剪力图和弯矩图 梁的剪力图和弯矩图 剪力图与弯矩图 弯矩和剪力 剪力和弯矩计算 剪..
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材料力学-5-弯矩图与剪力图
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…材料力学…
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／２／／／／／／８／／／／
4.1 试求题4.1图示各梁中截面1—1,2—2,3—3上的剪力和弯矩，这些截面无限接近于截面C或截面D。设P, q , a 均为已知。
解：& 如题4.1（a）所示：
1—1截面&&&&&&& = 0,&&&&
2—2截面&&&& = －P，&&& = Pa
3—3截面&&&&&&& = 0,&&&&
如图4.1（b）图所示：
1—1截面&&&&&&& = －qa,&&&& = －
2—2截面&&&& = －qa,&&&& = －
3—3截面&&&&&&& = 0,&&&&
如图4.1（c）图所示：
1—1截面&&&&&&& = 2qa,&&&& = －－= －
2—2截面&&&&&&& = 2qa,&&&& = －－＋= －
如图4.1（d）图所示：
= 100 N（）& ）
1—1截面&&&&&&& = －100 N,&&&& = －20 N·m
2—2截面&&&& = －100 N,&&&& = －40 N·m
3—3截面&&&&&&& = 200 N,&&&& = －40 N·m
如图4.1（e）图所示：
= 1.33 KN（），& ）
1—1截面&&&&&&& = 1.33 kN ，&&&& = 267 N·m
2—2截面&&&& = －0.667 kN
,&&&& = 333 N·m
如图4.1（f）图所示：
= qa（）& qa（）
1—1截面&&&&&&& = －qa ,&&&& = －
2—2截面&&&& = －qa ,&&&& = －2q
如图4.1（g）图所示：
= qa（） , =2qa（）, =3qa（）
1—1截面&&&&&&& = －qa,&&&& = －2q
2—2截面&&&&&&& = 2qa ,&&&& = －2q
3—3截面&&&&&&& =2qa ,&& = 0
如图4.1（h）图所示：
= a（） , =a（）
1—1截面&&&&&&& = －a,&&&&
2—2截面&&&&&&& = a ,&&&&
4.2 用截面法将梁分成两部分，计算梁截面上的内力时，下列说法是否正确？如不正确应如何改正？
（1）&& 在截面的任一侧，向上的集中力产生正的剪力，向下的集中力产生负的剪力。
（2）&& 在截面的任一侧，顺时针转向的集中力偶产生正弯矩，逆时针的产生负弯矩。
&解：（1），（2）两种说法均不对。正确的说法是：对于某一指定截面来说，在它左侧向上的外力，或右侧向下的外力将产生正的剪力；反之，即产生负的剪力。而弯矩，则无论截面的任一侧向上的外力产生正的弯矩，向下的外力产生负的弯矩，再者对于任一截面，左侧顺时针转向的集中力偶和右侧逆时针转向的集中力偶产生正弯矩，反之为负。
4.3 对题4.3图所示简支梁的m-m截面，如用截面左侧的外力计算剪力和弯矩，则Q和M便与P无关。这样的结论正确吗？何故？
&&&&&&&&&&&&&&&&&&解：不正确，以左侧为例,Q = －P ,M = －Pa ,Q ,M均与有关，而又与q有关，故与q有关。
4.4 设已知题4.4 图所示各梁的载荷P，q ,m和尺寸a , (1) 列出梁的剪力方程和弯矩方程；（2）作剪力图和弯矩图；（3）确定 及 。
解：(方程略)。
4.5& 作题4.5图所示梁的剪力图和弯矩图。梁在CD段的变形称为纯弯曲。试问纯弯曲有何特征？
解： 纯弯曲是指梁横截面上只有弯矩且为常
数，而剪力为零，因此该横截面上只有正应力而
无剪应力。
&&&&&&&&&&&&&&
4.6 作题4.6图所示各梁的剪力图和弯矩图。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
解：(方程略)。
&&&&&&&&&&&&&&&
4.7 作题4.7图所示刚架的弯矩图。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
解：(方程略)。
4.8 桥式起重机大梁上的小车的每个轮子对大梁的压力均为P ，如题4.8图所示，试问
小车在什么位置时梁内的弯矩为最大？其最大弯矩为多少？最大弯矩的作用截面在何
处？设小车的轮距为d ，大梁的跨度为L。
C截面处弯矩为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&由== 0，得 ，即当C轮与A支座距离为时，梁内C截面出的弯矩最大，其值为
D截面处弯矩为
。将代入并化简，得
因为，所以，故梁内最大弯矩为
讨论：D轮与右支座B相距为时与上述情况相同，只是最大弯矩在梁内D截面处。
