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品评校花校草，体验校园广场一只老鼠PK四只猫完胜而归【人人网 - 分享】
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品评校花校草，体验校园广场这只老鼠暴走了有木有！单挑四只猫咪有木有！！【人人网 - 分享】
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周末趣题——猫和老鼠系列问题(终结季——永远的华杯赛)
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发表于： 17:55:18
=============================================================================永远的华杯赛......=============================================================================终结季：一只猫Tom紧紧追赶着一只老鼠Jeryy。 就在Tom将要抓住Jeryy的时候，Jeryy正好跑到一个圆形的池塘旁边，纵身跳入池内，Tom抓了个空。Tom舍不得这顿即将到口的美餐，于是盯住Jeryy，在池边跟着Jeryy游泳方向跳动，想等Jeryy爬上岸来时抓住它。 请问Tom奔跑的速度至少是Jeryy游水速度多少倍，Tom才能看住Jeryy，使得Jeryy一上岸，就被Tom逮住？假设Jeryy和Tom都非常聪明，它们可以任意改变运动方向而不影响速度。PS：后天就是19届华杯赛决赛，这道题是猫和老鼠系列的最后一道题。这是一道非常难的题，在IQ出现了至少3次，最早出现是在01年，据说要用高等数学的知识才可解出来。&& 谨以此题奉献给热爱奥数的童鞋们，祝愿大家后天取得好成绩。若干岁月以后再来华坛，希望看到有人不用谷歌、百度将这道题做出来。。。。。。=============================================================================以下各题答案已出......=============================================================================第一季：如图是一个棋盘，灰色圆圈为猫(名字叫：Tom)，白色圆圈为老鼠（名字叫Jerry）。Tom先走，双方交替走，每次只能沿线走一步，则Tom最少需要________步才能保证抓住Jerry。解析：题目类型：组合数学——策略问题难度等级：★★★★解析：解这个题的关键在于这个图形，只有把老鼠堵在最下部的两个角落位置，才有可能把老鼠吃掉，在其它的四边形区域是不可能抓住老鼠的。（当然，我们不考虑老鼠把自己送到猫嘴里的自杀行为）要想把老鼠堵在最下面的三角形区域，走几次会发现，猫不经过三角形区域是抓不到老鼠的．猫走完三角形区域后，老鼠的位置只能是图1 或图2．如果老鼠位置如图1，则猫按图3 的路线走，能6 步以内抓到老鼠；如果老鼠位置如图2，则猫按图4 路线走，也能6 步以内抓到老鼠．<font color="#ff年2月8日的北京数学花园探秘（迎春杯网考）小高组、小中组的共用题第七题和此题如出一辙，只是改变了图形的结构。======================================================第二季：一天，猫Tom和老鼠Jerry做游戏，Tom制定如下规则：Jeyyy可以从A点开始在一条直线上跳着玩，它每次可以向左跳，也可以向右跳，且第一次跳1厘米，第二次跳3厘米，第三次跳5厘米，……，Jerry如果能跳到A点左侧2012厘米处，Tom就不吃Jerry，否则就吃掉Jerry。请问能否想出一种跳法，使Jerry不被Tom吃掉？如果能，至少要跳多少次；如果不能，请说明理由。解析：题目类型：组合数学——策略问题难度等级：★★★解：能，最少跳跃46次．首先，因为每次跳奇数厘米，所以要想跳到左侧2012厘米处，需要跳偶数次．因为跳44次最多只能跳到左侧 1+3+5+....+87=1936厘米处，所以至少需要46次．而46次是可以跳到的．我们先一直往右跳46次，得到2116，然后调整－，于是把向左的52厘米的跳跃改成向右的，因为52是偶数，至少需要两次的跳跃来凑，不妨把1和51两次跳跃改成向右，可得：(1+91)*46/2-2*(1+51)=2012所以，最少跳跃46次．======================================================第三季：一天老鼠Jerry饿了出去找食物吃，离开鼠窝A点走往向北5米东3.5米的B点，在该点它发现有一个猫Tom，为避免被Tom吃掉，所以就转向再向北2米东2.5米的C点跑去，在那里它吃了一些食物后立即返鼠窝A，Jerry走的路径构成了一个三角形ABC（假设Jerry总是沿直线走的），试求三角形ABC的面积。解析：题目类型：几何难度等级：★★解：从C往y轴作垂线交与D点，链接CD、BDS△ADC=7*6/2=21S△ADB=7*3.5/2=12.25S△BDC=6*2/2=6S△ABC=S△ADC-S△ADB-S△BDC=21-12.25-6=2.75答：三角形的面积为2.75平方米。