+1项，其中（r=0，1，2…n）叫做二项式系数，叫做二项式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项.二项式系数的性质：
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即； （2）增减性与最大值：当r≤时，二项式系数的值逐渐增大；当r≥时，的值逐渐减小，且在中间取得最大值。 当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等并同时取最大值。 二项式定理的特别提醒：
①的二项展开式中有(n+1)项，比二项式的次数大1．②二项式系数都是组合数，它与二项展开式的系数是两个不同的概念，在实际应用中应注意区别“二项式系数”与“二项展开式的系数”。③二项式定理形式上的特点：在排列方式上，按照字母a的降幂排列，从第一项起，a的次数由n逐项减小1，直到0，同时字母6按升幂排列，次数由0逐项增加1，直到n，并且形式不能乱．④二项式定理中的字母a，b是不能交换的，即与的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列次序是不同的，注意不要混淆．⑤二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a，b，该等式都成立，因而，对a，b取不同的特殊值，可以对某些问题的求解提供方便，二项式定理通常有如下两种情形:⑥对二项式定理还可以逆用，即可用于式子的化简。&
二项式定理常见的利用：
方法1：利用二项式证明有关不等式证明有关不等式的方法：(1)用二项式定理证明组合数不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式证明的方法进行论证．(2)运用时应注意巧妙地构造二项式．证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结论不构成影响的若干项可以去掉．方法2：利用二项式定理证明整除问题或求余数：(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本做法是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）一、二项就可以了．(3)要注意余数的范围，为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换．方法3：利用二项式进行近似解：当a的绝对值与1相比很少且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略不计，类似地，有&但使用这两个公式时应注意a的条件以及对计算精确度的要求．要根据要求选取展开式中保留的项，以最后一项小数位超要求即可，少了不合要求，多了无用且增加麻烦．&方法4：求展开式特定项：(1)求展开式中特定项主要是利用通项公式来求，以确定公式中r的取值或范围．(2)要正确区分二项式系数与展开式系数，对于(a-b)n数展开式中系数最大项问题可以转化为二项式系数的最大问题，要注意系数的正负．方法5：复制法利用复制法可以求二项式系数的和及特殊项系数等问题。一般地，对于多项式
方法6：多项式的展开式问题：对于多项式(a+b+c)n，我们可以转化为[a+(b+c)]n的形式，再利用二项式定理，求解有关问题。
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886442329072409645628898286405877293⑩竞赛中的二项式定理问题98
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⑩竞赛中的二项式定理问题98
Y.P.M数学竞赛讲座1；竞赛中的二项式定理；二项式定理是数学竞赛的热点之一.；1.常数项；[例1]:(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试；1x；)的展开式中,常数项为.；[类题]:；1.①(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)；16；)的展开式中常数项为(用数字作答).x；1x；2009；的二项展开式中常数项是.；2.①(2012年全国高中数学联赛四
Y.P.M数学竞赛讲座
1竞赛中的二项式定理二项式定理是数学竞赛的热点之一.1.常数项[例1]:(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在(4x2-2x-5)(1+[解析]: 1x2)的展开式中,常数项为
.5[类题]:1.①(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)(x-
②(2009年全国高中数学联赛浙江初赛试题)(x-2216)的展开式中常数项为
(用数字作答). x1x6)2009的二项展开式中常数项是
.2.①(2012年全国高中数学联赛四川初赛试题)(x+x-16)的展开式中的常数项是
(用具体数字作答). x17)的常数项是_____. x②(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)展开式(1+x+3.(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)若二项式(ax-1x)的展开式中的常数项为-160,则?(3x2?1)dx=
.6a 2.通项公式[例2]:(2000年全国高中数学联赛试题)设an是(3?3n)=
. anx)的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…),则lim(n??n3233++…+ a2a3[解析]:[类题]:1.(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)(x-3x)的展开式中,x的系数为
2.①(1998年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若(xx-
②(2000年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若(xx-3.(2010年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知 (ax+1)=anx+an-1x+…+a1x+a0(n∈N),点列Ai(i,ai)(i=0,1,2…,n)部分图象如图所示, 则实数a的值为________.nnn-1*235-n)展开式中第5项的值为,则lim(x+x+…+x)=
