已知f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的x，y都满足f x*fy=f x+y&br/&(1)求f（0）的值，并证明对任意的x属于R，都有f（x）&0&br/&(2)设当x&0时都有f(x)&f(0),判断并证明f(x)在R上的单调性
已知f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的x，y都满足f x*fy=f x+y(1)求f（0）的值，并证明对任意的x属于R，都有f（x）&0(2)设当x&0时都有f(x)&f(0),判断并证明f(x)在R上的单调性
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&（1）可得f（0）of（0）=f（0）?∵f（0）≠0?∴f（0）=1又对于任意x∈R，&f(x)=f(
2)]2≥0又f(
2)≠0，∴f（x）＞0（2）设x1，x2∈R且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=f[（x1-x2）+x2]-f（x2）=f（x2）[f（x1-x2）-1]∵x1-x2＜0?∴f（x1-x2）＞f（0）=1?∴f（x1-x2）-1＞0对f（x2）＞0?∴f（x2）f[（x1-x2）-1]＞0∴f（x1）＞f（x2）故f（x）在R上是减函数
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理工学科领域专家设二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若函数y=f(x)的图像与直线y=x和y=-x均无公共数点(a,b,c属于R,a不为0）_百度知道
设二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若函数y=f(x)的图像与直线y=x和y=-x均无公共数点(a,b,c属于R,a不为0）
求证：对于一切实x恒有|ax^2+bx+c|&1/4|a|
画图，可得f(x)要么在x轴上方，要么在x轴下方，否则必与y=x,y=-x有交点这就是说f(x)&0 或者 f(x)&0则有：a&0, b^2-4ac&0
或a&0, b^2-4ac&01. 当a&0, b^2-4ac&0时，原式=f(x)-a/4=ax^2+bx+c-a/4判别式=b^2-4a(c-a/4)=b^2-4ac+a^2&0,故原式&02. 当a&0, b^2-4ac&0时，原式=f(x)-(-a/4)=-ax^2-bx-c+a/4判别式=b^2+4a(-c+a/4)=b^2-4ac+a^2&0,故原式&0
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＞＞＞函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=..
函数f&（x）&对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f&（1）=0．（Ⅰ）求f&（0）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的表达式；（Ⅲ）当x∈(0，12)时，f&（x）+2＜logax恒成立，试求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：丰台区一模
（Ⅰ）∵函数f&（x）&对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立∴令x=1，y=0，f（1+0）-f（0）=1（1+2×0+1）=>f（0）=-2…（3分）（Ⅱ）令&y=0，可得&&f（x）=x2+x-2…（5分）（Ⅲ）f&（x）+2＜logax即&&x2+x＜logax又x∈(0，12)，所以x2+x＞0，当a＞1时，logax＜0，说明a＞1不合题意．…（7分）设h(x)=x2+x-logax(0＜x＜12，0＜a＜1)，即h（x）＜0恒成立因为h′(x)=2x+1-1xlna当0＜x＜12，0＜a＜1时，h'（x）＞0恒成立…（9分）所以&h（x）是增函数，有&h(x)＜h(12)=34-loga12…（11分）只需&34-loga12≤0恒成立，解得&&a≥2-43所以实数a的取值范围是&a≥2-43…（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，分段函数与抽象函数，函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性分段函数与抽象函数函数的单调性与导数的关系
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。&抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。 知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
发现相似题
与“函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=..”考查相似的试题有：
496362476945486585831701261460303157已知定义在R上恒不为0的函数y=f(x)，当x&0时，满足f(x)&1，且对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)f(y)_百度知道
已知定义在R上恒不为0的函数y=f(x)，当x&0时，满足f(x)&1，且对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)f(y)
已知定义在R上恒不为0的函数y=f(x)，当x&0时，满足f(x)&1，且对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)f(y)
(1)证明f(-x)=-f(x)/1
（2）证明f(x-y)=f(x)/f(y)
(1)证明的是f(-x)=1/-f(x)
前面的打错了
提问者采纳
你好！令 y=0f(x+0) = f(x)*f(0)∴ f(0) = 1令 y = - xf(x-x) = f(x)*f(-x)f(0) = f(x)*f(-x) = 1∴ f(-x) = 1/ f(x) （你还是写错题目了）由（1）知f(-y) = 1/f(y)f(x-y) = f[x+(-y)] = f(x)*f(-y) = f(x) / f(y)
提问者评价
谢谢你了！感谢
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f（x+y）=f（x）f（y）f（x）=f（x）f（0）f（0）=1f（x）f（-x）=f（x-x）=1f（-x）=1/f（x）2。f（x-y）=f（x）f（-y）
=f（x）乘以1/f（y）
=f（x）/f（y）
(1)令y=-x，则 由f（x+y）=f（x）f（y）得f（0）=1=f（x）f（-x），即得f(−x)＝−1f(x)．
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＞＞＞，已知y=f（x）是定义在R上的单调递减函数，对任意的实数x，y都有f..
