知识点梳理
等差数列的前n项和一般地，我们称{{a}_{1}}{{+a}_{2}}{{+a}_{3}}+…{{+a}_{n}}&为数列的前n项和，用{{S}_{n}}表示，即{{S}_{n}}{{=a}_{1}}{{+a}_{2}}{{+a}_{3}}+…{{+a}_{n}}．等差数列的前n项和公式：{{S}_{n}}={\frac{{{n\(a}_{1}}{{+a}_{n}}\)}{2}}{{=na}_{1}}+{\frac{n\(n-1\)}{2}}d．通项{{a}_{n}}与{{S}_{n}}的关系为：{{a}_{n}}=\left\{{\begin{array}{l}{{{S}_{1}},n=1,}\\{{{S}_{n}}{{-S}_{n-1}},n≥2.}\end{array}}\right
等差数列的通项公式：{{a}_{n}}{{=a}_{1}}+\(n-1\)d．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“（2007广州市水平测试）已知等差数列{an}的前n项和为S...”，相似的试题还有：
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=2，S5=0，则数列{an}的通项公式_____．当n=_____时Sn取得最大值．
已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+24n(n∈N+)(1)求{an}的通项公式；(2)当n为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？
已知{an}是等差数列，a3=4，a6+a9=-10，前n项和为Sn，(1)求通项公式an(2)当n为何值时Sn最大，并求出最大值．The page is temporarily unavailable
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/etc/nginx/nginx.conf.高考复习方案2016届高考数学（文科 全国通用）二轮专题复习 专题十一 数列求和及数列的简单应用 听课手册(数理化网)&&人教版
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数列求和及数列的简单应用 1．[2014?湖南卷改编]已知数列{an}的通项公式为an＝n，设bn＝2an＋(－1)nan，则数列{bn}的前2n项和T2n＝________．2．[2015?湖南卷改编]设数列{an}的前n项和为Sn，若an＋2＝3an，a1＝1，a2＝2，则S2n＝________．3．[2013?江西卷改编]已知an＝2n，bn＝，则数列{bn}的前n项和Tn＝________．4．[2015?山东卷改编]已知数列{an}的通项公式为an＝2n－1，则数列的前n项和为________．5．[2014?新课标全国卷Ⅰ改编]已知数列{an}的通项公式为an＝n＋1，设的前n项和为Sn，则Sn＝________．6．[2015?天津卷改编]已知数列{an}的通项公式为an＝2n－1，{bn}的通项公式为bn＝2n－1，设cn＝anbn，则数列{cn}的前n项和为________．7．[2015?江苏卷]设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列的前10项和为________．8．[2013?江西卷]某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________． 考点一 分组转化法求和题型：选择、填空、解答 分值：5～6分难度：基础热点：分组求和1[2015?福建卷]等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．[听课笔记]
[小结]若一个数列是由两个或多个等差、等比数列的和差组成，可使用等差、等比数列的求和公式进行求和．解决此类问题的关键是观察原数列的结构，巧分组．式题在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.
高考易失分题10具有周期性特征的数列求和问题范例[2012?福建卷]数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2012等于( )A．1006B．2012C．503D．0
失分分析(1)总认为所给数列是等差或等比数列，或能转化为等差、等比数列；(2)没有注意到数列连续四项的和为常数2；(3)不能将求前2012项的和划分成每连续四项为一组再求和．高考预测设数列{an}满足a1＝5，且对任意正整数n，总有(an＋1＋3)(an＋3)＝4an＋4成立，则数列{an}的前2015项的和为________．考点二 错位相减求和题型：解答 分值：6分难度：较难热点：错位相减法2[2015?浙江卷]已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)．(1)求an与bn；(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.[听课笔记]
[小结]如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an?bn}的前n项和时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意：①要善于识别题目类型，特别是等比数列的公比为负数的情形；②在写“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式．式题已知函数y＝f(x)的图像经过坐标原点，且f(x)＝x2－x＋b，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Pn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2，Qn＝a10＋a12＋a14＋…＋a2n＋8，其中n∈N*，试比较Pn与Qn的大小，并说明理由；(3)若数列{bn}满足an＋log3n＝log3bn，求数列{bn}的前n项和Tn.
考点三 裂项相消求和题型：解答 分值：6分难度：较难热点：裂项相消法3已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝(n∈N*)，(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.[听课笔记]
[小结]裂项相消法的本质是变换通项的方法，即通过对数列通项的恒等变换实现问题可解的目的，常见的裂项方式有：＝－；＝(－)；＝(－)；＝(－)等．式题已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝0，S5＝－5.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.