4.9& 土壤与静水压力往往按线性规律分布。若简支梁在按线性规律分布的载荷作用下（见题4.9（a）图），试作剪力图和弯矩图。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&解： 利用平衡方程求支反力时，三角形分布载荷B点的力矩，等于载荷面积与其形心B点距离的乘积。这样，由得：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&同理，由，可以求得&& 。以A端为坐标原点，在坐标为的截面上，载荷集度为&&&&&&&&&
在这一截面的左侧，分布载荷的合力等于底边长为的三角形的面积。截面上的剪力和弯矩分别为&&&&&&& &&&&&&&&&&&&（1）
&&&&&&& （2）
由式（1）和式（2）作剪力图和弯矩图。组弯矩发生于Q（x）=0的截面上。令（1）式等于零，&& =0&& 可以解得
代入（2）式，求出最大弯矩为
& 在式(2)中令,求出跨度中点截面上的弯矩为：
可见，和相差很小，故可用跨度中点截面上的弯矩代替最大弯矩。
还可以用另一种方法求解。由教材中式（4.3）可知& ， 将上式两端乘以，并积分两次，得：&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
两端为铰支座，弯矩应等于零，故有以下边界条件，即
使（3）、（4）两式满足以上边界条件，得：
代回式（3），（4）便得到剪力方程和弯矩方程。
4.10 作题4.10图示各梁的剪力图和弯矩图。求出最大剪力和最大弯矩。
解： 方程略。
4.11 如题4.11图所示，简支梁上的分布载荷按抛物线规律变化，其方程为& 试作剪力图和弯矩图。
解：&&&&&& &&&&&&&&&&&&
积分得：&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
边界条件：当时，，得 ；
当时，，得 。
剪力方程和弯矩方程如下：
&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&
& 当时，即或时，& 有极值，&& 得 ，&&&&&&
当= 0时&&&&&&& &&&求解得时，有极值，得：
4.12 如题4.12图所示，某简支梁上作用有个间距相等的集中力，其总载荷为，每个载荷等于。梁的跨度为，载荷的间距为。
的简支梁的最大弯矩相比较。设。
答：由对称条件可知：
1）当为偶数时，
2）当为奇数时，
，即为均布载荷。
为偶数时，
为奇数时，
承受均布载荷为的简支梁，梁内最大弯矩在跨度中点处，其值为，由于& 故，在与1）、2）所导出的结果完全相同。　
4.13如题4.13图所示，试根据弯矩，剪力和载荷集度间的导数关系，改正所示Q图和M图中的错误。
解：对Q图和M图中的错误修改的结果，如题4.13图所示。
4.14 试作图2.68中柴油机活塞销的剪力图和弯矩图，设作用于活塞销上的力是均匀分布的。
解：题2.68中柴油机活塞销的剪力图和弯矩图如题4.14图所示。
&&&&&&&&&&&&&&&&&解：题2.68中柴油机活塞销的剪力图和弯矩图如题4.14图所示。
&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&
解：将微段取出研究，微段应平衡，则有
&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&
略去高阶微量，& 则有& 　
4.16 设梁的剪力图如题4.16图所示，试作载荷图和弯矩图。已知梁上没有作用集中力偶。
解： 方程略。
4.17 已知梁的弯矩图如题4.17图所示，试作梁的载荷图和剪力图。
解：方程略。
4.18 如题4.18图所示，设沿刚架斜杆轴线作用的均布载荷。试作刚架的剪力，弯矩和轴力图。
解：支座反力&&&&
斜杆长为4，截面的内力方程为：
&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&
4.19& 如题4.19图所示，桥式起重机的自重为集度为的均布载荷，起吊的重量为P。以此为例，试说明作弯矩图的叠加法。
解：在小变形的情况下，用变形前的位置计算反力和弯矩，它们都与外力成线性关系，所以可以进行叠加。例如，由平衡方程求出反力为：
显然，和中的两项分别是和各自作用时的反力，两者叠加即为和联合作用时的反力。
AC段和BC段的弯矩分别为：AC段&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
以上两式右边的两项，分别是和各自单独作用时的弯矩，两者叠加就是和联合作用时的弯矩。因此，作弯矩图也就可以用叠加法，例如，当时，和各自单独作用下的弯矩图如图，两者叠加，得和共同作用下的弯矩。
同理，作剪力图和轴力图也可以用叠加法。
4.20 如题4.20图所示，用叠加法绘出各梁的弯矩图。
解：方程略
4.21 写出题4.21图所示各曲杆的轴力，剪力和弯矩的方程式，并作弯矩图。设曲杆的轴线皆为圆形。
解：如题4.21（a）所示。
&&&&&&&&&&&&&&&&
如题4.21（b）所示。
&& 如题4.21（c）所示。
&&&&&&&&&&
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