. x2n??16-1-3-1-2n)展开式中第5项的值为5,则lim(x+x+…+x)=
. xn??3.通项分析[例3]:(2002年全国高中数学联赛试题)将二项式(x+12x)的展开式按x的降幂排列,若前三项系数成等差数列,则n该展开式中x的幂指数是整数的项共有__________个.[解析]: [类题]:2
Y.P.M数学竞赛讲座1.(《中等数学》.2008年第3期.数学奥林匹克高中训练题(106))在(5+3)的展开式中共有
个项为有理数.100n2.①(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设展开式(5x+1)=a0+a1x+…+anx,n≥2011,若a2011=max{a0,a1,…,an},则n=
.②(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)若x∈R,则(1+2x)的二项式展开式中系数最大的项为(
) (A)第8项
(C)第8项和第9项
(D)第11项2n+13.(1988年全国高中数学联赛试题)(x+2)的展开式中,x的整数次幂的各项系数之和为_________.+15n4.赋值方法[例4]:(2005年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设(1+x+x2)n=a0+a1x+…+a2nx2n,则a2+a4+…+a2n的值为
. [解析]:[类题]:1.①(2010年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设(3+x+2x)=a0+a1x+a2x+…+a2nx(n∈N)对x∈R恒成立,则a1+a2+…+a2n-1=
.②(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知多项式(1+x)+(1+x)+(1+x)+…+(1+x)=b0+b1x+b2x+…+bnx,且满 足:b0+b1+…+bn=26,则正整数n的一个可能值为
.③(2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知多项式(1+x)+(1+x)+(1+x)+…+(1+x)=b0+b1x+b2x+…+bnx,且满足: b0+b1+…+bn=1013,则正整数n的一个可能值为
.2.①(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)若(2x-1)=a8x+a7x+…+a1x+a0,则a8+a6+a4+a2=
.②(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)设二项式(3x-1)=a2nx+a2n-1x+…+a2x+a1x+a0,记Tn=a0+a2+…+a2n,Rn=a1+ a3+…+a2n-1,则limn??2n2n2n-1288723n2n23n2n2n22n+Tn=
. Rn2n22n+③(2006年全国高中数学联赛山西初赛试题)若(2x+4)=a0+a1x+a2x+…+a2nx(n∈N),则a2+a4+…+a2n被3除的余数是
.2.①(2009年第20届全国希望杯高二数学邀请赛试题)已知f(x)=x-2x-3,f(g(x))=4x+4x-7x-4x,则g(x)的各项系数(包括常数项)的和等于
.②(2006年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知f(x)=3x-x+4,f(g(x))=3x+18x+50x+69x+48,那么,整系数多项式函数g(x)的各项系数的和等于
.③(2005年全国高中数学联赛试题)将关于x的多项式f(x)=1-x+x-x+…-x+x表为关于y的多项式g(y)=a0+a1y +a2y+…+a19y+a20y,其中y=x-4,则a0+a1+…+a20=
.④(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)设函数f(x)=x+6x+8.如果f(bx+c)=4x+16x+15,那么,c-2b=
⑤(2010年全国高中数学联赛北京初赛试题)满足方程f(x)+(x-2)f(1)+3f(0)=x+2(x∈R)的函数f(x)=
.32221920231920243224325.微积方法[例5]:(2008年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设(x2+2x-2)6=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,其中ai(i=1,2,…,12)为实常数,则a0+a1+2a2+…+12a12=
.[解析]: [类题]:1.①(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若x+3x+1=a0+a1(x-1)+a2(x-1)+ ?+a5(x-1)对任意实数x都成立,则a3的 值是
(用数字作答).②(2008年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知恒等式x+a1x+a2x+a3x+a4＝(x+1)+b1(x+1)+b2(x+1)+b3(x+1)+b4,则用a1、a2、a3、a4来表示b3有b3＝_______________________.③(2003年湖南高中数学夏令营试题)由等式x+a1x+a2x+a3x+a4=(x+2)+b1(x+2)+b2(x+2)+b3(x+2)+b4,定义映射 f:(a1,a2,a3,a4)→(b1,b2,b3,b4),则f[(10,30,38,21)]=
.2.①(2011年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设(1+x-x)=a0+a1x+a2x+…+a20x,则a0+a1+2a2+3a3+…+20a20=
.2102204324324324325325Y.P.M数学竞赛讲座
3②《(中等数学》.2010年第4期.数学奥林匹克高中训练题(128))设(2+x-2x)=a0+a1x+a2x+…+aa2009=
.3.(1998年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算: C11C11C1C2+11+11+…+11=
