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【名师解析】河北省衡水中学2015届高三上学期期中考试（数学理）解析.doc13页
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【名师解析】河北省衡水中学2015届高三上学期期中考试（数学理）解析
【题文】第Ⅰ卷（选择题
【试卷综述】试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、立体几何、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．其中，函数与方程的数学思想方法、数形结合的数学思想方法、化归与转化的数学思想方法体现得较为突出.
一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【题文】1.设集合，则“且”成立的充要条件是（
【知识点】【答案解析】解析：【思路点拨】成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（
【知识点】【答案解析】C
解析：解：∵1，m，9构成一个等比数列，∴m ±3．当m 3时，圆锥曲线是椭圆，它的离心率是
当m -3时，圆锥曲线是双曲线，它的离心率是2．故答案为：或2．
【思路点拨】由1，m，9构成一个等比数列，得到m ±3．当m 3时，圆锥曲线是椭圆；当m -3时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．
为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（
【知识点】【答案解析】解析：，所以A不正确，错误的原因为n也可能与m都在平面内，错误的原因为可能是相交平面，所以C不正确，只有D是正确选项.
【思路点拨】【知识点】【答案解析】C
解析：【思路点拨】的图象，只需将函数的图象（
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【知识点】【答案解
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衡水中学学年度上学期高三年级期中考试数学试卷（理科）【题文】第Ⅰ卷（选择题共60分）【试卷综述】试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、立体几何、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．其中，函数与方程的数学思想方法、数形结合的数学思想方法、化归与转化的数学思想方法体现得较为突出.一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1.设集合，则“且”成立的充要条件是（）A．B．C．D．【知识点】集合.A1【答案】【解析】D解析：由充要条件的意义可知，x只属于A集合不属于B集合，所以D为正确选项.【思路点拨】根据题意可直接求出所应表示的部分【题文】2、已知实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．2C．或2D．或【知识点】等比数列；圆锥曲线.D3,H8【答案】【解析】C解析：解：∵1，m，9构成一个等比数列，∴m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆，它的离心率是当m=-3时，圆锥曲线是双曲线，它的离心率是2．故答案为：或2．【思路点拨】由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=-3时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．【典例剖析】主要考查等比数列的性质及圆锥曲线的概念.【题文】3、已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．【知识点】空间中的平行与垂直关系.G4,G5【答案】【解析】D解析：错误的原因为n也可能属于，所以A不正确，错误的原因为n也可能与m都在平面内，错误的原因为可能是相交平面，所以C不正确，只有D是正确选项.【思路点拨】由平行与垂直的判定定理与性质定理可得到正确结果.【题文】4、一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）ABCD【知识点】三视图.G2【答案】【解析】C解析：根据三视图的概念可知，当俯视图为C时，几何体为棱柱，所以这时不可能是锥体，所以C正确.【思路点拨】由三视图的概念可得选项.【题文】5、要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【知识点】三角函数图像的变换.C4【答案】【解析】C解析：当函数向左平移个单位长度时，解析式变为，所以只有C为正确选项.【思路点拨】由函数的图像移动法则及诱导公式可求出正确结果【题文】6、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定【知识点】余弦定理.C8【答案】【解析】A解析：解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．而（a+x）2+（b+x）2-（c+x）2=x2+2（a+b-c）x＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A【思路点拨】先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．【题文】7、如图所示，医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后分钟，瓶内液面与进气管的距离为厘米，已知当时，，如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则函数的图象为（）【知识点】分段函数.B1【答案】【解析】A解析：解：由题意知，每分钟滴下πcm3药液，当4≤h≤13时，xπ=π42（13-h），即，此时0≤x≤144；当1≤h＜4时，xπ=π429+π22（4-h），即，此时144＜x≤156．∴函数单调递减，且144＜x≤156时，递减速度变快．故选：A．【思路点拨】每分钟滴下πcm3药液，当液面高度离进气管4至13cm时，x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的底面积乘以（13-h），当液面高度离进气管1至4cm时，x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的体积与小圆柱底面积乘以（4-h）的和，由此即可得到瓶内液面与进气管的距离为h与输液时间x的函数关系．【题文】8、已知直线与圆交于不同的两点是坐标点，且有，那么的取值范围是（）A．B．C．D．【知识点】向量及向量的模.F3【答案】【解析】B解析：设AB的中点为D，则，，，直线与圆交于不同的两点A，B，所以答案为B.【思路点拨】根据向量及向量模的运算可找到正确结果.【题文】9、函数，在上的最大值为2，则的取值范围是（）A．B．C．D．