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2016考研数学实例解读：带余除法定理
10:39:56 来源：新东方在线
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关注就送180元精品课【原创】五年级奥数解析（五十四）带余除法--池州郑丽敏
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【原创】五年级奥数解析（五十四）带余除法
11:12:00 | By: spring ]
《奥赛天天练》第四十二讲《带余除法》。
带余除法定理：对任意整数a，b，b＞0，存在唯一的整数q，r，使a＝bq＋r（即a÷bq……r），其中0≤r＜b，这个定理称作带余除法定理，是整除理论的基础。q叫做a除以b的不完全商，r叫做a除以b的余数。
整数除法的结果有两种情况，一种情况是能整除（r0），另一种情况是不能整除（0rb），即有余数的除法计算。
根据整除的性质可知，在带余除法算式中，除数b与余数r的最大公因数，就是被除数a与除数b的最大公因数。累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法，又称欧几里得算法。
带余除法算式中，各个部分之间的关系：
被除数商×除法＋余数
被除数－余数商×除法
《奥赛天天练》第42讲，模仿训练，练习1
【题目】：
哪些数除以7能使商和余数相同？
【解析】：
把题目转化为算式就是：□÷7□……□
余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。根据被除数商×除法＋余数，算得：
0×7＋00； &1×7＋18； &&2×7＋216；& 3×7＋324；
4×7＋432； 5×7＋540；& 6×7＋648。
所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。
《奥赛天天练》第42讲，模仿训练，练习2&&&&&&&&&&
【题目】：
333…3除以7余――――。
【解析】：
根据能被7整除的数的特征可知，每6个3组成的6位数333333能被7整除。
2000÷6=333……2
把原数从高位起按6个3一节，分得前333节都能被7整除，还剩下33。
33÷74……5
所以原数除以7余5。
《奥赛天天练》第42讲，巩固训练，习题1
【题目】：
用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数。
【解析】：
所求两位数除数和不完全商的积为：
708－43665
除数要比余数大，对665分解因数，求出665的所有大于43的两位数因数：
6655×7×197×95
所求两位数除数为95。
《奥赛天天练》第42讲，巩固训练，习题2
【题目】：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
把310粒糖果分给五（1）班的同学，如果每个同学分得相同数量的糖果后还余下37粒糖果，且不够继续分，那么全班有多少人？
【解析】：
学生数（除数）与每个同学分得糖果粒数（商）的积，即分掉的糖果粒数为：
310－37273
37粒糖果不够再分，即学生数大于37。
对273分解因数，求出273的所有大于37的因数：
2733×7×131×2733×917×39
结合实际情况，五（1）班的学生数不可能是91人或273人，这个班的人数应该是39人。
《奥赛天天练》第42讲，拓展提高，习题1
【题目】：
写出5个大于零的不同自然数，使其中的任意三个自然数的和能被3整除，这5个自然数的和最小是多少？
【解析】：
假设这5个数为：a、b、c、d、e，a和b两数的和是一定的，如果（a、b、c）、（a、b、d）、（ a、b、e）每组三个数的和都能被3整除，则c、d、e这3个数被3除余数一定相同。
依次类推，可以推出，要使这5个数其中的任意三个自然数的和能被3整除，这5个数被3除的余数都要相同。
5个大于零的不同自然数，最小的一个数最小是1，除以3余1，其它4个数最小是：4、7、10、13。
这5个自然数的和最小是：1＋4＋7＋10＋1335。
《奥赛天天练》第42讲，拓展提高，习题2
【题目】：
437×437×437…×437－40除以23的余数是多少？
【解析】：
437÷2319，437能被23整除，则1994个437连乘的积也能被23整除。
原式可化为：437×437×437…×437－46＋6。
1994个437连乘的积也能被23整除，46能被23整除，则这二者的差也能被23整除。
所以原式除以23的余数是6。
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me博客―数学教师博客群&为什么在带余除法a=bq+r中，要设立前提“r要≥0，而且 q和r都是唯一的”？
带余除法中，设a，b是两个整数，其中b＞0，则存在整数q，r使得a=bq+r，0≤r＜b成立，而且q、r都是唯一的，b＞0。q叫做a被b除所得的不完全商，r叫做a被b除所得的余数。为什么在带余除法的定理中，要设立0≤r＜b成立[即使r小于0，也可以计算啊! 如：-8=3x （-2）+（-2）]，而且要设立q、r都是唯一的？唯一的是什么意思？
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同学，你定义记错了吧，带余除法是：对任的整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r&|b|。
您定理看错了吧……我们并没有要求q,r的唯一性。这里q,r的唯一性是由对b的范围限制保证的。而对b的限制就是为了保证q,r唯一性。这样带余除法才有意义，否则你用带余除法得到了多个结果，你要哪一个？乱套了就。
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