13安阳模拟 数学 九年级 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝-二分之一x的平方+bx+c的图像与直线y＝-二分之一x+3交于点A/B,且点A在y轴上，点b的坐标是（4,1）-中国学网-中国IT综合门户网站-提供健康,养生,留学,移民,创业,汽车等信息
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13安阳模拟 数学 九年级 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝-二分之一x的平方+bx+c的图像与直线y＝-二分之一x+3交于点A/B,且点A在y轴上，点b的坐标是（4,1）
来源：互联网 发表时间： 19:57:50 责任编辑：李志喜字体：
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如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；&&&&&&&&
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
【分析】（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；&&&&&&&&&&&&&&&
（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，&#65123;x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=&#65123;2x2+10x，根据二次函数求出极值；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标．&&&&&&&
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x&#65123;2）2+9，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∵抛物线与y轴交于点A（0，5），&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴4a+9=5，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴a=&#65123;1，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
y=&#65123;（x&#65123;2）2+9=&#65123;x2+4x+5，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（2）当y=0时，&#65123;x2+4x+5=0，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴x1=&#65123;1，x2=5，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴E（&#65123;1，0），B（5，0），&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
设直线AB的解析式为y=mx+n，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∵A（0，5），B（5，0），&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&
∴m=&#65123;1，n=5，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴直线AB的解析式为y=&#65123;x+5；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
设P（x，&#65123;x2+4x+5），&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴D（x，&#65123;x+5），&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴PD=&#65123;x2+4x+5+x&#65123;5=&#65123;x2+5x，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∵AC=4，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴S四边形APCD=×AC×PD=2（&#65123;x2+5x）=&#65123;2x2+10x，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴当x=&#65123;=时，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴S四边形APCD最大=，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（3）如图，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∵MN∥AE，MN=AE，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴△HMN≌△AOE，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴HM=OE=1，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴M点的横坐标为x=3或x=1，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
当x=1时，M点纵坐标为8，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
当x=3时，M点纵坐标为8，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∵A（0，5），E（&#65123;1，0），&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴直线AE解析式为y=5x+5，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∵MN∥AE，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴MN的解析式为y=5x+b，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∵点N在抛物线对称轴x=2上，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴N（2，10+b），&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∵AE2=OA2+0E2=26&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∵MN=AE&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴MN2=AE2，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴MN2=（2&#65123;1）2+[8&#65123;（10+b）]2=1+（b+2）2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∵点N在抛物线对称轴上，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴M1N=M2N，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴1+（b+2）2=26，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴b=3，或b=&#65123;7，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴10+b=13或10+b=3&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
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