已知函数，（1）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围；（2）a=1时，求f（x）在上的最大值和最小值；（3）a=1时，求证：对大于1的正整数n，．
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（1）由已知：2，依题意：2≥0对x∈[1，+∞）成立，∴ax-1≥0，对x∈[1，+∞）恒成立，即，对x∈[1，+∞）恒成立，∴max，即a≥1．&&&&&&&&&&&&&（2）当a=1时，2，x∈[12，2]，若，则f'（x）＜0，若x∈（1，2]，则f'（x）＞0，故x=1是函数f（x）在区间上唯一的极小值点，也就是最小值点，故f（x）min=f（1）=0．&&&&&&&&&&&&&&&&&又3-ln162，∵e3＞2.73=19.683＞16，∴，∴，∴f（x）在上最大值是=1-ln2，∴f（x）在最大1-ln2，最小0．&&&&&&&（3）当a=1时，由（1）知，在[1，+∞）是增函数．当n＞1时，令，则x＞1，∴f（x）＞f（1）=0，即，即．
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（1）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，则[1，+∞）是函数增区间的子区间，求函数的导数，令导数大于0，求出函数的单调增区间，再让[1，+∞）的区间端点与函数增区间的区间端点比较即可．（2）a=1时，求f（x）的导数，再令导数等于0，得到的x的值为函数的极值点，在借助函数在的单调性，判断函数当x为何值时有最大值，何时有最小值．（3）借助（2）中判断的函数在的单调性，把证明转化为比较函数值大小的问题．
本题考点：
利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评：
本题主要考查导函数与原函数的单调性，极值之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．导函数等于于0时为极值点．
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＞＞＞若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是______．-数学-魔方格
若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是______．
题型：填空题难度：中档来源：浙江
由条件利用基本不等式可得xy=2x+y+6≥22xy+6，令xy=t2，即 t=xy＞0，可得t2-22t-6≥0．即得到(t-32)(t+2)≥0可解得 t≤-2，t≥32．又注意到t＞0，故解为 t≥32，所以xy≥18．故答案应为18．
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据魔方格专家权威分析，试题“若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是______．-数学-魔方格”主要考查你对&&基本不等式及其应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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基本不等式及其应用
基本不等式：
（当且仅当a＝b时取“=”号）； 变式：①，（当且仅当a＝b时取“=”号），即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 ②；③；④； 对基本不等式的理解：
(1)基本不等式的证明是利用重要不等式推导的，即，即有(2)基本不等式又称为均值定理、均值不等式等，其中的算术平均数，的几何平均数，本定理也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(3)要特别注意不等式成立的条件和等号成立的条件．均值不等式中：①当a=b时取等号，即 对于两个正数x，y，若已知xy，x+y，中的某一个为定值，可求出其余各个的最值：如：（1）当xy＝P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2，； （2）x+y=S（定值），那么当x=y时，积xy有最大值，； （3）已知x2+y2=p，则x+y有最大值为，。
应用基本的不等式解题时：
注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件，即“一正、二定、三相等”。
利用基本不等式比较实数大小：
(1)注意均值不等式的前提条件．(2)通过加减项的方法配凑成使用均值定理的形式．(3)注意“1”的代换．(4)灵活变换基本不等式的形式，并注重其变形形式的运用．重要不等式的形式可以是，也可以是，还可以是等，不仅要掌握原来的形式，还要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以便应用．(5)合理配组，反复应用均值不等式。&
基本不等式的几种变形公式：
发现相似题
与“若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是______．-数学-魔方格”考查相似的试题有：
456990256332488163780226519529769905（1）若函数
上为增函数，求正实数
的取值范围；（2）当
上的最大值和最小值；
（1）若函数
上为增函数，求正实数
的取值范围；（2）当
上的最大值和最小值；
（1）(2)最大值1-ln2,最小值0.
第一问中，利用函数f(x)在
上为增函数，则说明导函数恒大于等于零，则利用分离参数的思想求解得到参数a的范围。第二问中，当a=1时，f(x)解析式确定，求解导数，然后结合极值的概念，研究函数在给定闭区间上的最值即可。因为
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扫描下载二维码答案：解析：
　　(2)当a＝1时，，
　　，2]上唯一的极小值点，也就是最小值点，故f(x)min＝f(1)＝0．
　　又f(，
　　∵e3＞2.73＝19.683＞16，
　　(3)当a＝1时，由(1)知，f(x)＝
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科目：高中数学
已知函数．(1)若在时取得极值，求的值；(2)求的单调区间； (3)求证：当时，．
科目：高中数学
来源：2014届江西省高三第三次月考理科数学试卷（解析版）
题型：解答题
已知函数：
(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
(2)问：是否存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为.
科目：高中数学
来源：2010年重庆市高二上学期期中考试理科数学卷
题型：解答题
(本小题满分12分)
已知函数，
(1)&&&
若，，且的定义域是[– 1，1]，P（x1，y1），Q（x2，y2）是其图象上任意两点（），设直线PQ的斜率为k，求证：；
(2)&&& 若，且的定义域是，．
科目：高中数学
来源：2010年山东省高二下学期期末考试理科数学卷
题型：解答题
（满分14分）已知函数．
(1)若,求a的取值范围；
(2)证明：．
科目：高中数学
来源：重庆市学年度下期期末考试高二数学试题（文科）
题型：解答题
1．&
&(本小题满分13分)
已知函数．
(1)&
若在x = 0处取得极值为 – 2，求a、b的值；
(2)&
若在上是增函数，求实数a的取值范围．
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