节省材料焊水箱
& 小聪、小明、小慧、小灵、小虎5个小伙伴是同班同学，也是要好的邻居，他们组成了课外学习小组，经常在王大伯的指导下研究一些生活中的数学问题。
& 一天，王大伯要用一块长240cm、宽120cm的长方形铁皮，焊接成一个高30cm的长方体无盖水箱，请他们设计一个最省材料的方案。
& 大家都意识到，要做到最省材料就需要想办法增加容积，可不是一件容易的事，商量一下后，大家都认真地画起图来。
& 性急的小虎马上就想出了办法，他先画出了一个图(如图)，说：“从这个长方形的四个角处各切掉一个边长为30cm的正方形，然后折起四边，就可以得到一个高30cm的水箱啦!”
& 小虎刚说完，小慧就接过话来：“这个方案肯定不理想，浪费了4个角的材料多可惜!”
& 大家都想不出好的办法，于是个个紧锁眉头在底下胡乱画着，突然小聪大叫起来：“我想出办法了，可以在一边切出两个正方形，然后在对面焊上，这样做成的水箱宽60cm、高30cm，但长是210cm，而且没有浪费材料，我想容积也一定大了。”
& 小明很快算出了刚才小虎设计的容积大约是324升，小聪的方案(如图)大约是378升，容积是大多了，而且充分地利用了材料，正当大家为小聪高兴的时候，小灵冷不丁的冒出一句：“这样的容积一定是最大的吗?不浪费不等于最节省啊，既然高已经确定了，我想只有底面积最大容积才最大，最充分的利用材料也就是最节省材料。”
& 经小灵一提醒，小慧突然想到：“老师说过，周长相等时，正方形的面积最大，应该尽量让底面积做成正方形的。”最后还是小灵想出办法：我们先切下两块长120cm、宽30cm的长方形，然后在另两边焊上，作为水箱的两个侧面，这样做的水箱底恰好是一个正方形(如图)。
& 读完上述内容，你看懂了吗?如果看懂了，请你试着解决下面的问题，你是否还有其他的设计方案，请你动手画一画，算一算：
& 用一张长30厘米、宽20厘米的长方形铁皮(如图)做一个长方体铁皮盒(焊接处与铁皮厚度不计)，做成的铁盒容积是多少立方厘米?
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请输入姓名
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比的意义课堂实录
范文一：《分数的意义》课堂实录
一：认识单位“1”
师：（往学生面前一站）认识吗？张老师能用自然数来表示吗？ 生： 用“1”表示。板书“1”
师：除了人以外，还有什么也可以用“1”来表示呢？
生：1块黑板……
师：还能说吗？
生：我们的一个班级也能用“1”来表示。
生：一个世界也能 用“1”来表示。…
师：这时候的“1”和我们一年级的“1”一样吗？
生：一年级的“1”表示的是一个物体，这时候的“1”是一个整体。
师：3个苹果能用“1”吗？
师：怎么看起来3个苹果就是“1”？
生：放在一盘里。
生：看成1行。
师：把3个苹果看做一个整体，就能看成“1”。（并把3个苹果框起来）
师：那6个、9个、18个苹果……也能看成“1”吗？
师：一旦把3个苹果看作“1”，那6个苹果应该看作几？
师：为什么？
生：3个苹果是“1”，6是2个“1”，就是“2”。
师：（出示12个苹果）有4个这样的“1”，就是几？
师：有5个这样的“1”，一共是几个苹果？
生：15个。
师：3个苹果看成的“1”就成了一个计量单位。在数学上，可以称作：单位“1”。
二、认识“3/4”
师：（出示练习题）把一个月饼看作单位“1”，5个月饼就是？3个呢？1个呢？
师：（出示一个月饼平均分成4份，表示其中3份的图）这个数是几？
生：四分之三。
师：为什么上面几个的用整数表，而最后一个用分数表示？
生：上面是整个整个，最后一个不是整个月饼。
生：上面满单位“1”，最后一个不满单位“1”。
师：满单位“1”，有几个单位“1”就用整数几表示，没有满单位“1”就用分数表示。
师：为什么用3/4，而不是3/5呢？
生：因为是把一个月饼平均分成了4份，而不是分成5份？
师课件一起出示： 图1：把一个月饼看作单位“1”。5个月饼、1个月饼、3/4个月饼分别用什么来表示？
图2：把一个长方形看作单位“1”。4个长方形，一个长方形，3/4个长方形分别用什么来表示？
图3：把1米看作单位“1”。3米、1米、3/4米分别用什么表示？ 图4：把8个苹果看作单位“1”。16个苹果，8个苹果，6个苹果分别用什么来表示？
师：4人小组选择一些图说一说，并说一说为什么？
出示每幅图的最后一副图：
师：仔细观察这4幅图，有什么相同？
生：最后一个都是3/4。
生：都是先看作单位“1”后，得到的。
师：这些单位“1”相同吗？
生：不同。
师：单位“1”不同，为什么最后一个数都是3/4呢？
生：都是把单位“1”分成4份
师：你是不是忘了一个词没有说？是什么？
生：（大声地）平均分。都是把单位“1”平均分成4份，表示这样的3份。所以都是3/4。
师：看来跟单位“1”是什么有关系吗？
生：没有。
师：你们肯定？
生：肯定。
师：（出示数轴0—1）那你能在数轴上找到3/4吗？
生：把0—1之间平均分成4份，取其中的3份，就是3/4。 师：（指着数轴上的）1/4,2/4都能在这上面找到位置。那你认为2在哪儿？
生：把数轴延长，在2个“1”个这么长，就是2。
师：如果不满单位“1”就用分数来表示，如果满了单位“1”，有几个单位“1” 就师几。
三、认识其他的分数
师：出示一些图片：圆的1/3,长方形的1/3等，涂色部分能用1/3表示吗？
生交流。把（
）看作单位“1”，平均分成（
）份，涂色部分表示这样的（ ）份，是（ ）/（ ）。
师：这些图的单位“1”一样吗？
生：不一样。
师：那跟什么有关系？
生：有没有平均分。
生：有没有平均分成3份。
生：是不是表示这样的1份。
师：把单位“1”平均分成3份，表示这样的2份就是2/3。 师：你觉得怎样的图能表示2/5？
生：把单位“1”平均分成5份，表示其中2份的图。
师小结并板书：把单位“1”
表示的份数
平均分成的份数
师：出示数轴，指着数轴说’1/3”是怎么得到的？
找位置2/5、5/8。揭示，其实也就是2/5、5/8这个分数的意义。 揭示课题。
1、出示：我国小学生中，睡眠不足的人数大约占总数的2/3，这个数据乐观吗？
师：这里把什么看作单位“1”？
生：我国小学生。
师：把我国小学生看作单位“1”平均分成3份，什么就有这样的2份？
生：睡眠不足的。
师：你觉得你是2/3中的吗？
师：你知道小学生每天应该睡眠的时间吗？
出示：小学生每天的睡眠时间应占一天总时间的3/8。你知道是几小时吗？
生：9小时。
生：把24小时平均分成8份，1份是3小时，3份就是9小时。 师：现在，你认为自己是睡眠足的请举手。
师：看来同学们的睡眠情况不错，你希望，我国小学生中睡眠不足的人数占总数的几分之几？
生：我希望是
生：我希望是
生：我希望是
生：有可能的话我希望是0。
2、冰山（图）通常，冰山露在海面上的部分占整座冰山的（ ）/( )
选择 1/2、1/10
演示：冰山的侧面图“冰上一角”
如果冰山露在海面上的部分占整座冰山的1/10，那露在下面的部分呢？
范文二：比的意义课堂实录
教学内容：义务教育人教版数学第十一册P43--44及练习题。 教材简介：《比的意义》是人教版第十一册第三单元的一节教学内容，这节课的知识点很多，有比的意义、读写以及各部分名称；有比值的概念及其求法；还有比与除法、分数的区别与联系等等。本节是用一种新的观点、方法来认识数量关系的，不少概念既有联系，又有区别。从比的概念可以直接导出比的基本性质和求比值的方法，比与除法、分数之间也存在着相互转化关系，因此本节内容是这一章的教学重点。
教材在安排比的意义的学习时，分为三个阶段：比的意义、比的各部分名称、比与分数及除法的关系。比的意义教材是选取我国第一艘载人飞船的有关内容作为引入比的载体的，通过对具体例子的讨论，明确了比的概念是建立在除法的意义基础之上的，揭示了比与除法之间的本质联系，是一种以“倍比”为基础的比较关系。
教材在介绍比的各部分名称时提出了比值的意义，它既是一个知识点，又有助于进一步理解比的意义。比与分数、除法的关系是本节课的又一教学要点，理解它们之间的关系，对后继学习特别是综合应用各种知识解决问题具有重要意义，同时也是理解比的后项不能为0的认知基础。所以，要使学生真正理解并牢固建立起比的概念，让比的意义作为一条主线贯穿于整个课堂教学之中。
设计意图：
本课的设计意图体现新课程理念中数学价值观的转变，即由原来的以知识获取为目标转变为关注学生的发展为主要目标。着重引导学生在自主、探究、合作中学习。让学生亲自体验知识的形成过程，获得知识、技能、情感、态度等方面的发展。另外，教学设计在遵循教材编写原理的基础上，对教学题材进行了微调，提供现实背景，改变呈现方式，让学生在充分参与解决问题的过程中学会合作、学会表达、学会交流、学会应用。
1.构建生活化的数学课堂教学。本课在设计时引用飞船的有关内容引出比的载体，使学生初步感受到比的意义和作用。再通过题组训练，以及问题判断等，让学生在认知冲突的对立中走向统一，从而对比的意义有更深刻的理解，进而全面、系统的构建起新知识的模型。最后通过生活中的比的应用，帮助学生拓展延伸比的认识，深化比的意义，学以致用，学用结合，在生活中找到数学原型，发展和提升学生的思维空间。
2.在数学教学中渗透“人文精神”。数学中蕴涵着美,在课堂教学中通过情境的创设增强学生的数学鉴赏和审美体验,培养他们的审美情趣和能力,更好地激发他们的内驱力。充分发挥学生自身的课程资源优势，促使学生积极参与学习，并获得知识、技能、情感、态度等多方面的发展。
3. 学习过程从封闭预设走向开放、生成。通过创设富有挑战性的问题情境，把“什么是比？为什么学习比，比有什么作用？”作为核心问题隐藏在整节课的教学思路之中，使学习始终处于观察、探究、交流等高层次的思维活动之中，有效地激发学生强烈的探究欲望和知识生成，凸现学生学习主人地位，从而更好地为学生的发展服务。
教学目标：
