考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）设直线AB的方程为y=x+m，m≠0，与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出M的坐标，假设直线OM与AB能垂直，由于直线AB的斜率为1，可得直线OM的斜率为-1，即可得出结论；（2）确定OA•OB=0，可得xAxB+yAyB=0，即xAxB+（xA+m）（xB+m）=0，整理得m2（a2+b2）=2a2b2，结合N点在椭圆上，即可求椭圆的离心率．
解：（1）∵斜率为1的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，∴可以设直线AB的方程为y=x+m，m≠0．∵x2a2+y2b2=1y=x+m，∴b2x2+a2（x+m）2-a2b2=0，∴（a2+b2）x2+2ma2x+m2a2-a2b2=0．①…（1分）∵直线AB与椭圆相交于A，B两点，∴△=（2ma2）2-4（a2+b2）（m2a2-a2b2）=4[m2a4-（m2a4+m2a2b2-a4b2-a2b4）]=4[a4b2+a2b4-m2a2b2]=4a2b2（a2+b2-m2）＞0．②…（2分）且xA+xB=-2ma2a2+b2，xAxB=m2a2-a2b2a2+b2．③…（3分）∵M为线段AB的中点，∴xM=xA+xB2=-ma2a2+b2，∴yM=xM+m=-ma2a2+b2+m=mb2a2+b2，∴M(-ma2a2+b2，mb2a2+b2)．…（4分）假设直线OM与AB能垂直．∵直线AB的斜率为1，∴直线OM的斜率为-1，∴mb2a2+b2=-(-ma2a2+b2)，∴a=b．…（5分）∵在椭圆方程x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)中，a＞b，∴假设不正确，在椭圆中直线OM与AB不能垂直．…（6分）（2）∵M为ON的中点，M为AB的中点，∴四边形OANB为平行四边形．∵∠OAN=π2，∴四边形OANB为矩形，∴∠AOB=π2，…（7分）∴OA•OB=0，∴xAxB+yAyB=0，∴xAxB+（xA+m）（xB+m）=0，∴2xAxB+m(xA+xB)+m2=0，∴2m2a2-a2b2a2+b2+m(-2ma2a2+b2)+m2=0，整理得m2（a2+b2）=2a2b2．…（8分）∵N点在椭圆上，∴b2(-2ma2)2(a2+b2)2+a2(2mb2)2(a2+b2)2=a2b2，∴4m2=a2+b2．…（9分）此时a2+b2-m2=3m2＞0，满足△＞0，消去m2得（a2+b2）2=8a2b2，即a4+b4-6a2b2=0．…（10分）设椭圆的离心率为e，则c=ae，∴b2=a2-c2=a2（1-e2），∴a4+a4（1-e2）2-6a2a2（1-e2）=0，∴e4+4e2-4=0，∴e2=-2±22，∵0＜e＜1，∴e=22-2．…（12分）
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，此类问题常用直线方程和圆锥曲线方程联立，利用一元二次方程的根与系数关系求解，考查了学生的计算能力，属难题．
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科目：高中数学
已知点M（-5，0），F（1，0），点K满足MK=2KF，P是平面内一动点，且满足|PF|•|KF|=PK•FK，（Ⅰ）求P点的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过Q（4，0）的直线l交C于A点（A在第一象限）．问：是否存在垂直于x轴的直线l′，使其被以AQ为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出直线l′的方程；若不存在，请说明理由．
科目：高中数学
画出函数y=-x2+2x+3的图象，并指出该函数的单调区间．
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已知椭圆C的焦点在x轴上，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点．若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=23．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求点R（0，1）与椭圆C上的点N之间的最大距离；（Ⅲ）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P（-3，0），交y轴于点M．若MQ=2QP，求直线l的斜率．
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讨论函数f（x）=ax1-x2（-1＜x＜1，a∈R）的单调性．
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已知圆心为F1的圆的方程为（x+2）2+y2=32，F2（2，0），C是圆F1上的动点，F2C的垂直平分线交F1C于M．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设N（0，2），过点P（-1，-2）作直线l，交M的轨迹于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2为定值．
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已知a=（cosx，12），b=（3sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=a•b．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）用五点作图法作出f（x）在一个周期内的图象；（Ⅲ）求f（x）&在[0，π2]上的最大值和最小值．
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某工厂生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于7.5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：A777.599.5B6x8.58.5y由于表格被污损，数据x，y看不清，统计员只记得x＜y，且A，B两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等．（1）求表格中x与y的值；（2）从被检测的5件B种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．
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已知关于x的二次函数y=a（x+2-a2-2a）2在x=1处取得最大值，则a=．
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（高二数学）21. 已知椭圆 的长轴长是短轴长的两倍，焦距为 .（Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）设不过原点 的直线 与椭圆 交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次满足 ，求△OMN面积的取值范围.
