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满分5 学习网 . All Rights Reserved.已知函数f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x0
练习题及答案
已知函数f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x0∈（a，b），使得f(b)-f(a)b-a=f′(x0)”成立．（1）利用这个性质证明x0唯一；（2）设A、B、C是函数f（x）图象上三个不同的点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详
所属题型：解答题
试题难度系数：中档
答案（找答案上）
（1）证明：假设存在x0′，x0 ∈（a，b），且在x0′≠x0 ，使得f(b)-f(a)b-a=f′(x0)∴f(b)-f(a)b-a=f′(x0′)，∵f′(x0)=f′(x0′)∴f′（x）=ex1+ex-1=-11+ex，记g（x）=f′（x）=-11+ex，则g′（x）=ex(1+ex)2＞0，f′（x）是[a，b]上的单调递增函数，∴所以x0′=x0 ，与x0′≠x0 矛盾，所以x0是唯一的．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）C（x3，y3）且x1＜x2＜x 3∵f′(x)=-11+ex＜0，∴f（x）是R上的单调减函数．∴f（x1）＞f（x2）＞f（x3）．∵BA=(x1-x2，f(x1)-f(x1))，BC=(x3-x2，f(x3)-f(x2))，∴BAoBC=(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))，∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，∴BAoBC＜0∴cosB＜0，∠B为钝角，∴△ABC为钝角三角形．
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高中三年级数学试题“已知函数f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x0”旨在考查同学们对
导数的概念及其几何意义、
已知三角函数值求角、
平面向量的应用、
……等知识点的掌握情况，关于数学的核心考点解析如下：
此练习题为精华试题，现在没时间做？，以后再看。
根据试题考点，只列出了部分最相关的知识点，更多知识点请访问。
考点名称：
平均变化率:
一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率
上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，
如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即
若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．
函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。
如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f&(x)或y&．即f&(x）=
切线及导数的几何意义：
（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n&N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。
（2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。
瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
&函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：
①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．
②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．
③在点x=x0处的导数的定义可变形为:
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：
①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f&(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f&(x0)（x- x0）．
②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．
③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，
④显然f&（x0）&0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f&（x0）&o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x0) =0，切线与x轴平行；f&(x0)不存在，切线与y轴平行．
考点名称：
已知三角函数值求角的步骤：
（1）由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限（或终边在哪条坐标轴上）；
（2）若函数值为正数，先求出对应锐角&1，若函数值为负数，先求出与其绝对值对应的锐角&1；
（3）根据角所在象限，由诱导公式得出0~2&间的角，如果适合条件的角在第二象限，则它是&-&1；如果适合条件的角在第三象限，则它是&+&1；在第四象限，则它是2&-&1；如果是-2&到0的角，在第四象限时为-&1，在第三象限为-&＋&1，在第二象限为-&-&1；
（4）如果要求适合条件的所有角，则利用终边相同的角的表达式来写出。
反三角函数的定义：
（1）反正弦：在闭区间上符合条件sinx=a（-1&a&1）的角x，叫做实数a的反正弦，记作arcsina，即x=arcsina，其中x&，且a=sinx；
注意arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a，且这个角在内（-1&a&1）。
（2）反余弦：在闭区间上，符合条件cosx=a（-1&a&1）的角x，叫做实数a的反余弦，记作arccosa，即x=arccosa，其中x&[0，&]，且a=cosx。