1、通过教师的讲解与学生的思考、观察等活动，使学生理解比的意义，学会比的读写，知道比的各部分名称，弄清比与除法、分数之间的关系。
2、使学生掌握求比的方法，会求比值。
3、通过学生的小组合作与交流，让学生知道比与除法、分数间的联系与区别，从而向学生渗透对立统一的辩证唯物主义观点。
教学重、难点：
重点：比的意义的理解。
难点：比与除法、分数之间联系与区别的理解。
教、学具准备：多媒体课件。
师：同学们，6年前的今天，是一个值得纪念的日子，也是全中国人民感到自豪的日子，你们知道发生了什么事情吗？请看大屏幕。我国第一艘载人飞船“神舟”五号顺利升空。从此，中国人踏上了探索太空的征程。在太空中，执行此次任务的航天员杨利伟在飞船里向人们展示了联合国旗和中华人民共和国国旗。（出示图片）
探究新知。
1．教学比的意义。
（1）教学同类量的比。
师：这就是杨利伟展示的两面旗都是长15cm，宽10cm，怎样用算式表示它们的长和宽的关系？（引导学生说出：可以求长是宽的几倍？或求红旗的宽是长的几分之几？）可能出现的回答：
生①：长比宽多多少厘米？———15—10＝5（cm）
生②：15÷10＝
师：表示什么？
生：长是宽的多少倍。
生③：10÷15＝
师：表示什么？
生：宽是长的几分之几。
师：在日常生活，常常需要对两个数量进行比较．如长比宽多多少的相差关系；长是宽的几倍及宽是长的几分之几的倍数关系，今天我们将继续研究倍数关系。 它还可以用另外一种新的方式来表达,那就是——比。引出本节课内容“比的意义”。（师板书课题：比）
师：②和③式都是用什么方法来求的？（除法）
师：15÷10表示什么？（长是宽的几倍）也可以说长与宽的比是15比10；谁会连起来说一次。谁听明白了？
师：10÷15表示什么？谁会说？（宽是长的几分之几？也可以宽和长的比是10比15。）
小结：不论是长和宽的比还是宽和长的比，都是两个长度的比，相比的两个量是同类的量。学的不错，请看下一个环节。
（2）教学不同类量的比。
出示：“神舟”五号进入运行轨道后，平均90分钟绕地球一周，大约运行42300km。怎样用算式表示飞船进入轨道后平均每分钟飞行多少千米？
生：42300÷90
师：你是根据什么列式的？
生：路程÷时间=速度
师：那也就是说42300÷90表示速度，也可以说路程和时间的比是42300比90，谁听懂了，能复述一次吗？继续看大屏幕。
继续出示：航天服3件的造价是0.9亿元，怎样表示每件航天服的造价？
生： 0.9÷3
师：0.9是什么？3是什么？0.9÷3表示什么，也可以说,,,, 生：总价和数量的比是0.9比3
（3）归纳比的意义。
师：像这样的算式我们都可以说成两个量的比，你认为什么是比？（学生试说，教师总结：两个数相除，又叫做两个数的比。）
2．教学比的写法、比的各部分名称。
师：那比是怎样写的，它的各部分名称叫什么呢？请大家打开书本44页。
学生自学课本，小组讨论概括知识点。
自学提纲：1、比的写法
2、比的各部分名称分别叫什么？
B、小组汇报并举例：
“：”是比号，读作“比”。比号前面的数，叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。例如：
= 15÷10 =
C:怎样求比值？
生：前项除以后项所得的商。
试一试：你会算出这些比的比值吗？10：15
D:问：比值还可以用什么形式表示？
生：比值可以用分数、整数、小数来表示。
师：比还可以用什么形式表示？
生：分数。
师：比除了用这样的形式外，还可以用分数表示，但不能用整数和小数表示。
3．教学比与除法、分数的关系。
师：那比与除法、分数又有什么联系和区别呢？请同学们独立思考一下。
（1）独立思考（2）小组讨论，完成表格（3）汇报
小结：刚才通过大家的努力我们已经学会了比的意义、各部分名称、求比值的方法及比和除法、分数的联系和区别。下面我来考考大家。
（1）小明和小亮在文具店买同样的练习本。小明买了6本，共花了
1.8元。小亮买了8本，共花了2.4元。小敏和小亮的练习本之比是（
），比值是（
）；花的钱数之比是（
（2）买4支钢笔12元，钢笔总价和数量的比是（
问：B对不对？为什么？（总价比数量）
师：C对不对？
生：对，比也可以用分数表示。
（4） 3：（
师：相当于除法里求什么？
（5）师：比的后项可以是0吗？为什么？
生：就像除数不能为0
（出示：比赛的比分进行辨别。）
四：知识拓展，总结收获
1、比一比那面红旗的形状最漂亮，引出黄金比 。
2、介绍：五角星、古希腊帕特农神庙、米洛斯的维纳斯
3、介绍生活的的比。
师：比确实很神奇，比不仅应用于建筑艺术以及日常生活中，在我们人体中也同样充满着比。你知道为什么警察只根据罪犯的脚印就能初步推算出罪犯的身高吗？
出示：成年人的脚的长度与身高的比是1：7
师：想一想人的两臂伸开的长度与人的身高的比大约是几比几？生猜测
出示：人的两臂伸开的长度与人的身高的比大约是1：1。
师：人体中还有很多比，出示：
一个人血液与体重的比大约是(1) ：(13)
12岁的儿童的头部长度与身高的比是(7):(50)
服装模特的上身长度与下身长度的比是(2):(3)
师 ：通过这节课的学习你有什么收获？
由此可见，数学知识就在我们的身边，我们的生活中处处有数学，所以我们一定要学好数学，积极探索数学中奥秘，把我们的生活环境建设得更加美好！
范文三：《分数的意义》课堂实录
【学情分析】：
学生已经在三年级下册学习了分数的初步认识，知道了分子、分母和分数线各部分名称，这一节是在此基础上深入学习。因为跨越一个年级，再学习分数的意义，还是比较抽象的，所以，我设计了以“找一些物体的1/4”为主线的活动，丰富学生的数学体验，构建1/4的意义，让学生在操作、交流、讨论中感受1/4的意义，并在整个过程中，感受一个整体，建立和理解单位“1”的概念。为了激发学生学习分数的兴趣，深化对分数意义的理解，我设计了一个“创造分数”活动，增强学生学好数学的信心。我想数学源于生活，也要回归生活，所以，最后收集了一些生活中的分数，让学生感受到生活中处处有数学，并设计了一个分糖游戏，寓教于乐，充分调动学生的积极性，激发学生学习数学的兴趣。
【教学目标】：
1.了解分数的产生，理解分数的意义，知道分子、分母和分数单位的含义。
2.经历认识分数的过程，培养抽象、概括能力。
3.通过操作、讨论、交流等形式展开小组学习，培养学生合作探究的能力，培养质疑和验证科学知识的能力。
【教学重点】：
明确分数和分数单位的意义，理解单位“1”的含义。
【教学难点】：
对单位“1”的理解。
【教学过程】：
课前谈话，趣中启思
1.同学们，上课之前咱们一起来看一幅非常有趣的图片，你看到了什么？ 这样吧，咱们人不动让画儿旋转一下。
憔悴的老太太果然变成了美丽的公主，真是太神奇了。同一个事物，观察的角度不同看到的也不同。所以当我们在学习或生活中遇到“山重水复疑无路”时，不要着急，换个角度观察，说不定就会“柳暗花明又一村”。
2.认识“1”。
咱们今天的学习就和这个神奇的“1”有关。
一、介绍分数的产生，复习1/4的意义。
（一）分数的产生
现在，我们开始上课，准备好了吗？在我们的生活中经常遇到分东西的情况，比如把4个苹果平均分给2个人，每人？再比如，把一个蛋糕平均分给4个人，每人？1/4，这是分数，为什么不用整数表示？
刚才同学们碰到的问题，很早很早以前的人们也碰到了，实际生活中，人们发现在进行测量、分物和计算时往往不能得到整数的结果，于是人们就发明创造了分数。分数就在劳动中产生了。
谁能举例说一说1/4还可以表示什么？
板书：平均分问这个1/4是谁的1/4？
同学们刚才所说的都是我们以前学过的，把一个物体平均分成四份，这样的一份就可以用1/4表示。
【设计意图：学生对分数已经有了初步的认识，对于分数的产生，可以一带而过，重点是找到学生的知识生长点，知道学生在什么地方，便于前行。】
二、构建1/4的意义，理解单位“1”。
（一）在一些物体中找1/4。
现在张老师这里有一盒巧克力想把它平均分给4个同学，每人得到？ 你们为什么说得到这些巧克力的1/4 ，而不说得到几块呢？想知道是几块吗？
课件出示：4块。
现在从这4块巧克力中你还能找出1/4吗？
能不能上来把你心目中的那一块指给大家看看？（找人指一指） 孩子们，他认为这一块巧克力可以用1/4表示，行吗？
咦，这明明是一块巧克力，你们怎么说是1/4呢？
你们的意思是把这4块巧克力看成一个整体，把它平均分成4份，这样的一份就是这个整体的1/4。谁能像老师这样再说一遍？说的真好，老师给你点个赞，这时候我们把它看成一个整体。
【设计意图：在认知冲突中呈现思维的火花，初步感受一个整体的1/4,学生有一定的生活经验，知道整体的1/4，引导学生找出这个1/4是关键点，并会表达，为构建1/4的意义打实基础。】
（二）小组合作再找1/4 。
（1）好了，孩子们我们从这四块巧克力中找到了1/4，而且还会用语言表达出来，你们真厉害！我换一些物体，你们还能找到1/4吗？
请你们找出8个苹果的1/4。（课件出示8个苹果）
张老师特意给你们准备了8根小棒代替苹果，咱们两人一组，摆一摆，找一找8个苹果的1/4，并把你的想法和同桌说一说。
好了，孩子们，你们找到了吗？谁愿意上来给大家展示一下，你们是怎么
找到1/4的？
展示。你是怎么找到8个苹果的1/4的？这时候把谁看作一个整体？ 你看，我就知道刚才心一软，给出的整体数量太小了，敢挑战个大数吗？ 你能找出4000个苹果的1/4吗？啊，这么大的数也能啊，真不简单。你是怎么得到4000个苹果的1/4的？
生：把4000个苹果看作一个整体，平均分成4份，这样的一份就是4000个苹果的1/4。
【设计意图：通过操作找8个苹果的1/4，进一步构建1/4的模型，动手分一分更能体会到平均分的过程，而找4000个苹果的1/4又提高了一个层次，是思维的提升和模型的形成。】
（三）理解单位“1”。
那么问题来了，1/4怎么一会表示1个，一会表示2个，现在还表示1000个，这是怎么回事？（整体的数量不同）
