【图文】第一讲 平衡态,理想气体_百度文库
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第一讲 平衡态,理想气体
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第一章 气体动理论
§1 理想气体的压强和温度
一．理想气体的微观模型
1．忽略分子大小（看作质点）
分子线度?分子间平均距离
2．忽略分子间的作用力（分子与分子或器壁碰撞时除外）
3．碰撞为完全弹性
4．分子服从经典力学规律
二．平衡态理想气体分子的统计假设
1．按位置的均匀分布
分子在各处出现的概率相同（重力不计）。容器内各处分子数密度相同：
2．速度按方向的分布均匀 由于碰撞,分子往各方向运动的概率相同
v21x + v22x + … + v2Nx /N
v2x + v2y + v2z
三．理想气体压强公式
一个分子碰壁一次对壁的冲量
面光滑 在y,z方向冲量＝0
全部分子在dt时间内对dA的冲量
压强与平均平动动能的关系
压强是大量分子碰撞器壁单位面积作用力的统计平均值
四．温度的微观含义
1．温度和平均平动动能的关系
2．温度的统计意义 标志分子无规运动的剧烈程度 只能用于大量分子的集体
3．方均根速率-分子速率的一种描述
§2 能量均分定理,理想气体的内能
一．自由度
决定物体空间位置所需独立坐标的数目
自由质点：平动自由度t
刚体绕通过质心轴的转动：转动自由度
能量按自由度的均分定理
1.定理（用经典统计可证明） 在温度为T的热平衡态下，物质（气体，液体和固体）分子的每个自由度都具有相同的平均动能 .
平均平动动能
平均转动动能
平均振动能（动能＋势能）：
假定是简谐振动：平均动能＝平均势能
t―平动自由度
r―转动自由度
s―振动自由度
总能量: 2．重要情况
单原子分子（He，Ar）：
刚性双原子分子（H2，O2）：
绕对称轴的转动无意义 不计 ?自由度
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气体动理论
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气体动理论（kinetic theory of gases）是19世纪中叶建立的以气体热现象为主要研究对象的经典微观。气体由大量组成，分子作无规则的，分子间存在，分子的运动遵循经典的。根据上述微观模型，采用统计平均的方法来考察大量分子的集体行为，为气体的宏观热学性质和规律，如、温度、、内能、以及输运过程（、、）等提供定量的微观解释。气体动理论揭示了气体宏观性质和过程的本质，推导出宏观规律，给出了与平均值的关系。它的成功印证了微观模型和的正确性，使人们对气体分子的集体运动和相互作用有了清晰的物理图像，标志着物理学的研究第一次达到了分子水平。[1]
气体动理论简史
1678年R.提出是大量气体分子与器壁的结果。1738年D.据此导出了压强公式，解释了。1744年M.提出热是的表现，这是气体动理论的萌芽时期。 　　19世纪中叶气体动理论有了重大发展，它的奠基者是R.、J.、L.。1858年克劳修斯提出的概念并导出相关公式。1860年麦克斯韦指出，气体分子的频繁碰撞并未使它们的速度趋于一致，而是达到稳定的分布，导出了气体分子的速率分布和。后来，他又建立了输运过程的数学理论。1868年玻耳兹曼在麦克斯韦分布中引进。70年代玻耳兹曼引入的，用它定义一个H函数，证明在平衡态H达到最小（H定理），进而揭示了的统计意义。他还完成了输运过程的数学理论 。此后，H.把输运过程的数学理论用到金属中的电子，得到重要结果。[1]
气体动理论经典理论诠释
旧称，是从物质的出发阐明热现象规律的理论。基本思想是宏观物质由巨大数量的不连续的微小粒子（即分子或）组成，分子之间存在一定间隙，总是处于热运动之中。分子之间存在相互作用（吸引和排斥），称为。分子力使分子聚集在一起，在空间形成某种规则分布；热运动的无规性破坏这种排列，使分子四散。两方面的共同作用，决定了物质的各种热学性质，如物质呈现出固、、气三态及相互转化。气体动理论阐明了气体的和变化规律，把系统的宏观性质归结为分子的热运动及其相互作用，揭示了宏观现象的微观本质。它不研究单个分子的运动，只研究大量分子集体运动所决定的的平均结果，实验测量值就是平均值。例如容器中作用于器壁的宏观压强，是大量气体分子与器壁频繁碰撞的平均结果。理论上，气体动理论以和为基础，对热运动及相互作用做适当的简化，给出的碰撞机制，借助概率理论处理大量分子的集体行为，求出表征集体运动的统计平均值。计算结果与实验测量的偏差，作为修改模型的依据，从而形成自身的理论体系。这就是气体动理论的研究方法，它不仅可以研究气体的平衡态，而且可以研究气体由非平衡态向平衡态的转变，解释输运现象的本质，导出其遵守的宏观规律。气体动理论是吉布斯出现之前的关于物质热运动的微观理论。
气体动理论内容
气体动理论的研究是从平衡态气体性质开始的。气体动理论建立了（无限稀薄气体）的微观模型：气体分子是有质量无体积的质点，分子间、分子与器壁间除碰撞（）外无其他作用力，各分子独立地作。气体压强p是大量分子撞击器壁的结果，由此导出了压强的公式：
