逻辑函数的卡诺图化简法
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逻辑函数的卡诺图化简法
由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。但首先需要了解最小项的概念。 一、最小项的定义及其性质1.最小项的基本概念　　由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是　　1. 每项都只有三个因子　　2. 每个变量都是它的一个因子　　3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次　　一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n＝3时，最小项有23＝8个2.最小项的性质　　为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。由此可见，最小项具有下列性质：　　（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。　　（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。　　（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。　　（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。3.最小项的编号　　最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号 ，用十进制数表示。以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3按此原则，3个变量的最小项二、逻辑函数的最小项表达式　　利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即
　　又如，要将 化成最小项表达式，可经下列几步：　　（1）多次利用摩根定律去掉非号 ，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；　　（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；　　（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。 　　由此可见，任一个逻辑函数都可化成为唯一的最小项表达式。三、用卡诺图表示逻辑函数1.卡诺图的引出　　一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个特定的方格图内，此方格图称为卡诺图。　　卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。　　下面从讨论一变量卡诺图开始，逐步过渡到多变量卡诺图。　　大家知道，n个变量的逻辑函数有2n个最小项 ，因此一个变量的逻辑函数有两个最小项。　　比如有一个变量Ｄ，其逻辑函数Ｌ的最小项表达式为：　　其中Ｄ和是两个最小项，分别记为m1和m0，即m0=D，m1=D。这两个最小项可用两个相邻的方格来表示，如下图所示。方格上的Ｄ和分别表示原变量和非变量。为了简明起见，非变量可以不标出，只标出原变量Ｄ。但是还可以进一步简化，也就是将m0，m1只用其下标编号来表示。　　若变量的个数为两个，则最小项个数为22=4项，函数的最小项表达式为　　由于有４个最小项，可用４个相邻的方格来表示。这４个方格可以由折叠了的１变量卡诺图展开来获得，如下图所示，变量Ｄ标在图的底下，标的规律符合展开的规律，即中间两格底下为Ｄ，两边的两格底下为。而变量Ｃ可标在展开后新的两个方格的顶上,以保持左边的第一格仍为m0项，即维持展开前两方格最小项序号不改变。由图中可看到一个规律：新的方格内最小项的编号比对应的原方格增加了2n-1＝22-1＝2。按照这个规律折叠时，方格1后面为方格３,方格０后面为方格２，展开后即得图示的２变量卡诺图。综上所述，可归纳“折叠展开”的法则如下：　　①新增加的方格按展开方向应标以新变量。 　　②新的方格内最小项编号应为展开前对应方格编号加2n-1。　　按照同样的方法，可从折叠的２变量卡诺图展开获得３变量卡诺图。３变量逻辑函数L(B, C, D)应有８个最小项，可用８个相邻的方格来表示。新增加的 ４个方格按展开方向应标以新增加的变量B（以区别于原来的变量C、D）。而且，新增加的方格内最小项的编号为展开前对应方格编号加2n-1=23-1=4，这样即可获得３变量卡诺图如下：　　同理，可得４变量卡诺图，如下图所示。　　在使用时，只要熟悉了卡诺图上各变量的取值情况（即方格外各变量A、B、C、D等取值的区域），就可直接填入对应的最小项。　　将上图中的数码编号与最小项的编号——对应，可以得到下面这种形式的卡诺图。2.卡诺图的特点　　上面所得各种变量的卡诺图，其共同特点是可以直接观察相邻项。也就是说，各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。在卡诺图水平方向的同一行里，最左和最右端的方格也是符合上述相邻规律的，例如，m4和m6的差别仅在C和。同样，垂直方向同一列里最上端和最下端两个方格也是相邻的，这是因为都只有一个因子有差别。这个特点说明卡诺图呈现循环邻接的特性。3.已知逻辑函数画卡诺图　　根据逻辑函数的最小项表达式和卡诺图的一般形式，就可以得到相应的卡诺图。　例如，要画出逻辑函数的卡诺图时，可根据４变量卡诺图，对上列逻辑函数最小项表达式中的各项，在卡诺图相应方格内填入１，其余填入０，即可得到如下图所示的Ｌ的卡诺图。 　例：画出