是啊，整体的数量不同，像4块巧克力，8个苹果，4000个苹果这些由一些物体组成的整体，以及以前所学的一个物体，一个计量单位，一种图形，我们都可以看作一个整体，生活中还有哪些物体也可以看作一个整体？
一个整体张老师可以用一个非常神奇的数来表示，你猜猜是几？（低下身子问身边的孩子），对，你太有数学头脑了，在数学上它有个非常专业的名字叫单位“1”。刚才我们把什么看作单位“1”了？（4块巧克力，8个苹果。。还有大家说的一个班的学生。。。）
孩子们，这些整体，我们都可以看成单位“1”，只要把单位“1”平均分成四份，这样的一份，我们都可以用1/4表示，这样的3份呢？2/4表示
这样的几份？4份呢？
【设计意图：前面已经在1/4的建模中做了充分的铺垫，学生很容易理解“一个整体”的含义，所以此时揭示单位“1”的概念已不着痕迹，水到渠成。】
（四）创作分数，理解分数的意义和分数单位。
1.好了，孩子们，我们从这些不同的物体中，找到了这些分数，而且还明白了什么是单位“1”，现在你的活动纸也有个单位“1”，你能用它创造出你喜欢的分数吗？操作前，一定要看清要求哦，开始。
创造好了吗？看来数学不光使人智慧，创造分数的过程也充满快乐！张老师看到大家创造了不同的分数，谁愿意把自己创造的分数展示给大家？
3.展示作品。让学生自己说一说，其他学生评价，老师记录到黑板上。
4.新的问题出现了，单位“1”相同，为什么得到的分数却各不相同呢？ （平均分成的份数不同，表示的份数也不同）
【设计意图：黑板上每个分数后面都藏着那句经典的概念，学生的交流无不是将已经获得的主观印象投射在所写的分数中，萝卜青菜各有所爱，学生的求异的心态无时无刻不让其他学生处于活跃的互动之中。】
把这些星星平均分成4份，6份，3份，也就是若干份，表示这样的一份或几份，都可以用分数来表示，这就是我们今天所理解的分数的意义。
分数和整数一样也有计数单位，像表示一份的数，我们把它叫做分数单位。 比如这些分数的分数单位是……
我说一个分数，你能快速的说出它的分数单位吗？（形成抢答气氛） 举例分数，使学生知道分母是几，分数单位就是几分之一。
【设计意图：我认为分数单位的教学不宜占较多的时间，知道怎么确定一个分数的分数单位即可，在以后的学习中还会慢慢感受，所以这里用墨较少。】
三、巩固应用。
1.点击生活
孩子们，分数不仅出现在我们的课堂上，我们的课本上就有一则与分数有关的资料，让我们一起来看看。
课件出示：
我国长江干流约3/5的水体受到不同程度的污染。
看了之后，你有什么感受？
生：污染太严重了。
从哪儿看出污染严重的？
生：把长江干流的水看成一个整体，平均分成5份，已经有3份受到了污染。
原来，你们从分数的意义入手，才发出这样的感慨，看来小小的分数，我们读懂了它，还真能知道不少信息。如果我们人人都爱护环境，情况可以发生一些改变，那么你觉得这个分数会变成多少？
2.口袋里的数学。
生活中藏着那么多分数，张老师的口袋里也有藏着分数，想看看吗？ 出示9块棒棒糖，让一个男生拿糖的1/3,再让女生拿剩下1/3,（生：不公平）
都是1/3为什么不公平？（单位“1”变了），老师征求大家意见，拿男生糖的1/3,再让第三个学生拿到剩下糖的1/2,为什么和刚才那个1/3一样多？最后换个玩法，你自己说一个分数来拿全部的糖。
【设计意图：学以致用，在活动中赋予数学活力与灵性，让学生在生动活泼的数学学习活动感受到数学与生活的紧密联系。所谓“人人学有价值的数学”、“不同的人在数学上得到不同的发展。”】
四、回顾整理。
今天我们进一步认识了分数，关于分数的知识还有很多，如果感兴趣可以去上网查查资料，你会有更好有趣的发现，把你的发现分享给你们小伙伴吧。
【教后反思】：
在学习的开始理解四分之一，学生只限于理解一个物体的四分之一， 所以当出现“一盒巧克力的四分之一”时，学生只是直觉，把这盒巧克力平均分成四份，其中的一份是这盒巧克力的四分之一，这时需要引导学生理解“一个整体”，在这里要充分感知，让学生多说，这是本节课很重要的知识接点，我在处理这一问题时没能打实，所以，在后面更费力。在创造分数的环节中，我处理的过粗，没能记录下所有的分数，但是学生对分数单位的理解和掌握还可以。总之，对于细节的处理还得再精细一些，这
也是我以后努力的方向。
范文四：“分数的意义”课堂教学实录
执教：淄博市张店区潘南小学 赵国防
记录：淄博市张店区潘南小学 李国敏
【教学内容】
《义务教育课程标准实验教科书 数学》（人教版）五年级下册第60—62页。
【教学目标】
1.知道分数的产生，理解单位“1”和分数的意义，学会用分数描述生活中的事物。
2.掌握分数各部分的名称和分母、分子的含义。
3.形成合作交流的学习习惯，提高创新意识与分析概括能力。
4.经历“事物之间是普遍联系、发展变化”的辩证唯物主义观点的启蒙教育。
【教学过程】
一、创设情境，引出分数
师：孩子们，在我们的生活中经常遇到分东西的情况。同学们看题目：（出示课件）4个苹果我要平均分给两个同学，每人分几个？
学生齐答：两个。
师：（太简单了）两个苹果呢？出示课件
学生齐答：一个。
师：那一个苹果呢？
学生：半个或二分之一。
师：这里就遇到了一个数——分数。那么同学们想：关于分数我们以前学过吗？
学生齐答：学过。
师：在几年级学的？
学生齐答：在三年级。
师：那请回顾一下，到现在为止你都了解分数的哪些知识？ 学生1：分数可以化成小数。
学生2：分数由分子、分母和分数线组成。
学生3：分母在分数线的下边，分子在分数线的上边。
师：你知道的可真多！
师：还有吗？学过分数的大小比较吗？
学生齐答：学过。
师：三分之二和三分之一谁大？
学生齐答：三分之二大。
师：好，我们这节课来进一步认识分数，学习分数的意义。 （板书课题：分数的意义）
二、提出问题，引发探究
师：同学们，仔细看屏幕，我给你一筐苹果，平均分给两个同学，每人分得它的几分之几？
学生齐答：二分之一。
师：都说是二分之一，没错。那么这里的二分之一是什么意思呢？
学生齐答：半筐苹果。
师：这半筐苹果，你把谁看成了一个整体？
学生齐答：把一筐苹果看成了一个整体。
师：你们太伟大了，孩子们！我们把这一筐苹果看成一个整体，这个整体在数学上就叫它单位“1”。那么我们把这一筐苹果看成单位“1”，把它平均分成了几份？
学生齐答：2份。
师：那么其中的任何一份都是它的二分之一。你会说了吗？同桌之间相互说一下。
（学生同桌之间交流）
师：好，谁来说给大家听听？
学生：把这一筐苹果看成单位“1”，把单位“1”平均分成两份，每个同学得到它的二分之一。
师：回答得对不对？
学生齐答：对。
师：注意，这里的“它”的，是谁的？
学生：是指单位“1”的。
师：谁再完整的说一下？
学生：把单位“1”平均分成两份，其中的一份就是它的二分之一。
师：那么同学们仔细看，既然一筐苹果可以看成单位“1”，那么下面的四个呢？看可不可以看成单位“1”？
学生齐答：可以。
师：那么把它也平均分给两个人，每人也分得它的？
学生齐答：二分之一。
师：两个苹果呢？
学生：也是二分之一。
师：平均分给两个同学，每人分得它的二分之一。一个苹果呢？ 学生齐答：二分之一。
师：我们也可以把它看成一个整体，平均分成两份，每份就是它的二分之一。
师：同学们仔细看，个数不同的苹果，在平均分给两个同学之后，每人分得的却又都是二分之一呢？
学生1：因为我们都把那些苹果都看成单位“1”了。
师：都看成单位“1”，怎么就没看成五分之一呢？
学生1补充：因为我们把那些苹果都看成了一个整体。
师：一个整体看成了单位“1”,谁来补充？
学生2：我们把这些苹果都平均分成了两份，所以这两个同学都获得4个苹果的二分之一。
师：这位同学说的有两个关键的地方，你听到了吗？
学生3：平均分成两份，获取其中的一份就是二分之一。
师：不管是个数的多少，我们都把它看成单位“1”,那么把单位“1”平均分成两份，取其中的一份就用二分之一来表示。
师：接下来老师还有个问题：同样是一个苹果，同样是平均分给
两个同学，为什么这里（二分之一）带单位名称“个”，而这里（二分之一）却不带呢？请仔细观察一下，同位之间可以相互说一说。
学生：左边问的是几个，而右边问的是几分之几。
师总结：左边问的是每人分得几个，而右边问的是每人分得它的几分之几。那么到现在为止，你知道什么时候加单位名称，什么时候不加单位名称了吗？
学生齐答：明白了。
师：很好，同学们太聪明了！
师：接下来，我出一个题目考考大家：6只蝴蝶，看着它你能说几个分数吗？（出示课件）
学生1：，6个蝴蝶里有2个蓝色的蝴蝶。
师：你把这6个蝴蝶看成单位“1”了吗？在做题时我们要把它看成一个整体，然后再分。
学生2补充：我们把这6只蝴蝶看成单位“1”，其中的这两只蝴蝶就是它的。
师：对吗？你想到了吗？
学生齐答：对，想到了。
师：想到了就要举手说，还能看出其它的分数吗？
学生3：把这6只蝴蝶看成一个整体、单位“1”，那只棕色的蝴蝶就是它的。
师：回答的很好，谁还想说。
学生4：把这6只蝴蝶看成一个单位“1”，那只白色的蝴蝶就是
单位“1”的。
学生5：把这6只蝴蝶看成一个整体，就是单位“1”，带斑点的那只蝴蝶就是单位“1”的。
学生6：把1只蝴蝶看成一个整体，它的一个翅膀就是这只蝴蝶的。 师：已经看到局部了，很好，能换个角度思考）
师总结：刚才同学们谈到了很多分数，有、、……那么也就是说，不管有多少，我们都可以把它看成单位“1”。我们都是把单位“1”平均分成了若干份。
（板书：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数叫分数。）
三、活动中训练，练习中提升
师：我们继续看，填一填：一捧糖果，平均分成2份，每份是这捧糖果的？（出示课件）
学生齐答：
师：平均分成5份，3份是这捧糖果的？
学生齐答：
师：平均分成6份，5份是这捧糖果的？
学生齐答：
师：平均分成9份，7份是这捧糖果的？
学生齐答：
师：同学们太聪明了！接下来我提出了一个问题：想一想，一个分数的确定主要依据什么条件？
学生：分成了几份，每份是多少.
