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已知函数f（x）=x3+（1-a）&x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）．（I）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：浙江
解析：（Ⅰ）由题意得f'（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）又f(0)=b=0f′(0)=-a(a+2)=-3，解得b=0，a=-3或a=1（Ⅱ）函数f（x）在区间（-1，1）不单调，等价于导函数f'（x）[是二次函数]，在（-1，1有实数根但无重根．∵f'（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）=（x-a）[3x+（a+2）]，令f'（x）=0得两根分别为x=a与x=-a+23若a=-a+23即a=-12时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，当两者不相等时即a≠-12时有a∈（-1，1）或者-a+23∈（-1，1）解得a∈（-5，1）且a≠-12综上得参数a的取值范围是（-5，-12）∪（-12，1）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）．（I）若函数f（x）的图象..”主要考查你对&&导数的概念及其几何意义，函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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导数的概念及其几何意义函数的单调性与导数的关系
平均变化率:
一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率&&上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，&
瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．
函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。
如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=
切线及导数的几何意义：
（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。 （2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
&函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：
①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．③在点x=x0处的导数的定义可变形为:&&&&
导函数的特点：
①导数的定义可变形为： ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：
①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，④显然f′（x0）&0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）&o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x0) =0，切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
发现相似题
与“已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）．（I）若函数f（x）的图象..”考查相似的试题有：
751828802536257332842276834530863035当前位置：
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已知函数f（x）=13x3+1-a2x2-ax-a，x∈R，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g（t）=M（t）-m（t），求函数g（t）在区间[-3，-1]上的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）求导函数可得f′（x）=（x+1）（x-a），令f′（x）=0，可得x1=-1，x2=a＞0令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞a；令f′（x）＜0，可得-1＜x＜a故函数的递增区间为（-∞，-1），（a，+∞），单调递减区间为（-1，a，）（2）由（1）知函数在区间（-2，-1）内单调递增，在（-1，0）内单调递减，从而函数在（-2，0）内恰有两个零点，∴f(-2)＜0f(-1)＞0f(0)＜0，∴-23-a＜016-a2＞0-a＜0，∴0＜a＜13∴a的取值范围为(0，13)；（3）a=1时，f（x）=13x3-x-1，由（1）知，函数在（-3，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增①当t∈[-3，-2]时，t+3∈[0，1]，-1∈[t，t+3]，f（x）在[t，-1]上单调递增，在[-1，t+3]上单调递减因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（-1）=-13，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者由f（t+3）-f（t）=3（t+1）（t+2）知，当t∈[-3，-2]时，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f（-1）-f（t）而f（t）在[-3，-2]上单调递增，因此f（t）≤f（-2）=-53，所以g（t）在[-3，-2]上的最小值为g(-2)=-13-(-53)=43②当t∈[-2，-1]时，t+3∈[1，2]，-1，1∈[t，t+3]，下面比较f（-1），f（1），f（t），f（t+3）的大小．由f（x）在[-2，-1]，[1，2]上单调递增，有f（-2）≤f（t）≤f（-1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）∵f（1）=f（-2）=-53，f（-1）=f（2）=-13∴M（t）=f（-1）=-13，m（t）=f（1）=-53∴g（t）=M（t）-m（t）=43综上，函数g（t）在区间[-3，-1]上的最小值为43．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=13x3+1-a2x2-ax-a，x∈R，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单..”主要考查你对&&函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的最值与导数的关系
函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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与“已知函数f（x）=13x3+1-a2x2-ax-a，x∈R，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单..”考查相似的试题有：
269940279266281791622645274417297498& 利用导数研究函数的单调性知识点 & “已知函数f（x）=x3+5/2x2+ax...”习题详情
