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二元一次方程组教案(教师版)
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华师数学七下期末复习提纲(6.12)24
学年下期七年级数学期末；复习提纲；第六章一元一次方程；一、基本概念；（一）方程的变形法则；法则1：方程两边都或同一个数或同一个，方程的解不；在方程6x=-2x-6左右两边都加上4x，得到新；移项：将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移；例如：(1)将方程x－5＝7移项得：x＝7+5即；(2)将方程4x＝3x－4移项得：4x－3x＝－；法
学年下期七年级数学期末复习提纲第六章
一元一次方程一、基本概念（一）方程的变形法则法则1：方程两边都
同一个数或同一个
，方程的解不变。 例如：在方程7-3x=4左右两边都减去7，得到新方程：-3x+3=4-7。在方程6x=-2x-6左右两边都加上4x，得到新方程：8x=-6。移项：将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移动到另一边，这样的变形叫做移项，注意移项要变号。例如：(1)将方程x－5＝7移项得：x＝7+5
x＝12(2)将方程4x＝3x－4移项得：4x－3x＝－4即
x＝－4法则2：方程两边都除以或同一个的数，方程的解不变。例如： (1)将方程－5x＝2两边都除以-5得：x=-25 (2)将方程31222x＝3两边都乘以3得：x=9 这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。
注意：（1）如遇未知数的系数为整数，“系数化为1”时，就要除以这个整数；如遇到未知数的系数为分数，“系数化为1”时，就要乘以这个分数的倒数。（2）不论上一乘以或除以数时，都要注意结果的符号。方程的解的概念：能够使方程左右两边都相等的未知数的值，叫做方程的解。 求不方程的解的过程，叫做解方程。 （二）一元一次方程的概念及其解法1．定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是未知数的次数是，这样的方程叫做一元一次方程。例如：方程7-3x=4、6x=-2x-6都是一元一次方程。而这些方程5x2－3x+1＝0、2x+y＝l－3y、1x-1＝5就不是一元一次方程。2．一元一次方程的一般式为：ax+b=0（其中a、b为常数，且a≠0）一元一次方程的一般式为：ax=b（其中a、b为常数，且a≠0） 3．解一元一次方程的一般步骤步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。 注意：（1）方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。 （2）“去分母”指去掉方程两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母） （三）一元一次方程的应用 1．纯数学上的应用：（1）一元一次方程定义的应用；（2）方程解的概念的应用；（3）代数中的应用；（4）公式变形等。2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）面积问题等。 3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。二、练习1．下列各式哪些是一元一次方程。 (1)x2+1=3x―4
(2) 2x?3x?15= 2
(5)3x一y=l十2y((1)、(2)、(3)都是一元一次方程，(4)、(5)不是一元一次方程)
2．解下列方程。(1)112(x一3)＝2一2(x一3)(2)
54[45(142x一3)－25]=1－x注意认真审题，方程的结构特点。选用简便方法。第(1)小题，可以先去括号，也可以先去分母，还可以把x一3看成一个整体，解关于x一3的方程。方法―：去括号，得12x―32=2―12x+32 移项，得11332x+2x=2＋2＋2 合并同类项，得
x=5方法二：去分母，得
x一3＝4一x+3(强调等号右边的“2”也要乘以2，而且不要弄错符号)
x+x＝4+3十3
合并同类项，得
系数化为1，得
x=5方法三：移项 12(x一3)+12(x一3)＝2即
x＝5第(2)小题有双重括号，一般情况是先去小括号，再去中括号，但本题结构特殊，应先去中括号简便，注意去中括号时，要把小括号看作一个整体，中括号里先看成2项。解：去中括号，得(12x一3)一54×425＝1一x即
112x一3一5＝1一x移项，得
112x+x＝1+3+5 合并同类项，得3212x＝5系数化为1，得 x=145 也可以让学生先去小括号，让他们对两种解法进行比较。3．解力程。x2(l) x2―5x?116=l+2x?43(2)1?0.5x20.3x0.3―3x=0.02+l解：(1)去分母，得
