设质点的运动方程为x=2t^2+t+1,y=4t+1.求任意时刻（t）质点的速度和加速度
客途秋恨191
X方向：速度V=dx/dt=4t+1
加速度a=dx^2/dt^2=4Y方向：速度V=dy/dt=4
加速度a=dy^2/dt^2=0所以,质点的任意时刻的速度和加速度分别为
V=根号下(16t^2+8t+17)
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这是将速度分解在X，Y方向的，你先求出在X，Y上的分速度，就是是对上面两个方程求导数，然后用直角合成。我想应该四（4X+1）的2次方加上4然后在开方。
x=2t^2+t+1速度为位移的一阶导数:v=x'=t'+1加速度为二阶导数:a=x''=v'=1y=4t+1速度为位移的一阶导数:v=x'=4加速度为二阶导数:a=x''=v'=0
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质点运动学物理力学答案
第二章质点运动学思考题2.1 质点位置矢量方向不变，质点是否一定作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量 是否一定方向不变？ 答：质点位矢方向不变，并且位矢的参考点一直在直线上，质点一定做直线运动；质点做直 线运动时，若参考点选在直线上，位置矢量方向就不变，如选在直线外一点，位矢方向一定 变。 2.2 若质点的速度矢量的方
向不变仅大小改变，质点作何种运动？速度矢量的大小不变 而方向改变，作何种运动？ 答：变速直线运动；匀速率曲线运动。 2.3 “瞬时速度就是很短时间内的平均速度” ，这一说法是否正确？如何正确表述瞬时 速度的定义？我们是否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度？? ?r 答：不正确。正确的表述：t 时刻的瞬时速度就是由 t 到 t+Δ t 时间内平均速度 ,当Δ ?t t→0 时的极限。瞬时速度很难在实验室直接测量，可以测量极小时间Δ t 内的 v 作为 t 时刻瞬时速度的近似值。 2.4 试就质点直线运动论证：加速度与速度同符号时，质点作加速运动；加速度与速度 反号时，作减速运动。是否可能存在这样的直线运动，质点速度逐渐增加但其加速度却在减 小？dvx , ① a x v x 同号时， 因加速或减速是指 v x 的变化， x ? a x dt ， a x ? a x 设 dv dt ， x ? v x ， d vx ? a x dt, dt ? 0 为加速运动； a x v x 异号时， x ? a x dt ， a x ? ? a x 则 ② 设 dv v答： a x ? 由 ， v x ? v x ，则 d v x ? ? a x dt, dt ? 0 ， d v x ? 0 为减速运动；存在：弹簧振子由最 大位移到平衡位置的运动。 2.5 设质点直线运动时瞬时加速度 a x =常数，试证明在任意相等的时间间隔内的平均 加速度相等。dvx ? C ,设 t1 ? t 2 的速度为 v1x ? v2 x ，求其平均加速度，由 dvx ? cdt ，积 dt v2 x t2 v ? v1x ? c ，因 t1和t 2 是任意的， 分，?v x ? v2 x ? v1x ? ? dvx ? ? cdt ? c(t 2 ? t1 ) ，则 2 x v1 x t1 t 2 ? t1 ?v x ? C ，证毕。 则 ax ? ?t答：由 a x ? 2.6 在参考系一定的条件下， 质点运动的初始条件的具体形式是否与计时起点和坐标系 的选择有关？ 答：有关。 2.7 中学时曾学过vt ? v0 ? at ， s ? v 0 t ?1 2 2 at ， vt2 ? v0 ? 2as 2，这几个匀变速直线运动的公式，你能否指出在怎样的初始条件，可得出这几个公式？ 答： vt ? v0 ? at 质点做匀变速直线运动， t ? 0时，vt ? v0s ? v0 t ?1 2 at ，初始时刻位于坐标原点且初速度为 v0 。 2 2 vt2 ? v0 ? 2as , 初始时刻位于坐标原点且初速度为 v0 。2.8 试画出匀变速直线运动公式（2.3.7）和（２.3.9）的 v x ? t 图和 a x ? t 图．