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π里包含了所有可能的数字组合吗？
π Pi pie 3.1415926 圆周率 无限 每一个 疑犯追踪 芬奇 宅总 3.14 派
本文作者:Ent
在《疑犯追踪》S02E11里，“宅总”哈罗德·芬奇说了这样一段话：
“π，圆周长与其直径之比，这是开始。后面一直有，无穷无尽。永不重复。就是说在这串数字中，包含每种可能的组合。你的生日，储物柜密码，你的社保号码，都在其中某处。如果把这些数字转换为字母，就能得到所有的单词，无数种组合。你婴儿时发出的第一个音节，你心上人的名字，你一辈子从始至终的故事，我们做过或说过的每件事，宇宙中所有无限的可能，都在这个简单的圆中。用这些信息做什么，它有什么用，取决于你们。”
很多观众看到这一段之后十分感动，还有人感慨：为什么我们的数学老师没有这么教我们呢？
之所以我们的老师不讲，是因为这段话在数学上是不对的。
宅总的前两句话正确地描述了π的一个属性：无穷无尽且永不重复——换句话说，π是个“无限不循环小数”，也就是“无理数”。
但是，一个无理数并不一定能包含“每种可能的数字组合”。
举个简单的反例：0.……
（除非特别声明，所有数字都是10进制的，下同。）
这个数的特点是，两个“9”之间的距离会越来越长，每次多一个0，直到无限。它是无穷无尽的，也是不循环的，因此是无理的；但别说“每种可能的数字组合”了，它连0到9这十个数字都凑不齐呢！
包含所有数字组合的数，叫做“合取数”。无理数并不都是合取数。
一个典型的合取数是这样的：0.…………
在越来越长的0串中间，夹杂着从1开始的所有自然数，直到无限。既然包含了所有自然数，当然也就包含了所有的数字组合。
但是写这么多0，多费纸费电啊。如果把这些零去掉呢？
得到的数就是这样：0.……
这个数不但是合取的，还是“正规”的——从0到9的每一个数字，出现的频率都趋向于一样的值。
如果我们再进一步，连生成规律都不要了，而是用某种真随机生成器（比如哥本哈根解释下的量子随机性）造出一个每位都随机的数，那么它当然就是“随机”的了——不光每一个数字的长期频率趋于一致，任何位置出现的概率也都一样。
那pi是什么？
非常遗憾的是，目前为止我们只证明了pi是个无理数。pi是合取（包含所有可能）的吗？是正规（所有数字出现频率趋于一致）的吗？是随机（每一位上的数字都随机）的吗？
答案是：全都不知道。
我们很容易构造出一个合取数或者正规数，甚至能证明“几乎所有”实数都是合取而且正规的，但是随便拿一个具体的数字，要想判断它是否合取、是否正规，却极其困难。我们甚至都不知道pi里面是不是有无限个数字2。至于随机？别跟我提什么随机。
合取数和正规数有另一个有趣的性质：和进制有关。有个常数叫斯通汉姆数（Stoneham number），在二进制、四进制、八进制……下已经证明全都是正规的了，可是在六进制下却能证明它不是正规的。如果一个数在任何进制下都正规，可以称之为“绝对正规”。不幸的是，pi在任何进制下都没能证明正规——离得最近的是2，有论文证明，假如某个猜想是对的，那么pi就是二进制正规；但那个猜想本身也只是“很可能正确”，还没有得到严格证明。
当然，我们都已经计算出pi的几百亿位了，可以看看它们的分布来猜规律；也可以通过一些其他数学方法拐弯抹角地试图推断。从已知事实来看，pi和正规性吻合得非常之好，换做任何别的人文、社科、自然科学，都可以当做定论来用了，因此几乎所有人都“觉得”它该是正规的。可惜，这是数学，数学是靠证明说话的，只要拿不出证明，数学家就不能安心睡好觉。
平面上的一个随机行走路线，每一步随机选择上下左右四个方向之一。本组行走路线图片来自David H. Bailey and Jonathan Borwein，下同。
用四进制pi前1000亿位生成的行走路线，0123分别对应上下左右。看起来和随机的很像。但只是看起来。
用四进制詹帕诺尼常数（Champernowne's number）生成的行走路线。这个常数是正规的，但显然一点儿都不随机。
四进制斯通汉姆数生成的行走路线。它是正规的，看起来也很随机。