3x一(5x十11)＝6+2(2x一4)1去括号，得
31―5x―11＝6+4x一8
3x一5x―4x＝6―8十1l
合并同类项，得
一6x＝9系数化为l，得
x＝一32 点拨：去分母时注意事项，右边的“1”别忘了乘以6，分数线有两层含义，去掉分数线时，要添上括号。(2)先利用分数的基本性质，将分母化为整数。原方程化为 10?5x3一23x＝302x十l去分母，得
2(10―5x)一4x＝90x+6
去括号，得
20一l0x一4x=90x+6
一l0x一4x一90x＝6―20
合并同类项，得
一104x=一14系数化为1，得
x＝752 点拨：“将分母化为整数”与“去分母”的区别。本题去分母之前，也可以先将方程右边的30x2约分后再去分母。
4．解方程。(1)｜5x一2｜＝3(2)｜1?2x3｜=1分析：(1)把5x一2看作一个数a，那么方程可看作｜a｜＝3，根据绝对值的意义得a＝3或a＝一3(2)把1?2x1?2x1?2x3看作一个数，或把｜3｜化成｜3｜解：(1)根据绝对值的意义，原方程化为：
或5x一2＝一3
得 x=l解方程
5x一2=一3 得 x=－15所以原方程解为：x＝1或x＝－15 (2)根据绝对值的意义，原方程可化为1?2x1?2x3=1或
3 =－1解方程1?2x3=1
得x=一1解方程1?2x3＝－1
得x＝2所以原方程的解为x＝一1或x=25．已知，｜a一3｜+(b十1)2
=o，代数式2b?a?m2的值比12b一a十m多1，求m的值。
解：因为｜a一3｜≥0
又｜a一3｜+(b十1)2
=0∴｜a一3｜＝0
=0 ∴ a－3=0
b=一1把a=3，b=一1分别代人代数式 2b?a?m2, 12b－a+m
得2(?1)?3?m2=m?52112×(一1)一3+m=一32+m根据题意，得
m?512一(－32十m)＝l去括号
m?512+32一m＝1即
m572一2＋2－m＝l∴ -m2十l＝1∴ -m2=0∴
m＝06．m为何值时，关于x的方程4x一2m＝3x+1的解是x＝2x一 3m的2倍。
解：关于；的方程4x一2m＝3x+1，得x＝2m+1
解关于x的方程
∵根据题意，得
2m+l=2×3m解之，得
m＝14 7．为了准备小勇6年后上大学的学费5000元，他的父母现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式。(1)直接存一个6年期，年利率是2.88％；(2)先存一个3年期的，3年后将本利和自动转存一个3年期。3年期的年利率是2.7％。
你认为哪种储蓄方式开始存人的本金比较少?分析：要解决“哪种储蓄方式开始存入的本金较少”，只要分别求出这两种储蓄方式开始存人多少元，然后再比较。
设开始存入x元。．如果按照第一种储蓄方式，那么列方程：
x×(1十2.88％×6)＝5000
解得 x≈4263(元)如果按照第二种蓄储方式，可鼓励学生自己填上表，适当时对学生加以引导，对有困难的学生复习：本利和＝本金十利息
利息：本金X利率X期数等量关系是：第二个3午后本利和＝5000所以列方程
1.081x?(1十2.7％×3)＝5000
x≈4279这就是说，大约4280元，3年期满后将本利和再存一个3年期，6年后本利和达到5000元。因此第一种储蓄方式&即直接存一个6年期)开始存人的本金少。 8．解答下列各问题：(1)据《北京日报》日报道：北京市人均水资源占有300立方米，仅是全国人均2 占有量的18，世界人均占有量的132，问全国人均水资源占有量是多少立方米?世界人均水资源占有量是多少立方米?(2)北京市一年漏掉的水相当于新建一个自来水厂，据不完全统计，全市至少有6×l05个水龙头，2×l05个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头，一个月能漏掉a立方米水，一个漏水马桶，一个月漏掉 b立方米水，那么一个月造成的水流失量至少有多少立方米?(用含a、 b的代数式表示)(3)水源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫，针对居民用水浪费现象，北京市将制定居民用水标准，规定三口之家楼房每月标准用水量，超标部分加价收费，假设不超标部分每立方米水费1.3元，超标部分每立方米水费2.9元，某住楼房的三口之家某月用水12立方米，交水费 22元，请你通过列方程求出北京市规定三口之家楼房每月标准用水量是多少立方米?10．爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄(3年期的年利率为2.7％)，3年后能取5405元，他开始存入了多少元?11．一收割机收割一块麦田，上午收了麦田的25％，下午收割了剩下麦田的20％，结果还剩6公顷麦田未收割，这块麦田一共有多少公顷?12．儿子今年13岁，父亲今年40岁，父亲的年龄可能是儿子年龄的 4倍吗? 