vxv0 t 2.9 对于抛体运动，就发射角为 们各代表何种运动 答：0 & a & -π 向下斜抛 α =0 平抛 α =π 平抛 α =π /2 竖直上抛 α =-π /2 竖直下抛axa t 0&α &-π ；α =0；α =±π /2 这几种情况说明它2.10 抛体运动的轨迹如图所示，试在图中用矢量表示它在Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ各点处的 速度和加速度．２.11 质点作上斜抛运动时，在何处速率最大，在何处速率最小？ 答：抛出点和落地点 速度最大； 顶点（最高点）速度最小 2.12 试画出斜抛运动的速率-时间曲线 答： v x ? v0 x Vv y ? v0 y ? gt则 答： v? ?2 v 2 ? v0 x ? (v0 y ? gt) 2 为双曲线。0t2.13 在利用自然坐标研究曲线运动时，vτ 、v、v 三个符号的含义有什么不同？ds dt表示速度在切向上的投影v：速度的大小 ? v ：速度矢量，既有大小又有方向。 2.14 质点沿圆周运动，自 A 点起，从静止开始作加速运动，经 B 点到 C 点；从 C 点开 始作匀速圆周运动，经 D 点直到 E 点；自 E 点以后作减速运动，经 F 点又到 A 点时，速度 变成零。用矢量表示出质点在 A，B，C，D，E，F 各点的法向加速度和切向加速度的方向。2.15 什么是伽利略变换?它所包含的时空观有何特点? 伽利略变换 x’=x-vt y’=y z’=zt’=t 主要特点是认为时间和空间是绝对的，互不关联。习题2.1.1 质点的运动学方程为(1) r ? (3 ? 2t )i ? 5 j ； (2) r ? (2 ? 3t )i ? (4t ? 1) j 求质点的运动轨迹并用图表示。 解: （1） r ? (3 ? 2t )i ? 5 j?????????x ? 3 ? 2t y?5轨迹为 y =5 的直线 （2） r ? (2 ? 3t )i ? (4t ? 1) j???x ? 2 ? 3t y ? 4t ? 1 则轨迹为 4 x ? 3 y ? 5 ? 0轨迹为直线? ? 2.1.2 质点运动学方程为 r ? e ?2t i ? e 2t ? ? 2k (1).求质 j 点轨迹。 （2）求自 t= -1 至 t= 1 质点的位移。 ? ? ? ? ? j 解： （1） r ? e ?2t i ? e 2t ? ? 2k ? xi ? y? ? jk jx ? e ?2tz=2 xy=1 z=2 即为轨迹 z=2 平面上的双曲线?2?y ? e 2t则（2）t=-1 时， x ? e 2 y ? e t=1 时， x ? e?2z=2，y ?e ，z ? 2 ? ? 则位移 ?r ? (e ?2 ? e 2 )i ? (e 2 ? e ?2 ) ? j ? 2? 2.1.3 质点的运动学方程为 r ? 4t i ? (2t ? 3) ? 。 (1)求质点的轨迹。 （2）求自 t=0 至 j2t=1 质点的位移。? ? j 解： （1） r ? 4t 2i ? (2t ? 3) ? ? xi ? y? jx ? 4t 2轨迹为 y ? 2t ? 3 ? （2） t ? 0 时 r1 ? 3 ? j ? ? t ? 1 时 r2 ? 4i ? 5 ? j ? ? ? ? 则 ?r ? r2 ? r1 ? 4i ? 2 ? j 大小 ?r ??x ? ( y ? 3) 2为抛物线?x 2 ? ?y 2 ? 4 2 ? (5 ? 3) 2 ? 2 54 2 5 ? 2 5 ? 0.894 5与 x 轴夹角为 26?36′?方向 cos? ?2.2.1 雷 达 站 于 某 瞬 时 测 得 飞 机 位 置 为 R1 ? 4100 ,?1 ? 33.7 。 0.75S 后 测 得 mR2 ? 4240m , ? 2 ? 29.3? ， 1、 2 均在铅直平面内。 R R 求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向(α角)。 解 ?r ??2 R12 ? R2 ? 2 R1 R2 cos 4.4? ? 338 .3m338.3 ? 