======================================================第四季：一天，猫Tom请来了和它跑的一样快的三个表兄弟一起玩猫抓老鼠游戏，游戏规则如下：Tom和他的三个表兄弟分别在正方形的四个顶点，其规定他们只能沿着正方形的边跑动，让老鼠Jerry坐在正方形的中心，已知Tom的速度是Jerry的最大速度的1.4倍．试问Jerry能否从正方形中逃出？(注：√2≈1.414，Tom允许停在那里不动，Jerry可以不走对角线。)解析：题目类型：组合数学——策略问题难度等级：★★★★解：可以。为此，老鼠应该采用如下的战略：1、它应选出正方形的任意一个顶点A，并以最大速度沿对角线朝它跑去，直跑到离点A不足1/2(√2-1.4)的地方（例如，离点A的距离为0.005的地方，此处假定正方形的边长为1）。2、它不改变速度，但旋转90°，沿着与对角线垂直的方向，朝正方形仅有一只猫的边跑去（如果在这一时刻，在点A处有一只猫，则老鼠可以任意朝左或朝右旋转90°跑向正方形的一条边，参阅附图）。3、不难验证，当老鼠穿越正方形的边时，没有任何一只猫可以到达该边上的这一点处。备注：如果猫的速度√2倍于兔子速度，那么猫就会抓住老鼠了。因为在每时刻，猫都处在以兔子为中心的十字架的端点处，该十字架的两边分别平行于正方形的两条对角线。======================================================贺岁季：要过元旦了，猫Tom逮了一窝老鼠，整整有100只(其中包括Jerry），Tom决定吃掉其中的99只犒劳一下自己，并制定了如下吃法：先把这100只老鼠排成一排，并且从1——100进行编号，从第1号开始吃，隔一个吃一个，从排头吃到排尾，下一轮继续从排头开始，直到只剩下最后一个的时候就放掉。那么Jerry该站到几号位置，才能保证不被Tom吃掉呢？解析：题目类型：组合数学——约瑟夫问题难度等级：★★★解：把老鼠的编号全列出来：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …… 95 96 97 98 99 100第一次，从一号开始，吃一个隔一个，Tom吃掉了：1、3、5、7、9、11、13……95、97、99，可以看到，所有在奇数位的老鼠都被Tom吃掉了，还剩下：2、4、6、8、10、12、14……94、96、98、100位置上的老鼠，可以看到，留下的都是2的倍数。同样的，第二次留下的老鼠的编号是：4、8、12……92、96、100 留下的都是4（2^2）的倍数第三次留下的老鼠的编号是：8、16、24……80、88、96 留下的都是8（2^3 ）的倍数第四次留下的老鼠的编号是：16、32、48、64、80、96 留下的都是16（2^4 ）的倍数第五次留下的老鼠的编号是：32、64、96 留下的都是32（2^5 ）的倍数第六次留下的老鼠的编号是：64 留下的都是64（2^6 ）的倍数所以说，Jerry必须站在64号位置上才能不被Tom吃掉。我们可以看到，按吃一个隔一个的这种吃法，最后留下的那只老鼠的位置是最接近老鼠只数的2的乘方数！----------------------------------------------------------------------------------------拓展题：要过元旦了，猫Tom逮了一窝老鼠，整整有100只(其中包括Jerry），Tom决定吃掉其中的97只犒劳一下自己，并制定了如下吃法：先把这100只老鼠排成一排，并且从1——100进行编号，从第1号开始吃，吃两个隔一个，从排头吃到排尾，下一轮继续从排头开始，直到只剩下最后三个的时候就放掉。那么Jerry该站到几号位置，才能保证不被Tom吃掉呢？ 解：这次吃法：第一次留下3、6、9……93、96、99，留下3的倍数，第二次留下9、18、27……90、99，留下9（3^2）的倍数第三次留下27、54、81，留下9（3^3）的倍数------------------------------------------------------------------------------------------实战题：将七位数1357924重复写287次组成一个2009位数“24……”。删去新数中所有位于奇数位上的数字，按上述方法一直删下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是________。（第14届华杯赛决赛A卷第3题，答案自寻）======================================================第六季：（续贺岁季）吃掉100只老鼠，对猫Tom来讲确实太多了点，它吃了51个后，决定挑选一部分老鼠放生等到以后再抓来吃，挑选老鼠的规则是：Tom先把这49只老鼠按1——49依次编号，再挑选出若干只老鼠排成一个圆圈，使任何相邻两只老鼠的号码数的乘积小于100，那么Tom最多能挑选出多少个老鼠? 解析：题目类型：组合数学——抽屉原理难度等级：★★★★解：最多挑出18个老鼠．