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苏科版七年级上学期数学学案-6.5垂直(1)
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你可能喜欢d4．线段的比和比例线段的区别和联系a
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第 23 章图形的相似23.1 相似图形的特征 第一课时 成比例线段 教学目标 ：知识与技能：了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例。 利用比例的性质，会求出未知线段的长。 过程与方法：培养学生灵活解题及合作探究的能力 情感态度价值观：感受数学逻辑推理的魅力 教学重点：成比例线段的定义；比例的基本性质及直接运用 教学难点：比例的基本性质的灵活运用，探索比例的其它性质 教学准备：白卡纸、作图工具、 课 型：新授课 教学过程： 一、复习引入： 挂上两张照片，问： 1．这两个图形有什么联系? 它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似形。 2．这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来 相像又不会相似呢 ?相似的两个图形有什么主要特征呢?为了探究相似图形的特 征，本节课先学习线段的成比例。 二、新课讲解 1．两条线段的比 （ 1 ）回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大 小？ 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB、CD 的长度分别是 m、n，那么 就说这两条线段的比 AB∶CD＝m∶n，或写成 分别叫做这两个线段比的前项和后项． 如果把m AB 表示成比值 k，则 ＝k 或 AB＝k·CD． n CD AB m ＝ ，其中，线段 AB、CD CD n注意：在量线段时要选用同一个长度单位． （2） ．做一做 量出数学书的长和宽（精确到 0.1cm） ，并求出长和宽的比． 改用 m 作单位， 则长为 0.211m， 宽为 0.148m， 长与宽的比为 0.211∶0.148＝211∶ 148 只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变． （3） ．求两条线段的比时要注意的问题1&&&&①两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成 同一单位，再求它们的比； ②两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； ③两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 问：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？（学生讨论） （答:线段的长度比与所采用的长度单位无关） 2．成比例线段的定义 你还记得八年级上册中“变化的鱼”吗？如果将点的横坐标和纵坐标都乘以 （或除以）同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变 化？a c 四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 ＝ ，那 b d么这四条线段 a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质a c 两条线段的比实际上就是两个数的比．如果 a，b，c，d 四个数满足 ＝ ， b d a c 那么 ad＝bc 吗？反过来，如果 ad＝bc，那么 ＝ 吗？与同伴交流． b d a c 如果 ＝ ，那么 ad＝bc。 b d a c 若 ad＝bc（a，b，c，d 都不等于 0） ，那么 ＝ ． b d4．线段的比和比例线段的区别和联系a c 线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如 ＝ 是线段 a、b、c、 b dd 成比例，而不是线段 a、c、b、d 成比例． 三、例题讲解 例题 1：在某市城区地图（比例尺 1∶9000）上，新安大街的图上长度与光 华大街的图上长度分别是 16cm、10cm． （1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ （ 2 ）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比 呢？ 例题 2：如图，已知 例题:3：如果 吗？为什么？2a c a?b c?d ? ＝3，求 和 ； b d b da c a?b c?d ? ＝k（k 为常数） ? ，那么 成立 b d b d&&&&四．探究延伸，拓展思维（想一想再回答）a c a?b c?d ? 成立吗？为什么？ ? ，那么 b d b d a?c?e a a c e ? 成立吗？为什么？ （2）如果 ? ? ，那么 b?d ? f b b d f（1）如果a c a?b c?d 成立吗？为什么． ? ，那么 ? b d b d a c m a ? c ??? m a ? 成立吗？ （4） 如果 ? ＝?＝ （b＋d＋?＋n≠0） ， 那么 b ? d ??? n b b d n（3）如果 为什么． （小组讨论完成上面的问题） 五、课堂练习 1．已知a c a ?b c?d a ?b c?d 和 ， ＝ 成立吗？ ? ＝3，求 b d b d b de a c a?c?e a?c?e ，求： （1） ； （2） ； ? ＝ ＝2 （b＋d＋f≠0） b ? d ? f b ?d ? f f b d2．已知 （3）a ? 2c ? 3e a ? 5e ； （4） ． （小组讨论并上黑板） b ? 2d ? 3 f b?5f六、课时小结： 1、注意点： （1）两线段的比值总是正数； （2）讨论线段的比时，不指明长 度单位； （3）对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示． 2、比例尺：图上长度与实际长度的比 3、熟记成比例线段的定义；2．掌握比例的基本性质，并能灵活运用． 七、作业 ：P55 ：1、2、3； 八、板书设计课题：23.1 成比例线段 一、成比例线段概念和性质： 三、练习题（学生板演） 1.概念； 2.比例的基本性质 二、例题九、反思及感想：这节课多给学生提供自主学习，自主操作、自主活动的机 会。不论是回顾旧知，还是探究新知，都是教师引导，学生自主探索。比如画一 画、量一量、算一算这些设计都能给学生提供自主探索新知的空间，体现了学生 是数学学习的主人的新理念。3&&&&23.1.2平行线分线段成比例 第二课时教学目标 知识技能： 在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边平行线的 性质与判定定理，并会灵活应用.会作已知线段成已知比的作图题. 数学思考：平行线分线段成比例定理的正确性的说明. 解决问题：通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成 几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力. 情感态度：通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏 数学表达式的对称美. 教学重点:定理的应用. 教学难点:定理的推导证明. 教学过程设计： 活动一.创设情景,引入新课 问题：一组等距离的平行线截直线 a 所得的线段相等，那么在直线 b 上所截 的线段有什么关系呢？（请同学们观看课件中的验证过程） 引导学生回答后教师作如下总结： 一组等距离的平行线在直线 a 所截得的线 段相等，那么在直线 b 上所截得的线段也相等. 这就是我们前面所学的平行线等分线段定理， 他讨论的是平行线截直线相等 的情况，那么如果截的线段不相等呢？这就是我们今天要学习的内容：平行线分 线段成比例定理. 活动二.分析探索,新知学习 1.三条平行直线 L1//L2//L3 截直线 AE 上的线段 AC、CE 长度之间（除相等外）存 在着什么关系呢？同样截直线 BF 上的线段 BD、 DF 长度之间存在着什么关系呢？4&&&&板书：由 L1//L2//L3 可得： 2.彷上分析得： 板书：由 L1//L2//L3 可得：AC 2 BD 2 ? ； ? CE 3 DF 3 AC 3 BD 3 ? ； ? CE 5 DF 5所以：AC BD 2 ? ? CE DF 3 AC BD 3 ? ? CE DF 5所以：3.引导学生初步总结出平行线分线段成比例定理， 然后师生共同归纳得出定理并 板书定理. 平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。A CB DL1 L2ABL1CDL2EF L3EF L3观察上图我们容易发现下面结论成立. 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线） ，所得的对应线 段的比相等(或成比例). 变式思考: 1.如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段的比相 等(或成比例)，那么这条直线平行于三角形的第三边. 2.平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原 三角形三边对应成比例. 活动二.