451.7m.s ?1 ?t 0.75 ? ?r R R2 飞行方向：由 , sin(? ? ? ) ? 2 sin 4.4,? ? 34.2 ? ? ? ?r sin(? ? ? ) sin 4.4瞬时速率 v ?? ?r?x2 2.2.2 一小圆柱体沿岸抛物线轨道运动,抛物线轨道为 y ? (长度:mm)。第一次观 200察到圆柱体在 x=249mm 处,经过时间 2ms 后圆柱体移到 x=234mm 处。求圆柱体瞬时速度的 近似值。 解：由轨迹方程 y?x2 2492 m m ， x1 ? 249mm ， y1 ? m m , x2 ? 234mm ， 200 2002342 mm 200 ? ?r ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? 39.2mm ? ? ?r 39.2 v? ? m m.s ?1 ? 19.6m m.s ?1 ?t 2 ?x ? 15 ? ?0.38,? ? 247.5? 瞬时速度的方向： cos? ? ? ? ?r 39.2 y2 ?2.2.3 一人在北京音乐厅内听音乐,离演奏者 17 米，另一人在广州听同一演秦的转播,广 州离北京 2320km,收听者离收音机 2 米,问谁先听到声音?声速为 340 米 m/s。电磁波的传播 速率为 30 万 km/s。 解：17m ? 0.05s 340m / s 2320000 m 2 t2 ? ? ? 0.0077s ? 0.0059s ? 0.013s 8 3.0 ? 10 m / s 340 t1 ?在广州的听众先听到。 2.2.5 火车进入弯道时减速,最初列车向北以 90km/h.速率行驶,3min 后以 70km/h 速率向 北偏西 30 度方向行驶.求列车的平均加速度。 v1 ? 90km / h ? 25m / s 解：v2 ? 70km / h ? 19.4m / s ? 2 2 ?v ? v1 ? v2 ? 2v1v2 cos30? ? 12.7m / s?v 12.7 m / s ? ? 0.07 m / s 2 ?t 180 s v ? ? 方向： sin ? ? 2 sin 30 ,? ? 49.8 （正南偏西） ? ?v a?? ? (2) r ? 3ti ? 4.5t 2 ? ? 6t 3 k .求 t=0,1 时的速度和加速度.(写出正交分解式)。 j? ? ? ? dr ? dv dr 2 ,a ? ? 解：由 v ? dt dt dt 2 ? d ? ? ( R cos ti ? R sin t? ? 2tk ) j （1） v ? dt ? ? ?R s i ni ? R c o t? ? 2k t? sj?? ? 2.2.6 (1) r ? R costi ? R sin t? ? 2tk ,R 为正常数.求（1）t=0,π /2 时的速度和加速度。 j?? t = 0 时， v ? R? ? 2k j?? ? ? 时， v ? ?R? ? 2k j 2 ? ? dv ? a? ? ? R cos ti ? R sin t? j dt ? ? t = 0 时， a ? ? Ri ? ? t= 时， a ? ?R? j 2 ? ? dr ? ? ? 3i ? 9t? ? 18t 2 k j （2） v ? dt ? ? t = 0 时， v ? 3i ? ? ? t = 1 时， v ? 3i ? 9 ? ? 18k j ? ? dv ? ? a? ? ?9i ? 36tk dt ? t = 0 时， a ? ?9 ? j ? ? t = 1 时， a ? ?9 ? ? 36k jt= 2.3.1 图中 a、 c 表示质点沿直线运动三种不同情况下的 x―t b、 图。是说明三种运动的特点（即速度，计时起点时质点的位置坐 标，位于坐标原点的时刻） 。 解：a：运动方程 x ? 20 ? 3t ，dx 20 ? ? 3tm / s, t ? 0时，x ? 20m; x ? 0时，t ? s dt 3 3 b ： 运 动 方 程 ， x ? 10 ? t 3 dx 3 30 vx ? ? tm / s, t ? 0时，x ? 10m; x ? 0时，t ? ? s dt 3 3 dx ? tm / s, t ? 0时， x ? 