将1至49中相乘小于100的两个数，按被乘数分成9组，如下：(1×2)、(1×3)、(1×4)、…、(1×49)；(2×3)、(2×4)、(2×5)、…、(2×49)；...... (8×9)、(8×10)、(8 ×11)、(8×12)；(9×10)、(9×11).因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次，所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出18个数对，共18×2=36次，但是每个数都出现两次，故出现了18个数．例如：(10×9)、(9×11)、(1×8)、(8×12)、(12×7)、(7×13)、(13×6)、(6×14)、(14×5)、(5×15)、(15×4)、(4 ×16)、(16 X 3)、(3×17)、(17×2)、(2×18)、(18 ×1)、(1×10)．共出现l～18号，共18个老鼠．证明：若随意选取出19个老鼠，那么共有19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，则会形成19个相乘的数对．那么在9组中取出19个数时，有19=9×2+1，由抽屉原则知，必有三个数对落入同一组中，这样某个数字会在数对中出现三次(或三次以上)，由分析知，这是不允许的．故最多挑出18个老鼠．======================================================第七季：（续第六季）展示一下老鼠强大的繁殖能力：已知一对老鼠每个月可以生一对小老鼠，而一对老鼠出生后在第二个月就开始生小老鼠。假如一年内没有发生死亡现象，猫Tom想知道这18只老鼠放出去一年，可以繁殖出多少只老鼠？（假设每产一对必须是一雌鼠一雄鼠，并且所有的老鼠都能进行相互交配，所生下来的老鼠都能保证成活。。。一切都是理想状态。。。）解析：题目类型：组合数学——斐波那契数列难度等级：★★★★解：18只老鼠刚好9对，先拿其中的一对来分析：老鼠的繁殖规律：第一个月小老鼠没有繁殖能力，所以还是一对两个月后，生下一对小老鼠对数共有两对三个月以后，大老鼠又生下一对，因为小老鼠还没有繁殖能力，所以一共是三对......依次类推可以列出下表：经过月数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12幼鼠对数 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89成鼠对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144总体对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233幼鼠对数=前月成鼠对数成鼠对数=前月成鼠对数+前月幼鼠对数总体对数=本月成鼠对数+本月幼鼠对数可以看出幼鼠对数、成鼠对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。所以一对老鼠经过一年繁殖出233-2=231对老鼠<font color="#只老鼠总计繁殖出231*9=2079只======================================================第八季：猫Tom饿了一天没有吃东西了，突然发现老鼠Jerry在其前方40米处，Tom撒腿就追Jerry。已知：Tom跑2步的时间Jerry跑3步，Tom跑4步的距离与Jerry跑7步的距离相等，您算一下，Jerry再跑多远，Tom可以追上它？解析：题目类型：行程问题难度等级：★★解：设Tom跑2步的时间为1，Jerry跑3步的时间也为1；再设Tom的步长为7，则Jerry的步长为4，推出Tom的速度是2×7=14，Jerry的速度是3×4=12。用40÷（14－12）=20，20为追击时间。再用Jerry的速度乘上追击时间可得Jerry跑的路程，即 12×20=240（米）。======================================================第九季：今天阳光明媚，猫Tom很幸运又逮了一窝老鼠，已知：Tom如果每次吃3只剩2只；每次吃5只剩3只；每次吃7只剩4只。您算一下，这窝老鼠最少有多少只？解析：题目类型：数论——中国剩余定理难度等级：★★解：用“中国剩余定理”来解：3和5的公倍数：15、30、45、60...3和7的公倍数：21、42、63、84...5和7的公倍数：35、70、105、140...分别找出除以7余4的3、5的公倍数，除以5余3的3、7的公倍数，除以3余2的5、7的公倍数，分别是：60、63、35；可见60+63+35=158满足我们的条件，但是要求的是满足条件的最小的自然数，158不是最小的，对此的处理方法就是减去3、5、7的最小公倍数的若干倍，使结果小于最小公倍数．所以答案为158-105=53。======================================================第十季：猫和老鼠生活的庭院里，部分猫和老鼠有精神病，有20%的老鼠自以为是猫，有20%的猫自以为是老鼠，其余的都正常。一天，猫Tom发现：所有的猫和老鼠中，有32%认为自己是猫。