拓展升华,变式思考 已知：如图，AD 是△ABC 的内角平分线，求证:5EA&&&&AB:AC=BD:DC 分析：过 C 点做 CE 平行于 AD 交 AB 于点 E， 所以∠3=∠2，∠1=∠E； 又因为 ∠1=∠2，所以∠3=∠E，那么 AC=AE， 根据平行线等分线段定理联单 就得到了所要证明的结论. 活动三.知识反馈，课堂练习 选择题:(1)如右图，已知 L1//L2//L3，下列比例式中错误 的是： （ ） A C B D L1 L2 AB:AE=BD:DC，将 AE 换成 ACAC BD ? A． CE DF CE DF ? C. AE BFAC BD ? B. AE BF AE BD ? D. BF ACEF L3(2)如右图，已知 L1//L2//L3，下列比例式中成立 的是： （ ）AD CE ? DF BC CE AD ? C. DF BCA． 次总结，重点是对应两字.B.AD BC ? BE AF AF BE ? D. DF CEABL1根据学生的回答情况对定理内容最进行一CDL2活动四.知识应用,例题解析 例题：如图，已知 L1//L2//L3, 证明：E A DF L3 L1AB BC AC ? ? . DE EF DFEBL2注：通过本例题分析使学生进一步理解定理 中的“对应”. 活动五.知识升华，课堂小结 今天我们学习了平行线分线段成比例定理，6L3 F C&&&&事实当两线段的比是 1 时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理 是平行线分线段成比例定理特殊情况， 平行线分线段成比例定理是平行线等分线 段定理的推广. 活动六.知识反馈，布置作业 P55 ：6.723.2相似的图形 第三课时教学目标： 知识与技能： 理解相似形的概念， 了解相似形是两个图形之间的关系。 过程与方法：根据不同需要，能作出大小不一定相同的图形 情感态度价值观：培养学生的观察能力。 教学重点：让学生理解相似图形概念，会判断两个图形是否相似。 教学难点：正确理解“形状相同”的含义并画出相似图形。 教学准备：白卡纸、大小不同的同底照片、图片、电子白板 课 型：新授课 教学过程： 一、导入新课 挂上大小不一样的中国地图两张及两张大小不同的内容相同的图片， 供同学 观察，并看课本第 42 页的图，提出问题：这几组图片有什么相同的地方呢? 这些图片大小虽然不一样，但形状是相同。 二、讲解新课 由于不同的需要，我们用同一底片冲洗、放大得到的相片有 1 寸的，也有 2 寸的，也有更大的，这些大小不一样的相片，其形状是相同。同学们想一想，在 毕业证书贴的相片与学籍卡片上的相片、学习证的相片大小不一定一样，但形状 相同，如果不相同会有什么后果呢? 大小不相同的中国地图或世界地图，其形状也是相同的，只是由于需要的不 同，印制成大小不一的图片。对于某一地区，也经常会绘制成各种大小不同的建 筑物、山岗等所处的位置都是相同，同学们想一想，如果两张地图 (同一地区) 的形状不一样，那就会给我们许多错觉，就会产生许多麻烦的事情。 在日常生活中我们会看到许多这样形状相同，而大小不一定相同的图形。在 数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形。同学们你还能说出哪些相似的7&&&&图形吗? (同学们思考、讨论、交换意见)国旗、国旗上的五角星。画一个图形放在投 影机上映射到屏幕上的图形与原图、 平面镜 上看到你自己的像等。 如图所示的是一些相 似的图形。 想一想：放大镜下的图形和原图形相似 吗? 你看过哈哈镜吗?哈哈镜中的形像与你本人相似吗? 还有一些图形，看起来有点相像，但它们不是相似的图形。 为什么有一部分图形看起来相像，但 不相似呢?这就是数学上说的相似图形还有 其特征，就是这章要探索的内容。 三、课堂练习：课本第 43 页试一试，你能 画出两个或更多的相似形吗? 四、小结：形状相同而大小不一定相同的图形称为相似形，相似形在生活中经常 碰到。 五、作业： P60:1,2 七、反思及感想： 化归思想与转化思想不同，主要是化归思想必须有一归结的目标，也就是老 经验。因此，在教学实践中，我采用了下列两个做法：一是建立“一线三等角”的 数学模型，让学生在实验操作中探寻出折纸问题中的数学问题本质特征。并把它 上升为一种理论，指导其他问题的解决。二是采用探究条件的转化，使问题表象 发生变化，引导学生去伪存真，还原出数学问题的本质。8&&&&23.２ 相似图形的特征 第 4 课时 相似图形的特征 教学目标： 知识与技能：知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相 等。识别两个多边形是否相似的方法。 过程与方法：在推出相似多边形性质时，让学生用量角器、刻度尺 来测量，锻炼动手能力 情感态度价值观：让学生感受数学知识源于生活、用于生活。 教学重点：相似多边形的性质 教学难点：理解和应用相似多边形的性质 教学准备：地图、作图工具、电子白板 课 型：新授课 。教学过程： 一、复习：1．若线段 a＝6cm，b＝4cm，c＝3.6cm，d＝2.4cm，那么线段 a、b， c、d 会成比例吗? 2．两张相似的地图中的对应线段有什么关系?(都成比例) 二、新课 相似的两张地图中的对应线段都会成比例，对于一般的相似多边形，这个结 论是否成立呢?同学们动手量一量，算一算，用刻度尺和量角器量一量课本第４ ８页两个相似四边形的边长，量一量它们的内角，由一位同学把量得的结果写在 黑板上，其他同学把量得的结果与同伴交流。 同学们会发现有什么关系呢?经过观察、计算得出这两个相似四边形的对应 边会成比例，对应角会相等，再观察课本中两个相似的五边形，是否也具有一样 的结果?反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系? 同学用格点图画相似的两个三角形，也观察、度量，它们是否也具有这种 关?对应边成比例，对应角相等。 由此可以得到两个相似多边形的特征： (由同学回答，教师板书)对应边成比例，对应角相等。 实际上这两个特征，也是我们识别两个多边形是否相似的方法。即如果两个 多边形的对应边都成比例，对应角都分别相等，那么这两个多边形相似。 识别两个多边形是否相似的标准有：(边数相同)，对应边要(成比例)，对应 角要(都相等)。(填号内要求同学填) 想一想：(1)两个三角形一定是相似形吗?两个等腰三角形呢?两个等边三角 形呢?两个等腰直角三角形呢? (2)所有的菱形都相似吗?所有矩形呢?正方形呢? 例 1：矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′中，AB＝1.5cm，BC＝4.5cm，A′B′ ＝0. 8cm，B′C′＝2.4cm，这两个矩形相似吗?为什么? 例 2：(课本第４９页例题)9&&&&三、练习：1．课本第５0 页练习。 2． (1)矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′中， 已知 AB＝16cm， AD＝10cm， A′D′＝6cm，矩形 A′B′ C′D′的面积为 57cm2，这两个矩形相似吗?为什么? 3．如图四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′是相似的，且 C′D′⊥B′C′， 根据图中的条件，求出未知的边 x，y 及角 a。 四、小结：1．两个多边形是否相似的两个标准是什么? 2．相似多边形具有什么特征? 五、作业：P60: 1、4,5. 六、板书设计23.2：相似图形的特征一、相似图形的特征：二、例题 三、练习题（学生板演）七、反思及感想： 教学内容还有待于进一步改进。尽管这是一堂题分组教学的实践课，也较好 地完成了教学目标。但站在更高的角度来思考，反映出我还有些急燥，应该把这 个题型至少要细分为基本图形的形成、基本图形的巩固、基本图形的拓展应用三 个层次，用 2-3 课时的时间逐步推进教学，效果可能会更好。10&&&&23.３ 相似三角形 1．相似三角形（第五课时） 教学目标：知识与技能：知道相似三角形的概念；能够熟练地找出相似三角形 的对应边和对应角；会根据概念判断两个三角形相似。 能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长。 过程与方法：在探索活动中，发展发现问题、解决问题的意识和合 作交流的习惯。 情感态度价值观：培养学生严谨的数学思维习惯 教学重点：掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否 相似 教学难点：熟练找出对应元素，在此基础上根据定义求线段长或角的度数 教学准备：白卡纸、作图工具、电子白板 课 型：新授课 教学过程： 一、复习：什么是相似形?识别两个多边形是否相似的标准是什么? 二、新课：1．相似三角形的有关概念： 由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那 么这两个多边形相似。 三角形是最简单的多边形。由此可以说什么样的两个三角形相似? 如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形 相似，如在△ABC 与△A′B′C′中，∠A＝A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′ ＝ AB A′B′BC AC ＝ 那么△ABC 与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′； B′C′ A′C′“∽”是表示相似的符号，读作“相似于” ，这样两三角形相似就读作： “△ABC 相似于△A′B′C′” 。 