师：表示其中的几份是多少，而且必须是平均分。先看平均分成了几份，就是分母；表示了其中的几份就是分子。
师：写一写：看到下图，你能写出几个分数吗？试一试，并分别说一说每个分数所表示的意义。（出示课件）
让学生自己在练习本上写一下。
学生1：我把这12支笔看成单位“1”，红色的占，黄色的占，绿色的占。
学生2：我把12支笔看成一个整体，把它平均分成2份，每一份是它的。
师：上面的这份，或者下面的这份都是单位“1”的。 学生3：我把这12支笔看成单位“1”，其中的5支就是单位“1”的。
学生4：我把这4支红色的笔分成了2份，这2份就是这4支红笔的。 学生5：我把这12支笔平均分成6份，其中的两份红色的笔就是它的（就是这4支红色的笔占整体12支笔的）
师：同学们真了不起，看着这幅图说出了这么多分数，而且把他们解释得非常清楚。
师：我们接着往下看，画一画：笑脸遮住了好几个三角形，露出的一个，占单位“1”的。你能画出它的完整样子吗？（出示课件） 在练习纸上试一下，老师巡视。
学生到黑板上去画自己的想法（图略）。
师：同学们，我们想到了这么多的画法，有的还组成了精美的图案，太了不起了。那么，你为什么在我那1个的基础上再补充3个呢？
学生1：因为这是，已经露出来了1个，还有3个。
学生2：，上面只露出了1个三角形，那么还有，那3个三角形就是被盖住了。
学生3：就是有4个三角形，露出了1个就是，还剩下，绝对就是3个三角形。
师：由露出的1个占单位“1”的，我就推断出了盖住的一定是，那么就是有3个三角形。不管是画哪一种情况，都有一个共同的特点：一共有4个三角形，而且都把这4个三角形看成了单位“1”
（展示老师的画法）
师：把这4个三角形看成了单位“1”，其中的1个就是，其中的3个就是。
师：接下来我们做一个游戏：分一下组，第一组2个人，第二组6个人，第三组8个人，第四组4个人，第五组12个人。（先小组认识）
师：想办法表达一下你们是一个整体（学生手拉手、站在一起……）
师：表达的方式不同，但是老师看出是一个整体单位“1”了。 老师发令：命令1：蹲下单位“1”的
命令2：再蹲下站着同学的
命令3：再蹲下站着同学的
师：刚才同学们表达的非常好。当2个同学的时候蹲，蹲下了1个；
再蹲他们没法蹲了就半蹲，他们的表达很好。
同学们想：刚才我们在发出命令的时候同样是蹲，为什么有的组蹲下的人多，有的组蹲下的人少呢？
学生：因为每组的人数不同。
师：也就是单位“1”的实际人数不同，所以尽管都是，但是蹲下的人数却不同，但是都表示单位“1”的。
四、总结全课，拓展延伸
师：今天的课我们学习了分数的意义，你有什么收获呢？收获肯定是有的，或多或少。
学生1：让我知道把什么看成单位“1”。
学生2：让我知道分数的意义。
学生3：单位“1”的总数不同，表示其中的1份或几份数的时候也是不同的。
师：单位“1”太伟大，太神奇了。它可以表达万物，我们整个班级的所有同学可以看成单位“1”，整个地球也可以看成单位“1”。同学们，数学在生活中非常的好玩，非常的有趣。孩子们，今天的课就上到这里，下课。
范文五：《比例的意义和基本性质》课堂实录
一、创设情境，复习导入 师：先请同学们一起来欣赏四幅画面（课件演示教材主题图） 这四幅图上都有什么呀？ 生：国旗。 师：五星红旗是每一个中国人的骄傲，当它冉冉升起的时候，自豪感都会油然而 生。你们知道吗？我国还专门制订了国旗法。老师从国旗法中摘录了一些和数学 有关的知识，大家一起来看一下。（出示数据）
师：看到这些数据，你有什么想说的？或者有什么疑问吗？ 生 1：为什么它们的长度和宽度都不一样？ 师：这个问题问得很好，谁能回答？ 生 2 ：因为在不同的场合，不同国旗的大小是不一样的。比如在天安门广场上， 国旗必须是 2 米 88 乘 1 米 92 的。 师：也就是说，在各种场合国旗的大小是不一样的，明白了吗？ 生：明白了。 师：还有其他问题吗？ 生：这些数是从哪来的？ 师：是啊， 法律是非常严谨的， 这些数是随便规定的吗？这是个很有价值的问题。 还有想问的吗？ 生：我想问，这些数之间有什么关系吗？ 师：她在想这些长和宽之间是不是有什么关系呢？大家看，它们是不是有关系 阿？ 生：是。 师：那我觉得咱们就得深入地想想，可以研究长和宽之间的什么关系呢？ 生 1：我觉得它们是面积关系。 生 2：也可能它们的周长不一样。 师：（等待一会儿）长和宽之间有什么关系？ 生：（沉默）。 师：到目前为止，学过很多表示关系的方法，比如说，可以研究长和宽的…… 生：比。 师：还有什么？ 生 1：可以研究它们的百分数。 师：嗯，也就是谁是谁的百分之几。
生 2：可以研究它们之间的比。 生 3：也可以研究它们之间的最大公约数和最小公倍数。 师：很有想法。前一阶段，我们刚刚学习了比的知识，下面我们就从比的角度来 研究长和宽的关系，可以吗？ 生：可以。 二、自主探究新知 （一）比例的意义 师：（出示图）
这是这五面国旗长和宽的比，下面咱们就在小组中进行研究。注意看好要求， 1、小组讨论先确定研究方向，写在第一个格中。 2、组长分工合作完成表格，并交流你们的发现。 生：（小组讨论交流） 师：我看到很多同学都有发现了是不是？哪个组愿意先来给大家汇报？ 生 1：我们研究的是化简比。发现这五个都是 3：2。 大家有什么要问的吗？
生：同意。 师：还有哪些小组是化简比这个研究方向？ 生：（举手示意） 师：还有其他研究方向吗？ 生 2：我们是求比值，都是 1.5。 大家有什么问题吗？ 生：没有。
师： 大家从求比值和化简比这两个角度都有所发现， 实际上你们的发现都是对的。 在国旗法中明文规定了每一面国旗
的长和宽的比必须是 3：2， 也就是比值是 1.5。 既然这五个比都是相等的，那同学们能不能任意选择两个比，组成一个等式？ 生：（写在练习本上） 师：（指名学生板书在黑板上。）如果你的答案和黑板上的不一样，你就主动到 黑板上写出来。 师：下面同学也别闲着，看看他写的对不对，还有不一样愿意上来补充的吗？观 察这几个算式，都对吗？
生：对 师：这个呢？为什么这个和上面不一样你也觉得他对呢？ 生 1：因为他们的比值都是一样的，所以任何数都可以相等. 师：那你怎么写成除号呢？ 生 1：我把比化简成除号，可以更方便大家看着计算。 师：噢，他觉得更方便计算。那么在这里，从形式上咱们要求写两个比，既然是 比能写成除号吗？ 生：不能 师：咱们要把他改过来，请坐。 师：实际上如果我们时间再多还能继续在写，观察这些算式他们之间有什么共同 点？ 生 1:他们之间的化简比和比值都一样，所以可以用等号连接。 师：两个比都相等，非常好，还有想说的吗 生 2：我认为可以把他们都联成一步。 师：联成一步什么意思？ 生 2：一整串等式 师：表示这些比都相等，好那现在我们这些算式上，只展示了两个比，刚才同学 们的观察是对的，我把这两个比写下来： 240:160=192:128 师：像这样的两个比相等的式子我们叫它比例。谁来用自己的话说说什么是比例 呀？ 生 1：两个比相等式子叫做比例。 师：说的很好，谁能再说说 生 2：两个式子相等的比叫做比例。 师：两个比相等的式子，好还有想说的吗? 生 3：两个比相等是式子叫做比例
师：同学们说的都很好，我们看看课本是怎么定义的。齐读。 (学生齐读) 我写一个 2:1，同学也想一个比要和我这个比配成一个比例式。谁来? 生 1：2:1=20:10 你们也来出一个，让其他同学配一个 生 1： 6:3 师：谁来 生 2:：9:6 师：想想 :生 2：12:6 师：板书 6:3=9:6，好，再来一组 生 1：10:5 生 2：10:5 可以相等的是 20:10 生：对 （二）生活中比例的应用 师：刚才我们已经学习了什么是比例，其实生活当中比例的应用非常广泛，我选 了几个例子，咱们一起来看一下。人体中的比例，以老师为例你觉得我的臂展和 身高符合人体的一般比例吗？ 生：符合 师：对老师挺有信息的，我把我的数据提供给你。符合吗？ 生：符合 师：谁能说出一个比例式？ 生：1:1=160:160 师：很好，我还找了一个篮球明星科比，这是他的数据。他的能组成比例式吗？
生：能 生：不能 师：那谁来说说为什么？（旁边同学给他帮个忙把话筒传给他） 生：因为展臂和身高都不一样。 师：他的展臂是不是稍微长一些。正因为如此他
才特别适合篮球这项运动。再来 看，你们听说过黄金比吗？在人体当中就有黄金比的问题，同样以老师为例，这 是我的数据，快来算算老师的这两个数据和黄金比一样吗？
师：动手算一下， 你先算出来了， 我们来请算的最快的同学上来个同学汇报一下。 生：老师的下半身与身高的比是 0.575:1 师：他已经把这个数据进行了化简，还可以把他当成最简比，他的这个数值和上 边的数值一样吗？ 生：不一样 师：看来老师的身材有提高的可能性，那一般女性可以通过穿高跟鞋来让自己的 这个比更接近黄金比例。 给人更美的感觉。好了除了人体当中有比例大自然中也 有，看看这两组数据，能组成比例吗？
生：能 师：那谁来说说？ 生：4.8:2.4=18:9 师：对吗 生：对 （三）比例的基本性质 师：很好在我们生活中这样的比例还非常多，这说明比例和我们的生活联系非常 的密切。 那我们有必要在深入的学习和比例有关的知识和内容。请大家自学下面 的这一块。
