71巧用数学等式思维.以不变应万变求解初中物理问题doc
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巧用数学等式思维，以不变应万变求解初中物理题；广元市利州区大东英才学校：白涛；摘要：数学思维是所有理科学习的工具，但是初中阶段；思维，学生在学习其他理科时无法迁移，所以物理老师；式的建立与应用”，可以在初中物理的学习过程中以不；关键词：数学方法等式思维状态变化题等量表达式；物理学是应用数学最充分、最成功的一门学科，数学方；确的科学通用语言形式；学习困难，比如
巧用数学等式思维，以不变应万变求解初中物理题广元市利州区大东英才学校：白 涛摘要：数学思维是所有理科学习的工具，但是初中阶段的数学教学更关注基础知识和数学本身所用思维，学生在学习其他理科时无法迁移，所以物理老师主动研究数学，掌握初中数学思维的精髓――“等式的建立与应用”，可以在初中物理的学习过程中以不变应万变，成功求解多种复杂的物理综合运用问题。关键词：数学方法
状态变化题
表达式物理学是应用数学最充分、最成功的一门学科，数学方法为物理学的研究提供了简明精确的科学通用语言形式。学好数学对学好物理非常重要，作为一线教师，我们有深刻体会，凡是学好了物理的学生，其数学一定学得非常好，但也出现一部分学生数学能学好，物理却学习困难，比如笔者所任教的大东英才学校2008级12班曾经出现过这样一个教学案例，初二下学期数学教材上出现了一道关于并联电路总电阻的计算应用题，当时物理还没有学习并联电路电阻的计算，数学向老师问我是否要给学生提前讲一讲并联电路电阻计算公式原理，我不经意地说你们数学运用公式就行了，何必去把物理道理弄清楚呢，向老师采纳了我的建议。在学习完该数学课题后，向老师在一次数学测试中考察了这种应用题，该班56名同学有51名同学做对，教学效果很好。一周之后，物理也学习了并联电路电阻计算方法，在测试中我选取了这道与数学测试中完全相同的并联电路电阻的计算题，文字和数据条件都不变，结果只有26名同学做出正确解答。为什么同一类型题目同一时间段在数学和物理测试中会出现解答效果不同这种现象呢？究其原因，我发现是我对向老师的数学中只管运用公式不管原理的建议起了作用。因为如果不管并联电路电阻计算的物理原理，它就只是一道数学方程应用题，在数学解题体系中，未知数X的确定是非常清晰的，一但未知数X确定，接下来的方程求解思路是单一的一条线，学生只管沿着思路往下走。而当它成为一道物理问题时，学生首先得在实际问题中分析众多物理量谁才是所求的未知量，找到未知量后还得在众多物理公式中寻找到包含这个未知量以及其他已知量的合适公式，然后才能进入数学解方程体系代入数据求解。很多思维不够活跃的学生都无法分析出所求未知量，或者分析出未知量后无法找到合适公式求解，纵有满腹数学知识而无法运用；再则物理问题是实际应用问题，他可能涉及到数学中代数、几何、三角等多种知识，所需要运用的也有多种数学思维方法，到底运用哪种需要学生在掌握多种数学知识方法后综合分析选择应用，和单一的数学演绎有天壤之别。学生虽然知道要用数学知识方法，但多中取一实在为难了许多数学本就掌握得不是很灵活的同学了。现行的教学体制中数学、物理教学各自为战，学生在学习数学时很少想到所学数学知识能为其他理科所用，学习物理时又没想到能把已经学过的数学知识联系起来。当然我们不能去责怪数学教学，数学本就是一门纯理论的工具学科，它任务只是演绎工具的使用规则，不可能去教工具在所有应用中的具体使用，虽然也有一些应用题目，但数学不可能把所有的应用全包办完，只能在物理教学中教会学生如何更好地去运用数学思维方法。但如何在众多的数学知识、方法中选择一种来解决较为复杂的物理问题？多中取一往往感到困难。如果能找到一种万能的数学思维方法，以不变应万变，可以为学生在物理解题中运用数学知识打开方便之门。在阅览了小学到初中的全部数学教材后，我发现数学教材编者贯穿了从数－式－代数－代数式－等式（方程）－等式应用（函数）的思路线索。