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ID: 215208
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题型: 单选题
已知点P是椭圆16x2+25y2=400上一点，且在x轴上方，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF2的斜率为，则△PF1F2的面积是（　　）
本题已知椭圆上一点与右焦点连线的斜率，求该点与椭圆两个焦点构成三角形的面积，着重考查了椭圆的标准方程与简单性质、直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题．将椭圆方程化成标准形式，可得它的焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0）．再设点P（m，n），结合题意建立关于m、n的方程组，解之得m=，n=2，最后用三角形面积公式可算出△PF1F2的面积．
解：椭圆16x2+25y2=400化成标准形式：∴a2=25，b2=16，可得c==3所以椭圆的焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0）设位于椭圆x轴上方弧上的点P（m，n），则，解之得m=，n=2（舍负）∴△PF1F2的面积S=×F1F2×2=6故选C
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＞＞＞过点M（-2，0）的直线L与椭圆x2+2y2=2交于AB两点，线段AB中点为N，..
过点M（-2，0）的直线L与椭圆x2+2y2=2交于AB两点，线段AB中点为N，设直线L的斜率为k1 (k1≠0),直线ON的斜率为k2，则k1k2的值为（&&&）A．2B．-2C．1/2D．-1/2
题型：单选题难度：偏易来源：不详
D设则，两式相减得：又故选D
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据魔方格专家权威分析，试题“过点M（-2，0）的直线L与椭圆x2+2y2=2交于AB两点，线段AB中点为N，..”主要考查你对&&椭圆的定义&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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椭圆的定义
椭圆的第一定义：
平面内与两个定点为F1，F2的距离的和等于常数（大于）的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。特别地，当常数等于时，轨迹是线段F1F2，当常数小于时，无轨迹。
椭圆的第二定义：
平面内到定点F的距离和到定直线l的距离之比等于常数e（0＜e＜1）的点的轨迹，叫做椭圆，定点F叫椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，e叫椭圆的离心率。椭圆的定义应该包含几个要素：
利用椭圆的定义解题：
当题目中出现一点在椭圆上的条件时，注意使用定义
发现相似题
与“过点M（-2，0）的直线L与椭圆x2+2y2=2交于AB两点，线段AB中点为N，..”考查相似的试题有：
831713776610752662793077573868773614当前位置：
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已知椭圆G：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为63，右焦点为（22，0）．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）∵椭圆G：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为63，右焦点为（22，0），∴ca=63c=22，解得a=23，∴b=12-8=2，∴椭圆G的方程为x212+y24=1．（Ⅱ）设l：y=x+b，代入x212+y24=1，得4x2+6bx+3b2-12=0，根据韦达定理xA+xB=-3b2，xAoxB=3b2-124，∴yA+yB=b2，设M为AB的中点，则M（-3b4，b4），AB的中垂线的斜率k=-1，∴AB的中垂线：x+y+b2=0，将P（-3，2）代入，得b=2，∴l：x-y+2=0，根据弦长公式可得AB=32，d=32，∴S△PAB=12×32×32=92．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知椭圆G：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为63，右焦点为（22，0）．斜..”主要考查你对&&圆锥曲线综合&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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圆锥曲线综合
圆锥曲线的综合问题：
1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法： （1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部； （2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。 2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。直线与圆锥曲线的位置关系：
(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ&0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ&0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．
直线与圆锥曲线相交的弦长公式：
若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．&
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与“已知椭圆G：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为63，右焦点为（22，0）．斜..”考查相似的试题有：
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