【知识点】函数的最值.B3【答案】【解析】D解析：由题意，当x≤0时，f（x）=2x3+3x2+1，可得f′（x）=6x2+6x，解得函数在[-1，0]上导数为负，在[-∞，-1]上导数为正，故函数在[-2，0]上的最大值为f（-1）=2；要使函数在[-2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，即e2a≤2，解得．故答案为：．【思路点拨】当x∈[-2，0]上的最大值为2； 欲使得函数在[-2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，从而解得a的范围【题文】10、抛物线的弦与过弦的断点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的断点的来两条切线的交点在其准线上，设抛物线，弦过焦点，且其阿基米德三角形，则的面积的最小值为（）A．B．C．D．【知识点】直线与圆锥曲线.H8【答案】【解析】B解析：由于若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上，且△PAB为直角三角型，且角P为直角．，由于AB是通径时，AB最小，故选B．【思路点拨】由于若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上，且△PAB为直角三角型，且角P为直角．又面积是直角边积的一半，斜边是两直角边的平方和，故可求【题文】11、四面体的四个顶点都在球的表面上，平面是边长为3的等边三角形，若，则球的表面积为（）A．B．C．D．【知识点】几何体的体积与表面积.G8【答案】【解析】C解析：解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．【思路点拨】取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积【题文】12、若定义在R上的函数满足，且当时，，则函数在区间上的零点个数为（）A．4B．6C．8D．10【知识点】函数的零点.B9【答案】【解析】B解析：解：定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（2-x）=f（x），∴函数是偶函数，关于x=1对称，∵函数f（x）=xex的定义域为R，f′（x）=（xex）′=x′ex+x（ex）′=ex+xex令f′（x）=ex+xex=ex（1+x）=0，解得：x=-1．列表：由表可知函数f（x）=xex的单调递减区间为（-∞，-1），单调递增区间为（-1，+∞）．当x=-1时，函数f（x）=xex的极小值为．y=|xex|，在x=-1时取得极大值：，x∈（0，+∞）是增函数，x＜0时有5个交点，x＞0时有1个交点．共有6个交点故选：C．【思路点拨】求出函数f（x）=xex的导函数，由导函数等于0求出x的值，以求出的x的值为分界点把原函数的定义域分段，以表格的形式列出导函数在各区间段内的符号及原函数的增减性，从而得到函数的单调区间及极值点，把极值点的坐标代入原函数求极值．然后判断y=|xex|的极值与单调性，然后推出零点的个数【题文】第Ⅱ卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题：每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.【题文】13、已知，则【知识点】三角函数的诱导公式.C2【答案】【解析】解析：由已知条件可得，又因为【思路点拨】根据已知条件进行化简，再利用同角三角函数的关系进行化简求值.【题文】14、已知是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，若，则的离心率是【知识点】直线与双曲线.H6【答案】【解析】解析：解：由题意知，|F1F2|=|F1A|=4，∵|F1A|-|F2A|=2，∴|F2A|=2，∴|F1A|+|F2A|=6，∵|F1F2|=4，∴C2的离心率是．故答案为．【思路点拨】利用双曲线的定义，可求出|F2A|=2，|F1F2|=4，进而有|F1A|+|F2A|=6，由此可求C2的离心率．【题文】15、设满足约束条件，若目标函数的最大值为1，则的最小值为【知识点】线性规划与不等式.E1，E5【答案】【解析】8解析：由约束条件可作出可行域，由图可知，目标函数取得最大值的点为，则（当且仅当a=2b时取等号）由所以的最小值为【思路点拨】根据条件列出可行域，再利用不等式求出最小值.【题文】16、在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上，若圆上存在点M，使，则圆心的横坐标的取值范围为【知识点】直线与圆.H4【答案】【解析】解析：解：设点M（x，y），由MA=2MO，知，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，故答案为：．【思路点拨】设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】17、（本小题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，,(1)求的值；（2）求边的长。【知识点】解三角形.C8【答案】【解析】(1)(2)AC=4解析：解：（Ⅰ）因为cosB=，所以sinB=…（2分）又cos∠ADC=，所以sin∠ADC=…（4分）所以sin∠BAD=sin（∠ADC∠B）=×（）×=…（7分）（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，得，解得BD=2…（10分）故DC=2，从而在△ADC中，由余弦定理，得AC2=9+42×3×2×=16，所以AC=4…【思路点拨】（Ⅰ）根据cosB=，cos∠ADC=，利用平方关系，可得sinB、sin∠ADC的值，利用sin∠BAD=sin（∠ADC∠B），即可求得结论；（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，求BD=2，故DC=2，在△ADC中，由余弦定理，可求AC的长【题文】18、（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为菱形，是的中点（1）若，求证：平面平面；（2）若平面平面，且，在线段上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由。【知识点】空间角与空间中的位置关系.G4,G5,G11【答案】【解析】(1)略(2)略解析：（1）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD，以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图则Q（0，0，0），），B（0，设0＜λ＜1，则平面CBQ的一个法向量=（0，0，1），设平面MBQ的法向量为=（x，y，z），由，∵二面角M-BQ-C的大小为60°，解得λ=，∴存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意【思路点拨】1）由已知得PQ⊥AD，BQ⊥AD，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意．