说到底小学初中数学学习就是等式思维的建立与应用学习。而物理问题中的公式也就是一个等式（数学方程），即使由很多公式形成的综合算式也最终也是在一个等式中求解，所以训练并用好数学中的等式思维可以以不变应万变，在物理中应对各种不同知识板块、不同类型、不同思路的题目求解。（包括力学、电学、热学计算甚至还可以推广到化学中的化学方程问题）简单的物理计算比如知道电压、电阻求电流的计算只需要直接运用公式I＝U/R进行计算，只要能记住公式，实际是就是一个一元一次次方程（等式）的求解，较为复杂的物理计算往往一个题目中描述多种物理现象用到多个公式，（比如电学中一个题目是通过开关或变阻器把一个电路变化成几个不同的电路，力学中质量密度问题一次描述两种以上的物质密度构成，浮力计算中同时描述两种以的物体在液体中的沉浮，热学中描述两种以上的物质热量交换过程）其中一个描述中已知条件多但不需要求解问题，另一个描述中需要求解问题但已知条件不够，许多学生在解决这类问题时陷入迷茫不能理清思维线索。仔细分析，一个题目中给出的这两种描述并不是孤立无援，一定具有某种相关联系，我把这种问题称之为状态变化题，我的解决方法是利用数学的等式思维，在两种描述中寻找等量、建立等式，再把等式两边用已知量合理表达、代入数据求解。下面我就以电学计算为例说明如何使用数学等式思维求解物理问题的方法。一、分状态分析，画出每个状态的等效简化图，把一个复杂的大题简化成几个简单的小题，每个状态能独立求解就直接求解；例1、如图所示电路中，小灯泡上仅看见“2.5V”字样，滑动变阻器上标有最大阻值20Ω，当闭合S，且将滑片P移至最左端时，小灯泡正常发光，电流表的示数为0.5A（设灯丝电阻不变），求：
（1）电源电压
（2）小灯泡的灯丝电阻（3）将滑片移至变阻器的最右端时，电路消耗的总功率。 解：状态1：滑片P移至最左端时，电路中只有小灯泡L，等效图（上中图）因为小灯泡正常发光，所以小灯光的额定电压2.5V就是电源电压；小灯泡电阻R灯＝U灯/I灯＝2.5V/0.5A＝5Ω；状态2：滑片P移至最右端时，滑动变阻器全部阻值和小灯光串联，等效图（上右图）因这P总＝U源/R总＝U源/（RL+R）= 2.5V/（5Ω+20Ω）=0.25W 222二、如每个状态不能独立求解，在状态之间寻找等量建立等式，状态间的等量包含：1、题目已知的状态间数量关系；2、不变的U源；3、几个状态共有的定值电阻R。1、状态间有已知数量关系的一定要选用已知数量关系建立等式；例2、如图所示电路，U源不变，当滑片P滑到a端和b端时，R1的功率之比为9:1，当滑片P滑到a端时电流表的读数为6A，当滑片P滑到b端时电压表计数为8V，求电源电压和R1 、R2的阻值。 解：先分状态分析并画出行将简化图状态1：当滑片P滑到a端时，只有R1，状态2：当滑片P滑到b端时， R1、 R2串联，因为不同状态时R1的功率P1: P1＝9:1，利用此等式，把P1、P1分别用已知量和状态间的不变量表达出来，P1＝U（U源－8V）/ R1，即：U源/ R1: （U源－8V）/ R1＝9:1，R1被消掉后求解U源得U源＝12V，R1、R2求解略。 222//2源/ R1，P1＝/2、状态间没有已知数量关系的，寻找U源建立等式，同一电路变化时， U源一般不变；例3、如图电路U源不变，调节电压表的计数为10V时，变阻器的功率为10W，调节变阻器到另一位置时，电压表计数为5V时，变阻器功率为7.5W，求U源和定值电阻的R1 阻值。 解：先分状态分析并画出等效简化图（略）两次状态中变阻器都有取值，形成两个不同的串联电路，两个电路的