的卡诺图解：　　（1）利用摩根定律，可以将上式化简为：　　（2）因上式中最小项之和为Ｌ，故对Ｌ中的各最小项，在卡诺图相应方格内应填入０，其余填入１，即得下图所示的卡诺图。四、用卡诺图化简逻辑函数1.化简的依据　　我们知道，卡诺图具有循环邻接的特性，若图中两个相邻的方格均为1，则这两个相邻最小项的和将消去一个变量。　　比如４变量卡诺图中的方格５和方格７，它们的逻辑加是，项消去了变量Ｃ，即消去了相邻方格中不相同的那个因子。若卡诺图中４个相邻的方格为１，则这４个相邻的最小项的和将消去两个变量，如上述４变量卡诺图中的方格２、３、７、６，它们的逻辑加是　　消去了变量Ｂ和Ｄ，即消去相邻４个方格中不相同的那两个因子，这样反复应用的关系，就可使逻辑表达式得到简化。这就是利用卡诺图法化简逻辑函数的某本原理。2.化简的步骤用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下： 　　（1）将逻辑函数写成最小项表达式。　　（2）按最小项表达式填卡诺图 ，凡式中包含了的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。　　（3）合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组（包围圈），每一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积项。　　（4）将所有包围圈对应的乘积项相加。　　有时也可以由真值表直接填卡诺图，以上的（1）、（2）两步就合为一步。画包围圈时应遵循以下原则：　　（1）包围圈内的方格数必定是2n个，n等于0、1、2、3、…。　　（2）相邻方格包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。　　（3）同一方格可以被不同的包围圈重复包围 ，但新增包围圈中一定要有新的方格，否则该包围圈为多余。 　　（4）包围圈内的方格数要尽可能多，包围圈的数目要尽可能少。　　化简后，一个包围圈对应一个与项（乘积项），包围圈越大，所得乘积项中的变量越少。实际上，如果做到了使每个包围圈尽可能大，结果包围圈个数也就会少，使得消失的乘积项个数也越多，就可以获得最简的逻辑函数表达式。下面通过举列来熟悉用卡诺图化简逻辑函数的方法。　　例: 一个逻辑电路的输入是４个逻辑变量Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ ，它的真值表如下，用卡诺图法求化简的与一或表达式及与非一与非表达式。解：　　（1）由真值表画出卡诺图，如下图所示。　　（2）画包围圈合并最小项，得简化的与一或表达式。　　（3） 求与非一与非表达式。　　二次求非然后利用摩根定律得　　利用卡诺图表示逻辑函数式时，如果卡诺图中各小方格被１占去了大部分，虽然可用包围１的方法进行化简，但由于要重复利用１项，往往显得零乱而易出错。这时采用包围０的方法化简更为简单。即求出非函数再对求非，其结果相同，下面举例说明。例：化简下列逻辑函数解：　　（1）由Ｌ画出卡诺图，如图所示。　　（2）用包围１的方法化简，如下图所示，得　　所以有： 　　（3）用包围０的方法化简，如图所示，　　根据图得到：，两边去反后可得： 　　两种方法得到的结果是相同的。　　实际中经常会遇到这样的问题，在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项。　　无关项的意义在于，它的值可以取０或取１，具体取什么值，可以根据使函数尽量得到简化而定。
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我来说两句……
微信公众账号卡诺图在逻辑函数化简和逻辑电路设计中的重要应用
在数字逻辑电路中，逻辑函数的化简有着重要意义，直接下：关系着逻辑电路的简洁可靠乃至电路的成本。而公式法化简逻1)给定真值表：将Y取值为辑函数，不但难以掌握，而且难以1的组合填入卡诺图中相应的位判断结果是否最简。对于变量数不置。如图超过6个的逻辑函数的化简，卡诺某三变量图有着广泛的重要应用。函数的真众所周知，卡诺图是逻辑函数值表，填的的表达方式之一，是真值表的一种卡诺图如变形。它将逻辑函数真值表重新排图3。列成矩阵形式，并且是矩阵的横方2)给定最小项表示的逻辑函数表达式F，将各最小项填入向和纵方向的逻辑变量的取值按F(A,B,C)=ABC+ABC+ABC照格雷码的顺序排列。如图1。=m1+m2+m4+m7按照这样排列，使最小项的排=Σm(1,2,4,7)(2)列不管是在横向或者纵向上，相邻的两个最小项只有一个变量相应的位置。例如：不同，则可以利用互补律消去A+A=1取值不同的那个则其卡诺图如图4。变量，将两个最小项合并为一项；从而...&
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1.引言逻辑函数主要有两种表示方式:逻辑函数表达式和卡诺图。在进行逻辑函数的化简和运算时,可以应用这两种不同的方法。表达式方法便于直接利用公式和定理进行化简和运算,但是化简运算的过程繁琐,容易出错。卡诺图法简单直观,不易出错,而且不需要很多公式和定理,易于掌握。当逻辑自变量不大时,用卡诺图进行逻辑函数的化简和运算是一种比较好的方法。2.逻辑函数的卡诺图表示卡诺图是逻辑函数析取范式真值表的图解表示。对于n元逻辑函数,首先将其分成两组变量,n为偶数时两组变量都为n/2个,n为奇数时两组变量分别为(n+1)/2个,(n-1)/2个。两组变量取值按照循环码排列,如2变量排列方式为00→01→11→10。这样就构成了一个二维表格,每一个表格项对应一个逻辑函数的最小项。如4元逻辑函数f(A,B,C,D)对应的卡诺图为:逻辑函数用卡诺图表示时,传统的方法是把逻辑函数变换为最小项和的表示方式,然后在卡诺图中与最小项对应的方格填入1,表示逻辑函数...&
