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《第2章 数列》2013年单元测试卷（3）
&&&&来源：河北博才网&&阅读：229次
一、选择题（共13小题，每小题3分，满分39分）
1．数列…，的前n项和为（　　）A．2n+2-2-n-1B．2n+2-2-n-3C．2n+2+2-n-1D．2n+2-2-n-1-1
2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a3+a7=10，则S9=（　　）A．45B．50C．55D．90
3．已知数列{an}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（　　）A．30B．35C．36D．24
4．等差数列an中，若a1，a2011为方程x2-10x+16=0的两根，则a2+a1006+a2010等于（　　）A．10B．15C．20D．40
5．数列{an}，a1=1，an+an+1=2n，则数列{an+1-an}的前10项和T10=（　　）A．0B．5C．10D．20
6．在等比数列an，3=12，S3=32，则首项a1=（　　）A．B．-1C．或2D．
7．若等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+1+a，则常数a的值等于（　　）A．B．-1C．D．-3
8．数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=nxa2n，则对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，Tn＜（　　）A．1B．2C．3D．4
9．若数列{an}的前n项和Sn=3n+1-a，那么要使{an}为等比数列，实数a的值为（　　）A．3B．0C．-3D．不存在
10．等差数列{an}中，a1=2，公差d≠0，且a1、a3、a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比为（　　）A．2B．C．D．4
11．数列{an}中，a2=2，a6=0且数列{n+1}是等差数列，则a4=（　　）A．B．C．D．
12．已知等差数列{an}中a2=2，则其前3项的积T3的取值范围是（　　）A．（-∞，4]B．（-∞，8]C．[4，+∞）D．[8，+∞）
13．公差不为零的等差数列{an}中，2a3-a72+2a11=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7则b6b8=（　　）A．2B．4C．8D．16
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
14．已知1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则1+a2b2=．
15．已知数列{an}满足：1=1&，&&&a2=12，且an+2=n+12an+an+1（n∈N*），则如图中前n行所有数的和Sn=2n+2-2n-4．
16．已知数列{an}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a1=4，则d的取值集合为{1，2，4}；（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为2m+1-1．
17．在数列{xn}中，已知x1=x2=1，xn+2=xn+1-xn（n∈N），求得x100=-1．
18．已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a、b∈R满足：f（a•b）=af（b）+bf（a），f（2）=2，an=n)n（n∈N*），bn=n)2n（n∈N*），考察下列结论，①f（0）=f（1）；②f（x）为偶函数；③数列{bn}为等差数列；④数列{an}为等比数列，其中正确的是①③④．（填序号）
19．数列an满足1=1，an+1=an1+n•an，则a36=．
20．已知数列{an}中，a1=2，a2=1，n=1an+1+1an-1（n≥2，n∈N），其通项公式an=．
三、解答题（共15小题，满分194分）
21．已?数列{an}中，a1=0，an+1=n，（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{n-1}为等差数列；（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，证明Sn＜n-ln（n+1）；（Ⅲ）设bn=an（）n，证明：对任意的正整数n、m均有|bn-bm|＜．
22．已知公比q为正数的等比数列an的前n项和为Sn，且5s2=4s4．（Ⅰ）求q的值．（Ⅱ）若bn=q+sn-1，（n≥2，n∈N*）且数列bn也为等比数列，求数列（2n-1）bn的前n项和Tn．
23．已知数列{an}满足1=12，n+1=(n+1)(2an-n)an+4n(n∈N+)（1）求a2，a3，a4；（2）是否存在实数t，使得数列n+tnan+n是公差为-1的等差数列，若存在求出t的值，否则，请说明理由；（3）记n+22•an+2(n∈N+)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：n＞-23+112．
24．已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3•a4=117，a2+a5=22．（1）求数列an的通项公式an；（2）若数列bn是等差数列，且n=Snn+c，求非零常数c；（3）若（2）中的bn的前n项和为Tn，求证：n-3bn-1＞64bn(n+9)bn+1．
25．已知数列{an}是首项、公比都为q（q＞0且q≠1）的等比数列，bn=anlog4an（n∈N*）．（1）当q=5时，求数列{bn}的前n项和Sn；（2）当q=时，若bn＜bn+1，求n最小值．
26．数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；（2）求{an}的通项公式．