U源不变，分别用已知条件列出不同电路中的U源表达式：第一次状态时：U源＝10V+U2＝10V+P2/I＝10V+P2/（U1/R1）＝10V+10W/（10V/R1）＝10+R1，第二次状态时：U源＝5V+U2＝5V+P2/I＝5V+P2/（U1/R1）＝5V+7.5W/（5V/R1）＝5+1.5R1，U源不变时两等式联立相等：10+ R1＝5+1.5R1，求解得R1＝10Ω，代入上式得U源＝20V。3、状态间U源也不能确定不变时，选择几个状态间共有的定值电阻建立等式（初中阶段定值电阻一般不变）例4、一只小灯泡与一个阻值为10Ω的定值电阻串联在电源电压为12V的电路中时，小灯泡正常发光，现将此灯泡与另一个阻值为20Ω的定值电阻串联在电源电压为18V的电路中，小灯光也正常发光，求小灯泡的额定电压。（设小灯泡的电阻不变）解：前后两次状态中没有已知的数量关系，电源电压也不相等，但再次共有的小灯光电阻不变，可以用灯光电阻为先是建立等式求解：在第一次状态中R灯＝U灯/I灯＝U灯/IR ＝U灯/[（U－U灯）/R1]＝U灯/[（12V－U灯）/10Ω]①，第二次状态中R灯＝U灯/I灯＝U灯/IR ＝U灯/[（2U－U灯）/R1]＝U灯/[（18V－U灯）/20Ω]②灯光电阻值不变，等式建立：U灯/[（12V－U灯）/10Ω] ＝U灯/[（18V－U灯）/20Ω]，两边消元后：（12V－U灯）/10Ω＝（18V－U灯）/20Ω推出：24V－2U灯＝18V－U灯解得U灯＝6V三、在等式两边把等量按需要展开表达，再代入数据求解。所谓按需要表达是指所建立的等式中应包含：1、所求未知量，没有求解目标的等式没有求解意义；2、尽可能多的已知量，已知量用得越多，意味着未知量越少，求解更加简便；3、如果非得有不需要求解的未知量进入等式，要尽可能选择状态间除了用来建立等式的等量之外剩余的其他等量（比如选择了已知数量关系建立等式后要尽可能把U源和共有的定值电阻R放入等式中，如果选择了U源建立等式要尽可能把共有的定值电阻R放入等式中），或者尽可能把电路联接方式中的不变量放入等式中（比如串联中的电流、并联中的电压等等），因为这些量即便是未知量，因为能从其他渠道求解，也只能算半个未知量。以上方法推广到其他知识板块同样具有很好的效果，比如力学中同一容器装水和装油时利用容器体积不变V水＝V油建立等式求解质量密度问题； 浮力计算中利用力的平衡等式F热学中利用上＝F下推导出如漂浮问题F浮＝G物两边展开成ρ水gV排＝ρ物gV排代入数据求解；热平衡方程式Q吸＝Q放展开成c1m1(t-t01)＝c2m2(t02-t)代入数据求解，如此类推我们可以把这种数学等式思维应用到各种理科问题中去，不仅仅包括计算题，还包括比例问题、用控制变量法分析两个量的关系等等，真正成为万能的方法。虽然不一定有某一类型问题中特定的解法更加轻巧灵活，但却是一个什么问题都能用且有效的方法，至少给那些暂时不具备奇思妙想的同学提供了一个可以任意解决问题的方法。让全体同学都能动手做题，是我们所有老师都希望看到的，这也是全民无差别教育的初衷。包含各类专业文献、应用写作文书、中学教育、幼儿教育、小学教育、专业论文、各类资格考试、行业资料、71巧用数学等式思维.以不变应万变求解初中物理问题doc等内容。
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浮力是我心中永远的痛T_______T话说有一个球形容器，半径0.8m，自重10kg，把它放到30m的水下，它会以7.8m/s的速度匀速上升。现在坐了一个人（55kg）进去，请问它需要多长时间才能从30m的水下浮出水面。求高人解答T______T我觉得我对浮力的理解整个都有问题……这道题让我非常困惑的是，它既然都已经匀速上升了，那不就是没有net force嘛，现在增加重力，net force不就是向下的了嘛，这样还浮得起来嘛？……可是看题目的意思好像就是浮得起来的啊……唉T T经过和猪了个去同学的讨论，我决定用F=1/2CpAv?试一下……结果如下：空着的时候……浮力=球形体积*水的密度*g=2145g重力=mg=10g阻力=N=1/2CpAv? 代入v=7.81/2CpA=343.85人进去以后……浮力=2145g重力=65g阻力=N=1/2CpAv? 代入1/2CpA=343.85（假设匀速运动，我也不知道凭什么就这么假设了……）v=7.7m/s好扯…………………………………………………………………………T__________T