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卡诺图是一种用几何图形表示逻辑关系的方法,从美国的工程师卡诺(Karnaugh)提出该方法以来,卡诺图就被广泛地应用于数字电路的分析和设计过程中,在传统教学过程中,我们主要运用卡诺图中具有相邻性的最小项可以合并消去不同因子的原理,将卡诺图用于逻辑函数的化简上。在进行逻辑函数的求反、逻辑表达式形式的变换、MSI逻辑电路的设计的时候,我们常常忽略了它的作用。下面从逻辑函数的求反、逻辑表达式形式的变换、MSI逻辑电路的设计三个方面介绍一下卡诺图的应用,供同行在教学中参考。1运用卡诺图求已知逻辑函数的反函数当在卡诺图中采用圈0方法,即对逻辑表达式中没有出现的所有最小项的和进行化简,那么得到的最简与或式即为已知逻辑函数反函数的最简与或式。例1求逻辑函数Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,4,6,8,10,12)的反函数.解画出逻辑函数的卡诺图(图1),在卡诺图中对0画包围圈,由此得Y=D+ABC.可见利用卡诺图求反函数方法较简单,且不易出...&
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０引言用小规模集成电路设计时序电路时，往往要求设计的电路“最简”。“最简”的标准：第一是所用的触发器和门电路的数目最少；第二是触发器与门电路输入端数目最少。卡诺图是时序电路设计中经常用到的工具，但有时会出现根据卡诺图化简后的状态方程确定的触发器的驱动方程有可能不是“最简”。原因是卡诺图化简逻辑函数是遵循“最少”原则［１，２］进行的，而每种触发器都有各自的特性方程，当电路的状态方程与所选用触发器的特性方程形式不完全一致时，就可能出现上述情况。本文介绍使用ＪＫ、ＲＳ和Ｄ触发器设计时序逻辑电路时，利用卡诺图化简逻辑函数的简捷方法，可以确保设计的电路满足“最简”要求。１卡诺图化简逻辑函数的简捷方法时序电路设计一般按以下步骤进行：给定设计要求，进行逻辑抽象，得到状态转移图或状态转移表；进行状态化简和状态分配；选择触发器类型，并写出状态方程；求出触发器的驱动方程和输出方程；画出逻辑电路。由于不同类型的触发器功能不同，因此驱动方式以及最后设计...&
(本文共4页)
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在进行数字电路设计时,常常运用逻辑函数的卡诺图化简技术。对于组合逻辑电路,在卡诺图上用符号0、1、x分别表示“真”、“假”、“多余条件”足以进行描述。而在时序电路中,主要描述电路的工作状态,也就是触发器的状态转换,仍用O、r、x就不行了。动态卡诺图就是为了适用这种工作情况,为选择合适的触发器并找出所需的控制激励函数,从一般卡诺图引伸出来的。1.状态转换符触发器的状态转换有四种情况:动态卡诺图0~0、l‘1r,s、S、R、来表示。对于随意态转换,用x表示。 农1、O,1、l,0,我们分别用见表1‘。现态Qn次态Qn+’转换符F’。”}:本文19分7年6月1日收翔。2。动态卡诺.动态卡诺图的形式与普通卡诺图一样,只是在每一个最小项方格中填的不是仃、 x,而是转换符r、,、S、R、x。 例,设计一个时序逻辑电路,要求具有如下的状态转换图。 柏入输出.状奋.Q一Q:抽入.X.出。Z X抽出l粉入,飞根据状态转换图可得表2所示的状态转换真...&
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时序逻辑电路经典的设计方法———驱动表法,是在完成状态编码的工作后,根据编码后的状态转换图和选择的触发器类型,列出对应的驱动表,再根据驱动表写出驱动函数和输出函数的卡诺图,用卡诺图化简法得出最简的驱动函数和输出函数表达式,得出设计电路。然后根据电路中各触发器的次态方程,用计算法求出电路无效状态的次态,检查电路是否具有自启动功能。如果电路不能自启动,还要适当修改设计,最后完成电路的设计任务[1-3]。这种方法在驱动函数的确定和自启动功能的检验等方面,使用起来都显得比较繁琐。采用次态卡诺图法,直接根据分离的次态卡诺图得出最简的次态函数,再根据次态方程确定驱动函数,可以使确定驱动函数的过程简化,但仍然不能改善自启动功能检验的不足[4-5]。为此,笔者直接根据次态联合卡诺图确定次态函数,提出了异步时序逻辑电路设计的驱动函数法和翻转模式法,并举例说明次态联合卡诺图在同步和异步时序逻辑电路设计中的应用。1同步时序电路的设计1.1设计方法联合...&
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用卡诺图化简下列函数，F(A,B,C)=∑m(0,1,2,4)，约束条件：m3+m5+m6+m7=0 10
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第六讲 具有无关项和多输出逻辑函数卡诺图化简法|第​六​讲​ ​具​有​无​关​项​和​多​输​出​逻​辑​函​数​卡​诺​图​化​简​法
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&② 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。
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历史上的今天
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blogAbstract:'一、最小项与卡诺图
&&&& 1．最小项的定义
&&&&&特点：每项都有n个变量， 每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次
&&&& 最小项具有下列性质：
&&&&&& （1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。
&&&&&& （2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。
&&&&&& （3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。
&&&&&& （4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。
&&&& 2．相邻最小项
&&&& 逻辑相邻项——只有一个变量取值不同其余变量均相同的最小项。',
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