25m; x ? 0时， t ? 25 s c：运动方程 x ? 25 ? t ， v x ? dt 2.3.2 质点直线运动的运动学方程为 x ? a cost ,a 为正常数.求质点速度和加速度并讨论 vx ?运动特点(有无周期性,运动范围,速度变化情况等)。 解：由 x ? a cost ，即运动学方程vx ?具有周期性，周期为 2π ，运动范围： x ? [?a, a] 速度变化情况：[-a,a]范围按正弦规律变化。 2.3.3 跳伞运动员的速度为 v ? ?dx ? ? a sin t dt dv a x ? x ? ?a cost dt1 ? e ? qt ，v 铅直向下,β 、q 为正常量,求其加速度,讨论 1 ? e ?qt当时间足够长时(即 t→∞),速度和加速度的变化趋势。 解： v ? ?1 ? e ? qt 1 ? e ?qtdv qe? qt (1 ? e ? qt ) ? qe? qt (1 ? e ? qt ) 2q?e ? qt ?? ? dt (1 ? e ?qt ) 2 (1 ? e ?qt ) 2 ? t ? ?时，v ? ? , a ? 0 a?2.3.4 直 线 运 动 的 高 速 列 车 在 电 子 计 算 机 控 制 下 减 速 进 站 . 列 车 原 运 动 速 率 为 v0=180km/h，其速率变化规律如图所示。求列车行至 x=1.5km 时加速度的大小。 解：由 v x ? v 0 x cos?5xyax ?x = 1.5km 时，dvx dvx dx d dx ? ? v0 x [cos ? x] ? 5 dt dx dt dx dt ? ? ? v0 x (? sin x)v x 5 5 v x ? v0 x cos0.3?v x ? v 0 x cos?5xxv0 x ? 180km / h，则 ax = -0.747 m/s2.2.3.5 在水平桌面上放置的 A,B 两物体,用一根不可伸长的绳索按图示的装置把它们联结 起来.C 点与桌面固定.已知物体 A 的加速度的 a A =0.5g.求物体 B 的加速度。 解：建坐标系 o-x , 固定点为坐标原点 A、B、C 坐标分别为 x A , x B , xC , ,滑轮半径为 r，绳长为 L ， L ? 3( x A ? xB ) ? ( xC ? xB ) ? 3?r3x A ? 4 xB ? 3?r ? L绳不伸长：d 2L ?0 dt 2 d 2x d 2 xB 3 2A ? 4 ? 1.5 g dt dt 2∴ aB ?3 g 822.3.6 质点沿直线的运动学方程为 x ? 10t ? 3t . (1).坐标原点沿 Ox 轴方向移动 2 米,运动学方程如何?初速度有无变化? (2).将计时起点前移 1s，运动方程如何？初始坐标和初速度都发生什么样的变化？加速度 变不变？ x ? x ? ? 2m 解： （1） x ? ? x ? 2m 即 2 x ? 10t ? 3t ， x? ? 10t ? 3t 2 ? 2 初速度无变化。 ? ? t ? 1s 即 t ? t? ?1 （2） tx? ? 10(t ? ? 1) ? 3(t ? ? 1) 2 ? 3t ? 2 ? 4t ? ? 7 ? 初始坐标： x 0 ? ?7 m ? dx ? 初速度： v 0 ? t ?? 0 ? 4m / s dt 原来初始坐标： x0 ? 0 初速度： v0 ? 10m / s加速度： a ? 6m / s 2 改变计时起点后： a? ? 6m / s 没有变。 2.4.1 质点由坐标原点出发时开始计时,沿 x 轴运动,其加速度 a x ? 2t[cm / s 2 ] .在下列两2种情况下质点的运动学方程,出发后 6s 时质点的位置,在此期间所走过的位移及路程; (1) 初速度 v0 =0; (2) 初速度 v0 的大小为 9cm/s, 方向与加速度的方向相反. 解： t ? 0时，x0 ? 0, x ? x(t ) （1） v0 x ? 0, v x ? 则： x ? t=6s 时， 位置： x ?? 2tdt ? t0t2cm / s?t0t2dt ? 1 t 3 cm 31 3 ? 6 ? 72cm ， 位移： ?x ? x ? 0 ? 72cm ，路程：S=72cm 3（2） v0 x ? ?9cm / s, v x ?? 