，已知y=f（x）是定义在R上的单调递减函数，对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）且f（0）=1，数列{an}满足a1=4，f(log3-an+14)f(-1-log3an4)=1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与6n2-2的大小．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）由题设知f(log3-an+14)f(-1-log3an4)=1（n∈N*），可化为f(log3an+14-1-log3an4)=f(0)．所以有log3+an+14-1-log3an4=0，即log3an+14-log3an4=1．因此数列{log3a14}是以log3a14=0为首项，1为公差的等差数列．所以log3an4=n-1，即an=4×3n-1（n∈N*）．（2）Sn=a1+a2+a3++an=4（1+31+32++3n-1）=2（3n-1），当n=1时，有Sn=6n2-2=4；当n=2时，有Sn=16＜6n2-2=22；当n=3时，有Sn=6n2-2=52；当n=4时，有Sn=160＞6n2-2=94；当n=5时，有Sn=484＞6n2-2=148；…由此猜想当n≥4时，有Sn＞6n2-2，即3n-1＞n2．下面由数学归纳法证明：①当n=4时，显然成立；②假设n=k（k≥4，k∈N*）时，有3k-1＞k2．当n=k+1时，3k=3×3k-1＞3k2，因为k≥4，所以k（k-1）≥12．所以3k2-（k+1）2=2k（k-1）-1＞0，即3k2＞（k+1）2．故3k＞3k2＞（k+1）2，因此当n=k+1时原式成立．由①②可知，当n≥4时，有3n-1＞n2，即Sn＞6n2-2．故当n=1，3时，有Sn=6n2-2；当n=2时，有Sn＜6n2-2；当n≥4时，有Sn＞6n2-2．
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据魔方格专家权威分析，试题“，已知y=f（x）是定义在R上的单调递减函数，对任意的实数x，y都有f..”主要考查你对&&等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等比数列的通项公式等比数列的前n项和数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
等比数列的通项公式:
an=a1qn-1，q≠0，n∈N*。等比数列的通项公式的理解：
①在已知a1和q的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项；②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用可求等比数列中任何一项；③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{an}的通项公式，可以改写为．当q&o，且q≠1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图象是函数的图象上的一群孤立的点；④通项公式亦可用以下方法推导出来：将以上（n一1）个等式相乘，便可得到&⑤用方程的观点看通项公式．在an，q，a1，n中，知三求一。等比数列的前n项和公式：
； 等比数列中设元技巧：
已知a1，q，n，an ，Sn中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。 注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。
等比数列前n项和公式的变形：q≠1时，（a≠0，b≠0，a+b=0）；
等比数列前n项和常见结论：一个等比数列有3n项，若前n项之和为S1，中间n项之和为S2，最后n项之和为S3，当q≠-1时，S1，S2，S3为等比数列。 数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
发现相似题
与“，已知y=f（x）是定义在R上的单调递减函数，对任意的实数x，y都有f..”考查相似的试题有：
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