如果庭院里老鼠比猫多60只，那么老鼠的数量是多少只？解析：题目类型：应用题——浓度问题难度等级：★★解：仔细分析题目，发现本题其实是一个简单的浓度问题：有20%的老鼠认为自己是猫，有80%的猫认为自己是猫；而将猫和老鼠混合在一起，所有的猫和老鼠中，有32%的认为自己是猫。那么根据浓度三角，老鼠和猫的数量之比为：（80%-32%）：（32%-20%）=4:1。而老鼠比猫多60只，所以老鼠的数目为60/(4-1)*4=80只．======================================================第十一季：一天，老鼠家族喜添新丁，老鼠Jerry生了8个大小不同的小老鼠，为了便于区分，Jerry将这8只小老鼠放在一个2行4列的鼠窝里，放置方法要求：每行右边比左边的大，每一列上面比下面的大，请问有多少种放法？解析：题目类型：组合计数——卡塔兰数难度等级：★★★★解：首先，将8个老鼠按从大到小依次编号为1、2、3、4、5、6、7、8，现在就相当于要将这8个数填到一个4*2的方格中，要求每一行的数依次增大，每一列上面的要比下面的大。按照题目规则，很容易就发现：第二行填的的数字的个数永远都小于或等于第一行数字填的个数。故采用“阶梯型标数”法，得出从A到B的最短路径有14种。即有14种摆法。说明：关于阶梯型标数法是一种神奇的解法，优酷网上有学而思老师的讲座视频。网址：======================================================第十二季：猫Tom运气真好，今天又把老鼠Jerry家族全逮住了，整整100只。这次吃的规则如下：Tom先给这100只老鼠按1-100进行编号，并排成圆形，从1号开始，隔一个吃一个，一圈一圈的吃下去，（即1号不吃，第一圈吃掉是奇数。。。）直到只剩下最后一个的时候就放掉。那么这一次，Jerry该站到哪个位置，才能保证不被Tom吃掉呢？解析：题目类型：组合数学——约瑟夫环问题难度等级：★★★★解：我们还是不妨从最简单的开始，寻找其规律假设有2只老鼠，Tom保留1号，吃掉2号；即最后剩下1号。假设有4只老鼠，Tom保留1号，吃掉2号，保留3号，吃掉4号；这时候回到了2只老鼠时的情况，保留1号，吃掉3号；即最后剩下1号。假设有8只老鼠，同样的，第一圈，Tom吃掉2号、4号、6号、8号，保留1号、3号、5号、7号；这样就回到了4只老鼠时的情况，吃掉3号、7号，保留1号、5号；回到2只老鼠的情况，吃掉5号，保留1号；即最后剩下1号。……所以，我们可以看到，当有2^n只老鼠的时候，从1号开始，保留一个吃掉一个，最后留下的一定是1号老鼠。当有100只老鼠时，可以考虑Tom吃掉一部分老鼠，直到剩下的老鼠变成2^n个时，这时候下一个保留的老鼠一定会留到最后！最接近100的2的乘方是64（26），那么Tom就需要先吃掉 100-64=36（个）从1号开始，留一个吃一个，要吃掉36个，最后吃掉的是72号老鼠，此时保留的老鼠是73号！======================================================第十三季：一天，猫Tom实在是闲的无聊，把老鼠Jerry抓来做游戏，游戏规则如下：在一个边长为84米的正方形跑道上，Tom和Jerry同时从同一个顶点背向出发，Tom速度是6米/秒，Jerry速度是8米/秒，每当Jerry发现Tom出现在正前方的跑道上时，立马掉头反方向跑，并由于害怕，速度降低1米/秒，问出发多少秒后，猫能抓到老鼠？解析：题目类型：行程问题难度等级：★★★★解：======================================================第十四季：猫Tom的一日闲的无聊，在庭院里独自漫步，从A处出发，向东前行走1米就向左转45°，然后再向前直行走1米就又向左转45°，…，这个人走过2013米后离出发点A的距离是多少？解析：题目类型：几何+行程难度等级：★★★解：根据题意可知，从点A出发走1米到A1，走2米到A2，…，走7米到A7，走8米到A，由于∠OA1A2＝∠A1A2A3＝ … ＝∠A6A7A＝135°，而正八边形的每个内角为135°，也就是说，走8米恰好回到原出发点A。由此可知，8米是一个周期，于是由+5可知，走2013米相当于走5米，到了A5处，从而AA5＝√2 +1（米）======================================================第十五季：一条直线上依次有A、B、C三个点，一天猫Tom在A点发现B点老鼠Jerry带着两只小老鼠正以0.5米/秒的速度朝鼠窝(C点）散步，Tom马上以8米/秒的速度追赶，一段时间后，Jerry发现Tom的追赶，急忙朝鼠窝奔跑，Jerry和小老鼠的速度分布为6米/秒和4米/秒，Jerry可以叼住一只小老鼠奔跑（速度不变，叼起和放下小老鼠的时间不计）。如果AB=620米，BC=300米，那么要保证老鼠都能安全回到鼠窝，三只老鼠最多能悠闲散步多少米？解析：题目类型：行程问题难度等级：★★★★★解：======================================================第十六季：猫和老鼠住的村庄里，一共有家12家有老鼠，Tom给依次给它们门牌编号为1-12。