三进制斯通汉姆数生成的行走路线。我们不知道它是否正规，但至少看起来和随机很像。
六进制斯通汉姆数生成的行走路线。它不正规，所以……也完全不随机。就是这么一条儿。
为什么要在乎这些细节呢？
这篇文章不是为了批评《疑犯追踪》这部剧，事实上看到这一幕的时候我还非常高兴：影视剧里到处都是坏掉的理化生，而坏掉的人文社科干脆就是某些作品的主干——但现在终于出现了（哪怕是坏掉的）数学了！数学至少有了存在感！
但是这文章又必须要写，因为编剧在写这个段子的时候违反了基本的数学精神。其一，数学靠证明说话，哪怕pi距离“包含所有可能序列”离得再近，哪怕每一个人试过的每一个数字序列都能在它里面找到，在得到证明之前你也不能这么说；其二，数学是一个严密的逻辑体系，就算pi真的包含了所有可能性，你也不能说“因为它是无理数所以它是合取数”，这个推论本身的逻辑是错的。哪怕结果蒙对了，也不能为此放过错误的过程，否则整个数学体系就无法存在。
目前看来，pi“应该”是正规和合取的。如果让我打赌，我当然押“包含所有序列”一边；如果我在现实生活中用到了pi，我也会把它当做合取数和正规数那样用。甚至可以说，我“相信”pi是正规的：如果有人告诉我它不正规，我第一反应肯定是不接受；如果计算发现pi从第一万亿位开始变成了……，我没准都会开始怀疑宇宙的真实性——但是，只要没有出现证明，我就不能言之凿凿对你说：“pi里面包含了所有可能的数字组合”，更不能用似是而非的推论来支持这个说法。经验、审美甚至信仰，在数学里，都敌不过薄薄的一纸证明。
其实死理性派也有情怀，只不过往往用在了奇怪的地方。（编辑：球藻怪）
P.S. 下面是一些和pi相关的网页：
有个工具能范围里搜到任一八位数生日的概率是86%。
WolframAlpha整理了一些 基于pi“很可能有”的合取性，有人半开玩笑地设计了一套，你的所有的数据都（很可能）存在pi的某一个地方，只要找到那个地方就好了。
David H. Bailey and Jonathan Borwein. Pi Day Is Upon Us Again and We Still Do Not Know if Pi Is Normal.
American Mathematical Monthly, Mar 2014
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看完心情复杂……（说得好像你看懂了一样
我的银行卡密码是π小数点后十万三千六百四十二位到四十七位。
死理性从来不意味着缺少浪漫和情怀，它只是让我们拒绝不合理的内容罢了，所谓“格里高尔可以在一觉醒来变成了一只甲虫，但是这只甲虫必须是三对足的”正是如此。
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全部评论(207)
果壳网主编，科学松鼠会成员
好想上那张著名的图。。。
果壳网新媒体编辑
看完心情复杂……（说得好像你看懂了一样
好厉害啊没懂…………
我的银行卡密码是π小数点后十万三千六百四十二位到四十七位。
引用 的话：那张著名的图是谁。。。。。。。。
其实死理性派也有情怀，只不过往往用在了奇怪的地方。
数学有了存在感，呵呵
引用 的话：好厉害啊没懂…………这算自黑么。。。
最经济的数字表示法是e进制，说不准哪天蹦出来个证明π只在e进制下正规。好基友不分离
√2√3√5√7前来报到
哪怕每一个人试过的每一个数字序列都能在它里面找到，在得到证明之前你也不能这么说我见识少，现在穷举不是证明方法了？
看完全文，不知道为什么“注孤生”不停地蹦出来。。。
引用 的话：哪怕每一个人试过的每一个数字序列都能在它里面找到，在得到证明之前你也不能这么说我见识少，现在穷举不是证明方法了？枚举从来不是证明方法吧，他只能说明摸个命题是错的（一个反例），而不能证明一个命题是对的，除非命题本身枚举情况有限
计算机&数字媒体技术专业
引用 的话：好想上那张著名的图。。。难道是这张
“之所以我们的老师不讲，是因为这段话在数学上是不对的。”这一点不能赞同。