由于∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，所以点 A 的对应顶点是 A′， B 与 B′是对应顶点，C 与 C′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对 应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边．如果记 AB ＝ A′B′BC AC ＝ ＝K，那么这个 K 就表示这两个相似三角形的相似比．相似比就 B′C′ A′C′ 是它们的对应边的比，它有顺序关系． 如△ABC∽△A′B′C′，它的相似比为 K， AB A′B′ 即指 ＝K，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比应是 ，就不是 K 了， A′B′ AB 应为多少呢?同学们想一想? 2．△ABC 中，D，E 是 AB、AC 的中点，连结 DE，那么△ADE 与△ABC 相似11&&&&吗?为什么?如果相似，它们的相似比为多少? 如果点 D 不是 AB 中点，是 AB 上任意一点，过 D 作 DE‖BC，交 AC 边于 E， 那么△ADE 与 ABC 是否也会相似呢? 判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑。 能否得对应角相等?根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成 比例呢?目前还没有什么依据，同学们不妨用刻度尺量一量，算一算是否成比例? AD AE DE 通过度量，计算发现 ＝ ＝ ． AB AC BC 所以可以判断出△ADE 与△ABC 会相似。若是 DE‖BC，与 BA、CA 延长线交于 D、E，那么△ADE 与△ABC 还会相似吗? 试一试看。如果相似写出它们对应边的比例式． 3．如果△ABC∽△A′B′C′，相似比 K＝1，你会发现什么呢 ? AB ＝ A′B′BC AC ＝ ＝1，所以可得 AB＝A′B′,BC＝B′C′，AC＝A′C′，因此这 B′C′ A′C′ 两个三角形不仅形状相同，且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全 等三角形是相似三角形的特例，试问：①全等的两个三角形一定相似吗? ②相似 的两个三角形会全等吗? 全等的符号与相似的符号之间有什么关系与区别? 4．例：如果一个三角形的三边长分别是 5、12、13，与其相似的三角形的 最长边是 39，那么较大三角形的周长是多少?较小三角形与较大三角形的周长的 比是多少? 分析：这两个三角形会相似，对应边是哪些边?相似比是多少?哪一个三角形 较大?要计算出它的周长还需求什么?根据什么来求? 三、练习：下列两个三角形是否相似?简单说明理由，如果相似，写出对应边的 比例四、小结：1．填空：＿＿＿＿＿＿＿的三角形叫做相似三角形。 2．两个相似三角形的相似比为 1，这两个三角形有什么关系? 3、如果一条直线平行于三角形一边，与其它两边或其延长线相交截 得的三角形与原三角形相似吗?指出它们的对应边。12&&&&五、作业：P63 ： 六、板书设计1、2、3。课题：相似三角形 一、全等三角形： 四、作图：利用相似作图（学生板演） 二、相似比的算法 三、例题七、反思及感想： 本课以学生的自主探究为主线： 课前学生自己对比例线段的运用进行整理。 这样不仅复习了所学知识，而且可以使学生逐渐学会反思、总结，提高自主学习 的能力； 课堂上学生亲身体验“实验操作—探索发现—科学论证”获得知识 （结论） 的过程，体验科学发现的一般规律；解决问题时学生自己提出探索方案，学生的 主体地位得到了尊重；课后学有余力的学生继续挖掘题目资源，发展的眼光看问 题，观察运动中的“形异实同”，提高学习效率，培养学生思维的深刻性。13&&&&2．相似三角形的判定 第一课时 相似三角形的判定(一)（第六课时） 教学目标：知识与技能：会说识别两个三角形相似的方法：两个角分别相等的两 个三角形相似。会用这种方法判断两个三角形是否相似。 过程与方法：培养学生动手操作能力 情感态度价值观：在动手推演中感受几何的趣味 教学重点： 相似三角形的判定方法以及推导过程， 并会用判定方法来证明和计算． 教学难点：判定方法的运用． 教学准备：白卡纸、三角板一副、电子白板 课 型：新授课 教学时间：2012 年下期第 周 星期 教学班级：2013 级 班 教学过程： 一、复习 1．两个矩形一定会相似吗?为什么? 2．如何判断两个三角形是否相似? 根据定义：对应角相等，对应边成比例。 3．如图△ABC 与△′B′C′会相似吗?为什么?是否存在识别两个三角形相 似的简便方法?本节就是探索这方面的识别两个三角形相似的方法。 二、新课讲解 同学们观察你与你的同伴用的三角尺，及老师用的三角板，如有一个角是 30°的直角三角尺，它们的大小不一样。这些三角形是相似的，我们就从平常所 用的三角尺入手探索。 (1)是 45°角的三角尺，是等腰直角三角形会相似。 (2)是 30°的三角尺，那么另一个锐角为 60°，有一个直角，因此它们的三 个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢? 这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相 等，它们好像就会“相似” 。是这样吗?请同学们动手试一试： 1．画两个三角形，使它们的三个角分别相等。 画△ABC 与△DEF，使∠A＝∠D、∠B＝∠E，∠C＝∠F，在实际画图过程中， 同学们画几个角相等?为什么? 实际画图中，只画∠A＝∠D，∠B＝∠E，则第三个角∠C 与∠F 一定会相等， 这是根据三角形内角和为 180°所确定的。 2．用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例?与同伴交流，是否 有相同结果。 3．发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角 对应相等，那么这两个三角形相似。14&&&&4．两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢? 这是由于三角形具有它特殊的性质。 三角形有稳定性， 而四边形有不稳定性。 于是我们得到识别两个三角形相似的一个较为简便的方法： 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等， 那么这两个三 角形相似，简单地说：两角对应相等，两三角形相似。 同学们思考，能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角 形，是否一定会相似呢? 例题：1．如图两个直角三角形△ABC 和△A′B′C′中，∠C＝ ∠C′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似。 2．在△ABC 与△A′B′C′中,∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°， ∠B′＝60°，这两个三角形相似吗? 3．如图，△ABC 中，DE‖BC，EF‖AB，试说明△ADE∽△EFC。 三、练习 1．△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D，找出图中所有的相似 三角形。2．△ABC 中，D 是 AB 的边上一点，过点 D 作一直线与 AC 相交于 E，要使△ ADE 与△ABC 会相似，你怎样画这条直线，并说明理由。和你的同伴交流作法 是否一样? 四、小结 本节课我们学习了识别两个三角形相似的简便方法： 有两个角对应相等的两个三角形相似。 五、作业 :P67 : 1,2 六、板书设计课题：相似三角形的判定(一) 一、相似三角形判定定理： 三、练习题（学生板演） 1、对应角相等，对应边成比例。 ； 2、 两角对应相等，两三角形相似。 二、例题：15&&&&相似三角形的判定(二) 第七课时 教学目标：知识与技能： 会说出识别两个三角形相似的方法：有两边对应成比 例，且夹角相等的两个三角形相似；三条边对应成比例的两个三 角形相似。 能依据条件，灵活运用三种识别方法，正确判断两个三角形相似。 过程与方法：在推理过程中学会灵活使用数学方法 情感态度价值观：培养学生严谨的证明数学习惯和对数学的兴趣 教学重点：相似三角形判定方法 2、3 的推导过程，掌握判定方法 2、3 并能灵活 运用． 教学难点：判定方法的推导及运用 教学准备：白卡纸、作图工具、ppt 课件、电子白板 课 型：新授课 教学过程： 一、复习：1．现在要判断两个三角形相似有哪几种方法? 有两种方法， (1)是根据定义； (2)是有两个角对应相等的两个三 角形相似。 1 2．如图△ABC 中，D、E 是 AB、AC 上三等分点(即 AD＝ AB，AE 3 1 ＝ AC)，那么△ADE 与△ABC 相似吗?你用的是哪一种方法? 3 由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量什么东西后可以判断 它们能否相似?(可能有一部分同学用量角器量角，有一部分同学量线段，看看能 否成比例)无论哪一种，都应肯定他们，是正确的，要求同学说出是应用哪一种 方法判断出的。 二、新课讲解 同学们通过量角或量线段计算之后，得出：△ADE∽△ABC。从已知条件看， 1 △ADE 与△ABC 有一对应角相等， 即∠A＝∠A(是公共角)， 而一个条件是 AD＝ AB， 3 1 AD 1 AE 1 AD AE AE＝ AC，即是 ＝ ， ＝ ；因此 ＝ 。△ADE 的两条边 AD、AE 与△ABC 的 3 AB 3 AC 3 AB AC 两条边 AB、AC 会对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形 也会相似吗?