已知函数f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）（I）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（II）当a≤12时，讨论f（x）的单调性．
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（I）当a=-1时，f（x）=lnx+x+2x-1∴f′(x)=1x+1-2x2∴f′（2）=1∵f（2）=2+ln2∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-2-ln2=x-2，即y=x+ln2；（II）f′(x)=1x-a-1-ax2=(x-1)[ax-(1-a)]x2当0＜a≤12时，令f′（x）＞0，可得x＜1或x＞1-aa；令f′（x）＜0，可得1＜x＜1-aa；当a=0时，令f′（x）＞0，可得x＜1；令f′（x）＜0，可得x＞1；当a＜0时，令f′（x）＞0，可得1-aa＜x＜1；令f′（x）＜0，可得x＜1-aa或x＞1，综上，当0＜a≤12时，函数的单调增区间为（-∞，1），（1-aa，+∞）；单调减区间为（1，1-aa）；当a=0时，函数的单调增区间为（-∞，1）；单调减区间为（1，+∞）；当a＜0时，单调增区间为（1-aa，1）；单调减区间为（-∞，1-aa），（1，+∞）
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若函数f（x）=acosx+sinx在x=π4处取得极值，则a的值等于（　　）A．-3B．3C．-1D．1
由题意，f′（x）=-asinx+cosx∵函数f（x）=acosx+sinx在x=π4处取得极值，∴f′（ π4）=0，∴-acos π4+sin π4=0∴a=1∴0＜x＜π4时，f′（x）＞0，π2＞x＞π4时，f′（x）＜0，故a=1满足题意，故选D．当前位置：
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已知函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1(a∈R)．（Ⅰ）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤12时，讨论f（x）的单调性．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=lnx+x+2x-1，x∈（0，+∞），所以f′（x）=1x+1-2x2，因此，f′（2）=1，即曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，又f（2）=ln2+2，y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-（ln2+2）=x-2，所以曲线，即x-y+ln2=0；（Ⅱ）因为f(x)=lnx-ax+1-ax-1，所以f′(x)=1x-a+a-1x2=-ax2-x+1-ax2，x∈（0，+∞），令g（x）=ax2-x+1-a，x∈（0，+∞），（1）当a=0时，g（x）=-x+1，x∈（0，+∞），所以，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；（2）当a≠0时，由g（x）=0，即ax2-x+1-a=0，解得x1=1，x2=1a-1．①当a=12时，x1=x2，g（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当0＜a＜12时，x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，x∈（1，1a-1）时，g（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，x∈（1a-1，+∞）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；③当a＜0时，由于1a-1＜0，x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0函数f（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，g（x）＜0此时函数f′（x）＞0函数f（x）单调递增．综上所述：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；函数f（x）在（1，+∞）上单调递增当a=12时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减当0＜a＜12时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；函数f（x）在（1，1a-1）上单调递增；函数f（x）在（1a-1，+∞）上单调递减．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1(a∈R)．（Ⅰ）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的极值与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
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导数f'=1/x+2x
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