死理性从来不意味着缺少浪漫和情怀，它只是让我们拒绝不合理的内容罢了，所谓“格里高尔可以在一觉醒来变成了一只甲虫，但是这只甲虫必须是三对足的”正是如此。
其实这个可以用反正的办法，比如说证明π可不可能在无限不循环中出现654321这样的数列，就算是无限的，我想也不可能出现这种可能性。
引用 的话：哪怕每一个人试过的每一个数字序列都能在它里面找到，在得到证明之前你也不能这么说我见识少，现在穷举不是证明方法了？穷举只适合有限集……
为什么那么多人从这里面看出那么多感慨。。。@
引用 的话：其实这个可以用反正的办法，比如说证明π可不可能在无限不循环中出现654321这样的数列，就算是无限的，我想也不可能出现这种可能性。但是我想是很可能出现的，如果写到0000000位，而且证实好证证伪难。
莫名地想到了大统一理论。←_ ←
自以为是的人类，宅总早就证明了，只是不屑于发布成果而已
来上一道初中数学题：∵包含所有数字组合的数，叫做“合取数”。无理数并不都是合取数。并且π属于无理数。∴π里包含了所有可能的数字组合是错误的怎么看怎么不属于数学问题，属于语文阅读题啊
我被封面上的蛋糕吸引进来
先不论语言的正确性与否，这的确打动吾心了。数学与哲学与人文都应该是彼此之间紧密联系的。多少文科生败在数学，若是老师多一些感性与抒情的言语，想必也不会将文理弄得如此泾渭分明吧。当然，正确性必须是前提！
引用 的话：我的银行卡密码是π小数点后十万三千六百四十二位到四十七位。那么顺便告诉我你的卡号呗。
其实只用01就能把图里说的都表示出来。。。。何必麻烦π呢。。。
勘查技术与工程专业，编程爱好者
引用 的话：我被封面上的蛋糕吸引进来我不是一个人
引用 的话：其实这个可以用反正的办法，比如说证明π可不可能在无限不循环中出现654321这样的数列，就算是无限的，我想也不可能出现这种可能性。那只是你以为罢了。
引用 的话：哪怕每一个人试过的每一个数字序列都能在它里面找到，在得到证明之前你也不能这么说我见识少，现在穷举不是证明方法了？有限集才穷举，我见识少，现在无限集也可以穷举了？
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个人觉得巫医+武僧不错。
首先要喜欢这个职业，不然战斗风格和外形不对口，玩不下去就浪费时间了。
感觉一近一远会让怪分散开来，要是10个怪8个打蛮子2个打法师怎么办，感觉还不如蛮子+武僧
巫医+巫师全能+强力DPS确保安全及效率开荒近战都是渣渣
又是親兒子？有玩暗黑3的朋友加QQ群 一起玩哦！
[quote][pid=]Reply[/pid] [b]Post by odinage ( 15:14):[/b]巫医+巫师全能+强力DPS确保安全及效率开荒近战都是渣渣[/quote]装备冲突……
[quote][pid=]Reply[/pid] [b]Post by raresoul ( 15:23):[/b]装备冲突……[/quote]。。这可是暗黑3啊 不是CCQ 还有皮甲布甲板甲装备冲突一说？除了专属什么都可以5职业用 那任何职业间都有装备冲突了
[quote][pid=]Reply[/pid] [b]Post by odinage ( 15:34):[/b]。。这可是暗黑3啊 不是CCQ 还有皮甲布甲板甲装备冲突一说？除了专属什么都可以5职业用 那任何职业间都有装备冲突了[/quote]呵呵
请问怎么个冲突法啊？又不存在抢装备，掉的装备就自己看得见
确实掉落独立，但既然基友一起练，装备不冲突不是提高更快吗
[quote][pid=]Reply[/pid] [b]Post by 魔法包子 ( 15:38):[/b]请问怎么个冲突法啊？又不存在抢装备，掉的装备就自己看得见[/quote]2个智力系的，掉的力量敏捷系装备不是就没人用了？而智力系的要给两个人用，自然不如挑最好的给一个人用好，你说是吧？
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，美服的朋友进群啊
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