我们再做一次实验。观察图，如果有一点 E 在边 AC 上，那么点 E 应 该在什么位置才能使△ADE 与△ABC 相似呢? 1 图中两个三角形的一组对应边 AD 与 AB 的长度的比值为 ，将点 E 由点 A 开 316第二课时&&&&1 AD AE 始在 AC 上移动，可以发现当 AE＝ AC 时，△ADE 与△ABC 相似。此时 ＝ 3 AB AC 同学们画两个三角形， △ABC 与△A′B′C′， 使之∠A＝∠A′， AB＝2A′B′, BC AC＝2A′C′,量一量 BC 与 B′C′的长,计算 BC:B′C′与同伴交流， 是否 B′C′ 与 AB AC ， 相等?再量一量∠B 与∠B′、∠C 与∠C′，它们是否对应相等 A′B′ A′C′呢?这样的两个三角形相似吗? 于是有识别两个三角形相似的第二种简便方法： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例， 并且夹角相 等，那么这两个三角形相似。简单地说；两边对应成比例且夹角相等，两三角形 相似。 强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角， 如果不是夹角， 它们不一定会 相似。你能画出有两边会对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角 AB AC 形吗?(画顶角与底角相等的两个等腰三角形)∠B＝∠B′， ＝ A′B′ A′C′ 三、例题讲解：例 1．(课本中例 3)判断图中△AEB 与△FEC 是否相似? 例 2．如图△ABC 中，D、E 是 AB、AC 上点，AB＝7.8，AD＝3， AC＝6，CE＝2.1，试判断△ADE 与△ABC 是否会相似，小张同学的判断理由是这 样的： 解：因为 AC＝AE+CE，而 AC＝6，CE＝2.1， 故 AE＝6-2.1＝3.9 AD AE 由于 ≠ AB AC 所以△ADE 与△ABC 不会相似。 你同意小张同学的判断吗?请你说说理由。 小张同学的判断是错误的。 AD 3 AE 3.9 1 因为 ＝ ， ＝ ＝ AC 6 AB 7.8 2 所以 AD AE ＝ AC AB而 ∠A 是公共角，∠A＝∠A， 所以△ADE∽△ACB． 请同学再做一次实验，看看如果两个三角形的三条边都成比例，那么这两个 三角形是否相似? 看课本５８页“做一做” 。 通过实验得出： 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比 例，那么这两个三角形相似．简单说成：三边成比例两三角形相似。 例 3:△ABC 和△A′B′C′中， AB＝6cm， BC＝8cm， AC＝l0cm， A′B′＝18cm，17&&&&B′C′＝23cm，A′C′＝30cm，试判定它们是否相似，并说明理由。 四、练习：课本 59 页 练习 1、2，3． 五、小结：到现在我们学习了识别两个三角形是否相似的三种较简便的方法，请 同学回忆说出． （抽部分学生回答） 六、作业 ：P70：1,2，3， 七、板书设计课题：相似三角形的判定(二) 一、相似图形有关概念和性质： 三、练习题（学生板演） 1、 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 2、三边成比例两三角形相似。 二、例题八、反思及感想： 本节课主要研究的是相似三角形的判定定理（ 2） （3） ，由于上节课已经研 究了相似三角形判定的引例、判定定理（1） ，而本节课内容在探究方法上又具有 一定的相似性，因此本教学设计注意方法上的新旧联系，以帮助学生形成认知上 的正迁移， 此外， 由于判定定理 2 的条件相应的夹角相等在应用中容易让学生忽 视，所以教学设计采用了小组讨论加集中展示反例的学习形式来加深学生的印 象，本节教学力求使探究途径多元化，把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作 静态探究与应用。 让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵，协同式小组合作学习的开 展不仅提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力.18&&&&3．相似三角形的性质 第八课时 教学目标： 知识与技能： 会说出相似三角形的性质： 对应角相等， 对应边成比例， 对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积 比等于相似比的平方。 过程与方法：培养学生演绎推理的能力 情感态度价值观：感受数学来源于生活，来源于实践 教学重点：1．相似三角形中对应线段比值的推导； 2．相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导； 3．运用相似三角形的性质解决实际问题． 教学难点：相似三角形性质的灵活运用，相似三角形周长比、面积比与相似比关 系的推导及运用 教学准备：白卡纸、作图工具 课 型：新授课 教学过程： 一、复习：1．识别两个三角形相似的简便方法有哪些? 2． 在△ABC 与△A′B′C′中， AB＝l0cm， AC＝6cm， BC＝8cm， A′B′ ＝5cm， A′C′＝3cm， B′C′＝4cm， 这两个三角形相似吗?说明理由。 如果相似， 它们的相似比是多少? 二、新课讲解 上述两个三角形是相似的，它们对应边的比就是相似比，△ABC∽△A′B′ AC C′，相似比为 ＝2 。 A′C′ 相似的两个三角形，它们的对应角相等，对应边会成比例，除此之外，还会 得出什么结果呢? 一个三角形内有三条主要线段； 高、 中线、 角平分线。 如果两个三角形相似， 那么这些对应的线段有什么关系呢?我们先探索一下它们的对应高之间的关系。 同学画出上述的两个三角形，作对应边 AB 和 A′B′边上的高，用刻度尺量 CD 一量 CD 与 C′D′的长， 等于多少呢?与它们的相似比相等吗?得出结论： C′D′ 相似三角形对应高的比等于相似比。 我们能否用说理的方法来说明这个结论 呢?同学们用上面类似方法，得出：相似三角形对应中线的比等于相似比；相似 三角形对应角平分线的比等于相似比。 两个相似三角形的周长比会等于相似比吗? 两个相似三角形的面积之间有什么关系呢? 看如图的三个三角形，三角形(2)的各边长分别是(1)的 2 倍，(3)的各边长 分别是(1)的 3 倍，所以它们都是相似的，填空：19&&&&(2)与(1)的相似比为( )，(2)与(1)的面积比为( )， (3)与(1)的相似比为( )，(3)与(1)的面积比为( ) (3)与(2)的相似比为( )，(3)与(2)的面积比为( )。 2 以上可以看出当相似比为 K 时，面积比为 K 。对于一般相似的三角形都具有 这种关系，可以得出结论：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 三、课堂练习： 1. △ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′，相似比为 ( )。 2．相似三角形对应角平分线比为 比为( )3 ，则对应中线的比等于 21 ，则相似比为( )，周长比为( )，面积 51 2 3．△ABC∽△A′B′c′，相似比为 ，已知△A′B′C′的面积为 18cm ， 3 那么 △ABC 的面积为( )。 四、 小结： （以填空形式， 让同学回答） 相似三角形 （ 的比等于相似比，面积的比等于（ 五、作业 ：P72 ：1， 2、3 六、板书设计 ） 相等， （ ） 。 ）课题：相似三角形的性质 一、性质 三、练习题（学生板演） 1、相似三角形对应高的比等于相似比： 2、相似三角形对应中线的比等于相似比； 3、相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 4、相似三角形的面积比等于相似比的平方。 二、例题七、反思及感想： 为突破重点， 分解难点， 我选择题分组教学的方式， 让学生对一类例题求解， 然后引导学生归纳他们的共同特征，建构起他们的知识结构：一条直线上有三个 角相等，就能证明左右两个三角形相似，还能得到一个有用的等积式。让学生体 验与感悟演绎与归纳的数学思想。20&&&&4、相似三角形的应用 第九课时 教学目标：知识与技能：会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度 或宽度。 自己设计方案测量高度体会相似三角形在解决问题中的广泛 应用。 过程与方法：通过利用相似解决实际问题，进一步提高学生应用数学 知识的能力。 情感态度价值观：让学生体会数学来源于生活，应用于生活，体验数 学的功用 教学重点：构建相似三角形解决实际问题。 教学难点：把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形解决。 教学准备：皮尺、测量标杆 课 型：新授课 教学过程： 一、复习 1、相似三角形有哪些性质? 2．如图，B、C、E、F 是在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF， AC‖DF， (1) △DEF 与△ABC 相似吗?为什么? (2)若 DE＝1，EF＝2，BC＝10，那么 AB 等于多少? 二、例题讲解 第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出 AB 的 长。人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高 度或宽度。 