27．数列an中，a1=-3，an=2an-1+2n+3（n≥2且n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）设n=an+32n，证明{bn }是等差数列；（3）求数列{an}的前n项和Sn．
28．已知函数f（x）=（x-1）2，g（x）=k（x-1），函数f（x）-g（x）其中一个零点为5，数列{an}满足1=k2，且（an+1-an）g（an）+f（an）=0．（1）求数列{an}通项公式；（2）求S{an}的最小值（用含有n的代数式表示）；（3）设bn=3f（an）-g（an+1），试探究数列{bn}是否存在最大项和最小项？若存在求出最大项和最小项，若不存在，说明理由．
29．设数列&{an}的前n项和为Sn，且&Sn=2an-1（n∈N*）．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列&{nan}的前n项和为Tn，对任意&n∈N*，比较n2与&Sn的大小．
30．已知数列{an}满足1=1，a2=12，且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1]（n=1，2，3，…）（1）求a3，a4，a5，a6的值及数列{an}的通项公式；（2）令bn=a2n-1•a2n，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证Tn＜3．
31．已知数列{an}的前n项和为Sn，且（a-1）Sn=a（an-1）（a＞0）（n∈N*）．（Ⅰ）求证数列{an}是等比数列，并求an；（Ⅱ）已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x}，问是否存在实数a，使得对于任意的n∈N*都有Sn∈A？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
32．已知数列{an}满足：1=1，a2=12，且.n+2=an+12an+an+1(n∈N*)．（I）求证：数列nan+1}为等差数列；（II）求数列{an}的通项公式；（III）求下表中前n行所有数的和Sn．
33．已知数列an的各项为正数，前n和为Sn，且n=an(an+1)2，n∈N×．（1）求证：数列an是等差数列；（2）设n=12Sn，Tn=b1+b2+…+bn，求Tn．
34．已知等差数列{an}满足：a1=8，a5=0．数列{bn}的前n项和为n=2n-1-12(n∈N*)（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）令n=2an，试问：是否存在正整数n，使不等式bncn+1＞bn+cn成立？若存在，求出相应n的值；若不存在，请说明理由．
35．已知数列{an}中，a1=1，an=an-1+n（n≥2，n∈N*）．且bn=nn+λ为等比数列，（Ⅰ）求实数λ及数列{bn}、{an}的通项公式；（Ⅱ）若Sn为{an}的前n项和，求Sn；（Ⅲ）令cn=n(bn-1)2，数列{cn}前n项和为Tn．求证：对任意n∈N*，都有Tn＜3．--博才网
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已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n∈N+，且n≥2），a4=81．（1）求数列的前三项a1，a2，a3；（2）数列{an+p2n}为等差数列，求实数p的值；（3）求数列{an}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）由an=2an-1+2n-1（n∈N+，且n≥2）得a4=2a3+24-1=81，得a3=33同理，得a2=13，a1=5…（4分）（2）对于n∈N，且n≥2，∵an+p2n-an-1+p2n-1=an-2an-1-p2n=2n-1-p2n=1-1+p2n又数列{an+p2n}为等差数列，∴an+p2n-an-1+p2n-1是与n无关的常数，∴1+p=0，p=-1…（8分）（3）由（2）知，等差数列{an+p2n}的公差为1，∴an-12n=a1-12+(n-1)=n+1，得an=(n+1)o2n+1．…（9分）∴Sn=a1+a2+…+an=2×2+3×22+4×23+…+（n+1）×2n+n，记Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n，则有2Tn=+2×22+3×23+4×24+…+n×2n+(n+1)×2n+1，两式相减，得&Tn=n×2n+1，故&&Sn=n×2n+1+n=n(2n+1+1)．…（13分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n∈N+，且n≥2），a4=81．（1）求数列的..”主要考查你对&&等差数列的定义及性质，数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等差数列的定义及性质数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
发现相似题
与“已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n∈N+，且n≥2），a4=81．（1）求数列的..”考查相似的试题有：
835027782690459271765234527969761824已知：数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n，（n∈N*）．（Ⅰ）求：a1，a2的值；（Ⅱ）求：数列{an}的通项公式；（Ⅲ）若数列{bn}的前n项和为Tn，且满足bn=nan，（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．★★★☆☆推荐试卷&
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