2tdt ? 9 ? (t0t2? 9)cm / s则： x ? (t ? 9)dt ? ( 1 t ? 9t )cm 32 3 0?t出发 6s 时的位置： x(6) ? 1 ? 63 ? 9 ? 6 ? 18cm 3 位移：由 x(0) ? 0, ?x ? 18cm' 路程： v x ? t ? 9 ? 0 ，t’=3s 2s ? x(6) ? x(3) ? x(3) ? x(0) ? 54cm2.4.2 质点直线运动瞬时速度的变化规律为 v x ? ?3 sin t 。求 t1 =3 至 t 2 =5 时间内的位 移。 解：由 v x ?dx ? ?3 sin t dt35 5 5 3 ?x ? ? ? 3 sin tdt ? 3 cost | ? 3 cos5 ? 3 cos3 ? 3 cos( ? 180) ? 3 cos( ? 180) 3??? 3 cos 286.6 ? 3 cos171.97 ? ? 3(0.28? 0.99)? 3.180 02.4.3 质 点 作 直 线 运 动 , 其 瞬 时 加 速 度 的 变 化 规 律 为 ax ? ? A? 2 cos?t 在 t=0 时v x ? 0 ,x=A,其中 A, ω 均为正常数,求此质点的运动学方程。解：由 a x ?dvx d 2 x ? 2 ? ? A? 2 cos?t dt dt v x ? ? a x dt ? ? A? sin ?t ? C由初始条件，t=0,vx = 0 求得 C = 0 则 x ? v x dt ? ? A? sin ?tdt ? A cos ?t ? C ? 由初始条件，t=0,x = A 求得 C’ = 0 则 x = Acosω t 2.4.4 飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动.刚着陆时,t=0 时速度为 v0 且坐标为 x=0.假 设其加速度为 ax ? ?bvx ，b=常量.求飞机速度和坐标随时间的变化 v x (t ) 。2??解：t=0 时 v ? v0 , x0 ? 0, ax ? ?bvxdvx 2 ， dvx ? a x dt ? ?bvx dt dt dvx 1 1 1 ? ?bdt ? ? ? (? ) ? ?bt ? v x ? 2 vx v0 bt ? v10 vx2ax ?x ? x0 ? ? v x dt ? ?0t1 1 1 dt ? b ln bt ? v10 v0 ? b ln bv0 t ? 1 0 bt ? 1 v0t2.4.5 在 195m 长的坡道上,一人骑自行车以 18km/h 的速度和-20 cm / s 2 的加速度上坡, 另一自行车同时以 5.4 km/h 的初速度和 0.2 m / s 2 的加速度下坡。问： （1）经过多长时间两 人相遇；(2)两相相遇时,各走多少路程。 解：以斜面底端为坐标原点，沿斜面建 o-x 坐标 系 单位换算：18km/h=5m./s -20 cm / s 2 =-0.2 m / s 2 5.4km/s=1.5m/s 上坡人：减速运动 下坡人：加速运动 此时二人还未相遇，而此后上坡人开始向反方向运动 上坡人： x1 ? v10 x t ?1 a1x t 2 2 1 a2 x t 2 2 ? ?1.5m / s下坡人： x 2 ? 195 ? v 20 x t ?v20 x v10 x ? 5m / s a1x ? ?0.2m / s 2 相遇时， x1 ? x 2 可得：t=30s 0 ? 5m / s ? 25 s 时上坡人停止 求路程：Δ t= ? 0.2 m / s 2此时路程为 s1@,停止后返回得路程为 s1″ ? ? 则： s1 ? s1 ? s1?a2 x ? ?0.2m / s 2? s1 ? 5 ? 25 ? 1 ? 0.2 ? 252 ? 62.5m 2? 2 s1? ? 1 ? 0.2 ? 52 ? 2.5m s1 ? 62.5m ? 2.5m ? 65m s2 ? 195m ? 60m ? 135m2.4.6 站台上送行的人,在火车开动时站台在第一节车厢的最前面,火车开动后经过Δ t=24s,第一节车厢的末尾从此人的面前通过,问第七节车厢驶过他面前需要多长时间?