例 1:古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的 高度 OB，先竖一根已知长度的木棒 O′B′，比较棒子的影长 A′B′与金字塔的 影长 AB，即可近似算出金字塔的高度 OB，如果 O′B′＝l， A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度 OB。 这实际上与上述问题是一样的。 例 2．我军一小分队到达某河岸，为了测量河宽，只用简 单的工具，就可以很快计算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点 A例 ，再在河 1图 的这一岸上选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后选点 E，使 EC⊥BC， 用眼睛测视确定 BC 和 AE 的交点 D，此时如果测得 BD＝120 米， DC＝60 米，EC＝50 米，就能算出两岸间的大致距离 AB。 分析：如图 23．3．13，为了估算河的宽度，我们可以在河 例2图 对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选定点 B 和 C， 使21&&&&AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC⊥BC，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．此时 如果测得 BD＝120 米，DC＝60 米，EC＝50 米，求两岸间的大致距离 AB． 解 ：∵ ∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°， ∴ △ABD∽△ECD （如果一个三角形的两个角分别与另一个三角 形的两个角对应相等， 那么这两个三角 形相似） ，解得AB BD ? ， EC CD BD ? EC AB ? CD 120 ? 50 ? ? 100 （米） ． 60∴ 答： 两岸间的大致距离为 100 米．图 24.3.13这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法． 例 3：如图 23．3．14，已知： D、E 是△ABC 的边 AB、AC 上的点，且∠ ADE＝∠C． 求证： AD·AB＝AE·AC． 证明 ∵ ∠ADE＝∠C，∠A＝∠A， ∴ △ADE∽△ACB（如果一个三角形的两个 角分别与另一个三角形的两个角对应相等， 那么 图 24.3.14 这两个三角形相似） ． ∴AD AE ? ， AC AB∴ AD·AB＝AE·AC． 三、课堂练习 1．到操场上用例 1 的方法测量旗杆的高，并与同伙交流看看计算结果是否 大致上一样。 2．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，在某一时刻，有人测得高为 1.8 米的竹竿的影长为 3 米，此时某高楼影长为 60 米，那么高楼的高度 为多少米? 四、小结： 本节课学习应用相似三角形的性质，测量计算物体的高度，在应用时要分清 转到数学上是哪两个三角形会相似，它们对应的边是哪一边，利用比例的性质求 证答案。 五、作业 :P76 习题 23、3 : 第 6,7 题 六、板书设计22&&&&一、例题 1、课题：相似三角形的应用 三、练习题（学生板演）二、例题 2七、反思及感想： 在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研 究者，鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励 创新，哪怕是微小的进步或幼稚的想法都给予热情的赞扬。备课时思考得更 多的是学生学法的突破，上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充。三次 恰到好处的电脑演示，向学生展示了电脑的省时、高效以及对数学实验的巨 大帮助， 推荐给他们运用电脑技术的学习研究方法。 教师与学生平等地交流， 创设民主、和谐的学习氛围，促进教学相长。23&&&&23.4 中位线 第十课时 教学目标:知识与技能：１、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质 定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。 通过命题的教学了解常用的辅助线的作法 ,并能灵活运用它们解 题。进一步训练说理的能力。 过程与方法： 、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习 惯 情感态度价值观：进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点；转化 的思想。 教学重点:经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌 握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。 教学难点:进一步训练说理的能力；培养学生运用转化思想解决有关问题。 教学准备：白卡纸、作图工具 课 型：新授课 教学过程 一、三角形的中位线 （一）问题导入：在§23．3 中，我们曾解决过如下的问题： 如图 23．4．1，△ABC 中，DE‖BC，则△ADE∽△ABC。 由此可以进一步推知，当点 D 是 AB 的中点时，点 E 也是 AC 的中点。现在换一个角度考虑， 如果点 D、 E 原来就是 AB 与 AC 的中点， 那么是否可以推出 DE‖BC 呢？DE 与 BC 之间存在什么样的数量关系呢？ （二）探究过程:1、猜想：从画出的图形看，可以猜想： DE‖BC，且 DE＝1 BC． 22、证明：如图 23．4．2，△ABC 中，点 D、E 分别是 AB 与 AC 的中点， ∴AD AE 1 ? ? ． AB AC 2∵ ∠A＝∠A， ∴ △ADE∽△ABC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的 两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两 个三角形相似） ， ∴ ∠ADE＝∠ABC，DE 1 ? （相似三角形 BC 2的对应角相等，对应边成比例） ，24&&&&∴DE‖BC 且 DE ?1 BC 2思考：本题还有其它的解法吗？ 已知： 如图所示，在△ABC 中，AD＝DB，AE＝EC。 求证： DE‖BC，DE＝1 BC。 2 1 BC，可延长 DE 到 F，使 EF＝DE，于是本题就转 2分析: 要证 DE‖BC，DE ＝化为证明 DF＝BC，DE‖BC， 故只要证明四边形 BCFD 为平行四边形。 还可以作如下的辅助线作法。 3、概括：我们把连结三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线， 并且有三角形的中位线 平行于第三边并且等于第三边的一半。 介绍三角形的中位线时，强调指出它与三角形中线的区别。 （三）应用 例 1：求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。 已知： 如图 23．4．3 所示，在△ABC 中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC。 求证： AE、DF 互相平分。 证明 连结 DE、EF． ∵ AD＝DB，BE＝EC ∴ DE‖AC （三角形的中位线平行于第三边并且等于第 三边的一半） 同理 EF‖AB ∴ 四边形 ADEF 是平行四边形 ∴ AE、 DF 互相平分 （平行四边形的对角线互相平分） 例 2 如图 23．4．4，△ABC 中，D、E 分别是边 BC、AB 的中 点，AD、CE 相交于 G。 求证：GE GD 1 ? ? CE AD 3证明 连结 ED ∵ D、E 分别是边 BC、AB 的中点 ∴ DE‖AC，DE 1 ? （三角形的中位线平行于第三边 AC 2并且等于第三边的一半） ∴ △ACG∽△DEG ∴GE GD DE 1 ? ? ? GC AG AC 225&&&&∴GE GD 1 ? ? CE AD 3 G ?D G ?F 1 GD G ?D 1 ? ? ，所以有 ? ? ，即两图中的点 G 与 G′ AD BF 3 AD AD 3小结： 在图 23． 4． 5 中， 取 AC 的中点 F， 取 BC 的中点 D,假设 BF 与 AD 交于 G′， 那么同理有是重合的。 于是，我们有以下结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角 形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中 线长的1 。 3〔同步训练〕 如图，在△ABC 中，AB＝AC，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点． 求证：四边形 ADEF 是菱形。 二、梯形的中位线 由三角形的中位线的有关结论，我们还可以得到: 梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半． 已知： 如图 23．4．6 所示，在梯形 ABCD 中，AD‖BC，AE＝BE， DF＝CF． 求证： EF‖BC，EF＝1 （AD＋BC） ． 2分析: 由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连结 AF， 并延长 AF 交 BC 的延长线于 G，证明的关键在于说明 EF 为△ABG 的中位线。于是 本题就转化为证明 AF＝GF，AD＝CG，故只要证明△ADF≌△GCF．