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几何分布的期望与方差
摘　要：高中数学教科书新版第三册(选修Ⅱ)比原来的修订本新增加随机变量的几何分布,但书中只给出了结论:(1)Eξ=1/p1,(2)Dξ=(1-p)/p~2,而未加以证明.本文给出证明,并用于解题.
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3-5某些常用分布的数学期望与方差
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3秒自动关闭窗口几何分布期望与方差的证明
几何分布是概率统计里面常见的分布，是指相互独立事件重复试验中，第次试验才得到成功的概率分布。说的比较迷茫，严密点儿来讲，就是伯努利试验中，第一次成功所需要的试验次数。伯努利试验就是瑞士的一个数学家提出的一种试验，特点是每次试验成功的概率都是一样的，而且还互不影响，就是所谓的相互独立的重复试验，伯努利就是那个爱做试验的数学家。
几何分布也分情况，或者说之前失败的次数，或者说第一次成功所做试验的次数，就相差1，因为在成功之前所做的试验都是失败的，求的是这种情况的概率。其实求法都一样，这里只讨论第一次成功所需要试验次数的概率分布。如果还是迷茫就看看常见的几何分布的例子吧，比如，你开车去某个地方，到那里虽然不算远，但须要经过无数的交通岗，而且那天的情况，在每个交通岗遇到绿灯的概率都一样，都是1，如果那天点子背，开始几个交通岗全是红灯，直到第
跟据例子，可以算得，在第x个交通岗第一次遇到绿灯的概率为
现在的目标是计算几何分布的概率与方差，在网上寻找几何分布的期望和方差到有很多结果，但很难找到它是怎么来的。可能觉得简单而不便介绍吧？今天我把过程写出来，望大家参考。
& 首先，不厌其烦地说一下期望与方差的关系，以便清晰思路。期望用表示，方差用表示，一般把自变量记做，如果对于结果为ξ的概率为ξ那么，其期望为方差为，根据方差的概念，可知：
所以而表示E(ξ^2)所以&&&
下面计算几何分布的学期望，
ξ}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p
Eξ}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p&&&&&&&&&&&&&&&&
(1-p)*Eξ}ξ*(1-p)^ξ*p
(1-)*ξ}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p&&&&&&&
ξ}(1-p)^(ξ-1)*p
ξ}(1-p)^(ξ-1)
}(1-p)^(ξ-1)
其中E(ξ^2)的计算过程如下：
=∑{ξ=1，}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p
=∑{ξ=1，}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p
－∑{ξ=1，}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p
，}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p
＋1}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&①
(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=1，}ξ*(ξ-1)*(1-p)^ξ*p
(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=2，}(ξ-1)*(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1)*p&&&
由①得
E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
③－②得
p*E(ξ^2)=1＋∑{ξ=2，}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p&
E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=2，}(ξ-1)*(1-p)^ξ
(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=3，}(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1)&&&&&&&&&&&&
由④得
E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)2*∑{ξ=3，}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1) &
&& ⑥&
⑥－⑤得
p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)}(1-p)^(ξ-1).
p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋p
p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)p
(ξ^2)=1＋2*(1-)/p/p
& & &&=(2-p)//
若求方差，根据公式Dξ
=E(ξ^2)－Eξ^2得，
ξ =(2-)//1//
&&=(1-)/^2
以上就是几何分布的期望与方差的证明。涉及到的知识虽然简单，但能解决眼前的困惑，这才是最重要的。
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几何分布的期望与方差总结|
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