师：明白了吗？咱们以黑板上这个数据为例。大家看，（指着 6:3=12:6）这个式 子里面内项、外项各是多少？咱们齐答，外项是…… 生：（齐答）6。 师：6 和 6，一样。（师板书外项）内向呢？ 生：（齐答）3 和 12。 （师板书内项） 师：再找一个式子，让同学们说说。（师指 2:1=20:10） 生：2 和 10 是外项，1 和 20 是内项。 师：同意吗？ 生：同意。 师：再换个式子，这个吧。（师指 144:96=96:64） 生：144 和 64 是外项，96 和 96 是内项。 师：比例是两个比相等的式子，那么比例的里面还藏着什么奥秘呢？仔细观察。 （生观察思考中。） 师：把你的想法带到小组里交流一下。 （小组交流。） 师；好了，咱们先听听有想法的同学是怎么说的？ 生：两个外项的乘积和两个内项的乘积相等。 师：你是怎么发现的？ 生：算出来的。 师：接着说。 生：就拿 2:1=20:10 来说，2 乘 10 等于 20,1 乘 20 等于 20.两个外项和两个内项 的乘积是相等的。 师：同学们觉得呢？ 生：（大多数）对。 师：他只算了这一个题就总结出来了。 生：（有个别同学有疑问）不一定。 师：你有疑问吗？你说。 生：不一定。 师：怎么不一定？ 生：比如说 144:96=96:64 这个。 师：这个行不行呢？ 生：（齐答）行。 师：是不是咱们得验证验证啊？赶快，计算器再挑一个验证。 （学生计算中）
师：谁算出来了就举手。 生：6:3=12:6，外项和外项的乘积是 36，内项和内项的乘积也是 36.。 师：也证明了他的那个结论，还有没有验证别的，咱都试试。 生：144:96=96:64，内项和内项的乘积是 9216，外项和外项的乘积也是 9216。 师：从这里
，咱们就可以得出一个什么结论啊？ 生：内项两个数乘积和外项两个数的乘积一样。 师：同学们的发现真是特别的有价值。这里边就是比例的基本性质。 （课件出示比例的基本性质） 三、巩固练习 学到现在，咱们这节课已经认识了比例的意义，还学习了比例的基本性质。 （板书课题） 师：下面我要检验同学们的学习情况了，你敢接受挑战吗？ 生：敢。 练习一 师：好，先看第一道题。（课件出示练习题：6:10=3:5）咱们用手势的方式表示 你的结果。在胸前就可以了。 （学生思考，手势胸前判断。） 师：我看**同学的速度可快了，你能说说你是怎么判断出来的吗？ 生：我用 6 乘 5 等于 30，然后用 10 乘 3 也等于 30。它们内项的积和外项的积是 相同的，所以比例成立。 师：对吗？ 生：对。 师：他用的是比例的基本性质。再看第二题。(课件出示：20:5=1:4)。有了想法， 就做你的手势，我看谁快。 （学生思考，手势胸前判断。） 师：我看这次快的是**。（问**）想好了吗？ （**摇头。） 师：杨静说说。 生：因为，20 乘以 4 是 80，5 乘以 1 是 5，他们两个的内项和外项的积都不同， 所以比例不成立。 师：她也是用了比例的基本性质。（指另一生）你想说什么？ 生：用 5 除以 20 是 4。 师：他要算的是比值，说吧。 生：用 5 除以 20 等于 4，然后 1 除以 4 也等于 4。 师：大家帮帮他，几除以几？ 生：（齐答）20 除以 5。 生：20 除以 5 等于四，1 除以 4 也等于 4。 生：（其它学生帮他纠正）0.25。 生：所以，这个不成立。 师：你从比值的角度考虑，也很好。来，下一题。 （课件出示：1/2:1/3=6:4） （学生思考，手势胸前判断。） 师：**已经判断出来了，咱们请他说说。
生 1：我是用化简比的方法，把 1/2:1/3 化简,成 2:3，然后把 6:4 化简成了 3:2。所 以，这个比例不成立。 师：同意？ （部分同学表示同意，也有同学举手表示不同意。） 师：他有不同意见。 生 2：如果用 1/2 乘以 4 等于 2，用 1/3 乘以 6 也是 2，内项和外项的乘积是一样 的。 师：怎么会有两种结果？有没有听出**（第一个回答者）的问题？1/2:1/3 化简比。 生 3：6:4 倒过来，分母用的不对。 师：他这个地方还是有问题，对吗？1/2:1/3 等于 1/2 除以…… 生：（齐答）1/3。 师：等于 1/2…… 生：（齐答）乘 3。 师：得…… 生：（齐答）3/2。 师：我们读作…… 生：（齐答）3 比 2。 师：右边也是…… 生：（齐答）3 比 2。 师：计算上有点失误。这个式子是成立的。 师：最后一个。（出示 6:2=2.4:0.8）看这次谁快啊。 （学生思考，手势胸前判断。） 生：用两个外项 6 乘 0.8 是 4.8，再用内项的
积是 2 乘 2.4 也是 4.8，外项和内项 的积是相等的，所以这是一个比例。 师：表述的非常完整。 练习二 师：下面进入第二关（出示课件）
生：（独立完成） 师：时间到。你都写了几个？ 生 1：3 个。 生 2：4 个。 生 3：7 个。 师：你写得真多，那上来给大家看看。 生：（出示自己写的比例式。）
师：同学们先来看看这些题作的对不对。
生 1：第三个和第一个是重复的。 生 2：12：12 和 15：15 是错的。 师：大家觉得这样的行不行？ 生：（意见不统一，有觉得行，有的觉得不行。） 师：认为不行的同学请说说理由。 生：因为他没有用上所有的数。 师：是啊，题目要求要用这 4 个数，你这种重复的应该去掉吧？ 生：是。（自己划掉。） 师：大家看，还能留下几个？ 生：（划掉重复和多余的） 师：咱们请他说说这三个是怎么想的行吗？ 生：行。 生 1：4 比 12 等于 5 比 15。12 除以 4 等于 3，15 除以 5 等于 3，所以它们是成立 的，比值一样。 师：同意吗？ 生：同意。 师：我觉得还是有问题。他算得是 12 除以 4，这个比要换成除法应该怎么算？ 生：4 除以 12。 师：要注意一下顺序。那这两个比值应该是……. 生：3 分之 1。 生 1：下面这道题就是 12 比 4 等于 15 比 5，这可以化成除法，12 除以 4 等于 15 除以 5。 师：大家听出来了吗？他都是用什么方法找到的？ 生：除法。 师：也就是求比值。那这个题里面有没有什么窍门？不用这么一次一次地除，就 能找到多个答案？我觉得咱们有必要把这个窍门从组里交流一下。试试看！ 生：（在小组中交流，找到方法。） 师：看来交流真是能起到作用，有的同学已经发现窍门了是吧？谁来说说？ 生 1：（展示讨论的结果）
两个外项 4 和 15 ，它们的乘积是 60，两个内项乘积也是 60，这样一来比 例式是成立的，既然外项、内项乘积都是 60，我就把内项、外项的位置相交换， 就转成了另一个式子。然后再转成另外两个。 师：实际上他是很有想法的。我们继续来说（指第一个等式）第一个他是怎么找 出来的？ 生 1：内项和外项的乘积。 师：也就是比例的性质。我听见他说了一句话，可以交换位置。你给大家具体说 说，谁和谁换过来？ 生 1：把 4 和 15 交换，5 和 12 交换。 师：换成了—— 生：15 比 5 等于 12 比 4。 师：哎，换成了新的比例式，大家觉得这样做行不行？ 生：行。 师：不管这两个数为知怎么换过来，他俩的乘积是不变的。照这个方法，咱们可 以换换内项的位置，还可以换换外项的位置，大家觉得这个办法好不好？ 生：好！ 师：我觉得学会了这个方法，找起来就更巧妙了。还有问题吗
？ 生：没有 师：这个题最多能找多少个？咱们课下把这个题研究透，好不好？ 生：好。 练习三 师：最后留给大家一道练习题。（出示）
咱们把这道题带到课下来研究。 四、课堂小结 师： 咱们这节课就上到这里。 回想一下这节课， 你有什么收获或者有什么启发吗？ 生 1：我学到了比例的意义和基本性质。 生 2：我学到了比例的应用。 师：咱们一开始是研究国旗长和宽的比，那么比和我们今天学的比例有什么区别 或者有什么联系吗？ 生 1：比是单独两个数比，而比例是由两个比组成的。 生 2：比例是一个式子。 师：比例式一个等式，那比呢？ 生：是两个数——（答不出来）
师：表示两个数相除。 师：比有几项阿？ 生：两项。 师：那比例呢？ 生：四项。 师：它们是有很多区别的。咱们这节课就上到这儿。下课！
范文六：《分数的意义》课堂实录与反思
教学内容：义务教育六年制小学数学第十册69页—71页。
教学目标：
使学生理解分数的意义，知道分数的各部分名称及其意义，认识分数单位。
通过分数意义的学习，培养学生初步的观察、分析、抽象、概括的能力。
使学生受到“事物是普遍联系和发展变化的”辩证唯物主义观点的启蒙教育。 教学重点：理解分数的意义
教学难点：认识单位“1”和概括分数的意义
教具准备：幻灯片、一个圆、一张纸片、一叠纸（8张）、4枝铅笔图。
教学过程：
师：（板书：分数）大家认识分数吗？你能举例说说分数吗？
（随学生说教师板书几个分数）
师：还知道有关分数的什么知识吗？
生：上面是分子，下面是分母，中间是分数线。
师：说得好。今天我们继续来学习分数，这节课我们来学《分数的意义》（板书课题）
1、 教学单位“1”
师：在学习分数的意义之前先要解决一个问题，（板书：1）“1”的问题。你觉得什么可以用自然数1来表示吗？
生1：一个苹果，一张纸。
生2：一个群体。
师：你能具体说说是什么群体吗？
生2：一郡小蝌蚪。
师：说的好。那么谁来说说一群小蝌蚪与一个苹果，一张纸有什么不同吗？
生3： 一群小蝌蚪是有许多只蝌蚪组成的，一个苹果，一张纸只是一个苹果，一张纸。 师：说得真好。谁还能举例说能用“1”表示的东西呢？
生：（略）
师：大家都说得很对。今天老师也带来了一些能用1表示的东西，有一张纸，一个圆形，1分米，一叠纸—8张，还有一把铅笔—4枝。象这样一个实物、一个图形、一个计量单位、还有许多东西组成的一个整体，在数学里我们称之为单位“1”（板书：单位“1”）。你还能举一些能看做单位“1”的东西吗？