证明略 思考:如图 23．4．7，你可能记得梯形的面积公式为 S ? 中 l1 、 l 2 分别为梯形的两底边的长， h 为梯形的高．现在有了梯形中位线，这 一公式可以怎样简化呢？它的几何意义 是什么？ 三、 小结与作业 (1)、小结：谈一下你有哪些收获？ （2） 、作业：Ｐ79；2,3,41 (l1 ? l 2 )h ．其 226&&&&四、板书设计课题：23.4 中位线一、定理： 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。 三角形三条边上的中线交于一点， 这个点就是三角形的重心， 重心与一边中点的 连线的长是对应中线长的1 3三、练习题（学生板演）梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．二、例题五、反思及感想：通过本节教学暴露了几点不足： 1、进行速度有点快，学生课前预习不足，所以思维有点跟不上。 2、学生们对证明的步骤还掌握的不扎实，书写不规范。 3、辅助线的添加仍然是学生证明中的难点和弱点，我在讲课中重点侧重于 对于辅助线为什么要这样添加进行了详细的分析， 我希望这样能带给学生一些思 考，教会他们一些方法，让他们逐渐能有所提高。 4、小组合作配合不够默契，小组讨论的时候有的同学参与不够，依赖其他 同学的现象比较普遍，没有使每个同学的脑子动起来。27&&&&23．5 位似图形 第十一课时 教学目标：知识与技能：会用位似法把一个多边形按比例放大或缩小。 理解位似法画相似图形的原理， 能正确选择位似中心画相似的图形。 过程与方法：培养学生动手作图能力 情感态度价值观：培养学生良好的数学习惯和严谨科学的学习态度 教学重点：位似的概念以及利用位似将一个图形放大或缩小． 教学难点： 比较放大或缩小后的图形与原图形， 归纳位似放大或缩小图形的规律． 教学准备：白卡纸、作图工具、电子白板 课 型：新授课 教学过程 一、复习 OA′ OB′ 3 A′B′ 1．如图 ＝ ＝ ，那么 ＝？为什么? OA OB 2 AB 2．已知线段 AB，画一线段 A′B′，使 A′B′＝1.5AB， 如何画呢? 1 画法有 2：①延长 AB 至 B′，使 BB′＝ AB，②仿①直线外任取一点 O，做 2 1 射线 OA，取 AA′＝ AO。 2 二、新课 相似与轴对称、平移、旋转一样，是图形的一个基本变换。要把一个图形放 大或缩小，又要保持其形状不变。就是要画相似图形，现在我们先从画相似多边 形开始。 现在要把五边形 ABCDE 放大 1.5 倍， 即是要画一个五边形 A′B′C′D′E′， 要与五边形 ABCDE 相似且相似比为 1.5。 我们先考虑能否把五边形的一条边放大 1.5 倍呢?按照问题(2)中的作法， 可 以把 AB 放大 1.5 倍，同样也可以把其他边也放大，在平面上 取一点 O，以 O 为端点作射线 OA、OB，可以画出线段 A′B′， 以此类推。 画法是： 1．在平面上任取一点 O。 2．以 O 为端点作射线 OA、OB、OC、OD、OE。 3． 在射线 OA、 OB、 OC、 OD、 OE 上分别取点 A′、 B′、 C′、 D′、 F′使 OA′: OA＝ OB′:OB＝OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5 4．连结 A′B′，B′C′，D′E′，A′E′.28&&&&A′B′ B′C′ C′D′ D′E′ A′E′ 这样： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1.5 AB BC CD DE AE 再用量角器量它们的对应角，看看是否相等呢? 也可以用平行线的性质推出各对应角是相等的，所以五边形 A′B′C′D′ E′就相似于五边形 ABCDE。 位似变换的定义：如上面的画法，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连 线相交于一点，像这样的相似叫做位似。这点 O 叫做位似中心。放映电影时，胶 片和屏幕上的画面就形成一种位似关系，它们的位似中心是放映机上的灯光的 点。 利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小。 位似中心也可以取在多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中 心不同的画法。在画相似多边形的过程中， 同学们想一想， 是否一定要取 OA′: OA＝OB′:OB ＝OC′:OC?，这样来取 A′B′C′?这些点呢?如果我们只确定一个顶点 A′后 用其他方法来确定 B′、C′??呢? 三、练习:任意画一个五边形，用位似法把它放大 3 倍。 四、小结:用位似法画相似的多边形，关键在于要确定位似中心，位似中心选在课题：23．5 位似图形 一、位似图形有关概念和性质：三、随堂练习（学生板演） 1、概念； 2、性质 二、例题 四、拓展思考题不同的位置，使画相似的过程的繁简也就不同。 五、作业 :P82: 习题 1,2 六、反思及感想： 图形的位似》这节课内容抽象而且学生以前没接触过，对学生来说接受起来 难度很大，因此在教学的过程中，首先由手影这种学生较熟悉的形式让学生感受 这种位置关系，然后通过动手操作的形式进一步探究位似图形的相关性质。在教 学的过程中，为了便于学生理解位似图形的特征，我在设计中特别注意让学生通29&&&&过动手操作、猜想、试验等方式获得感性认识，然后通过归纳总结上升到理性认 识，将形象与抽象有机结合，形成对位似图形的认识。探索知识是本节的重点， 设计这一环节，通过学生的做、议、读、想、试等环节来完成，把学习的主动权 充分放给学生，每一环节及时归纳总结，使学生学有所获，探索创新。23.6 图形与坐标 1、用坐标来确定位置 第十二课时 教学目标：知识与技能：会用合适的方法描述物体的位置，用坐标的方法描述图 形的运动变换。能运用图形的变换与坐标的内在联系解决一些简 单的生活实际问题。 过程与方法：经历对日常生活中与位置相关的现象进行观察、分析、 欣赏以及动手操作、 画图等过程， 掌握有关图形运动的操作技巧、 发展初步的审美观。 情感态度价值观：让学生体会图形经过平移、旋转、对称、相似等变 换的变化情况，达到对图形变换有更深的认识，初步渗透数形结 合的思想。 教学重点:用坐标确定位置的两种方法以及图形运动与坐标变换的关系。 教学难点:图形运动与坐标变换的具体应用，通过比较放大或缩小后的图形与原 图形，归纳位似放大或缩小图形的规律． 教学准备：方格纸、作图工具、 课 型：新授课 教学过程： 一、复习 1．什么是平面直角坐标系?建立了直角坐标系后，平面的点可以用什么来描 述? 平面上画两条互相垂直的数轴，就组成了平面直角坐标系；坐标平面上的点 用有序实数对来描述它的位置，有序实数对就是我们常说的点的坐标。 2．画直角坐标系，并描出点 A(1，2)，B(－3， 5)，C(4，5)，D(0，3)的 位置。 3．如图四边形 ABCD，在方格图中建立适当的直角；坐标系，用点的坐标来 表示各点的位置。 注：选择的原点不同，所得到的坐标也不一样。 如以 A 为坐标原点，水平方向为 x 轴，竖直方向为 y 轴，建立直角坐标系， 可以得到点 A(0，0)，B(－2，－ 4)，C(2，－5)，D(4，0)。30&&&&二、新课讲解 在地图上，应用直角坐标系确定一些建筑物的位置，用坐标来表示，就能比 较容易地找出目的地。 在一张地图上，画一个直角坐标系，作为定向标记，有 四座农舍的坐标是(1，2)，(－3，5)，(4，5)，(0，3)，并 且知道目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和第二与 第四座农舍的直线的交点， 请大家在课本上找出这个目的地 所处的位置，你能估计出这个位置的坐标是什么吗? 先确定出四座农舍的位置(即复习中(2)的 A、B、C、D 四个点)，过 A、C 作 直线，过 B、D 作直线，两直线的交点 P 是目的地，确定点 P 的坐标，过 P 作 x 轴垂线，垂足坐标是 1、2，过 P 作 y 轴垂线，垂足坐标为 2.2，所以目的地 P 的 坐标为(1.2、2.2)。 课本第 74 页中“试一试” ，与复习中(3)类似。在方格图中，选定一个确定 的点为坐标原点，横线所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，如以王坪村希望小学 为原点，则各点位置的坐标是：希望小学的坐标(0，0)、大山镇是(0，3)、＿＿ ＿乡(2，5)、小学是(4，7)、爱心中学(6，7)、马村是(5，2)、映月湖为(6，1)， 同学们互相对照一下， 建立的直角坐标系是否相同呢?选定的坐标单位会一样吗? 各点的坐标是否一样?有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定 一个点的位置， 平面直角坐标系中， 用一对有顺序关系实数来描述一个点的位置， 在现实生活中，我们能看到许多这种方法的应用：如用经度和纬度来表示一个地 点在地球上的位置、电影院的座号用几排几座来表示，国际象棋中竖条用字母表 示，横条用数字表示等。 除了用坐标形式表示物体的位置之外， 我们还经常用到的还有用一个方向的 角度和距离来表示一个点的位置。 如小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道， “悠悠日用化工品厂” 在他现在所在地的北偏东 30 度的方向，距离此地 3 千米的地方，根据这个角度 和距离，我们可以画出这个工厂与现在所处位置的图形。 以小明现在的位置为 O，东西方向线是水平的，南北方向 线一般画竖直方向，画出北偏东 30°的方向线，在这方向线 (射线帜)上，按比例尺的要求确定出“悠悠日用化工品厂”所 处的位置点 A。 