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已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=，（O为坐标原点）。（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（0，-）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由。
题型：解答题难度：偏难来源：0120
解：（1）设则由得由得即所以又因为所以因此所求椭圆的方程为：；（2）动直线l的方程为：由得设则假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，则 由假设得对于任意的，恒成立即解得m=1。因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P是..”主要考查你对&&椭圆的标准方程及图象，用坐标表示向量的数量积，直线与椭圆方程的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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椭圆的标准方程及图象用坐标表示向量的数量积直线与椭圆方程的应用
椭圆的标准方程：
（1）中心在原点，焦点在x轴上：；（2）中心在原点，焦点在y轴上：。椭圆的图像：
（1）焦点在x轴：；（2）焦点在y轴：。巧记椭圆标准方程的形式：
①椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；②椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上；③椭圆的标准方程中，三个参数a，b，c满足a2= b2+ c2；④由椭圆的标准方程可以求出三个参数a，b，c的值．
待定系数法求椭圆的标准方程：
求椭圆的标准方程常用待定系数法，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，那么有两种方法来解决问题：一是分类讨论，全面考虑问题；二是可把椭圆的方程设为n)用待定系数法求出m，n的值，从而求出标准方程，两个向量的数量积的坐标运算:
非零向量，那么，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积。 向量的数量积的推广1：
设a=(x,y)，则|a|=x2+y2 ，或|a|=
向量的数量积的推广2：
向量的数量积的坐标表示的证明：
&直线与椭圆的方程：
设直线l的方程为：Ax+By+C=0（A、B不同时为零），椭圆（a＞b＞0），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y（或x）得到一元二次方程，进而应用根与系数的关系解题。椭圆的焦半径、焦点弦和通径：
（1）焦半径公式：①焦点在x轴上时：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；②焦点在y轴上时：|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0;(2)焦点弦：过椭圆焦点的弦称为椭圆的焦点弦．设过椭圆的弦为AB，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=2a+e(x1+x2)．由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数．(3)通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为&
椭圆中焦点三角形的解法：
椭圆上的点与两个焦点F1，F2所构成的三角形，通常称之为焦点三角形，解焦点三角形问题经常使用三角形边角关系定理，解题中，通过变形，使之出现，这样便于运用椭圆的定义，得到a，c的关系，打开解题思路，整体代换求是这类问题中的常用技巧。关于椭圆的几个重要结论：
（1）弦长公式： （2）焦点三角形：上异于长轴端点的点， (3)以椭圆的焦半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切．(4)椭圆的切线：处的切线方程为
（5）对于椭圆，我们有
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与“已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P是..”考查相似的试题有：
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已知椭圆x22+y2=1．（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；（3）过点P（12，12）且被P点平分的弦所在的直线方程．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）设弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2） 的中点为R（x，y），则x12+2y12=2，x22+2y22=2，两式相减并整理可得x1-x2y1-y2=2(y1+y2)x1+x2=-x2y，①将y1-y2x1-x2=2代入式①，得所求的轨迹方程为x+4y=0（椭圆内部分）．（2）可设直线方程为y-1=k（x-2）（k≠0，否则与椭圆相切），设两交点分别为（x3，y3），（x4，y4），则x3&22+y32=1，x422+y42=1，两式相减得(x3+x4)(x3-x4)2+&(y3&+y4)(y3-y4)=0，显然x3≠x4（两点不重合），故x3+x42+(y3+y4)(y3-y4)x3-x4=0，令中点坐标为（x，y），则x+2yoy3-y4x3-x4=0，又（x，y）在直线上，所以y-1x-2=k，显然y3-y4x3-x4=k，故x+2yok=x+2yoy-1x-2=0，即所求轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0（夹在椭圆内的部分）．（3）设过点P（12，12）的直线与x22+y2=1交于E（x5，y5），F（x6，y6），∵P（12，12）是EF的中点，∴x5+x6=1，y5+y6=1，把E（x5，y5），F（x6，y6）代入与x22+y2=1，得x52+2y52=2x62+2y62=2，∴（x5+x6）（x5-x6）+2（y5+y6）（y5-y6）=0，∴（x5-x6）+2（y5-y6）=0，∴k=y5-y6x5-x6=-12，∴过点P（12，12）且被P点平分的弦所在的直线方程：y-12=-12(x-12)，即2x+4y-3=0．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知椭圆x22+y2=1．（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过A（..”主要考查你对&&圆锥曲线综合&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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圆锥曲线综合
圆锥曲线的综合问题：
1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法： （1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部； （2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。 2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。直线与圆锥曲线的位置关系：
(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ&0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ&0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．