考点四 数列的简单应用题型：选择、填空 分值：5分难度：基础热点：等差数列的实际应用4张先生在2014年底购买了一辆排量为1.6升的小轿车，为积极响应政府发展森林“碳汇”的号召，他在买车的同时出资10000元向中国绿色碳基金购买了一块荒山用于植树造林．科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳．(1)张先生估计第1年(即2015年)会用车12000公里，以后逐年会增加1000公里，若轿车使用10年则共要排放二氧化碳多少吨？(2)若种植的林木第1年生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，其吸收的二氧化碳相当于轿车10年间排出的二氧化碳？[听课笔记]
[小结]数列应用题的解法一般是根据题设条件，建立等差或等比数列模型，然后用数列的知识，看模型中是否涉及an，Sn，n等参量，选用适当的方法进行求解，最后结合实际问题的情景，选择符合实际问题的解．第11讲 数列求和及数列的简单应用■核心知识聚焦1．22n＋1＋n－2 [解析]由已知，得bn＝2n＋(－1)nn，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－5＋…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.2. [解析]因为＝3，所以数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列；数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列．所以a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1，于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2×(1＋3＋…＋3n－1)＝3×(1＋3＋…＋3n－1)＝.3. [解析]易知bn＝＝，∴Tn＝＝＝.4. [解析]＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝×[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝.5．2－ [解析]由已知＝，则Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，两式相减得Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.6．(2n－3)?2n＋3 [解析]易知cn＝(2n－1)?2n－1.设{cn}的前n项和为Sn，则Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，两式相减得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，所以Sn＝(2n－3)?2n＋3.7. [解析]因为an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝，所以＝＝2，故＝2×[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝.8．6 [解析]Sn＝＝2n＋1－2≥100，得n≥6.■考点考向探究考点一 分组转化法求和例1 解：(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝＋ ＝(211－2)＋55 ＝211＋53 ＝2101.变式题 解：(1)设数列{an}的公差为d，则有解得所以an＝－1＋(n－1)×(－3)＝－3n＋2.(2)因为an＋bn＝qn－1，所以bn＝3n－2＋qn－1.当q＝1时，bn＝3n－1，Sn＝＝；当q≠1时，Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)＝＋＝＋.故Sn＝高考易失分题10范例 A [解析]a1＝1×cos＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝3cos＝0，a4＝4cos2π＝4，a5＝5cos＝0，a6＝6cos3π＝－6，a7＝7cos＝0，a8＝8cos＝8.该数列每四项的和为2，3，所以S3＝1006.高考预测 －835 [解析]由a1＝5，(an＋1＋3)(an＋3)＝4an＋4，可得a2＝0，a3＝－，a4＝－5，a5＝5，a6＝0，所以数列{an}是周期数列，周期为4，其中a1＋a2＋a3＋a4＝－，所以数列{an}的前2015项和S2015＝a1＋a2＋…＋a2015＝(a1＋a2＋a3＋a4)×503＋a2013＋a2014＋a2015＝－×503＋a1＋a2＋a3＝－＋5＋0－＝－835.考点二 错位相减求和例2 解：(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．由题意知，当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.当n≥2时，bn＝bn＋1－bn，整理得＝，所以bn＝n(n∈N*)．(2)由(1)知anbn＝n?2n，因此Tn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n?2n，2Tn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n?2n＋1，所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n?2n＋1，故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．变式题 解：(1)∵y＝f(x)的图像过原点，∴f(x)＝x2－x，∴Sn＝n2－n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－(n－1)2＋(n－1)＝2n－2.又a1＝S1＝0满足an＝2n－2，∴数列{an}的通项公式为an＝2n－2(n∈N*)．(2)a1，a4，a7，…，a3n－2组成以0为首项，6为公差的等差数列，∴Pn＝×6＝3n2－3n.a10，a12，a14，…，a2n＋8组成以18为首项，4为公差的等差数列，∴Qn＝18n＋×4＝2n2＋16n.故Pn－Qn＝3n2－3n－2n2－16n＝n2－19n＝n(n－19)，∴对于正整数n，当n≥20时，Pn>Qn；当n＝19时，Pn＝Qn；当n0，所以Tn>Bn.综上所述，当n＝1时，Tn2－.例2(配听课例3使用)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数f(x)＝3x2－2x的图像上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得2Tn≤λ－2015对任意n∈N*都成立的实数λ的取值范围．解：(1)∵点(n，Sn)在函数f(x)＝3x2－2x的图像上，∴Sn＝3n2－2n.当n＝1时，a1＝S1＝3－2＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.又a1＝1也满足an＝6n－5，∴an＝6n－5(n∈N*)．(2)∵bn＝＝＝(－)，∴Tn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝，∴2Tn＜1.又2Tn≤λ－2015对任意n∈N*都成立，∴1≤λ－2015，故λ≥2016.
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＞＞＞已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn=a2n+n-4。..
已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn=a2n+n-4。（1）求证{an}为等差数列；（2）求{an}的通项公式。
题型：解答题难度：中档来源：同步题
解：（1）当n=1时，有2a1=a+1-4，即a21-2a1-3=0，解得a1=3（a1=-1舍去）当n≥2时，有2Sn-1=a2n-1+n-5，又2Sn=a2n+n-4，两式相减得2an=a2n-a2n-1+1，即a2n-2an+1=a2n-1，也即（an-1）2=a2n-1，因此an-1=an-1或an-1=-an-1若an-1=-an-1，则an+an-1=1，而a1=3，所以a2=-2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾，所以an-1=an-1，即an-an-1=1，因此{an}为等差数列（2）由（1）知a1=3，d=1，所以数列{an}的通项公式an=3+（n-1）=n+2，即an=n+2。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn=a2n+n-4。..”主要考查你对&&等差数列的通项公式，等差数列的定义及性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等差数列的通项公式等差数列的定义及性质
等差数列的通项公式:
an=a1+（n-1）d，n∈N*。 an=dn+a1-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d； an=kn+b（k≠）｛an｝为等差数列，反之不能。 对等差数列的通项公式的理解：
&①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a1和d是基本量，只要知道a1和d即可求出等差数列的任一项；②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a1-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，等差数列公式的推导：
等差数列的通项公式可由归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：
&等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
发现相似题
与“已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn=a2n+n-4。..”考查相似的试题有：
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