为了便于相互联系，Tom每家给安装了一部电话，电话号码依次是12个连续的6位数，每家的电话号码都能被其编号整除。一天Tom想找Jerry，可是它把Jerry家的电话号码忘记了，只知道Jerry家的门牌是9，电话号码能被13整除，且首位数字小于6。你帮Tom算一下，Jerry家的电话号码什么数？解析：题目类型：数论——整除问题难度等级：★★★★答案：Jerry家的电话号码是388089 。解：设第一户电话号是x+1，第二户的电话号是x+2 ，…．第12户的电话号是x+12；根据条件可知x+i是i的倍数(i=1，2，…，12)，因此x是1，2，…，12的公倍数；而[1,2,...,12]=27720，所以x=27720m又2的倍数，而27720除以13余数为4，所以4m+9是13的倍数，则m=1,14，27，……第9户的电话号码是27720m+9 ，是一个首位数字小于6的六位数，所以m取14合适；因此Jerry家的电话号码是=388089。======================================================第十七季：Tom家有一袋大米共有2004粒，大家都知道老鼠Jerry最爱吃大米，Jerry每天都要去Tom家去偷吃大米，Jerry第一天偷走一粒大米，从第二天起,每天偷走的数量都是以前各天的总和。如果到某天袋子里的大米少于已拿走的总数时，这一天它又重新偷走一粒开始，按原规律进行新的一轮。如此继续，那么这袋大米被Jerry拿光的时候是第几天?解析：题目类型：组合数学——斐波那契数列难度等级：★★★★答案：53天。解：2^10&前1天为1，前2天为2^1，前3天是2^2，所以前11天为2^10，前12天是2^11 ,也就是说不够第11天拿的。每天 1 1 2 4 8 16 32 64 …前若干天的和 1 2 4 8 16 32 64 128 …改写为2进制 1 10 100
0 …<font color="#04=()2(10+1)+(9+1)+(8+1)+(7+1)+(6+1)+(4+1)+(2+1)=11+10+9+8+7+5+3=53天．======================================================新年季：为了抵御外敌侵略，Tom做了一个神奇的鼠笼，鼠笼里是9X9的方格鼠窝，每个格子里面都可以住一只老鼠，一旦有外敌入侵，老鼠们就会躲到鼠笼，然后根据Tom的信号，沿着对角线爬到与原来所在的鼠窝只有一个公共顶点的相邻鼠窝中，这样会触动机关，鼠笼就会发出神奇的力量，击退来敌。为保证老鼠的正常移动，有些鼠窝必须空着，问最少要空多少个鼠窝？解析：题目类型：构造与论证难度等级：★★★★答案：9个。解：考虑到老鼠总是斜着爬，我们把棋盘黑白相间染色，发现原来的黑色格子里的老鼠都爬到黑色格子里面，而白色格子里面的老鼠也会爬到白色格子里面，所以我们只用观察最少能空出多少个黑格子和白格子即可。因为老鼠每次都从奇数行爬到偶数行，偶数行爬到奇数行，而由奇数行有25个格子，偶数行有16个格子可知，偶数行的16只老鼠爬到奇数行会空出9个黑格子，而奇数行的25只老鼠爬到偶数行就可以没有空格。白格子老鼠也会从奇数行爬到偶数行，偶数行爬到奇数行，但是奇数行和偶数行都是20个格子，最少的情况下不会出现空格子，所以最少出现9个空格。======================================================第十九季：Tom从人间学会了八卦阵，就把Jerry找来操练阵法，已知Jerry在八卦阵里，只能从A点进去，E点出来，一旦Jerry进入八卦阵，就可以从八个顶点的任一顶点跳到其相邻两个顶点中的任一个，跳到时E时，就可以从阵中逃出，问Jerry进阵跳10次后能够出来的方法总数有多少种？解析：题目类型：计数问题难度等级：★★★★答案：96种======================================================元宵季：元宵节，Tom把全村的老鼠召集(不到100个)出来做游戏，游戏规则如下：它先把这些老鼠排成一个圆圈，Tom围着圆圈跳，从Jerry处沿逆时针跳，中间可以间隔起跳，希望跳一圈以后能跳回到Jerry处。如果每隔2个老鼠跳一步，结果只能跳到Tuffy处，每隔4只老鼠跳一步，也只能跳到Tuffy处，每隔6个老鼠跳一步，正好跳回到Jerry处。你帮Tom算一下，总计有多少只老鼠？解析：题目类型：组合数学——哈密顿环问题难度等级：★★★答案：91解：设想圆圈上的老鼠已按下面方式编了号：Jerry编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号为2，3，4，…，Tuffy的编号就是老鼠的总数量。每隔2只鼠跳一步时，Tom应在1，4，7，10，…上，即调过的老鼠编号是3的倍数加1。即总数量是3的倍数加1；每隔4只鼠跳一步最后跳到Tuffy处，就意味着总数量是5的倍数加1；每隔6只鼠跳一步最后跳回到Jerry处，就意味着总数量是7的倍数。如果将总数量减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数，这个15的倍数加上1就等于总数量。设总数为x，则x=15*m+1（m为非零自然数）而且x能被7整除。