第七章 二元一次方程组一、基本概念（一）二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程的定义：都含有个未知数，并且1，像这样的整式方程，叫做二元一次方程。一般形式为：ax+by=c（a、b、c为常数，且a、b均不为0）结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b、2m+3n=0、1-s+t=2s等都是二元一次方程。而6x2=-2y-6、4x+8y=-6z、2m=n等都不是二元一次方程。2．二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。例如：??2x?3y?5、??x?y??8?7a?3b??3、??a?2b?1?m?n?2、??m?n?1?s?t?2等都是二元一次方程组。?3s?t??11?2x?3y?5?7a?3a??3?1而??x?z??8、??a?2a?1、???m?n?2等都不是二元一次方程组。?m?n?1注意：（1）只要两个方程一共含有两个未知数，也是二元一次方程组。如：??2x?5、?s?2?y??8?t??11也?是二元一次方程组。3．二元一次方程和二元一次方程组的解（1）二元一次方程的解：能够使二元一次方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 （2）二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。（即是两个方程的公共解）注意：写二元一次方程或二元一次方程组的解时要用“联立”符号“??”把方程中两个未知数的?值连接起来写。 二元方程解的写法的标准形式是：??x?a，（其中a、b为常数）?y?b（二）二元一次方程组的解法1．解二元一次方程组的基本思想：“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程来解。 2．二元一次方程组的基本解法 （1）代入消元法（代入法）定义：通过“代人”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的这种解法叫做代人消元法，简称代入法。步骤：①选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程③。
②把③代人另一个方程，得一元一次方程。
③解这个一元一次方程，得一个未知数的值。④把这个未知数的值代人③，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。 （2）加减消元法（加减法）定义：通过将两个方程相加(或相减)，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫加减消元法，简称加减法。步骤：①把两个方程同一个未知数的系数乘以适当的倍数，使得这两个未知数的绝对值相同。
②把未知数的绝对值相同的两个方程相加或相减，得一元一次方程。
③解这个一元一次方程，得一个未知数的值。④把这个未知数的值代人原方程组中系数叫简单的一个方程，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。注意：正确选用两种基本解二元一次方程组（1）若二元一次方程组中有一个未知数系数的绝对值为1，适宜用“代入法”。（2）用加减法解二元一次方程组，两方程中若有一个未知数系数的绝对值相等，可直接加减消元；若同一未知数的系数绝对值不等，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解；若方程组比较复杂，应先化简整理。 （三）二元一次方程组的应用1．纯数学上的应用：（1）二元一次方程定义的应用；（2）方程解的概念的应用；（3）代数中的应用；（4）公式变形等。2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）面积问题等。 3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。注意事项：(1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组，从而解决一些简单的实际问题。(2)二元一次方程组的解法很多，但它的基本思想都是通过消元，转化为一元一次方程来解的，最常见的消元方法有代人法和加减法。一个方程组用什么方程来逐步消元，转化应根据它的特点灵活选定。(3)通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确作答，检验不仅要检查求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求。 二、练习1．求二元一次方程3x+y＝10的正整数解。分析：求二元一次方程的解的方法是用一个未知数表示另一个未知数，如y＝10-3x，给定x一个值，求出y的一个对应值，就可得到二元一次方程的一个解，而此题是对未知数x、y作了限制必须是正整数，也就是说对于给定的x可能是1、2、3、4?但是当x＝4时，y＝ 10-3×4=-2，y却不是正整数，因此x只能取正整数的一部分，即x= 1，x=2，x=3。 2．已知 x=1