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之前合外力78N。。包括浮力、重力。多了一个人的重力550N，现在合外力=472N，方向向下，所以浮不起来以上为不考虑深度造成的影响；按照题意（匀速上升），应该不考虑。。。——————以下是猪的签名——————————才疏学浅，请前辈们指导哈～
的话：之前合外力78N。。包括浮力、重力。多了一个人的重力550N，现在合外力=472N，方向向下，所以浮不起来以上为不考虑深度造成的影响；按照题意（匀速上升），应该不考虑。。。请问78N是怎么算出来的T T
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的话：请问78N是怎么算出来的T TF=ma。。。。。。质量乘以加速度。。。——————以下是猪的签名——————————才疏学浅，请前辈们指导哈～
的话：F=ma。。。。。。质量乘以加速度。。。加速度……加速度在哪里？不是匀速来着么……
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的话：加速度……加速度在哪里？不是匀速来着么……额啊~~看错了。。。那这个问题真的。。。为啥是匀速。。。那就是要考虑阻力？？！！——————以下是猪的签名——————————才疏学浅，请前辈们指导哈～
数学/化学爱好者
感觉是7.8m/s/s匀加速上升吧，你看这g-2m/s/s数字凑得那么好……
数学/化学爱好者
如果匀速的话坐个人进去就沉了。。
的话：额啊~~看错了。。。那这个问题真的。。。为啥是匀速。。。那就是要考虑阻力？？！！我也不知道啊T________T 完全没想法啊……我算出来的浮力是2145g（用体积*密度*g算的），这也太大了= =|||，然后阻力就是2135g（流汗），然后我就不知道是要怎样了……
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的话：如果匀速的话坐个人进去就沉了。。我在想复杂的情况：也许有向上的外力？然后是因为阻力导致的匀速？另：楼主你确定不是7.8m/s??——————以下是猪的签名——————————才疏学浅，请前辈们指导哈～
的话：我在想复杂的情况：也许有向上的外力？然后是因为阻力导致的匀速？另：楼主你确定不是7.8m/s??真的不是诶，这道题我都纠结一个晚上了……原话是“稳定的向上的速度7.8m/s”……唉
智能科学专业
的话：我也不知道啊T________T 完全没想法啊……我算出来的浮力是2145g（用体积*密度*g算的），这也太大了= =|||，然后阻力就是2135g（流汗），然后我就不知道是要怎样了……浮力是2145g？？？！！！单位啊单位好不顺眼~~~还是写成N吧。。。。——————以下是猪的签名——————————才疏学浅，请前辈们指导哈～
智能科学专业
有说阻力和速度的关系么？是和速度成正比还是速度平方成正比？如果是高中题会说的。。。——————以下是猪的签名——————————才疏学浅，请前辈们指导哈～
好吧原话是“you found that it reaches a steady upward velocity of 7.8m/s almost at once" 就算LZ英语再不好那个单位也是不会看错的啊……T T它从静止到7.8m/s的过程中肯定是有加速度的，可它又没说加速了多久，只说almost at once……瞬间加速嘛这是= =
的话：有说阻力和速度的关系么？是和速度成正比还是速度平方成正比？如果是高中题会说的。。。真心没有说……其实题里提了一句阻力我觉得不重要所以没打，它说，这个容器被涂了一层特殊的……不知道什么来减少它的阻力。那么这个是不是要我无视阻力的意思啊……
我学的阻力的公式是F=1/2CpAv?但我觉得应该不会这么难吧……我还没有学到那个层次的物理啊T T