同学们也按此方法，在同图中确定出“明天调味品厂” 的位置 B， “321 号水库”的位置。 三、练习 ：P76 练习 四、小结: 建立直角坐标系后，平面上的点可以用坐标来描述，在平面上由于建 立的坐标系不同，单位长度选定不同，所以同一个点描述的坐标也可 能不同。平面上的点也可以用一个角度来描述其位置。31&&&&五、作业:P93:习题 23.6： 第 1 题 六、板 书设计课题：1、用坐标来确定位置 相似图形有关概念和性质：三、作图（学生板演） 1.概念； 2.性质 二、例题七、反思及感想： 我把这节课的教学目标定位为以下四点： 1、通过具体活动，认识观测点、方向与距离对确定位置的作用。 2、能根据方向(任意方向)和距离确定某一点的位置。 3、能用条理清晰的语言描述某一点的具体位置及两点之间路线图。 4、能运所学知识解决生活中的一些实际问题，感受数学与日常生活的的密切 联系，进一步体会数学的应用价值。 本课的教学重点我确定为： 能根据一定的方向和角度确定或描述某一点的具体位 置，并能用之去解决实际问题。其中，用条理清晰的语言描述某一点的具体位置 以及灵活的运用这一知识是难点。32&&&&2．图形的变换与坐标 第十三课时 教学目标:知识与技能：在同一直角坐标系中，感受到图形经过平移、旋转、轴 对称放大或缩小的变换之后，点的坐标相应发生变化。探索图形平 移、轴对称、放大或缩小的变换中，它们点的坐标变化规律。 过程与方法：培养学生转化思想和知识迁移能力 情感态度价值观：让学生体悟数学变化中的规律，感受数学的乐趣 教学重点:图形运动与坐标变换的关系。 教学难点:图形运动与坐标变换的具体应用，通过比较放大或缩小后的图形与原 图形，归纳位似放大或缩小图形的规律． 教学准备：方格纸、作图工具、 课 型：新授课 教学过程 一、复习 1．△ABC 中，AB＝AC，BC＝6，AC＝5，建立直角坐标系，写出各顶点的坐 标。 2．你能画与△ABC 成轴对称的三角形吗?请画一个以直线 BG 为对称轴的三 角形。 二、新课讲解 如果以 C 为坐标原点，CB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，上述(1)的各 顶点坐标为多少?(画成与厚纸片相符) 1．把厚纸片的三角形向右边移动 3 个单位，问： (1)这时三角形的位置发生了什么变化? 向右平移 3 个单位。 (2)这时三角形三个顶点的坐标有什么变化，写出 它们这个位置时三个顶点坐标。 (3)比较相应顶点的坐标，它们之间存在什么相同之处? 相应顶点的横坐标都增加了 3 个单位，而纵坐标都不变。 2．把纸片三角形向左平移 4 个单位，后以同样的问题回答。 发现相应顶点横坐标有变化，减少了 4 个单位，纵坐标不变。 3．把纸片三角形再变换一个位置后，向左、右两边平移，观察各对应顶点 的坐标的变化。 问：由上述的几个变换过程，可以得到一个图形沿 x 轴左、右平移，它们的 纵坐标，横坐标各有什么变化? 它们的纵坐标都不变，横坐标有变化。向右平移几个单位，横坐标就增加几 个单位；向左平移几个单位，横坐标就减少几个单位。 4．若把这个三角形沿 y 轴上、下平移呢?33&&&&思考：△AOB 关于 x 轴的轴对称图形△OA′B，对应顶点的坐标有什么变化 呢? 关于 x 轴对称， 由于 O、 B 在对称轴上， 其坐标不变， 那么点 A 与对称点 A′ 关于 x 轴对称，它们的横坐标相同，纵坐标是互为相反数，这就得出关于 x 轴对 称的对称点的坐标的特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数。 △AOB 关于 y 轴的轴对称图形△AlOBl，对应顶点的坐标有什么变化? 得出关于 x 轴或 y 轴成对称的对应点的坐标的关系： 关于 x 轴对称的对称点的横坐标相同， 纵坐标互为相反数。 关于 y 轴对称的对称点的纵坐标相同， 横坐标互为相反数。 课本 78 面图 23.6.7， △AOB 的各顶点坐标是什么?0(0， 0)， A(2，4)，B(4，0)，缩小后得到的△COD，各顶点的坐标是什 么呢?O(0，0)，C(1，2)，D(2，0)，比较各对应顶点的坐标有 什么呢?它们的横纵坐标都按比例缩小，这种变化与它们的相 似比有什么关系呢? 三、练习：1.线段 AB 的两端点 A(1，3)，B(2，－5)。 (1)把线段 AB 向左平移 2 个单位，则点 A、B 的坐标为：A＿＿B＿＿。 (2)线段 AB 关于 x 轴对称的线段 A′B′,则其坐标为：A′＿，B′＿。 (3)把线段 AB 向上平移 2 个单位得线段 A1Bl， AlBl 关于 y 轴对称的线 A2B2， 那么点 A2 的坐标为＿＿＿，点 B2 的坐标为＿＿＿。 2．课本第 77 页“试一试” 。 四、小结：在同一直角坐标系中，图形经过平移、轴对称、放大、缩小的变化， 其对应顶点的坐标也发生了变化，它们的变化是有规律的，要按照变 化的情况，同学观察、总结会得出变化规律(由同学说出变化规律)。 五、作业：P93：习题 23.6 ： 第 2 题 六、板书设计课题：2．图形的变换与坐标 在同一直角坐标系中，感受到图形经过平移、旋转、轴对称放大或缩小的 变换之后，点的坐标相应发生变化。探索图形平移、轴对称、放大或缩小 的变换中，它们点的坐标变化规律。 二、例题 三 、作图七、反思及感想：图形的变换是义务教育阶段数学课程标准中， “空间与图形” 领域的一个主要内容，努力体现运动变换的理念与思想，这也是与传统教材有较 大差别的地方. 本章教材主要有以下几个特点 1.本章教材注意突出学生的自主探 索.通过一些日常生活中学生所熟悉的图形与现象，引出图形的基本变换——平34&&&&移与旋转的基本概念，并在学生的参与探索活动中，得到平移与旋转的基本特 征. 2．注意培养学生的动手能力，以及利用轴对称、平移与旋转进行图案设计的 能力.教材利用试一试、想一想、做一做等栏目，尽可能多地让学生主动参与， 亲自动手操作，丰富学生的思考与探索的时间与空间. 3 删除传统知识中的繁难 内容，降低逻辑推理的难度，尽可能地加以合理安排，在直观感知、操作确认的 基础上，努力让学生学会合情推理与数学说理.第 23 章复习课 回顾与思考 第十四课时 教学目标：知识与技能：能理清本章的知识及其联系，画出知识结构图。会运用 相似三角形的识别方法、性质进行有关问题的简单的说理或计算，提 高解决实际问题的能力，培养应用数学知识的意识。 过程与方法： 能用坐标来表示物体的位置， 感受点的坐标由于图形的 变化而相应地也发生变化，让学生体会到数与形之间的关系。 情感态度价值观：培养学生学数学爱数学的情感 教学重点：相似三角形的特征，相似三角形的判定方法的应用。 教学难点：相似图形的判定方法的灵活应用，比例式的转换方法。 教学准备：ppt 课件 课 型：新授课 教学过程： 一、知识结构：二、讲 解例题 巩固知识 1、如图所示的两个矩形会相似吗？请说明理由。 目的：复习多边形相似的定义，理解平常说的相像与 数学中的相似还是有一点区别的，必须是对应的角相等， 对应的边成比例的两个多边形才是相似的。 2．判断下列各组中的两个三角形是否相似，并简单35&&&&说明理由： (1)△ABC 中，∠A＝28°，∠C 是直角，△A′B′C′中，∠B′＝62°，∠C 是 直角。 (2)△ABC 中，AB=5，BC=7，AC=8，△A′B′C′中，A′B′=16。B′C′=14，A′ C′＝10。 (3)△ABC 和△A′B′C′中，AB＝4.5，AC＝6，∠B＝∠B′＝50°，A′B′＝6， A′C′＝9。 (4)如图 DB，EC 交于 A，AB＝3，AC＝4.5，AD＝2，AE＝3。 目的：复习识别三角形相似的三种方法，特别是方法(2)：两 边对应成比例，相等的角要看看是否它们的夹角。 3． 小黄同学在公路上测得一条高为 6 米的电线杆的影子长为 8 米，此时路旁有一棵树的影子长为 12 米，那么这棵树有多高? DE 4．在△ABC 中，如果 DE‖BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求 BC 的值及 EC 长。 的4 题图5 题图6 题图5．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，当 BD 与 a、b 之间满足怎 样的关系式时，△ACB∽△CBD。 目的：这三题都是复习相似三角形的识别方法及其性质应用，用对应边成比 例计算某一边长时，要注意对应边的位置。(4)中所求的是 EC，并不是三角形的 边，因此由比例式先求出 AC 的长，再计算 AC－AE。 6．将下图分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图相似， 应怎样分? 把整个图形分割成若干个小方形，缺口也补上成为一个完整的正方形，完整 正方形分成 16 个小正方形，原图形有 12 个小正方形，要分成四小块，每一小块 要 3 个小正方形。 7．在直角坐标系中△ABC 的三个顶点坐标为：A(3，0)，B(－ 1，2)，C(4， 5)。 (1)把△ABC 沿 x 轴向右平移 3 个单位得△A′B′C′，求各顶点的坐标。 (2)如果△A′B′C′的顶点坐标为 A′(3， 0)， B′ (－2，4)，C′(8，l0)，那么△A′B′ C′是△ABC 如何变换以后得到的。 8．下面是某市旅游景点的示意图，试建立直角坐36&&&&标系，用坐标表示各个景点的位置。 如果以角度和距离来表示， 碑林在中心广场的什么位置?(一格表示 10 千米) 碑林在中心广场的北偏东 45°方向上(或东北方向)，距中心广场约 57 千米 的地方。 目的：复习图形与坐标这部分知识， 理解在同一坐标系内图形变化其顶点坐 标变化的情况，解题时要画出图形，增强数形结合的思想。 三、练习：1.课本第 80 页复习题。 2．