2xn－m=53y=2
mx－ny=5的解，求m和n的值。
分析：因为，x=1，y＝2是方程组的解。根据方程组解的定义和x=1，y＝2既满足方程①又满足方程②于是有：
解这个方程组即可。3.A、B两地相距150千米，甲、乙两车分别从A、月两地同时出发，同向而行，甲车3小时可追上乙车；相向而行，两车1.5小时相遇，求甲、乙两车的速度。分析：这里有两个未知数:甲、乙两车的速度；有两个相等关系：
(1)同向而行：甲3小时的行程＝乙3小时行程十150千米
(2)相向而行：甲1.5小时行程+乙1.5小时行程＝150千米
解设甲车的速度为x千米/时，乙车的速度为y千米/时。
根据题意，得
1.5x+1.5y=1504.一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位上的数字比个位上的数字大2，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得新数比原来的三位数大99，求这个三位数。
分析：怎样设未知数?直接设可以吗?
这里有三个未知数――个位上的数字，百位上的数字及十位上数字，若用二元一次方程组求解，该怎样设未知数?由“十位上数字比个位上的数字大2”，可设原三位数的个位上的数字为x，则十位上数字为x+2，另设百位上数字为y.如何表示原三位数和新三位数?
100y+10(x+2)+x，l00x+l0(x+2)+y
2个等量关系是什么?(1)百位上数字十十位上数字十个位上数字＝13
(2)新三位数一原三位数=99
根据题意，得
x+(x+2)+y=13[100x+10(x+2)+y]-[100y+10(x+2)+x]=99解这个方程组即可。5．某旅行团从甲地到乙地游览。甲、乙两地相距100公里，团中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速是8公里，汽车时速是40公里，问要使大家在下午4:00同时到达乙地，必须在什么时候出发?
分析：这个问题实质上求的是如果按题设的行走方式，至少需要多少个小时?
本题比较复杂，引导学生用线段图帮助分析。
上车点 下车点
乙(1)汽车从A→B→D所需的时间与先步行的一部分人从A到D所需的时间相等。
(2)汽车从B→D→C所需的时间与后步行的一部分人从B到C所需要的时间相等。因此可设先坐车的一部人下车地点距甲地x公里，这一部分人下车地点距另一部分人的上车地 点相距y公里，如图所示。由以上两个等量关系，得：x+y40 = x-y2y+100-x100-x8
40 = 8 解方程组即可得到方程组的解。例2：方程组
mx-20y=-224
y＝10但是由于看错了系数m，而得到的解为??x?11，求a+b+m的值；第8章
?y? 一元一次不等式一、基本概念（一）不等式的有关概念和性质1．不等式的定义：用表示不等关系的式子叫做不等式。常见不等号：＞、＜、≥、≤、≠。注：“&”、“&”不仅表示左右两边不等关系，还明确表示左右两边的大小；“≤”、“≥”也表示不等，前者表示“不大于”(小于或等于)，后者表示“不小于”(大于或等于)，≠”表示左右两边不相等 例如：方程7y-3x＞4、-3a+3≤4-7a、2m+3n≠0等都是不等式。而-2y-6、4x+8y=-6z等都不是不等式。2．不等式解的定义：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。例如：不等式120&5x中x＝25，26，27，…等都是120&5x的解，而x＝24，23，22，21则都不是不等式的解。 3．不等式的解集（1）定义：一个不等式的所有解，组成这个不等式解的集合，简称为这个不等式的解集。 （2）求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 （3）在数轴上表示不等式的解集：没有等号画空心圆圈，有等号画实心圆点。“大于”向右画，“小于”向左画。 4．不等式的基本性质不等式的基本性1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向
。 即：如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c；
如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.不等式的基本性2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个
，不等号的方向不变。 即：如果a＜b，c&0，那么ac＜bc，a/c＜b/c不等式的基本性3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的