（3）反正切：在开区间内，符合条件tanx=a（a为实数）的角x，叫做实数a的反正切，记做arctana，即x=arctana，其中x&，且a=tanx。
反三角函数的性质：
（1）sin（arcsina）=a（-1&a&1），cos（arccosa）=a（-1&a&1），
tan（arctana）=a；
（2）arcsin（-a）=-arcsina，arccos（-a）=&-arccosa，arctan（-a）=-arctana；
（3）arcsina+arccosa=；
（4）arcsin（sinx）=x，只有当x在内成立；同理arccos（cosx）=x只有当x在闭区间[0，&]上成立。
考点名称：
平面向量在几何、物理中的应用
1、用向量解决几何问题的步骤：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如：距离，夹角等；
（3）把运算结果&翻译&成几何关系。
2、用向量中的有关知识研究物理中的相关问题，步骤如下：
（1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；
（2）模型的建立，即建立以向量为主题的数学模型；
（3）求出数学模型的有关解；
（4）将问题的答案转化为相关的物理问题。
考点名称：
反证法的定义：
反证法(Proofs by Contradiction，又称归谬法、背理法)，是一种论证方式，其方法是首先假设某命题的否命题成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题成立，得证。
反证法证明步骤：
(1)反设：假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。
(2)归谬：从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。
(3)结论：由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。
反证法的证明主要用到&一个命题与其逆否命题同真假&的结论，为什么?这个结论可以用穷举法证明：
某命题：若A则B，则此命题有4种情况：
1.当A为真，B为真，则A&B为真，得﹁B﹁A为真
2.当A为真，B为假，则A&B为假，得﹁B&﹁A为假
3.当A为假，B为真，则A&B为真，得﹁B&﹁A为真
4.当A为假，B为假，则A&B为真，得﹁B&﹁A为真
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函数f(x)=ex+e-x（e为自然对数的底数）在（0，+∞）上
A.有极大值B.有极小值 C.是增函数 D.是减函数
题型：单选题难度：中档来源：广东省模拟题
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据魔方格专家权威分析，试题“函数f(x)=ex+e-x（e为自然对数的底数）在（0，+∞）上[]A.有极大值B...”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
发现相似题
与“函数f(x)=ex+e-x（e为自然对数的底数）在（0，+∞）上[]A.有极大值B...”考查相似的试题有：
281909827009518868841157859520412897对于函数f（x）=（2xx2）ex（1）是f（x_高中二年级数学函数的极值与导数的关系_小精灵儿童网站
对于函数f（x）=（2xx2）ex（1）是f（x
对于函数f（x）=（2xx2）ex （1）是f（x）的单调递减区间；（2）是f（x）的极小值，是f（x）的极大值；（3）f（x）有最大值，没有最小值；（4）f（x）没有最大值，也没有最小值．其中判断正确的是（&&&&）．
&&本列表只显示最新的10道试题。
函数的极值与导数的关系
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函数的极值与导数的关系已知函数f(x)=(x^3+3x^2+ax+b)e^-x,高三数学有关导数的部分，谢谢、_百度知道
已知函数f(x)=(x^3+3x^2+ax+b)e^-x,高三数学有关导数的部分，谢谢、
已知函数f(x)=(x^3+3x^2+ax+b)e^-x若a=b=-3，求f(x)的单调区间若f(x)在(-∞，α），（2侍蕻草钢禺肺碴识厂讲，β）上单调增加，在（α，2），（β，+∞）上单调减少，证明：β-α&6
提问者采纳
(1)∵函数f(x)=(x^3+3x^2-3x-3)e^(-x)F’(x)=(3x^2+6x-3)e^(-x)-(x^3+3x^2-3x-3)e^(-x)
俨良岭眯缂氯柳瞻碌痊
=(-x^3+9x)e^(-x)=0解得：x1=-3,x2=0,x3=3F”(x)=( x^3-3x^2-9x+9)e^(-x)F”(x1)=-18 e^3&0, F”(x2)=9&0, F”(x3)=-18e^(-3)∴函数f(x)在x1,x2,x3处分别取得极大，极小，极大值∴函数f(x) 在(-∞,-3)，(0,3)上单调增；在（-3,0），(3,+∞)单调减；（2）∵函数f(x)=(x^3+3x^2+ax+b)e^(-x)F’(x)=(3x^2+6x+a-x^3-3x^2-ax-b)e^(-x)
=(-x^3+(6-a)x+a-b)e^(-x)∵函数f(x)在(-∞，α），（2，β）上单调增加，在（α，2），（β，+∞）上单调减少∴x=2为函数f(x)的一个极小值点即f’(2)=(-8+12-2a+a-b)e^(-2)=0==&a+b=4∴b=4-a代入-x^3+(6-a)x+a-b＝-x^3+(6-a)x+2a-4=(x-2)(-x^2-2x+2-a)∴α,β满足-x^2-2x+2-a＝0==&x^2+2x+a-2＝0由韦达定理知β+α=-2, βα=a-2(β-α)^2=(β+α)^2- 4βα=12-4aβ-α=2√（3-a）当a&-6,且a+b=4时满足β-α&6所以，本题第二问有问题，即不是在任何时候都满足β-α&6
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第一问：(-∞,-3) (0,3)递增（-3,0）(3,+∞)递减第二问：由题可知：f'(x)=-x^3+(6-a)x+a-bf’(2）=0所以:
满足 x^2+2x+（2-a）=0
由上式：α+β=-2
又因为： β&2
所以 β-α&6
补充楼上， β-α=根号 12-4a
又(β-2)(α-2)＜0,即αβ-2(α+β)+4＜0.由此可得a＜-6.
于是β-α＞6.所以该题没有问题。。。
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