火车作 匀加速运动。 解：以人站的位置为原点，建立坐标 o-x, t 时刻第一节车厢前沿的运动方程： x ? 1 a x t 2 2 设车厢长 ?l ，第一节通过时间 ?t?l ? 1 a(?t ) 2 2 x6 ? 6?l ? 1 at6 22x7 ? 7?l ? 1 at7 22第七节通过时间： ?t ? t 7 ? t 6 ? ( 7 ? 6 )?t ? 4.72s 2.4.7 在同一铅直线上相隔 h 的两点以同样速率 v0 上抛二石子, 但在高处 的石子早 t0s 被抛出。.求二石子何时何处相遇. 解：以低处石子抛出点为原点建坐标系：O-y 以从高处抛出石子 t 0 秒后开始计时， 低处石子抛出点坐标： y1 高处石子抛出点坐标： y 2则： y1 ? v0t ? 1 gt 2 2y2 ? v0 (t ? t 0 ) ? 1 g (t ? t 0 ) 2 ? h 2 相遇时： y1 ? y2 h v0 t 0 可得： t ? ? ? gt0 g 2gt 1 2 1 v0 h2 y ? v0 t ? gt ? ( ? ?h? 0 ) 2 2 2 g 4 gt02.4.8 电梯以 1.0m./s 的匀速率下降,小孩在电梯中跳离地板 0.50m 高,问当小孩再次落到 地板上时,电梯下降了多少距离? 解： （1）以电梯为参考系（惯性系） ：建立坐标系 0-y22v y ? v0 y ? 2a y y2 2v y ? 0, y ? 0.5m, a y ? ?gv0 y ? 2 gy ? 3.13m / s 1 y ? v0 y t ? a y t 2 2落到地板上时： y = 0 则：t= 0.64s (2)再以地面为参考，电梯下降： s ? vt ? 0.64 m? ? ? 为 t=0 时 v ? ?, r ? i . 求质点的运动学方程并画出轨迹(本题用积分) j解：由 v ? v0 ?? 2.5.1 质点在 O-xy 平面内运动,其加速度为 a ? ? costi ? sin t? ,位置和速度的初始条件 j???? adtt0t?? ? ? ? ? (? costi ? sin t?)dt j j0t? ? ? sin ti ? cost? j t ? ? ? r ? r0 ? ? vdtt0? ? ? i ? ? (? sin ti ? cost?)dt j0t? ? costi ? sin t? j 2 2 轨迹 x ? y ? 12.5.2 在同一竖直面内的同一水平线上 A,B 两点分别以 30 度,60 度为发射角同时抛出两小球,欲使两小球相遇时都在自 己的轨道的最高点,求 A,B 两点间的距离,已知小球在 A 点的发 射速率 vA= 9.8m/s。 解：建坐标 o-xy 如图：A、B 的运动学方程：x A ? v10 cos 30 ? t y A ? v10 sin 30 ? t ? 1 gt 2 2x B ? AB ? v 20 cos60? t y B ? v 20 sin 60? t ? 1 gt 2 2A、B 相遇时，所用时间相同。 A: 0 ? v10 sin 30? ? gt 则 v10 ? 2gtB: 0 ? v20 sin 60? ? gt 相遇时： y A ? y B则 v 20 ?2 3 gt 3y ? v10 sin 30? t ? 1 gt 2 ? v20 sin 60? t ? 1 gt 2 2 2v10 = 9.8 m/s , 则 v20 = 5.66 m/s , t = 0.5 sx A ? xBv10 cos30? ? AB ? v20 cos60? tAB ? v10 cos30? t ? v20 cos60? t ? 2.83m2.5.3 迫击炮弹的发射角为 60 度,发射速率为 150m/s,炮 弹击中倾角 30 度的山坡上的目标,发射点正在山脚,求弹癯 点到发射点的距离 OA. 解：建坐标系 o-xy A 点坐标（x,y）y ? v0 sin 60? t ? 1 gt 2 2 x ? v0 cos60o tyA 3 ? tg30o ? xA 3v0 sin 600 t ?则 则1 2 3 gt ? v0 cos600 t 2 3tA ?2 33v0 ? 10 3s gOA =2 2 x A ? y A ? 