2、 教学分数的意义
①师：你能作这些单位“1”，创造出分数来吗？大家可以思考一下，也可以相互之间讨论一下！（板书：一张纸
学生思考并小声讨论，后回答。
生：一个圆对折
师：为什么要对折，
从而引出“平均分”
1生：把一个圆平均分成2 。 2
②指名其他学生说分数产生的过程。全班学生齐说过程。
③学生自由选择单位“1”来创造分数。
师随学生回答进行板书如下：
学生思考并小声讨论，后回答。师随学生回答板书如下：
师：请你选你一个分数说说是怎么得到的。
生随意选择分数说过程。
师：同样是分一张纸，为什么产生的分数会有不同的分母呢？
生：分的份数不同。
师：那么为什么分子又会不同呢？
生：因为取得份数不同。
师：大家分母表示的是什么，分子表示的又是什么呢
生：分母表示把物体平均分成了几份，分子表示取了几份。
（受到老师和学生的赞成）
33 是多少纸，8张纸的 是多少纸？ 44
33生：一张纸的，不到一张纸；8 是6张纸。 44
3，为什么纸的多少会有那么大的差别呢？ 4
生：因为原来物体不一样
师：原来物体不一样，也就是什么不一样。
生：单位“1”不一样。
师：说得真好。刚才我们大家创造出了那么多的分数，那么你能说说什么才是分数吗？ （学生们思考了一下。）
生：把一样东西平均分成若干份，取其中的若干份
师：“若干“是什么意思？
生：不知道是几份。
师：是的，若干是一个不定量词，表示多少的意思。
师：谁还能再说说吗？
指名学生再说。
师：我们来看看书上是怎样来描述的。（演示文稿出示分数的意义）
指名读意义，再全班齐读分数的意义。
师：什么才是分母，什么才是分子。（演示文稿出示：
分母有这样的多少份 表示把单位“1”平均分成多少份
表示其中的一份叫做分数单位
师：选黑板上的一个分数，说说分数单位。
（指名学生说）。
三、巩固提高（演示文稿出示）
1、用分数表示下面各图中的涂色部分
师：选一个分数说说它的分数单位，它有几个分数单位
（生随意选一个分数来回答）
①把 12 根小棒平均分成 3 份，每份占整体的（
），每一份有（ ）根小
，每一份有（
）根小棒。
棒；如果平均分成 2 份，每份占整体的（
。表示把（
）看作单位“1”，平均 5
）份，男生人数占其中（
1③一本书还有 没有看。表示把（
）看作单位“1”，平均分成4
3、用分数表示直线上的点。
师：说说你是怎么想的、说说每个分数的意义。
4、你能用分数表示吗?
师：说说你是怎么想的？
师：回忆一下我们今天学了些什么？
五、布置作业
完成课堂作业本分数的意义。
上了这节课后，给了我比较大的感触。现在将自己想到的一些不足整理如下：
1、教学过程必须得“精心”设计：我所说的“精心”，并不是只指你花了多少时间来设计，花了多少精力，而是看是否每一个环节是否“精”，每一个提问，每一个过渡，每一句话是否是“精”了。而我在这节课上就忽略了好多应该“精”的地方。不可否认我为这节
课是花了很多的心思的，查了资料，又尽了能力来改进，花了时间来制作课件，但并没有做到“精”。比如：在引入新课时，提了一个问题：什么东西可以用“1”来表示？起初我自觉得这种设计是比较新颖，可以用说是用“创新”的。因为我考虑自然数在低年级教学时，是从许许多多个具体事物中概括出了“1”，而我现在是让学生进行逆向思维从“1”想到具体事物，所以我觉得问题并不深奥，而新颖。可是当这个问题抛出后，出现了“冷场”。显然学生对这个问题是手足无措，觉得无从思考，不明白教师提这个问题的意图。当时，我只好自己举出一个例子，再让学生来举例。想来是提这个问题时没有打好基础，让学生没有了思考方向。如果我是这样问的话或许就会大不相同了：我们都知道一个苹果，一个人啊这些都可以用“1”来表示，那你觉得“1”还可以表示什么吗？这个的话就给学生提供了一个思考方向，可想而知也肯定不会出现“冷场”了。再比如当学生用教师提供的单位“1”的物体创造出了许多分数后，再让学生自由选择分数说说分数创造出来的过程（即分数的意义），再提问：我们创造出了那么多的分数，那你知道到底什么是分数呢？在我想来，前面学生已经具体说了许多分数的意义，再从许多具体分数概括出分数的意义已是“水到渠成”。而现实是根本没有学生举手。反思这个问题，显然这个问题提问的方式存在着偏差。前面说的是“分数是怎样创造出来的”后来又问“到底什么是分数”显然有些突兀。如果把这个问题改成“这些分数创造出来的过程，你能用一句话概括出来吗？”这样的话，学生就会用前面说每一个分数的创造过程来概括所有分数的创造过程，即“分数的意义”。在这节课的课件设计上虽然花了许多工作时间，但依然谈不上“精”。比如在学生创造出了许多分数后，提问：为什么在同一个单位“1”会出现不同的分子和分母？学生回答：因为分的份数不一样，分母就会不一样，取的份数不一样，分子就会不一样。其实在这时候教师就可以适时教学分子和分母的意义了，但因为局限于课件（因为课件上先显示分数的意义，再显示分子、分母的意义。）所以我也只好眼睁睁错过这个良好的时机。所以课件也是有其局限之处的，如果要用课件必须考虑精细，最好是好可以灵活调整次序的，那样才能适应这多变的课堂教学。
2、“合作”、“操作”是学生学习的需要。纵观整节课，让我感到最大的遗憾之处在于没有让学生选择“合作”与“操作”的学习方式。在教学了单位“1”的概念后，教师：你能用这些单位“1创造出分数来吗？这时正是学生“口欲言而不能”之时，或者说是不能“畅言”之时，也正是教师引导学生产生使用学具需要的良机，这时教师说：“大家可以相互合作，运用桌子上的东西操作一下，看哪一组创造的分数最多”。相比只是让学生运用大脑想象，来创造分数而言，会更加深刻而丰富，创造的分数也才会越多，才真正体现了一切为教学服务。美国著名心理学家加涅曾提出“为学习而教学”的口号，它让我们更加科学地看待学与教的关系。“为学习而设计的教学”意味着不能仅仅考虑教师教得方便，教得精彩，更要把学习与学生作为焦点，以学生的学习需要为前提，以教导学，以教促学。我们课堂才会因此变得生机勃勃，充满智慧的欢乐与创造的快意。
教学内容：人教课标实验教材十一册 P.77-79
（课堂实录）
1．从生活实际出发感知和理解百分数的意义；
2．掌握百分数的写法，明确百分数与分数在意义上的区别；
3．组织和引导学生经历学习过程，培养学生的问题意识及合作、交流能力和自学能力。 教学重点：百分数意义的理解
教学难点：百分数与分数在意义上的区别
12．教师制作多媒体课件。
教学形式：
学生自主学习与小组合作、交流相结合，教师组织、引导与师生互动、交流相结合。教学过程：
一、创设情境，生成问题。
（一）教师发布信息
师：同学们，老师发布几条信息，希望大家认真听！
生：（窃窃私语）这个声音很熟悉，真了不起！
师：我们虽然已经认识了许多的数，但，像18%，49%，64.2%，60%，98%，1.0%，15%这样的数，仍需要我们来认识和了解。人们称这样的数为百分数
师：板书：百分数
（二）学生发布信息
师：生活中，你们见过这样的数（百分数）吗？在哪儿见过的？请说来听听。
生1：我在酒盒上发现有百分数，如酒精度：42%。方便面包上有兑奖的说明，消费者兑奖的综合中奖概率为15%
生2：我在哇哈哈饮料瓶上见过百分数
生3：我在报纸上收集了很多百分数，大家看看吧！
师：啊，你真了不起，收集了这么多的百分数
师：还有吗？
生4：.......
生5：........
（三）小结
师：同学们真了不起，从生活中找到了这么多百分数。
二、探索交流、解决问题。
1、提出问题
师：百分数在生活中的应用这么广泛，请问：同学们想知道有关百分数的哪些知识呢？
生1：我想知道，百分数是如何写得，是像分数那样写吗？先写什么?再写什么？
生2：我想知道，百分数的意义是什么？
生3：我想知道，百分数是如何读的？先读数字，还是先读百分号？
生4：我在预习时，对于百分数的意义不理解，老师能告诉我吗？
生5：........
(师：在黑板上作简要的记录，如意义，读，写等）
2、学生自学
师：好！我们一道带着这些问题学习教材p78。看能否从书中找到这些问题的答案。（出示课件3）
进行交流。（学生小组内交流）
3、师生释疑、解难
（在学生汇报时，老师提示：一个组选取一个问题来重点汇报，主要介绍你们组是怎么理解的？其余同学注意倾听，并准备针对别人的发言发表自己的见解。）
汇报问题1：人们为什么喜欢百分数？
生：我们组经过讨论认为，生活中的百分数分母都是100，便于比较，容易反应生活情况！所以人们一般用百分数。
师：回答的很好，并出示课件4
师：谁来汇报第二个问题？
生：我们组来，百分数其实就是一个数是另一个数的百分之几，和分数的意义差不多
师：你们组的汇报真棒！
（上图的情景图中百分数的意义是什么？）
师：出示课件5（近视率问题）师指导
生：小学生的近视率为18%就是说小学生近视的人数占全体小学生人数的百分之十八。
师：出示课件6（参加兴趣组问题）师指导
生：60%表示参加兴趣小组的人数是全校学生人数的百分之六十。
师：出示课件7（合格率问题）师指导
生：产品合格率98%表示合格产品数是产品总数的百分之九十八。
师：我们已经知道了具体情境中的百分数意义了，那么一般情况下，百分数的是什么? 生：讨论，回答。
师：出示课件八
师：我们既然已经知道了百分数的意义了，那么在你收集的信息中选择一个百分数，说一说意义吧！
生1：我收集的信息中5%的意义是
..........