注意15被7除余1，所以15*6被7除余6，15的6倍加1正好被7整除。还可以看出，15的其他(小于的7)倍数加1都不能被7整除，而15*7=105&100，所以7以上的倍数都不必考虑，因此，总数只能是15*6+1=91。======================================================第二十一季：元宵节，猫和老鼠们在村里的演艺厅举办元宵晚会，根据需要：必须用灯光照亮舞台中一个半径为2米的圆形区域，但不巧没有这样的灯，村长Tom要求Jerry用另一种可照半径为1米的灯光代替，使其灯光照到指定区域的每一点。问这样至少需几盏代用灯？解析：题目类型：几何覆盖问题难度等级：★★★★答案：7个解：用数学语言叙述即最少需要几个半径为1的圆才能完全覆盖半径为2的圆？（各圆可相互叠放）设半径为2的圆的圆心是O，在圆周上作正六边形ABCDEF，其边长都是2．再分别以各边中点为圆心作六个半径为1的圆（图1），各圆的圆周除相交于A，B，C，D，E，F各点外，还相交于A1，B1，C1，D1，E1，F1各点并构成边长为1的正六边形的顶点。涂线部分只要以O为圆心并以半径为1作圆即可覆盖，一共要七个圆．不难看出只用六个小圆是不行的．大圆的圆周必须有六个小圆才能盖满，这时中央的小圆是不可缺少的．======================================================第二十二季：解析：题目类型：不定方程难度等级：★★★答案：2种解：设Jerry、Tom和Tuffy分别被击中x,y,z次则三个分别发射6x、（5y+1）、4z次[6x+(5y+1)+4z]-(x+y+z)=16即：5x+4y+3z=15讨论不定方程：第一组解：x=3，y=0,z=0（不合题意，舍去）第二组解：x=1, y=1,z=2（合题意）第三组解：x=0, y=3,z=1（合题意）第四组解：x=0, y=0,z=5（不合题意，舍去）所以三个被击中的次数有2种不同的情况。======================================================第二十三季：Jerry总以比Tom聪明自居，Tom很生气告诉Jerry：“说我给你出道题，你答不上来我就吃掉你”。Tom带着Jerry来到村边的7颗大树旁，已知这7颗大树其中任意3颗都不在同一条直线上，在这7颗大树之间连接18条绳子，你帮Jerry算一下，这些绳子最多能构成多少个三角形？解析：题目类型：组合数学——图论难度等级：★★★★★答案：23种解：平面上这7个点，任意3点都不在同一条直线上，若连接任意2点，共可以连接处C(2,7)=7*6/2=21条线段现在只连接18条，有3条线段没有连接，要使这18条线段所构成的三角形最多，需使没有连接的3条线段共同参与的三角形总数最多，故这3条线段共点。对于这3条线段中的任何一条，还与其它5个点本应构成5个三角形，故这3条线段没有连出，至少少构成5*3-3=12个三角形。如图所示，在图中AD、AE、AF之间没有连接，因为其中ADE、AED、ADF、AFD、AEF、AFE被重复计算，所以减去3.平面内任何三点不共线，若任何2点连线，最多可以构成C(3,7)=35个三角形，故现在最多可以构成35-12=23个。======================================================第二十四季：Tom猫带着Jerry等四只老鼠在村边果园里采了一堆果子，采完后大家非常累，就在果子旁边睡着了。Tom最先醒来，把果子分成5份，但多了一个，就把这个吃了，然后拿走了1份，把剩下的4份又合在一起就走了。Jerry第二个醒来，把剩下的这堆果子又分成了5份，还是多了一个把它给吃了，然后拿走了1份，把剩下的4份又合在一起就走了。剩下的三个老鼠也都是这样。请问至少有多少个果子？最后至少剩下多少个果子？解析：题目类型：应用题难度等级：★★★★★答案：有果子个3121，剩下1020个。解：从Tom开始，每个分果子的时候都多一个，也就是说再有4个刚好可以把果子平分。那就先借4个果子给他们，假设借给他们4个后有x个果子，分完后再还回来就可以了。Tom：刚好把x个5等分，它拿着属于它的那份走了，于是剩下：4x/5；Jerry：Jerry也把剩下的果子5等分，拿走了属于它的那份，于是剩下：4/5*4x/5依次下去：......第四只老鼠分完后剩余：（4^5）*x/(5^5)由于剩下的果子也是整数，所以x=5^5=3125再把借来的那4个还回去，即原来有果子1最后剩下：4^5-4=1020个。PS:这道原题是五猴分桃，传说是诺贝尔奖李政道教授考中科大少年班的一道题，如果采用直接设未知数逐步列方程求解，非常复杂。解答这道题的精妙之处在于借还之间，化繁为简。============================================================================（日19届华杯初赛小高组B卷第八题和本题基本一样）8. 海滩上有一堆栗子，这是四只猴子的财产，它们想要平均分配。第一只猴子来了，它左等右等别的猴子都不来，便把栗子分成四堆，每堆一样多，还剩下一个，它把剩下的一个顺手扔到海里，自己拿走了四堆中的一堆。