1530 mx A = 1297.5 m y A = 750 m2.5.4 轰炸机沿与铅直方向成 53 度俯冲时,在 763m 的高度投放炸弹,炸弹在离开飞机 5.0s 时击中目标,不计空气阻力.(1)轰炸机的速率是多少?(2)炸弹在飞行中经过的水平距离是多 少?(3)炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少? 解：v0 y ? v cos53? y ? v0 y t ? gt1 2 2t=5.0s,y=763m,g=10ms-2则：v0y = 127.2m/s 1) v ? 2)v0 x? 212m / s cos53? ? v sin 53? ? 169.6m / sv0 yx ? v x t ? v sin 53? * 5 ? 848m 3) v0 x ? v sin 53? ? 169.6m / s , v y ? v0 y ? gt ? 127 2 ? 50.0m / s ? 177 2m / s . .2.5.5 雷达观测员正在监视一越来越近的物体。在某时刻，他得到这样的消息： （1）抛(3)观测 射休达到最大高度且正以速率 v 沿水平方向运动;(2)观察者到抛射体的直线距离为 员观察抛体的视线与水平方向成θ 角. 问:（1）抛射体命中点到观察者的距离 D 等于多少?(2)何种情况下抛体飞越观察员的头顶以 后才击中目标?何种情况下抛体在未到达观测员以前就命中目标? 设地球表面为平面且观测员位于抛体轨迹所在的竖起平面以内. 解：建坐标 o-xy(如图)抛体在顶点时 t=0, θvo抛体运动方程：x ? vt y ? 1 gt 2 2落点 A 的坐标（ x A , y A ? l sin ? ）2l sin ? ? 1 gtA 2tA ?2l sin ? gx A ? vt A ? v2l sin ? g,2l sin ? gAB 之间距离： D ? l cos? ? v D&0 时， v ? l cos?g 抛体过头顶命中目标； 2l sin ? g D&0 时， v ? l cos? 抛体落点在观察者前方； 2l sin ?2.6.1 列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶,在我们所讨论的时间范围内,其运动学方程为 s ? 80t ? t 2 (长度:m,时间:s).t=0 时,列车在图中 O 点.此圆弧形轨道的半径 r=1500 米,求列车 驶过 O 点以后前进至 1200 米处的速率及加速度. 解:建坐标系 o ? ? xy 如图，自然坐标系 o ? s 。 由 s ? 80t ? t2y ′ds ? 80 ? 2t dt 2 s=1200m 时 1200? 80t ? t t1 ? 20s, t 2 ? 60s （略） v? ?O’v?t ?20 s? 40m/s2则 a? ?dv? =-2m/s2 dtO? anxan ?v? 402 16 ? ? m / s2 r 1500 152 2a ? a? ? a n =2.27m/s2an 8 ?? a? 15 ? ? ? 1 5 2（a 与 v 的夹角） tg? ?2.6.2 火车以 200km/h 的速度驶入圆弧轨道， 其半径 300m，司机一进入圆弧轨道立即减速， 减速度为 2g，求火车在何处加速度最大？为多 少？ 解：因进入圆弧轨道火车减速 v? 越来越小，an ?v2 2 2 也减小 ， a ? a? ? a n 也减小 R所以，火车刚进入圆弧轨道时加速度最大。a? ? 2 g ? 20m / s 2由an ?v2 ? 10.3m / s 2 Ra ? a? ? a n ? 22.5m / s 22 22.6.3 斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道运动,当斗车到达图中所示位置时,轨道曲 率半径为 150 米,斗车速率为 50km/h,切向加速度 at=0.4g,求斗车的加速度. ? ? ? 解： a ? an n ? a? ?a? ? 0.4 g ? 4m / s 2 v2 an ? ? R2502 ? (5 2 ) 18 ? 1.3m / s 2 150? na ? a n ? a? ? 4.2m / s 22??an ? 