质数 _百度百科
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素数一般指质数
质数（prime number）又称素数，有无限个。一个大于1的，除了1和它本身外，不能整除以其他自然数（质数），换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为。根据，每一个比1大的，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积；而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。只有1和它本身两个的自然数，叫质数（或称素数）。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因数只有1和它本身2这两个，所以2就是质数。与之相对立的是：“除了1和它本身两个外，还有其它的数，叫合数。”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很显然，4的因数除了1和它本身4这两个因数以外，还有因数2，所以4是合数。）100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，在100内共有25个质数。外文名prime number例&&&&子2、3、5、7讨论范围自然数集
质数的个数是无穷的。的《》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，N+1是素数或者不是素数。
如果N+1为，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。
如果N+1为，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数中。
因此无论该数是素数还是，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。
其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用证明了全部素数的倒数之和是的，恩斯特·库默的证明更为简洁，HillelFurstenberg则用加以证明。
对于一定范围内的素数数目的计算
尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100，000以下有多少个素数？”，“一个随机的100位数多大可能是素数？”。可以回答此问题。在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间(a, 2a]中）必存在至少一个素数。
存在任意长度的素数等差数列。（格林和，2004年[1]）
一个偶数可以写成两个数字之和，其中每一个数字都最多祇有9个质因数。（布朗，1920年）
一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中的因子个数有上界。（瑞尼，1948年）
一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为 (1 + 5) (，1968年)
一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为 (1 + 2) (中国)
[2]：是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和？
：孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数？
内是否存在无穷多的素数？
是否有无穷多个的？
在n2与（n+1）2之间是否每隔n就有一个素数？
是否存在无穷个形式如X2+1素数？
[2]质数具有许多独特的性质：
（1）质数p的约数只有两个：1和p。
（2）初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。
（3）质数的个数是无限的。
（4）质数的个数公式 是不减函数。
（5）若n为正整数，在 到 之间至少有一个质数。
（6）若n为大于或等于2的正整数，在n到 之间至少有一个质数。
（7）若质数p为不超过n( )的最大质数，则 。对正整数n，如果用小于或等于 的所有质数去除，均无法整除，则n为质数。在1742年给的信中提出了以下：任一大于2的都可写成三个质数之和。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。在回信中也提出另一版本，即任一大于2的偶数想陈述为的版本。把命题&任一充分大的都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和&记作&a+b&。1966年证明了&1+2&成立，即&任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个的和&。　今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。
从关于偶数的猜想，可推出任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为“”或“关于的哥德巴赫猜想”。
若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。若哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时数学家已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”，认为哥德巴赫猜想已基本解决。猜想是关于黎曼ζζ(s)的零点分布的猜想，由数学家（）于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题。其中第8问题中便有。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ紧密相关。黎曼猜想提出：黎曼ζζ(s)非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“”（critical line））上。t为一实数，而i为的基本单位。至今尚无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。
在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语，猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。
黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而和中的很多问题都依赖于。在中的广义更是影响深远。若能证明，则可带动许多问题的解决。1849年，那克提出孪生质数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生质数。猜想中的“”是指一对质数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10,016,957和10,016,959等等都是。
例如3和5 ，5和7，11和13，…，016959等等都是孪生质数。孪生质数有一个十分精确的普遍公式，是根据一个定理：“若自然数Q与Q+2都不能被不大于根号Q+2的任何质数整除，则Q与Q+2是一对质数，称为相差2的孪生质数。这一句话可以用公式表达：Q=p1m1+a1=p2m2+a2=....=pkmk+ak其中p1，p2，...，pk表示顺序质数2，3，5，....。an≠0，an≠pn-2。若Q&P(k+1)的平方减2，则Q与Q+2是一对孪生质数。 所以，只要按着公式计算，理论上有无数个孪生质数。
英国数学家戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德曾提出一个“强孪生素数猜想”。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对，而且还给出其渐近分布形式。2013年5月，华人数学家在孪生素数研究方面所取得的突破性进展，他证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。在最新研究中，张益唐在不依赖未经证明推论的前提下，发现存在无穷多个之差小于7000万的素数对，从而在这个重要问题的道路上前进了一大步。17世纪还有位法国数学家叫，他曾经做过一个猜想：当2p-1 中的p是质数时，2p-1是质数。他验算出：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2p-1是质数。 p=2，3，5，7时，2p-1都是素数，但p=11时，所得2,047=23×89却不是素数。
梅森去世250年后，美国数学家证明，267-1=193,707,721×761,838,257,287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。
迄今为止，人类仅发现48个梅森质数。中央密苏里大学在日协调世界时间23:30:26发现的质数 ，为迄今发现的最大质数，同时是一个梅森质数。由于这种质数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝”。值得一提的是，中国数学家和语言学家根据已知的梅森质数及其排列，巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年正式提出了梅森素质分布的猜想，这一重要猜想被国际上称为“”。[3]质数被利用在上，所谓的就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。
在的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数最好设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。
在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的质数次数的使用也得到了证明。实验表明，质数次数地使用杀虫剂是最合理的：都是使用在害虫繁殖的高潮期，而且害虫很难产生抗药性。
以质数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截。[2]
多数生物的生命周期也是质数（单位为年），这样可以最大程度地减少碰见天敌的机会。
相关数学家
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