生2：.........
师：很好，同学们对于百分数的意义理解了吗？实际上，将百分数的意义叙述成“……是……的百分之几”的形式
生：理解了！
汇报问题4（百分数的读写？）
师：下面，我们接着进行，有请第3组汇报如何读百分数？
生：好的，我们认为，先读分母，后读分子
（师相机出示课件9）
师：有请第3组汇报如何写百分数？
生：先写分子，再在后面加上百分号“%”
（师相机出示课件10）
三、巩固应用、内化提高
1、师：下面我们用学习的新知识，来练习一下！拿出学案，快速完成（第一题）给小方格涂上颜色。
生：动手涂色
师：引导学生回答，检验百分数的应用。
生1：我的涂色部分是24%，我涂色部分是76%。
师：同学们，你知道她涂了价格小格，几个大格吗?
生：知道，她涂了24个小格，76个小格没有涂！
生2：...........
生3：...........
(师引导，理解百分数)
2、师：布置（第二题）写一写，读一读
生：在学案上完成！
生：学生对照。
生：并在组内互相说说自己写对了总题数的百分之几？填写在学案上！
生1：我写对了总体数的90%
师：那你们知道他写对了几个吗？
生：我知道，他做对了
9道题，因为一共有10个百分数。
师：你的回答太完整了！！
3、讨论 百分数和分数的区别（课件16 17）
师：出示课件，并引导学生讨论。
生：小组内交流，并生成一定的结论。
4、师：布置第三题（课件13 判断）
师：结合上面的百分数与分数的区别，我们一起完成下面的几个判断题吧！
师：依次指导3个小题的对错情况
生：完成，并说明对与错的原因。
5、师：布置第四题（课件14 那些分数可用百分数，那些不可用？）
师：我们继续巩固百分数与分数的区别？
师：看看下面那些分数可用百分数，那些不可用？
生：完成，并讨论为什么？
6、师：（课件15
生：完成，并讨论！
四、回顾整理、反思提升
（一）读信息，谈想法
1．看成语联想百分数（课件18）
师：出示课件
师：出示课件
师：60年多前，日本给中国乃至亚洲人民都造成了伤害，但，他们的环保意识还是很值得我们学习的。
4、师：送给大家一句话：（课件20）
成功＝99%的汗水+1%的灵感
-----爱迪生
师：这节课就上到这里，下课！
范文八：《比例的意义和基本性质》课堂实录
一、情境导入,复习比的知识
教师出示课件，结合画面引入。
师：同学们请看，这是们祖国各地的风景图片，我们的祖国幅员非常辽阔，却能在一张小小的地图上清晰可见各地位置；科学家在研究很小很小的生物细胞时，想清楚地看见细胞各部分，就要借助显微镜将细胞按比例放大。这些，都要用到比例的知识，我们今天就来学习有关比例的一些知识。
教师板书课题：比例的意义和基本性质。
师：说到比例，我们很容易想起前面学过,,,,（教师拖长声音）
生：比（几乎异口同声地）
师：下面就请同学们完成学案的“课前检测”部分，复习一下比的有关知识。
二、自主探究，学习比例的意义
1、探求共性，概括意义
师：刚才第三题10:6 与 4.5:2.7 的比值有何特点？
生1：我发现这两个比的比值相等 。
师：既然这两个比的比值相等，请你想想用什么符号把这种关系表示出来！
生2：用等号。（师把左右两个中间板书 = ）
师：同学们现在用了等号表示出这样一个式子，这是一个新的表
达式，你能给它起个名字吗？
生：比例（有几个学生低声说）
师：这几位同学很聪明，数学上也起名为“比例”（师板书：比例）
师：你现在想知道什么叫比例吗？
生：想（学生声音响亮，愿望强烈）
师：那就请同学们自学课本32-33页做一做之前的内容，并完成学案上自学引导部分的问题。（5分钟后多数学生停了笔，教师在学生的回答过程中板书比例的概念，并引导学生把文字语言转化成数学符号语言，得出比例的两种表达式： a:b=c:d或 = (b、d不能为0)
2、根据意义,判断比例
师：刚刚我们认识了新的式子比例，要是让你来判断两个比是不是能组成比例，你会怎么办？
生：看比值是不是相等
师出示课件：下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来．(1)6∶10 和 9∶15 (2)20∶5 和 1∶4
师：比一比 看谁说的又快又好！
生1：因为 6∶10 ＝ 0.6
9∶15 ＝ 0.6
所以 6∶10 ＝ 9∶15
生2： 因为 20∶5 ＝ 4
1∶4 ＝ 0.25
所以 20∶5和1∶4不能组成比例．
（学生边说教师边用课件展示解题过程，目的在于引导学生规范解题格式。）
师：请同学们自己独立完成学案上的课堂训练（一）第1题。（再次巩固判断两个比是否成比例的方法，并熟练解题思路。）
三、合作探究，学习比例的基本性质
1、组织看书，认识名称
师：a：b里比号前面的a叫——（生齐答：前项）比号后面的b叫——（生齐答：后项）。那么在比例里的各部分有哪些名称呢？请同学自学课本，并汇报。然后完成学案上的课堂训练（一）第2题进行巩固。
2、活动探究，总结性质
小组活动内容：
①观察比例的两个内项与两个外项，算一算，你发现了什么。
②如果把比例写成分数形式，是否也有上面发现的规律？
③是不是每一个比例的两个外项与两个内项都具有这种规律，请你再找几个比例进行验证。
④通过以上研究，你发现了什么？（5分钟后，学生基本停止了讨论。）
师：请汇报你发现的规律。
生1：两个外项的积等于两个内项的积
生2：不对，老师，我有个反例：0：1=1：0 0×0=0，1×1=1，
还没等生2说完，生3迫不及待：不对，比的后项不能为0的，你这个不是比例。
生2：那我0：1=0：2 （很着急的改了）
生4：那0×2=0 ，1×0=0，还是两个外项积等于两个内项积。
师：同学们验证得非常认真，现在我们可以一致公认——（生齐答：任何一个比例里，两个外项的积等于两个内项的积。）
师：和比的基本性质一样，我们把这种性质叫做比例的——（生齐答：比例的基本性质。）（板书：基本性质）
3、应用性质，自主判断
师：刚才我们应用比例的基本性质解决了这两个问题（课件展示刚才的问题：下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来(1)6∶10和9∶15 (2)20∶5和1∶4）
师：学过比例的基本性质后，你有新的方法解决这个问题吗？不一会，就有学生举起了小手。
生1：第(1)题，只要算一下6×15=90，10×9=90，乘积相等，所以能组成比例.
生2：第(2)题，20×4=80，5×1=5，乘积不相等，所以不能组成比例.
师：很好！同学们发现了一种新的判断两个比是否成比例的方法，现在请大家用你发现的方法完成学案课堂训练（二）。
4、总结方法，辨析概念
师：我们学了比例的意义和基本性质后，你有几种方法判断两个比能否组成比例？
生：两种，一种是利用比例的意义，通过计算两个比的比值来判断；另一种是利用比例的基本性质，通过计算能够构成内项与外项的两个数的积是否相等来判断。
师：（惊喜！）这节课我们一直类比着比学习比例，比与比例仅一字只差，它们会有什么区别呢？
生1：比是两个数相除，是一个算式；比例是两个比相等，是一个等式
生2：比有两项，比例有四项。
生3：比与比例各部分的名称不同，比的项分别叫做前项和后项；比例的四项，有两个叫做外项，有两个叫做内项。
师：同学们的概括能力很强，你们真的很棒！
师：把你们回答的内容总结一下，边说边展示课件：从意义上、项数上进行对比：比是表示两个数相除，有两项；比例是一个等式，表示两个比相等，有四项。
四、灵活运用，大显身手
师：以上就是我们这节课学习的内容，大家想要知道自己掌握的情况，请认真完成学案灵活运用与拓展天地的部分。
五、归纳小结，交流收获
师：同学们，通过本堂课的学习，你有什么收获，还有什么疑问？
范文九：课堂实录
17．1．1反比例函数的意义（1课时）
【情境导入】复习引入
师：以前我们共学几种函数?它们的形式是什么？
生：正比例函数形如y=kx(k≠0)的函数．
生：（补充）还有一次函数，形如y=kx+b(k≠0)的函数
师：正比例函数与一次函数有何关系？
生：（思）正比例函数是特殊的一次函数即b=0时的情形．
师：写出下列问题中函数关系式并说明是什么函数?
（1）梯形上底是2，下底是4则周长y与高x的函数的关系式____________．
（2）某种文具单价为3元 当购买m个这个文具时共花y元，则y=_________．
生：1．y=3x；2．y=3m．
师：这两个函数是什么函数？
生：都是正比例函数．
〖评析〗提醒同学，在我们的现实生活中，蕴含着大量的数学问题，并用所学的数学知识去
解决一个一个的问题．
【探索新知】
师：体育课上，老师为了选拔参加运动会的选手，举行了百米赛跑比赛，小明用了13s，小
亮用了14s，小军用了12s，于是王老师选择了__________参加百米赛跑．这是因为当
路程s一定时，速度和时间成_________的两个量，也就是说，当速度越大时，时间就
越___________；当速度越小时，时间就越____________．在这个问题中，时间t与速
度v的函数关系式是__ _____________．
生：选小军参赛；成反比；少；多； t?s生补充回答． v
师：（微笑）说很好．这个问题两个变量成什么关系？
生：（自信地）高声齐答道反比例．
师：t是v的正比例函数吗？
生：不是．
师：出示投影片（试探究下列问题如何列出关系式．）（1）京沪铁路全长为1463km，某次
列车的平均速度v(km/h)随此次列车全程运行时间t(h)变化而变化；
（2）某住宅小区种植一个面积1000m的草坪，草坪的长y(m)随宽x(m)的变化而变化；
（3）已知北京市总面积为1．68×10平方千米，人均占有面积s（平方千米/人）随全
市人口n(人)的变化而变化．
生：（1）v?421463． t
1000． x师：（点点头）非常好，第二个呢？ 生：（2）y?