164位同学学习过此题，做题成功率86.5%
已知函数f（x）=x3+52x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2．问：是否存在常数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2014-宿迁一模
分析与解答
习题“已知函数f（x）=x3+5/2x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0...”的分析与解答如下所示：
（1）先求原函数的导数，根据f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；（2）由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则{x3+52x2+(a-1)x+b=03x2+5x+a=0存在唯一的实数根x0，即b=2x3+52x2+x存在唯一的实数根x0，就把问题转化为求函数最值问题；（3）假设存在常数λ，依据曲线C在点A处的切线l1与曲线C交于另一点B，曲线C在点B处的切线l2，得到关于λ的方程，有解则存在，无解则不存在．
解：（1）当a=-2时，函数f（x）=x3+52x2-2x+b则f′（x）=3x2+5x-2=（3x-1）（x+2）令f′（x）＜0，解得-2＜x＜13，所以f（x）的单调递减区间为（-2，13）；（2）函数f（x）的导函数为由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则{x3+52x2+(a-1)x+b=03x2+5x+a=0即x3+52x2+（-3x2-5x-1）x+b=0存在唯一的实数根x0，故b=2x3+52x2+x存在唯一的实数根x0，令y=2x3+52x2+x，则y′=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=-12或x=-13，则函数y=2x3+52x2+x在（-∞，-12），（-13，+∞）上是增函数，在（-12，-13）上是减函数，由于x=-12时，y=-18；x=-13时，y=-754；故实数b的取值范围为：（-∞，-754）∪（-18，+∞）；（3）设点A（x0，f（x0）），则在点A处的切线l1的切线方程为y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），与曲线C联立得到f（x）-f（x0）=f′（x0）（x-x0），即（x3+52x2+ax+b）-（x03+52x02+ax0+b）=（3x02+5x0+a）（x-x0），整理得到（x-x0）2[x+（2x0+52）]=0，故点B的横坐标为xB=-（2x0+52）由题意知，切线l1的斜率为k1=f′（x0）=3x02+5x0+a，l2的斜率为k2=f′（-（2x0+52））=12x02+20x0+254+a，若存在常数λ，使得k2=λk1，则12x02+20x0+254+a=λ（3x02+5x0+a），即存在常数λ，使得（4-λ）（3x02+5x0）=（λ-1）a-254，故{4-λ=0(λ-1)a-254=0，解得λ=4，a=2512，故a=2512时，存在常数λ=4，使得k2=4k1；a≠2512时，不存在常数，使得k2=4k1．
本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时还考查了方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决．
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已知函数f（x）=x3+5/2x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x...
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经过分析，习题“已知函数f（x）=x3+5/2x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0...”主要考察你对“利用导数研究函数的单调性”
等考点的理解。
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利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的单调性．
与“已知函数f（x）=x3+5/2x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0...”相似的题目：
（本小题满分分）已知函数.当时，函数取得极值.（I）求实数的值；（II）若时，方程有两个根，求实数的取值范围.&&&&
设，．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；（3）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围&&&&
设函数则的单调减区间&&&&
“已知函数f（x）=x3+5/2x2+ax...”的最新评论
该知识点好题
1设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（　　）
2函数y=12x2-lnx的单调递减区间为（　　）
3若函数f(x)=x+bx&&(b∈R)的导函数在区间（1，2）上有零点，则f（x）在下列区间单调递增的是（　　）
该知识点易错题
1设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）=lnx+b+2x+1(x＞1)，其中b为实数．（1）①求证：函数f（x）具有性质P（b）；②求函数f（x）的单调区间．（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，设m为实数，α=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，α＞1，β＞1，若|g（α）-g（β）|＜|g（x1）-g（x2）|，求m的取值范围．
2设函数f（x）=x-1x-alnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
3已知函数y=13x3+x2-8x的图象C上存在一个定点P满足：若过定点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x1，y1），N（x2，y2），就恒有y1+y2为定值y0，则y0的值为（　　）
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＞＞＞已知函数f（x）=ax2+（b-3）x+3，x∈[a2-2，a]是偶函数，则a+b=______..
已知函数f（x）=ax2+（b-3）x+3，x∈[a2-2，a]是偶函数，则a+b=______．
题型：填空题难度：中档来源：不详
∵函数f（x）=ax2+（b-3）x+3，x∈[a2-2，a]是偶函数∴a2-2+a=0∴a=-2或1∵a2-2＜a∴a=1∵偶函数的图象关于y轴对称，∴-b-32a=0∴b=3∴a+b=4故答案为：4．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=ax2+（b-3）x+3，x∈[a2-2，a]是偶函数，则a+b=______..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|
发现相似题
与“已知函数f（x）=ax2+（b-3）x+3，x∈[a2-2，a]是偶函数，则a+b=______..”考查相似的试题有：
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