智能科学专业
的话：真心没有说……其实题里提了一句阻力我觉得不重要所以没打，它说，这个容器被涂了一层特殊的……不知道什么来减少它的阻力。那么这个是不是要我无视阻力的意思啊……按照这个。。。。不能无视阻力啊。。不然就沉了。。更别提还匀速上浮了。。。。时间不早了。明天再来。。。。先按照阻力和速度成正比算算吧。。。——————以下是猪的签名——————————才疏学浅，请前辈们指导哈～
的话：按照这个。。。。不能无视阻力啊。。不然就沉了。。更别提还匀速上浮了。。。。时间不早了。明天再来。。。。先按照阻力和速度成正比算算吧。。。没法算啊T TF=1/2CpAv? 它又没告诉我C是啥T T睡吧睡吧，晚安好梦~
数学/化学爱好者
你把原题整个放上来吧。。。
的话：你把原题整个放上来吧。。。可长了……一堆的废话我不敢放英文原题，有的老师真的会无聊到google自己的题目= =翻译一下就是：想象你在为一个百万富翁冒险家打工。她想使用一个特殊的球形容器穿过一个大瀑布。这个容器非常坚固但是也很轻巧，半径80cm，空着时重10kg。它被涂上一层特殊的物质来降低它的drag coefficient。她计划坐在里面（她的重量是55kg）然后被放置在河的上游。她将冲下瀑布，落入到一个深陷的池子里去（30m深）。一旦球形容器离开瀑布的底端，浮力将使它上升到水面。她想知道，球形容器从瀑布底端上升到30m的水面需要使用多长时间。如果时间太长，她在里面也许会缺少呼吸的氧气。在一次实验里，你在30m的水下放开那个空的球形容器并录影它到达水面的过程。你看到它几乎马上到达一个平稳向上的速度7.8m/s。诶，我翻译得真不比google流畅多少= =
数学/化学爱好者
这个翻译可以理解题意了，这题估计还真跟粘滞系数什么的有关。。。。
智能科学专业
根据你的公式可以算…前面的字母都算系数……可以当作常量的…可以通过匀速上升求出这个系数…
现在LZ的答案应该正确了。
土木工程研究生，FRP
难道是要解出速度和阻力的影响系数么- -
可是这种题里面，球体最初做的是加速度逐渐减小的加速运动，这个在高中层次还涉及不到吧？
跟据水流速度和水温，大概要三到七天后会从下游几到几十公里的范围内会浮起来……
土木工程研究生，FRP
的话：可长了……一堆的废话在一次实验里，你在30m的水下放开那个空的球形容器并录影它到达水面的过程。你看到它几乎马上到达一个平稳向上的速度7.8m/s。诶，我翻译得真不比google流畅多少= =我认为这题就是要算速度和阻力的相关系数，这个“几乎马上达到平稳速度”已经暗示了这点，根据我的计算结果这球囊的浮力大得出奇，超过21千牛
土木工程研究生，FRP
最终结果大概3.90s
匀速上升表示丫是固定在导轨上由同步带驱动，所以你放个人进它还是那速度。。。
初中还是高中题？要是初中的，匀速上升等同于静止在原地。往下就不用说了吧。要是高中的，如果没学过更高级的东西，等同于初中的解释，要是学过——不知道高中学没学过更高级的东西，反正我没印象了。
考虑流体的斯托克斯力？与速度成正比
达到平衡速度的时间很短，可以不计。这样就不需要考虑加速过程及此过程中通过对距离。我是这样理解的引用
的话：好吧原话是“you found that it reaches a steady upward velocity of 7.8m/s almost at once" 就算LZ英语再不好那个单位也是不会看错的啊……T T它从静止到7.8m/s的过程中肯定是有加速度的，可它又没说加速了多久，只说almost at once……瞬间加速嘛这是= =
楼主，祈祷你的老师不懂中文吧。。。怪只怪google太牛逼了。。。
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现在LZ的答案应该正确了。
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