.121232100522010,则a1+3a3+5a5+…6.多截公式[例6]:(2001年全国高中数学联赛试题)若(1+x+x2)100的展开式为a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a,则a0+a3+a6+a9+…+a1998的值为
.[解析]:[类题]:1.(2007年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设(1+x+x)=a0+a1x+a2x+…+a2nx(n∈N),则a0+a3a6+…+a中,[x]表示不超过x的最大整数).2.①(《中等数学》.2005年第4期.数学奥林匹克高中训练题(75))C+C+…-C2004解:在(1+x)=C2004+xC2004+xC2004+…+x357200120032004 1222004 24620022n22n+3[[2n]3的值为
(其+C2004=
.200220042004C20042004中,令x=i得:(1+i)=(C+C+…-C1002)+i(C20041-C-C2004+…+C).又(1+i)=(2i)
②(1990年全国高中数学联赛试题)设n=1990,则2004=-21002?C+C+…-C2004224369941988995+C2004=-2.12n(1-3Cn+3Cn-3Cn+…+3Cn-3Cn1990)=
.3.(《中等数学》.2010年第7期.数学奥林匹克高中训练题(75))设f(x)=(x+∈R,k=0,1,2,…,2010,则?(a3k?b3k)=
.k?067020101?ikk)=?akx+i?bkx,其中,ak,bk2k?0k?07.计数思想[例7]:(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)集合{1,2,3,…,2009}的元素和为奇数的非空子集的个数为
. [解析]: [类题]:1.(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在(x+3x+2)的展开式中,含x项的系数是
. 2.(《中等数学》.2011年第7期.P3例题)在(x+1)(x+2)…(x+n)的展开式中,含x项的系数是
. 3.(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)多项式(1+x+x+…+x)的展开式在合并同类项后,x字作答).21003150n-225的系数为
(用数8.对偶思想[例8]:(2009年全国高中数学联赛吉林初赛试题)([解析]:[类题]:2n*1.(2010年全国高中数学联赛河南初赛试题)记M=(5+24)(n∈N),N是M的小数部分,则M(1-N)的值是
. n2.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知(1+)=an+bn,其中an,bn是整数,则lim2+3)2010的小数点后一位数字是
. bn2n*2n3.①(2009年全国高中数学联赛新疆初赛试题)数(3+)(n∈N),且n≥2009,设[x]为x的整数部分,则[(3+)]除以8的余数是
.4022②(2006年第七届北方数学奥林匹克邀请赛试题)数(3+2)(n∈N+)的整数部分的个位数字是
.9.二项应用4
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[例9]:(2003年江苏省数学夏令营数学竞赛试题)x10+1除以(x-1)2的余式是
. [解析]:[类题]:1.(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)2足220121000除以13的余数是
.2.(《中等数学》.2011年第12期.数学奥林匹克高中训练题(148))整数列{an}定义如下:a0=0,a1=1,an=2an-1+an-2(n&1).则满|an的最小正整数n为
.10.逆向应用[例10]:(2006年全国高中数学联赛试题)数码a1,a2,a3,…,a2006中有奇数个9的2007位十进制数2a1a2a3???a2006的个数为
.[解析]:[类题]:1.(2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)6+C116+C116+…+C116-1被8除所得余数是
.h2.(2003年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知n为自然数,多项式P(x)=?Cnx(x-1)可展开成x的升幂排列a0+a1x+n-hh111102910nh?0a2x+…+anx,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|=
.3.(2010年全国高中数学联赛上海初赛试题)满足0&a1&a2&…&an(n≥2,n∈N+)的2n-1位十进制正整数a1a2???an?1anan?1???a2a1 共有
个(用数值作答).2n11.组合等式[例11]:(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)2?kCn-3n?kCn+n?kCnk=
.3knn2k2nk?1k?1k?1[解析]:
[类题]:1.(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算?k?1C11=
.k?1k12154n+12.(2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)对于n∈N+,计算C4n+1+C4n+1+…+C4n+1=
.12.质数指数勒让德(Legendre)定理:n！中含质数p的指数k=[ 12nnnn]+[2]+[3]+…. ppp推论:在Cn,Cn,Cn,…,Cn中,奇数个数是2S(n),其中S(n)是n的二进制数玛的和.[例12]:(2011年全国高中数学联赛试题)已知an=C200n()200-n([解析]: [类题]:12)(n=1,2,…,95),则数列{an}中整数项的个数为
.n1.(2008年安徽高考试题)设(1+x)=a0+a1x+…+a8x,则a0,a1…,a8中奇数的个数为
. 2.(2008年全国高中数学联赛安徽初赛试题)(1+x)200888=a0+a1x+…+a2008x,则a0,a1…,a2008中奇数的个数为
.r20083.(1991年日本数学奥林匹克试题)满足0≤r≤n≤63的全部数组(n,r)中,二项式系数Cn为偶数的个数是
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1竞赛中的二项式定理高中联赛中的向量问题具有纯粹性,着重于对向量本质特征--“数形二重性”的考察,需要充分挖掘蕴含的几何本质.