第二只猴子来了，它也没有等别的猴子，于是它把剩下的栗子等分成四堆，还剩下一个，它又扔掉一个，自己拿走一堆。第三只猴子也是如此，等分成四堆后，把剩下的一个扔掉，自己拿走一堆；而最后一只猴子来，也将剩下的栗子等分成了四堆后，扔掉多余的一个，取走一堆。那么这堆栗子原来至少有________个。 (答案253)======================================================第二十五季：一天Tom外出游玩，发现了一片果园，它一共摘了300个果子，然后要走1000米才能到家，如果它每次最多只能带100个果子回去，并且它每走10米就要吃掉一个果子，那么，它最多可以把多少个果子带回家？（提示：回去的时候可以把果子暂存在路上某一点）解析：题目类型：统筹规划问题难度等级：★★★★★答案：54个解：分析： 首先，Tom背着100个果子直接回家，会怎样？在到家的时候，Tom刚好吃完最后一个果子，其他200个果子白白浪费了！折返，求最值问题，我们需要设计出一个最优方案．300/3=100．Tom必然要折返3次来拿果子．设计方案：我们为Tom想到一个绝妙的主意：在半路上储存一部分果子．Tom的路线：这两个储存点A与B就是Tom放置果子的地方，怎么选呢？最好的情况是：(一)当Jerry第①③④次回去时，都能在这里拿到足够到果园的果子．(二)当Jerry第②④次到达储存点时，都能将之前路上消耗的果子补充好(即身上还有100个)(三) B点同上．XA的距离为10x，路上消耗x个果子．AB的距离为10y，路上消耗y个果子．Tom第一次到达A点，还有（100-x）个果子，回去又要消耗x个，只能留下(100-2x)个果子．这(100-2x)个果子将为Tom补充②③④次路过时的消耗和需求，每次都是x个，则100-2x=3x,x=20．即XA=20米，Tom将在 留下60个果子．那么当Tom②次到达 时，身上又有了100个果子，到⑤时还有100-y个，从⑤回③需要y个，可在B 留下(100-2y)个，用于⑥时补充从④到⑥的消耗y个．则：100-2y=y．即y=100/3至此，Tom到家时所剩的果子为：300-4x-2y-100=160/3 ．因为Tom每走10米才吃一个果子，走到家时最后一个10米才走了 ，所以还没有吃果子，应该还剩下54个果子．======================================================第二十六季：Tom听说人间在举办华杯赛，就学着出道难题难为一下聪明的Jerry。Tom从抽屉里拿出一盒纸牌，已知这盒纸牌共有15张，每张纸牌上都画有3个不同的图案，任意2张上的图案不完全相同；任意6张中，一定有2张，它们上面有相同的图案。让Jerry算一下，这15张纸牌上最多有多少个不同的图案？解析：题目类型：组合数学——构造与论证难度等级：★★★★★答案：35解析：先挑出x张纸牌，使得：<font color="#、其上有3x个不同的图案；<font color="#、再添加任意一张，其中一定有2张有共同的图案。根据题意，设：x&6这x张纸牌上出现3x个不同的图案, 如果15张纸牌上有y个不同的图案, 那么, 还有y-3x个图案出现在其它纸牌上。余下的15-x张纸牌的每一张上至少有一个是原来3x个图案中的, 因此, 每张上至多有2个是y-3x中的,所以, 新的y-3x个图案, 当y-3x为偶数时至少出现在（y-3x）/2张纸牌上;
当y-3x为奇数时至少出现在（y-3x+1）/2张卡片上. 于是,当（y-3x）/2为偶数时,15&=x+(（y-3x）/2)，y=&30+x&35
当（y-3x）/2为奇数时,15&=x+(（y-3x+1）/2)，y=&30+x-1&34如下例子说明, y的最大值是35. 用数字代表图案, 不同的数字代表不同的图案；相同的数字代表相同的图案。(1,6,11), (2,7,12), (3,8,13), (4,9,14), (5,10,15),(1,16,17), (2,18,19), (3,20,21), (4,22,23), (5,24,25), (1,26,27), (2,28,29), (3,30,31), (4,32,33), (5,34,35).由抽屉原则, 任意6张纸牌, 必有一列中的两张, 它们有一个共同的图案.======================================================第二十七季：一天Tom找来四只老鼠（包括Jerry）做游戏，Tom给每个老鼠发了一个数字（有可能是相同的，数字在0~9之间）牌，聪明的Jerry发现：四个老鼠不同的排队顺序可以组成不同的四位数a，假设这个四位数的和表示为S(a)，可以满足S(a)+S（2a）=S（4a）,你猜猜看，这个四位数a最小、最大分别是多少？题目类型：数论、最值问题、弃九法难度等级：★★★★★答案：最大是7200，最小是1017解析：设a的数字和为m，2x的数字和2m-9x(假定进了x位)，4a的数字和4m-9y(假定进了y位)，则：m+2m-9x＝4m-9y，m＝9(y-x)，m是9的倍数。(1)求a的最小值，数字和最小是9，此时m＝9，y-x＝1。x＝1时y＝2，x＝2时y＝3。最小1008，数字和9，2016，数字和9，4032，数字和9，不满足；次小1017，数字和9，2034，数字和9，4068，数字和18，满足题意。