它把气体压强p与气体分子平均ε=mv2/2相联系。式中m是，v是分子速率，n=N/V是单位体积分子数，N和V是气体总分子数和气体体积。根据，一定量气体的体积不变时，压强与温度成正比。由压强公式和查理定律，理想气体的T与ε成正比：
它表明温度是大量分子热运动剧烈程度的宏观表现，式中k称为玻耳兹曼常数，为1.380,650,3(24)×10－23焦/开。以上两式为气体的压强和温度提供了微观解释，它们都只具有统计的意义，由上两式，得出：
p=nkT=NkT/V
这就是理想气体的状态方程。[1]
　　1857年克劳修斯根据气体分子的质点模型，假设气体分子都以平均的运动（尽管他认为气体分子的速率极为不同），再次导出了压强公式，并结合，首次给出了、氮、气体分子在0℃的(V2均)1/2分别为461米/秒、492米/秒、1,844米/秒，使人们对气体分子的激烈运动有了的认识。气体分子速率如此的高，进行得却如此缓慢，克劳修斯认为原因在于分子频繁的碰撞。1858年克劳修斯把气体分子的质点模型修改为弹性球模型，引入l的概念，描绘气体分子相继两次碰撞之间行经的平均距离，并用方法导出：
l=3/4πnσ2
式中σ是分子弹性球半径。[1]
　　1860年麦克斯韦指出，气体分子的频繁碰撞并未使它们的速率趋于一致，而且出现稳定的分布。他利用概率统计方法导出了平衡态气体分子的（称为麦克斯韦分布）为：
f(v)=4π(m/2πkT)3/2exp(－mv2/2kT)v2
它描绘了任一气体分子的速率处在以v为中心的单位速率区间的概率。利用，麦克斯韦导出了平衡态气体分子的v、方均根速率(V2均)1/2，vp与绝对温度T的关系，还把克劳修斯的平均自由程公式修正为：
l=1/(21/2πnσ2)
是平衡态的核心，它是计算各种微观量平均值进而对各种宏观热学量和热学规律作出微观解释的依据。另外，分布函数给出的是概率性的，它表明由大量分子构成的体系所遵循的热学规律具有与牛顿力学截然不同的特征。1920年的分子束实验首次验证了麦克斯韦速率分布，直到1955年才作出高度精确的实验验证。[1]
　　1868年玻耳兹曼在麦克斯韦分布中引入，得出玻耳兹曼分布，成功地解释了和压强随高度的变化。玻耳兹曼还证明了，揭示了内能、的微观本质，但也开始暴露出以能量连续分布为基础的经典统计理论的困难。[1]
　　麦克斯韦首先研究了非平衡态的气体输运过程，得出了把宏观量μ与微观量平均值相联系的公式：
式中的ρ是气体密度。由上式，采用G.得出的空气的值μ/ρ以及室温下的v值，麦克斯韦得出空气分子在室温和的平均自由程为l=5.68×10－8米。利用z=l/v又得出平均碰撞频率z=8.08×109秒－1。1865年J.洛喜密脱假设液体分子紧挨密排，气体分子间距为平均自由程，利用同种物质ρ液/ρ气的比值和l的数值，得出空气分子的大小（直径）d≈10－6毫米，为NA≈10×1023摩尔－1，这些数据虽然粗糙，却是第一次对气体分子的激烈运动、频繁碰撞以及分子的大小、间距、总数等有了真切具体的了解，标志着物理学的研究第一次达到了分子水平。[1]
然而，由μ=ρlv/3给出的μ∝T1/2，与实验结果μ∝T并不相符。1865年麦克斯韦用力心点模型取代弹性球模型，假设分子间的作用力f∝r－n（r是分子间距），在n=5时得出了与实验相符的结果。由此，麦克斯韦意识到，气体动理论发展的根本困难在于，并不需要对以及作出具体而并无根据的假设，应该用更普遍的统计理论来取代它。遗憾的是，他英年早逝（1879），未能如愿。[1]
　　1872年和1875年玻耳兹曼给出了非平衡态的包含时空变量(r,t)的气体分子速度f(r,v,t)所遵循的演化方程——玻耳兹曼积分微分方程。这个方程是气体动理论的基本方程。用它讨论输运过程，导出了黏滞系数、、的表达式，完成了输运过程的数学理论。由于方程太复杂，直到1916年才给出稀薄气体能。玻耳兹曼方程已成为研究流体、和中子输运过程的基础。[1]
玻耳兹曼用f(r,v,t)定义了一个H函数
H(t)=∫f(r,v,t)lnf(r,v,t)drdv
并证明分子在相互碰撞的影响下，H随时间t单调减小，平衡态H达到最小，变为平衡态的麦克斯韦速度分布f(v)，这就是H定理。玻耳兹曼认为，H对应于熵S，H减小对应S增大，H定理对应。玻耳兹曼为H定理提供了的解释：气体分子每一种可能的都具有相同的概率，系统会自发地由概率极小的初始状态向概率更大的状态过渡，最后达到最概然的平衡态，并给出S与相应的微观状态数目W的关系：
这就是玻耳兹曼的关系。它表明熵是系统无序度的，从而为提供了微观统计解释。上式后来被铭刻在玻耳兹曼的墓碑上。[1]
气体动理论发展
20世纪初，关于布朗运动的和理论分析涉及涨落现象和随机运动，为气体动理论提供了有力的支持。1902年J.把麦克斯韦和玻耳兹曼创立的发展为系统的理论。吉布斯采用的统计系综方法把整个系统作为统计的个体，从而避免了气体动理论的困难，理论上更为严谨。从此，气体动理论的成果被纳入之中，后者普遍适用于气体、液体和固体。[1]
词条作者：包科达．《中国大百科全书》74卷（第二版）物理学 词条：气体动理论：中国大百科全书出版社，2009－07：368－369页
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平衡态理想气体
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