二项式定理的应用有三个方面:一是通项公式Tk+1=Cnab的应用,如求某一指定的项、或其系数、常数项、有理项、系数为有理数.Tk+1最大?Tk?Tk+1且Tk+2?Tk+1等;二是赋值法,在二项式的展开式中,通常通过赋值1,0,-1,可求a0,an,a0+a1+…+an,a0+a2+…,a1+a3+…;特殊情况下,求某一项的系数,我们还可以通过逐次求导,再赋值于零,来求解;三是组合数的性质.kn-kk一、知识结构1.三角形的四心表示:⑴静态形式:二、典型问题1.常数项[例1]:(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在(4x2-2x-5)(1+[解析]:(1+ 1x21x2)的展开式中,常数项为
.5)展开式的通项Tk+1=C5x?5k-2k[类题]:(2009年全国高中数学联赛浙江初赛试题)(x-21x6)2009的二项展开式中常数项是
.(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)(x-16)的展开式中常数项为
(用数字作答). x21.(2012年全国高中数学联赛四川初赛试题)(x+x--516)的展开式中的常数项是
(用具体数字作答). x1.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)展开式(1+x+17)的常数项是_____. x1.(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)若二项式(ax-1x)的展开式中的常数项为-160,则?(3x2?1)dx=
.6a 2.通项公式[例2]:(2000年全国高中数学联赛试题)设an是(3?3n)=
. anx)的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…),则lim(n??n3233++…+ a2a3[解析]:[类题]:包含各类专业文献、各类资格考试、外语学习资料、中学教育、生活休闲娱乐、文学作品欣赏、⑩竞赛中的二项式定理问题98等内容。　
　未能充分展现其应有的知识地位, 然而,数学竞赛命题者却对此情有独钟而涉及到二项式定理的试题又常使参赛学生感到棘 手,这里,笔者介绍应用二项式定理解决几类问题的... 　7.数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法 二项式定理,由于结构复杂,多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位,而数学竞 赛的命题者却对其情有独钟. (1... 　高中数学辅导网 / 竞赛讲座 19 -排列、组合、二项式定理 排列、组合、基础知识 1.排列组合题的求解策略 (1)排除:对有限条件的问题,... 　Cn ?? 7.数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法 二项式定理,由于结构复杂,多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位,而数 学竞赛的命题者却对其情有独... 　Cn ? ? 7.数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法 二项式定理,由于结构复杂,多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位,而数 学竞赛的命题者却对其情有... 　 竞赛04 二项式定理及其应用 隐藏&& 二项式定理及其应用班级 ___ 姓名 ___ ...(2 ? 3) 100 (2 ? 3) 100 ?1. (四)二项展开式中最大值问题 例 12... 　 高一数学竞赛辅导讲义高一数学竞赛辅导讲义隐藏&& 二项式定理及其应用班级 ___ ...(2 ? 3)100 ; 2 (四)二项展开式中最大值问题 例 12.求 (1 ? 2)50... 　 如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 加入会员!获取文档下载券
排列组合(四)二项式定理在解竞赛题中的应用... 　 如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 竞赛课使用的二项式定理导学案 隐藏&& 高中数学选修 2-3 导学案 ...}