(2)求a的最大值①a的数字和m＝9，y－x＝1a)a＝9000，2a＝18000，4a＝36000，数字和9+9≠9，不满足；b)a＝8100，2a＝16200，4a＝32400，数字和9+9≠9，不满足，类似不满足；c)a＝7200，2a＝14400，4a＝28800，数字和9+9＝16，满足。②a的数字和m＝18，y－x＝2a)y＝2、x＝0：18÷4＝4.5，至少有一个数字大于等于5，5的2倍进位，2a一定进位，与x＝0不进位矛盾；b)y＝3、x＝1：4a的数字和4m－9y＝4×18－9×3＝45，而4a若是四位数，四位数的数字和最大是36，若是五位数，万位最大是3，数字和最大是3+9×4＝39，小于45，矛盾；c)y＞3：y≥4，x＝y－2≥2，2a的数字和2m－9x≤2×18－9×2＝0，2a的数字和不可能≤0，无解；③a的数字和m＝27，y－x＝3<font color="#a的数字和4m－9y＝4×27－9y＝108－9y，2a最多4个都进位，也就是x最大＝4，x≤4，所以y≤7，108－9y≥108－9×7＝45，根据上面知道4a的数字和最大是39，矛盾；综上，a的最大值是7200。============================================================================= 第二十八季：Tom买了一个天平秤，该秤配了10个整数克的砝码，这些砝码的重量有可能会相同，已知这个秤可以称出1，2，3，…，200的所有整数克的物品来；Tom想难为一下Jerry，让Jerry算算这10个砝码中第二重的砝码最少是多少克？解析：题目类型：进位制、最值问题、抽屉原理难度等级：★★★★★答案：18解：①10个砝码的总重量很显然应该是200克。②其中最重的砝码应该最大是100克。③最小的砝码很显然必须是1克．下一个按道理还可以是1克，这样就可以称出2克物品，所以第二小的砝码最大应该是2克。④第三小的砝码．可以确定是4克。⑤同理第四小的砝码，应该是8克。⑥依次类推，其他砝码依次为16，32，64，96……⑦9个砝码总和应该是100克，要使得最重的尽量少（其实是10个中第二重的），那么后面的就不需要那么大了。⑧假设前面6个砝码为1、2、4、8、16、32…那么显然最重的应该为32，不一定是最少的。⑨假设前面5个砝码为1、2、4、8、16，那么还有4个总和为100-31=69，根据抽屉原理，可分配为17、17、17、18，最重的为18，这是最少的。⑩假设前面4个砝码为1、2、4、8，那么还有5个总和为100-15=85，平均为85÷5=17，又第五个最大是16，所以最重的至少为18，实质和上面一类是一样的。综上，10个砝码中第二重的砝码最少18克，此时的砝码为：1、2、4、8、16、17、17、17、18、100。故答案为18克。=============================================================================第二十九季：一天，Tom、Jerry和Tuffy在一起做游戏，起始：它们每个手里拿了10个果子；游戏过程：每个都要把自己的果子平均分配给喜欢的那位。相互喜欢关系如下图（箭头表示喜欢）：第一轮过后，会得到如下结果：这样一直分下去，直到它们手里的果子数量不再变化就停止。问：最终它们三个手里各有多少个果子？解析：题目类型：游戏问题难度等级：★★★答案：老大和老二的盘子里各有12个果子，而老三的盘子里有6个果子。这时候无论游戏怎么进行下去，盘子里的豌豆数量都不会再变化。PS:这道题本身难度不大，只要按照游戏规则进行下去，结果自然就出来了。&& 这道题的神奇之处在于产生了世界上最伟大的互联网公司——Google。Goolge的创始人就利用这个游戏的数学原理，发明了网页的排序方法。
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抢楼+坐等答案。。
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发表于： 13:02:48
回复#3楼jeokeo的帖子我不会啊！！似乎根本抓不到！！！只能坐地上了！
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发表于： 18:32:20
我是 &天下风云&&，& & & 我为自己带盐！（ctrl+a看中间)（呵呵，我知道你被耍了）
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发表于： 20:15:26
提示一下，必须把老鼠堵在最下面两个角上，猫才有可能抓住老鼠。
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发表于： 20:23:22
原来如此！！我算算。。
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发表于： 20:32:58
楼主我恨死你了。。。现在我满脑子都是老鼠。。。
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