直线与圆锥曲线相交的弦长公式：
若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．&
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与“已知椭圆x22+y2=1．（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过A（..”考查相似的试题有：
800651837310556885668722793089469823当前位置：
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已知一动圆P（圆心为P）经过定点Q（2，0），并且与定圆C：(x+2)2+y2=16（圆心为C）相切．（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）若斜率为k的直线l经过圆x2+y2-2x-2y=0的圆心M，交动圆圆心P的轨迹于A、B两点．是否存在常数k，使得CA+CB=2CM？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：越秀区模拟
（1）设P（x，y），动圆半径为r，则|PQ|=r．因为点Q在圆C的内部，所以动圆P与定圆C内切，所以|PC|=4-r．所以|PC|+|PQ|=4＞|CQ|=22，根据椭圆的定义，动圆圆心P的轨迹是以C、Q为焦点的椭圆．因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，故可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)．由2a=4，2c=22，得a=2，c=2，b=2，所以椭圆方程为x24+y22=1．所以动圆圆心P的轨迹方程为x24+y22=1．（2）假设存在常数k，使得CA+CB=2CM，即AM=MB，所以M为AB的中点．圆方程可化为（x-1）2+（y-1）2=2，所以圆心M为（1，1）．因为直线l经过点M，所以直线l的方程为y-1=k（x-1）．由y-1=k(x-1)x24+y22=1，消去y得（1+2k2）x2+（4k-4k2）x+（2k2-4k-2）=0．因为点M（1，1）在椭圆x24+y22=1的内部，所以恒有△＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k2-4k1+2k2．因为M为AB的中点，所以x1+x22=1，即2k2-2k1+2k2=1，解得k=-12．所以存在常数k=-12，使得CA+CB=2CM．
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椭圆的定义圆锥曲线综合
椭圆的第一定义：
平面内与两个定点为F1，F2的距离的和等于常数（大于）的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。特别地，当常数等于时，轨迹是线段F1F2，当常数小于时，无轨迹。
椭圆的第二定义：
平面内到定点F的距离和到定直线l的距离之比等于常数e（0＜e＜1）的点的轨迹，叫做椭圆，定点F叫椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，e叫椭圆的离心率。椭圆的定义应该包含几个要素：
利用椭圆的定义解题：
当题目中出现一点在椭圆上的条件时，注意使用定义圆锥曲线的综合问题：
1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法： （1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部； （2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。 2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。直线与圆锥曲线的位置关系：
(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ&0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ&0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．
直线与圆锥曲线相交的弦长公式：
若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．&
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与“已知一动圆P（圆心为P）经过定点Q（2，0），并且与定圆C：(x+2)2+y2=1..”考查相似的试题有：
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已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2)
(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.
(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.
（1）当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；当k＞时，l与C没有交点.
（2）Q为中点的弦不存在.
解析:(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得
(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程有一个根，l与C有一个交点
(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时
Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)
①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程有一个实根，l与C有一个交点.
②当Δ＞0,即k＜,又k≠±,故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程有两不等实根，l与C有两个交点.
③当Δ＜0，即k＞时，方程无解，l与C无交点.
综上知：当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；
当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；
当k＞时，l与C没有交点.
(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2
∴2(x1－x2)=y1－y1
但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.
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已知直线l经过点P(2,1),且斜率为2
求l的方程2.
若直线m与l平行，且在y轴上的截距的为3，求直线m的方程。过程要详细，谢谢
提问者采纳
L的方程是y-1=2(x-2),即有y=2x-32.与L平行,则有K=2,在Y轴上的截距是3,则有方程是y=2x+3
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（1）y-1=2(x-2)
y=2x-1（2）因为平行，所以m的斜率也是2。设m直线方程为y=2x+b把截距b=3代入方程，有：y=2x+3
解：1.直线l：y-1=2(x-2)。则直线l：2x-y-3=0。2.直线m：y=2x+3。 则直线m：2x-y+3=0。
斜率的相关知识
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