补充练习:△ABC 中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∠ACB＝90°， D 是 AB 中点，点 P 由 C 沿 CD 方向运动，每秒钟移 1 个单位，若 △APD 的面积为 y，点 P 移动时间为 x 秒，求 y 与 x 之间的函数 关系式，多少秒钟后△APD 的面积为 2.4? 四、小结: 通过复习，比较系统地理清本章知识，进一步灵活运用相似三角形的有关知 识。 五、作业 :1．P95:复习题Ａ组。 2．学有余力的学生可选作 P96 : B 组。 六、板书设计课题：回顾与思考七、反思及感想：主要要让学生通过各种图形的平移，体验感受图形平移的主要因素是移动的方向和移动的距离，从而体会到图形在平移过 程中，图形中的每一点都按同样的方向移动了相同的距离 要让学生 自己动手操作，探索确认图形在平移过程中，平移后的图形与原图形 的对应线段平行且相等，对应点所连的线段平行且相等这些基本性质， 从而能将一些简单的平面图形按要求平移到适当的位置.37&&&&24.1 测量 第十五课时 一、教学目标 1.会利用同一时刻，物高于影长成正比测量物体的高度 2.能利用相似三角形的性质或构造直角三角形测量物体的高度 3.通过学习培养学生的动手操作和归纳问题、解决问题的能力 二、教学重点、难点 1．重点：探索测量距离的几种方法． 2．难点：选择适当的方法测量物体的长度或宽度． 自学指导 自 学 内 容 ： 阅 读 课 本 100 页 — 101 页 ， 回 忆 并 探 索 测 量 物 体 高 度 或 宽 度的方法； 自学方法：“操作-观察--测量” 的数学活动； 自主学习、 合 作 学习。 自学时间：6 分钟。 自学要求：自学后完成自学检测。 自学检测 1.如图所示的测量旗杆的方法， 已知 AB 是标杆 BC 表示 AB 在太阳光下的影子， BD 是同一时刻旗杆 DE 在阳光下的影子下列叙述错误的是（ ） A。可以利用在同一时刻，不同物体与其影长的比相等来计算旗杆的高。 B。只需测量出标杆和旗杆的影长就可以计算出旗杆的高。 C.可以利用△ABC∽△EDB 来计算旗杆的高。 、 D。需要测量出 AB,BC,和 DB 的长，才能计算出旗杆的高。ACBD2.已知，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高 1.8 米，他在地面上的影长为 2.1m，若 小芳比爸爸矮 0.3m，则她的影长（ ） A。1.3 米 B。1.65 米 C 1.75 米 D 1.8 米 3. 如图， 某飞机在空中 A 处探测到目标 B， 此时从飞机上看目标 B 的角度是 45°， 飞行高度 AC＝1200m 则飞机到目标 B 的距离,AB 为（ ）38&&&&A 1200mB 2400mC 1200√2mD 600√2mABC4. 如图，小东用长为 3.2 米的竹竿 DE 做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹 竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点。此时，竹竿于这一点相距 AE 为 8 米，与旗杆相距 BE 为 22 米则旗杆的高（ ） A 12m B 10m C 8m D 7mC D A E B展示点评 第 1--4 题：本次练习题均为实际问题，解决这些问题的关键，首先将实际问题转 化为数学问题，然后应用所学的有关知识（如相似三角形的性质，直角三角形的 性质等）求出实际物体的高度或宽度。 要点归纳 测量物体的高度或宽度，关键是将实际问题转化为数学问题（如相似三角形） ， 画出几何示意图，再利用有关的数学性质求解； 根据测量方案计算物体的高度或宽度。 强化训练 1. 一棵树因雪灾于 A 处折断，如图，测得树梢触地点 B 到树根 C 处的距离为 4 米，∠ABC＝45°，树干 AC 垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度（ ) A.。4√2 米 B (4√2+4)米 C （4√2+8）米 D 8 米CB2，如图为了测量河的宽度，可以先在河对岸找到一个具有明显标志的点Ａ，再 在所在的一岸找到两点Ｂ，Ｃ，使△ＡＢＣ构成直角三角形，如果测得ＢＣ＝５39&&&&０米， ∠ＡＢＣ＝４５°， 那么河宽ＡＣ为（）米3.如图ＡＢ两点分别位于一个池塘的两端小明想用绳子测量点ＡＢ之间的距离 但绳子不够长， 他叔叔给他出了这样一个主意先在地上去一个可以直接到达点Ａ 和点Ｂ的点Ｃ连ＡＣ并延长到点Ｄ使ＣＤ等于ＡＣ，连接ＢＣ并延长到点Ｅ，使 ＣＥ＝ＣＢ，连接ＤＥ并测量出他的高度。 （１）ＤＥ＝ＡＢ吗？请说明理由。 （２）若ＤＥ的长度是８ｍ，则ＡＢ的长度是多少。E A C D B４.现有一个含４５°角的直角三角形和一个皮尺，试测量出运动场中篮球架的 高度，相关的数据用字母表示，画出示意图，写出结论。 教后反思 在平时的教学过程中，我们要求学生数学作业本必须及时上交，目的是为了 及时发现，及时设法解决学生作业中存在的问题，认真落实订正的作用，将反馈 与矫正要落到实处，切实抓好当天了解、当天解决、矫正到位，也就是说反馈要 适时，矫正要到位。另外我们还应注意反馈来的信息是否真实，矫正的方法是否 得力，因为反馈的信息虚假或不全真实，那么我们就发现不了问题，就不能全面 地了解学生的情况，也就不会采取及时、正确的矫正措施。40&&&&24.2 直角三角形的性质 第十六课时 教学目标: 1、以直角三角形为载体,继续学习几何证明. 2、掌握直角三角形的两个锐角互余。 3、通过图形的运动来比较一般三角形与直角三角形中线的性质。 4、在图形的运动中培养学生学习几何的兴趣。 难点与重点： 1、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质定理的证明思想方法。 2、直 角三角形斜边上的中线性质定理的应用。 教学过 程：一、1、复习提问：在三角形 ABC 中，∠C＝90° 那么，△ABC 为什么三角形？ 2、∠A＋∠B＝？通过几何画板的演示，在图形不断运动中∠A＋∠B ＝90° 3、三边之间有什么关系呢？ 4、学生归纳出：（1）在直角三角形中，两个锐角互余。 （2）直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定 理）。 二、观察：41&&&&1、 已知：△ABC 以及 AB 边上的中线 CD， 2、 任意三角形一边上的中线与这边之间有什么关系？ 3、让学生在图形的变化过程中观察到 CD／AB 的值不是一个定值， 学生不难发现任意三角形一边中线与这边之间没有规律可循。 4、 请同学们继续观察，我们今天所研究的直角三角形斜边上的中线与斜边的长 度之间有什么系？（1） CD＝1 BA， CD／BA＝0.5。 2（2）通过几何画板的演示，Rt△ABC 的形状在不断的变化，CD、AD、DB 的长度 也在变，但这三条线段之间的长度始终相等。 让学生归纳出：（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 三、仅仅通过观察和操作是不够的，那么对于任何一个直角三角形是否也具备此 性质，我们要通过逻辑推理的方法加以证明。 （1）、根据题义作出图形，并标上必要的字母和符号。 （2）、根据题设和结论，结合图形写出“已知”和“求证”。 （3）、通过分析写出证明过程。 已知：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°CD 是斜边 AB 上的中线。求证：CD＝1 AB 2提问设计：1、如果不能直接证明，怎么办？（添辅助线） 2、三角形中，如果遇到中线问题应如何添加 辅助线。（中线加倍延长法）那么 CD=1 CE 242&&&&3、CD 延长后要证 CD＝1 AB，只要证 CE=AB 24、如何证 CE＝AB？（把 CE、AB 放到两个三 角形中,证△ABC≌△CEA。） 5、利用现成的条件有 CA=AC，中线加倍延长法 添辅助线其实就是把△BDC 绕着点 D 旋转 180°，得到 △ADE≌△BDC ，即 CB=EA、∠ACB=∠CAE＝90°这样就证明了△ABC≌△CEA。 归纳定理： 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。四、题型举例： 通过几何画板对前面的三角形沿着 AC 翻折得到例题的图形。 已知：在△ABC 中，∠B=∠E，AC 是∠EAB 的角平分线，D、F 分别是 AB、AE 的中 点。求证： DC=CF （鼓励学生采用多种方法解题，请学生上黑板演示证明过程。 五、巩固练习: (一)、观察两个直角在斜边的两侧： 1、 请学生观察图形,这个图形其实是两个斜边相等的直角三角形通过图形的运动 使它们的斜边互相重合得到的。 2、在图形运动中那些量始终不变？那些量之间始终保持相等的关系？ 3、连接 DC 后，你还可以得到什么结论？ 通过操作演示证明学生的观点。 (二)、观察两个直角在斜边的同侧： 把 Rt△ABC 沿着 AB 翻折得到现在的图形。 1、ED=EC？为什么？43&&&&2、连接 CD 后，你还能得到什么结论？ 3、作 CD 的中点 N，连接 EN，线段 EN 与 CD 是怎样的位置关系？ 4、过点 E 作 EN⊥DC，垂足为 N，N 为 DC 的中点吗？ 5、延长 BD、AC 两线交与一点，这样的图形与前面的图形的解题思路是一样的。 六、小结：请学生把通过这节课的学习，掌握了那些知识，受到了那些启发讲一 讲。 七、回家作业：习题 24.2 第 1、2 题。 八、课后小结：（1）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，强调条 件： 1 直角三角形 2 斜边上的中线 形 4 出现 3 对角互余。 3 出现两个等腰三角（2）巩固练习中图形的运动不要说永远，应说 一般情况。44}