18.21? a?夹 角方向： a 与切向夹角 ? ? arctg?? a 与 水 ? ? ? ? 30 ? 18.21 ? 11.79?平2.8.1 飞机在某高度的水平面上飞行,机身的 方向是自东北向西南,与正西夹 15 度的角,风以 100km/h 的速率自西南向东北方向吹来,与正南 夹 45 度角,结果飞机向正西方向运动,求飞机相 对于风的速度及相对于地面的速度. ? ? ? 解： v飞风 ? v飞地 ? v地风? ? sin 150 sin 1350 sin 300 ? v飞风 ? 269.2km/h 方向正南偏西 750 ? v飞地 ? 193.2km/h 方向正西2.8.2 飞机在静止空气中的飞行速率是 235km/h 它朝正北的方向飞行,使整个飞行时间内 都保持一条南北向公路的上空.地面观察者利用通讯设备告诉 驾驶员正在刮着速率等于 70km/h 的风,但飞机仍能以 235km/h 的速率沿公路方向飞行.(1).风的方向是怎样的?(2).飞机的头部 指向哪个方向?也就是说,飞机的轴线和公路成怎样的角度? 解：v飞风 ? 235km/h ， v飞地 ? 235km/h ，? v风地? v飞风? v飞地??? v风地 ? 70km/hcos? ?v1 ? v3 ? v2 2352 ? 702 ? 2352 ? ? 0.15 ? ? 2 v1 v3 2 * 235* 702 2 2? ? 81.4? ，风指向西北，北偏西 81.4 度，飞机的轴线和公路成 17.2 度角指向东北； 如果风向东北,会是北偏东 81.4 度， 飞机的轴线和公路成 17.2 度角指 向西北。 2.8.3 一辆卡车在平直路面上以恒速度 30m/s 行驶,在此车上射出一个抛体,要求在车前进 60m 时,抛体仍落回到车上原抛出点,问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和方向。空气 阻力不计. 解：以地面为静系，卡车为动系，抛出体在 t 时间后仍能落到车上。 卡车对地运动： x ? v车t 抛体对卡车为竖直上抛运动： y ? v y t ? 1 gt 2 则车前进 60m 的时间：t = 60/30 =2s 经 2s 抛体落回车上原抛点， y ? v y t ? 1 gt ? 0 222vy ? gt ? 9.8 ? 1 ? 9.8m / s 竖直向上。 22.8.4 河的两岸互相平行,一船由 A 点朝与岸垂直的方向匀 速驶去,经 10min 到达对岸 C 点,若船从 A 点出发仍按第一次 渡河速率不变但垂直地到达彼岸的 B 点,需要 12.5min,已知 BC=120m,求： （1）河宽 l； (2)第二次渡河时船的速度 u；(3) 水流的速度 v。 解：选船为运动质点，地面为基本参考系，水为运动参考系 ? ? ? 由 伽 利 略 速 度 变 换 ： v绝对 ? v相对 ? v牵连 B 1) C? v船水? v船地? ? ? v船地 ? v船水 ? v水地两次渡河船的矢量关系如图 1） ，2） ? ? 由 1） v水地 ? t1 ? BC ，则 v水地 =120/600 m/s = 0.2 m/s? v船水 ? t1 ? L ? 由 2） v船地 ? t 2 ? L ? 2 ? 2 ? 2 v船地 ? v水地 ? v船水 L L ( ) 2 ? (0.2) 2 ? ( ) 2 t2 t1A? v水地? 2) v船水A? v船地 ? α v水地B则 L = 200 m , | v船水 | = 1/3 m/s. 由 cos? ??v水地 v船水?0.2 ? 0.6，? ? 53?8? 1/ 32.8.5 圆弧公路与沿半径方向的东西向公路相交如图.某瞬时汽车甲向东以 20km/h 的速率 行驶;汽车乙在θ =30 度的位置向东北方向以速率 20km/h 行驶．求此瞬时甲车相对乙车的速 度． ? ? ? ? ? 解：由 v甲乙 ? v甲地 ? v地乙 ? v甲地 ? v乙地 北 y 其矢量关系为下图， v甲与v乙 夹角：α =60???? ? v甲 ? v乙 为等边三角形 ? v甲乙 ? 20km/h 方向南偏东 600甲 乙x 东
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