师：不错，下一题呢？
生： s?． n
师：（追问）上面三个函数有什么共同点？
生：等号右边是一个分式，常数除以变量．
〖评析〗教师深入到小组，重点关注：①学生能否发现数学问题；②学生对于数对的初步认
识；③学生能否准确列出关系式；④学生能否找到解决问题的方法．
师：（减慢语速，板书）像形如y=k(k≠0)的函数称y是x反比例函数．x是自变量，y是xx
的函数．你能自变量和函数吗？
生：（1）t是变量，v是t的函数；（2）x是变量，y是x的函数；（3）n是变量，s是n
〖评析〗在活动中，教师应重点关注：①学生对于反比例函数的认识即两个变量成反比例乘
积为定值；②准确理解反比例函数解析式．③学生能否主动与同学合作．
师：（出示投影片）1．概念辨析下列函数中，那些是反比例函数______________________．(填
序号) (1) y?x5312，(2) y??，(3) xy?21，(4)y?，(5)y??，(6) y??3， x?22xx3x
(7) y?x?4．
2．下列两个变量之间为反比例函数的是（
A．正方形的面积s与边长a的关系．
B．正方形的周长L与边长a的关系．
C．长方形的长a，宽为20，其面积S与a的关系．
D．长方形的面积为40，长为a，宽为b，则a与b的关系．
2 ．D 师：不错．y?k(k?0)又可写为y=kx?1(k≠0) ． x
2师：当n取何值时， y?(n2?2n)xn
2?n?1是反比例函数？ 生：由题意知；n?n?1??1得n=0或-1．
师：有没有补充？
生：n?n?0故n=0应舍去应n=-1．
师：强调形如y=kx?12(k≠0)这里两个条件（1）k≠0；（2）x的指数为-1．
〖评析〗反比例函数的两个条件（1）k≠0；（2）x的指数为-1缺一不可．
师：同学们，根据我们刚才所学知识把你们课前所做的课前延伸部分检查一下．学生检查自
己的课前延伸练习．
师：好，谁来把答案说说看？
生：我第一题的答案是： y?36．
1005生：我第三题的答案是： v? 生：y??． tx生：我第二题的答案是a?
师：你们做得很对，再来看第二大题．（出示投影片）1）已知y?(m?1)xm2?2是反比例
函数，求m的值．（2）已知：反比例函数经过A（3，2），（m，-1）．则m=_____________．
(3)近视眼的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，已知400度的近视眼镜片的焦距是 0.25米，则y与x的函数关系式是____________________．
生：第一题是：m=-1注意m=1应舍去．
师：谁来说说第二题是如何思考的？
生：第二题我是这样思考的，设y?3，2）代人求k，写出y?k
x66在把（m，-1）代人y?xx
中求m=-6．
师：这位同学讲得很好．这种方法叫待定系数法有没有其它方法？谁再来说说下一题． 生：也可用两变量积为定值．即3×2=-m，m=-6．
师：很好！下一题呢？
生： y?100． x
k100中k=100，故y?． xx师：你是怎样思考？ 生：将x=0.25，y=400代人y?
师：这里要注意两个变量的意义．
〖评析〗在学生对反比例函数有一定理解后检查自己课前延伸的练习情况，让学生自查自纠，
把学习的主动权交给学生；另外，学生在检查的同时既加强了对概念的理解又消除了预习时的一些模糊认识．
【巩固新知】
师：（边说边打开准备好的题目）现在我们再一起加深对反比例函数的理解．大家把学案中
课内探究的第一大题试试看．（同时教师也用幻灯片展示）
（1）下列函数那些是反比例函数：① y=6x，②y=x-8，③y?
?1⑤y??5x，⑥y?4?3?2，④ y?， xxk． x
2（2）当n取何值时，y?(n2?2n)xn?n?1是反比例函数？
（3）已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6，
①写出y与x的函数关系式；
②求当x=4时y的值．
出示课内探究题生分组讨论．
（1）已知甲乙两站路程是312km，一列列车从甲站开往乙站，设列车的平均速度为x
km/h，所需时间为yh
①试求y与x的关系式；
②2006年全国铁路第六次大提速前 ，这一列列车从甲站到乙站需4h，列车提速后，速度提高了26km/h，问提速后从甲站到乙站需几h?
（2）已知函数y?y1?y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=1时，y=4，
x=2时，y=5．
①求y与x的函数关系式；②当x=-2时，求y的值．
师：第一题①关系式怎样列？ 生：y?312． x
312当y=4知x=78提速前78km/h，提速后为78+26=104km/h，312÷104=3h故 x师：很好，第二问呢？ 生：由y?
提速后需3h．
师：很好，第二问需利用第一问的结论，还需明确x，y的意义．第二题如何思考？ 生：再进行讨论．
师：由y1与x成正比例可怎样设？
生：设y1?kx．
师：y2与x成反比例可怎样设？ 生：y2?k． x
师：不错，这两个学生说的k的值一样吗？
生：不一样．
师：要加以区别．分别设k1，k2，下面请学生写出解题过程．
生：板书，教师巡视．
由题意可设，y1?k1x，y2?
y=5． k2代人y?y1?y2中，把x=1时，y=4 ；
?k1?k2?4k2?代人y?k1x?中，得：? ，解得k1?k2?2 ， k2x2k1??5?2?
故y?2x?2； x
当x=-2时，y=-5．
师：评析解题过程．这种解题方法叫待定系数法．板书．
学生练习，教师巡视．
【课堂测试】
师：好！接下来我们一起做3道题．
1．下列函数中，那些是反比例函数______________________．(填序号) (1) y?
(6) y?x532，(2) y??，(3)xy=21，(4) y?，(5) y??， x?22x3x1?3，(7)y=x-4． x
2．某工厂现有布料100吨，平均每天用去x吨，这批布料可用y天，则y 与x的关系
式_______________．
3．已知函数y?(n2?2n?3)xn?2中（1）当n=_________时，y是x正比例函数；
（2）当n=__________时，y是x反比例函数．
师：相信大家一定做好了，我们来一起看看．第一小题．
生：选（2），（5）．
师：有没有补充的．
生：还有（2）因为它可变为y?21． x
师：你讲得很不错，相信其他同学也有很不错的想法，好，我们再看下一题．
生： y?100 x
师：很好，再下一题．
生：n= -3；n=1
师：是的，你是怎样思考的？ 生：由n?2?1得n=3或-3且nn?2n?3?0故n= -3．
师：另一空呢？ 生：由n?2??1得n=1或-1且n?2n?3?0故n=1．
师：你的思路很清晰！这里强调n?2n?3?0容易忘掉考虑．
〖评析〗正比例函数指数为1且k≠0；反比例函数指数为-1且k≠0．两个条件缺一不可． 师：好，我们再来看小组合作探究题，大家先独立思考一下．
（1）反比例函数与直线y?2x?1和y??2x?m相交于点A，点A纵坐标为3，则
m=_____，反比例函数的解析式为________________．
（2）若变量y是x的反比例函数，变量x与 z成正比例，则y与z的关系是（
A．成反比例
B．成正比例
C ．y与z成正比例
D．y与z成反比例 学生独立思考．
师：好！同学们再将自己的见解与同伴们交流一下．
生：（讨论．交流） 222222
〖评析〗教师将独立思考和小组合作交流有机结合，这样保证了人人参与活动，通过组内交
流又使每个学生的思维得到碰撞，情感得到交流，极大地达到了教学效果．
师：最后，谈谈本节课你有哪些收获？
生：掌握反比例函数的概念及意义；学会用概念解题．
生：（补充）还学会如何建立反比例函数关系式解决实际问题．
生：还掌握了一种方法即待定系数法．
师：很好，同学们归纳的不错．
〖评析〗当堂训练，当堂反馈的实施不但使学生对所学的新知识得到及时巩固和提升，同时
又使得还存在模糊认识的学生得到进一步澄清，这就让学生在学习新知识的第一时间得到最清晰的认识，这正是高效的价值所在．教师在讲评时抓住学生的易错点和模糊点讲解，这也是高效的教学手段．
【课后提升】
请大家记好今天的作业：课后提升
1．如果正比例函数y=kx与反比例函数y?
m=______．
2．反比例函数y?b=_________．
3．下列两个变量之间为反比例函数的是（
A．正方形的面积s与边长a的关系．
B．正方形的周长L与边长a的关系．
C．长方形的长a，宽为20，其面积S与a的关系．
D．长方形的面积为40，长为a，宽为b，则a与b的关系．
4．如果函数y?(a?1)xa2?2m的图像的一个交点为（2，4）那么k=_____， xk3的图像经过（?，5）（a，-3）（10，b）则k=____，a=_____， x2是反比例函数，则a=______，此函数解析式________．
范文十：正比例的意义——课堂实录
教学内容：第52页例1，第55页课堂活动第1题及练习十二1，2，3题。 教学过程：
一、激趣引入
（一）出示照片：
1、你猜他是谁？
2、你能从照片中发现和数学有关的问题吗？
（1）下面是居委会张阿姨负责的小区水费收缴情况，用这个表中的数能写
教师：在上面的表中，有哪两种量？（水费和用水量、总价和数量）在我们平时的生活中，除了这两种量，我们还要遇到哪些数量呢？
今天这节课我们就来研究这些数量间的一些规律和特征。
板书课题：正比例的意义
二、自主探索，学习新知
1．教学例1
并根据这种规律帮助张阿姨把表格填写完整。
发现表格中的水费随着用水量的增加也在不断增加，像这样水费随着用水量的变化而变化，我们就说水费和用水量是相互关联的。
板书：相关联
教师：你们还发现哪些规律？
主要体会水费除以用水量得到的每吨水单价始终是不变的，教师可根据学生的回答板书出来，便于其他学生观察：
用水量 = 6= 8= 14=……=2.5
教师：水费除以用水量得到的单价相等也可以说是水费与用水量的比值相等，也就是一个固定的数。 水费152035
板书：用水量= 每吨水单价（一定）
2.教学“试一试”
小黑板出示，学生先独立完成。
教师：能用刚才我们研究例1的方法，自己分析这个表格中的数据吗？ 路程与时间的比值是一定的，速度是每时80kM，它们之间的关系可以写成时间=速度（一定）
3.教学“议一议”
教师：研究了上面生活中的两个问题，谁能发现它们之间的共同点呢？
教师：像上面这样的两种量，叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。
三、巩固练习
1.教学课堂活动
四、教学小结
这节课你们学到了哪些知识？用了哪些学习方法？还有哪些不懂的问题？
五、作业布置
（1）完成练习十二的第1题。
（2）完成练习十二的第2、3题。}