如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底ABCD为正方形，M、N分别为SB、SD的中点．求证：（1）BD∥面AMN_百度知道
如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底ABCD为正方形，M、N分别为SB、SD的中点．求证：（1）BD∥面AMN
（1）BD∥面AMN、N分别为SB.com/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=7787c9bebb0e7bec238f0be51a1e950e/b3fba6e22aea20afcc如图，SA⊥平面ABCD.baidu.hiphotos.baidu
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平面ABCD证明，∵MN，∴MN∥BD，∵SA∩AD=A?平面AMN：（1）∵M，CD、N分别为SB，∴SA⊥CD，∵底ABCD为正方形，∴CD⊥AD、SD的中点，∴BD∥面AMN．（2）∵SA⊥平面ABCD，BD不包含于平面AMN
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如图，四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥面ABCD，且SA=AB，M、N分别为SB、SD中点，求证：（1）DB∥平面AMN．（2）SC⊥平面AMN．
题型：解答题难度：中档来源：不详
证：（1）∵M，N分别为SB，SD的中点∴MN∥BD∵MN?面AMN，BD?面AMN∴BD∥平面AMN（2）∵SA⊥平面ABCD，AC⊥BD∴SC⊥BD∴SC⊥MN又∵CD⊥AD，SA⊥CD∴CD⊥平面SAD，∴CD⊥AN，又AN为等腰直角三角形SAD斜边中线，所以AN⊥SD∴AN⊥平面SCD∴AN⊥SC∴SC⊥平面AMN．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥面ABCD，且SA=AB，..”主要考查你对&&直线与平面垂直的判定与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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直线与平面垂直的判定与性质
线面垂直的定义：
如果一条直线l和一个平面α内的任何一条直线垂直，就说这条直线l和这个平面α互相垂直，记作直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
线面垂直的画法：
画线面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示：
&线面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。（线线垂直线面垂直）
符号表示：
& 如图所示，
&线面垂直的性质定理：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 （线面垂直线线平行） 线面垂直的判定定理的理解：
(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性语句，一定要记准．(2)如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面，这个结论是错误的．(3)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面，这个结论也错误，因为这无数条直线可能平行.
证明线面垂直的方法：
(1)线面垂直的定义拓展了线线垂直的范围，线垂直于面，线就垂直于面内所有直线，这也是线面垂直的必备条件，利用这个条件可将线线垂直与线面垂直互相转化，这样就完成了空间问题与平面问题的转化．(2)证线面垂直的方法①利用定义：若一直线垂直于平面内任一直线，则这条直线垂直于该平面．②利用线面垂直的判定定理：证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直，③利用线面垂直的性质：两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面，④用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．⑤用面面平行的性质定理：一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面．⑥用面面垂直的性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面．⑦利用向量证明．
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与“如图，四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥面ABCD，且SA=AB，..”考查相似的试题有：
341042401057280245628791266207244091如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A-_答案网
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&如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A-时间:&&分类:&&&【来自ip:&16.19.135.148&的&热心网友&咨询】
&问题补充：
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A-EF-D的大小．
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&网友答案：
解：法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．连接，又，故为平行四边形．EF∥AG，又AG?平面SAD，EF?平面SAD．所以EF∥平面SAD．（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等腰直角三角形．取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，所以DH⊥面AEF．取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．连接DM，则DM⊥EF．故∠DMH为二面角A-EF-D的平面角．所以二面角A-EF-D的大小为．法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D-xyz．设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），，．取SD的中点，则．平面SAD，EF?平面SAD，所以EF∥平面SAD．（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），，．EF中点，，，又，，所以向量和的夹角等于二面角A-EF-D的平面角．．所以二面角A-EF-D的大小为．解析分析：法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．要证EF∥平面SAD，只需证明EF平行平面SAD内的直线AG即可．（2）取AG中点H，连接DH，说明∠DMH为二面角A-EF-D的平面角，解三角形求二面角A-EF-D的大小．法二：建立空间直角坐标系，平面SAD即可证明（1）；（2）求出向量和，利用，即可解答本题．点评：半边天考查直线与平面平行的判定，二面角的求法，考查计算能力，逻辑思维能力，是中档题．
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如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。
题型：解答题难度：偏易来源：不详
解法一：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC。在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD。（Ⅱ）设正方形边长a，则SD=。又OD=，所以SOD=60°，连OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD，所以POD是二面角P-AC-D的平面角。由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以POD=30°，即二面角P-AC-D的大小为30°。（Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使BE//平面PAC由（Ⅱ）可得PD=，故可在SP上取一点N，使PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E。连BN。在△BDN中知BN//PO，又由于NE//PC，故平面BEN//平面PAC，得BE//平面PAC，由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1。解法二：（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz如图。设底面边长为a，则（2）由题意知面PAC的一个法向量为（3）在棱SC上存在一点E使BE//面PAC由（2）知为面PAC的一个法向量，且设E（x,y,z）略
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的..”主要考查你对&&点到直线、平面的距离&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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点到直线、平面的距离
点到直线的距离：
由点向直线引垂线，这一点到垂足之间的距离。
点到平面的距离：
由点向平面引垂线，这点到垂足之间的距离，就叫做点到平面的距离。 求点面距离常用的方法：
(1)直接利用定义①找到（或作出）表示距离的线段；②抓住线段（所求距离）所在三角形解之．(2)利用两平面互相垂直的性质如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离．(3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由求出．这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离，难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算．(4)转化法：将点到平面的距离转化为直线与平面的距离来求．(5)向量法：
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与“如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的..”考查相似的试题有：
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如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG=AD，动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A、G重合），设运动时间为t秒。连接BM并延长交AG于N。
（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；
（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=NH；
25、（14分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG=AD，动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿着A&C&G的路线向G点匀速运动（M不与A、G重合），设运动时间为t秒。连接BM并延长交AG于N。
（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；
（2）当点N在AD边上时，若BN&HN，NH交&CDG的平分线于H，求证：BN=NH；
（3）过点M分别用AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值。
【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）当t=秒时，S的最大值为.
试题解析：
(1)当点M为AC中点时，有AM=BM,则△ABM为等腰三角形；
当点M与点C重合时，AB=BM,则△ABM为等腰三角形；
当点M在AC上且AM=2时，AM=AB,则△ABM为等腰三角形.
证明：在AB上取点K,使AK=AN，连接KN.
∵AB=AD,BK=AB-AK,ND=AD-AN,∴BK=DN.
又DH平分直角&CDG，∴&CDH=45&，∴&NDH=90&+45&=135&.
∴&BKN=180-&AKN=135&,∴&BKN=&NDH.
∵在Rt△ABN中，&ABN+&ANB=90&，又BN&NH,即&BNH=90&
∴&ANB+&DNH=180&-&BNH=180&-90&=90&
∴&ABN=&DNH.∴△BNK≌△NHD(ASA),∴BN=NH.
①当点M在AC上时，即0&t&时，易知：△AMF为等腰直角三角形.
∵AM=t,∴AF=FM=.
∴S=.
当点M在CG上时，即&t&时,CM=t-,MG=-t.
∵AD=DG,&ADC=&CDG,CD=CD,
∴△ACD≌△GCD(SAS),
∴&ACD=&GCD=45&
∴&ACM=&ACD+&GCD=90&
∴&G=90-&GCD=90&-45&=45&
∴△MFG为等腰直角三角形.
②在0&t&范围内，当t=时，S的最大值为.
在&t&范围内，，当时，S的最大值为.
∴当t=秒时，S的最大值为.
考点：四边形、三角形、二次函数综合题.
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