【题文】19、（本小题满分12分）设不等式组所表示的平面区域，记内整点的个数为（横纵坐标均为整数的点称为整点）。（1）式，先在平面直角坐标系中做出平面区域，在求的值；（2）求数列的通项公式；（3）记数列的前n项和为，试证明：对任意，恒有成立。【知识点】数列的应用.D5【答案】【解析】(1)25(2)10n+5(3)略解析：解：（1）D2如图中阴影部分所示，∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，∴a2==25．（3分）（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），据题意有an==10n+5．（6分）（另解：an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）Sn=5n（n+2）． （8分）∵==＜，∴++…+＜++…+=（+…+）=（+）＜ （13分）【思路点拨】（1）在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，可求a2的值；（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），即可求数列{an}的通项公式；（3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论【题文】20、（本小题满分12分）已知定圆，动圆过点且与圆相切，记圆心的轨迹为（1）求轨迹的方程；（2）设点在上运动，与关于原点对称，且，当的面积最小时，求直线的方程。【知识点】直线与圆锥曲线.H8【答案】【解析】(1)(2)y=x或y=x解析：解：（Ⅰ）因为点在圆内，所以圆N内切于圆M，因为|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N的轨迹E为椭圆，且，所以b=1，所以轨迹E的方程为．…（4分）（Ⅱ）（i）当AB为长轴（或短轴）时，依题意知，点C就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时|AB|=2．…（5分）（ii）当直线AB的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，直线AB的方程为y=kx，联立方程得，所以|OA|2=．…（7分）由|AC|=|CB|知，△ABC为等腰三角形，O为AB的中点，OC⊥AB，所以直线OC的方程为，由解得，=，，…（9分）S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=，由于，所以，…（11分）当且仅当1+4k2=k2+4，即k=±1时等号成立，此时△ABC面积的最小值是，因为，所以△ABC面积的最小值为，此时直线AB的方程为y=x或y=x．【思路点拨】（I）因为|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N的轨迹E为椭圆，且，所以b=1，从而可求求轨迹E的方程；（Ⅱ）分类讨论，直线AB的方程为y=kx，代入椭圆方程，求出|OA|，|OC|，可得S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|，利用基本不等式求最值，即可求直线AB的方程．【题文】21、（本小题满分12分）已知函数，在处的切线与直线垂直，函数（1）求实数的值；（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（3）设是函数的两个极值点，若，求的最小值。【知识点】导数与函数.B11,B12【答案】【解析】(1)a=1（2）{b|b＞3}（3）2ln2解析：解：（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．（2）∵g（x）=lnx+（b1）x，∴g′（x）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1b＜0有解，∵定义域x＞0，∴x+≥2，x+＜b1有解，只需要x+的最小值小于b1，∴2＜b1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．（3）∵g（x）=lnx+（b1）x，∴g′（x）==0，∴x1+x2=b1，x1x2=1∴g（x1）g（x2）=ln（）∵0＜x1＜x2，∴设t=，0＜t＜1，令h（t）=lnt（t），0＜t＜1，则h′（t）=＜0，∴h（t）在（0，1）上单调递减，又∵b≥，∴（b1）2≥，∵0＜t＜1，∴4t217t+4≥0，∴0＜t，h（t）≥h（）=2ln2，故所求的最小值为2ln2．【思路点拨】（1）求导数，利用导数的几何意义能求出实数a的值．（2）），由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1b＜0有解，由此能求出实数b的取值范围．（3）g（x1）g（x2）=ln（），由此利用构造成法和导数性质能求出g（x1）g（x2）的最大值．【题文】请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．【题文】22、（本小题满分10分）如图，点A是线段BC为直径的圆上一点，于点D，过点B作圆的切线与CA的延长线交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P。（1）求证：（2）求证：PA是圆的切线。【知识点】直线与圆.H4【答案】【解析】略解析：证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．∴，得．∵G是AD的中点，即DG=AG．∴BF=EF．（2）连接AO，AB．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．【思路点拨】1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线．【题文】23、（本小题满分10分）已知函数（1）解不等式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。【知识点】不等式.E2【答案】【解析】(1)(2)a≥2解析：解：（Ⅰ）原不等式等价于：当x≤1时，-2x+3≤2，即，当1＜x≤2时，1≤2，即1＜x≤2．当x＞2时，2x-3≤2，即．综上所述，原不等式的解集为．（Ⅱ）当a＞0时，f（ax）-af（x）=|ax-1|-|ax-a|=|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|=|a-1|，所以，2a-3≥|a-1|，解得a≥2．【思路点拨】（Ⅰ）分当x≤1时、当1＜x≤2时、当x＞2时三种情况，分别求得原不等式的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当a＞0时，利用绝对值三角不等式可得f（ax）-af（x）≤|a-1|，结合题意可得2a-3≥|a-1|，由此解得a的范围
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