。 即：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc，a/c＜b/c （二）解一元一次不等式1．一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式。例如：方程7-3x＞4、6x≤-2x-6、3x≠-2x+150都是一元一次不等式。而这些方程5x2－3x+1≥0、2x+y＜l－3y、1x-1≠5就不是一元一次不等式。 2．一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。 注意：（1）不等式中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层4 括号合并同类项一次，以简便运算。 （2）“去分母”指去掉不等式两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母）。不等式的解法与解一元一次方程类似，完全可以把解一元一次方程的思想照搬过来。 （三）一元一次不等式组1．一元一次不等式组的定义：几个一元一次不等式合起来就组成一元一次不等式组 与二元一次方程组不同的是，这里的“几个”可以两个，也可以三个，或更多个。2．一元一次不等式组的解集：不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。3．一元一次不等式组的解集的确定规律同“大”取大，同“小”取小，“大”小“小”大中间找，“大”大“小”小无解了4．一元一次不等式组的解法（上次打印到此）求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。一般步骤：（1）分别解不等式组中的每个不等式；（2）把每个不等式组的解集在数轴上表示出来； （3）找出各个不等式解集的公共部分；（4）再结合不等式组解集的确定规律，写出不等式组的解集。 （四）一元一次不等式（组）的应用1．纯数学上的应用：（1）一元一次不等式定义的应用；（2）不等式解集的概念的应用；（3）代数中的应用； 2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）决策问题等。 3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。二、练习（一）选择题：
1、若a&b则（
）2、DA、a－2&b－2
C、?a2??b2D、a+5&b+5 2、不等式12x&－3的解集是（
C、x&?32D、x&－63、下列结论中，正确的是（
）4、AA、114x&0的解集是x&0
B、?x33?2的解集是x&?2C、3x&－5的解集是x&?53D、?x5?0的解集是x≥04、若代数式3x+4的值不大于0，则x的取值范围是（
）6、BA、x??43
B、x??4443
D、x?3 5的整数解是（
）7、CA、－3、4
D、46、如果不等式（a－1）x&（a－1）的解集是x&1，那么a的取值范围是（
）9、C A、a≤1
D、a&0 （二）填空题：1、用不等表示：x的3倍大于、。2、不等式2x－1&0的解集是12、； 不等式－2x&10的解集是 3、x－1&2的正整数解是、4、在－2（x+2）&2的两边都除以14、x+1&－1的依据是不等性质。 5、由x&y得到，ax&ay，a应满足的条件是15、 （三）解答题1、解不等式并把它的解集在数轴上表示出来
5x－1&8x+3. 1、解：
5x－1&8x+3.
x&-4/32、已知y=5－3x
试求：当x取何值时，y＞o。 2、解：y&0，即 5-3x&0
x&5/33、解不等式x?1x?43?2??2 3、解：2(x-1)-3(x+4)&-12
2x-2-3x-12&-12
5x+4&3(x+1){x?122?x?154、 解：不等式①
x&?12 不等式②
x≥?74 ∴不等式组的解集为：?74≤x&?12（数轴略）5、
{x+2&0x－3&0 x－6≤0 5 解：不等式①
x&-2不等式②
x&3不等式③
x≤6∴不等式组的解集为3&x≤6 5包含各类专业文献、幼儿教育、小学教育、应用写作文书、生活休闲娱乐、高等教育、各类资格考试、华师数学七下期末复习提纲(6.12)24等内容。　
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某旅游团从甲地到乙地游览，甲、乙两地相距100KM，团中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途
提问者采纳
则设时间为T人一直在走， 现在因为人也在走，车也一直在走， 由于是往返，车就要跑3个100米： 40×T＝300－（8×T）×2 最短时间。 如果人不走， 其中的200米是往返一次的距离，汽车就少跑了这段距离： T＝300÷56＝75&#47，要乘2
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