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已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t).若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.
思路分析:本题体现了高考重视对新增内容的考查以及常在知识交汇处设计问题的思想.利用向量的数量积运算求出f(x),利用导数与函数单调性的关系,将问题转化为不等式恒成立的问题,然后用函数的思想方法求解.解:法一:由题意得f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,则f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设f′(x)≥0.∴f′(x)≥0t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立.考虑函数g(x)=3x2-2x,由于g(x)的图象是对称轴为x=,开口向上的抛物线,故t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立t≥g(-1),即t≥5.而t≥5时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)＞0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.∴t的取值范围是t≥5.法二:由题意得f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,则f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设f′(x)≥0.∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线,∴当且仅当f′(1)=t+1≥0,且f′(1)=t-5≥0时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)＞0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.∴t的取值范围是t≥5.&&& 深化升华 本题主要考查平面向量数量积的计算方法,利用导数研究函数的单调性等知识,要学会恒成立问题的解法.
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单项选择题下列结论不正确的是A．(A) 若函数f(x)在[a，b]上可积，则定积分表示一个常数值，且该值与区间[a，b]、函数f(x)及积分变量的记号均有关．B．(B) 若函数f(x)在[a，b]上可积，将[a，b]n等分，在每个小区间△xi上任取一点ξi，则必定存在，且C．(C) 设有常数I，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得对于区间[a，b]的任何分法，不论ξi在[xi-1，xi]中怎样选取，只要λ＞δ，总有D．(D) 若函数f(x)在[a，b]上满足下列条件之一：()在[a，b]上连续；()在[a，b]上有界，且只有有限个间断点；()在[a，b]上单调，则f(x)在[a，b]上可积．
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1A．(A) I是由曲线y=f(x)及直线x=a、x=b与x轴所围图形的面积，所以I＞0．B．(B) 若I=0，则上述图形面积为零，从而图形的“高”f(x)=0．C．(C) I是曲线y=f(x)及直线x=a、x=b与x轴之间各部分而积的代数和．D．(D) I是曲线y=|f(x)|及直线x=a、x=b与x轴所围图形的面积．2A．(A) F(x)必是初等函数且有界．B．(B) F(x)必是初等函数，但未必有界．C．(C) F(x)在I上必连续且有界．D．(D) F(x)在I上必连续，但未必有界．3A．(A) 可导．B．(B) 连续．C．(C) 存在原函数．D．(D) 不是分段函数．4A．(A) F(x)可能在x=0，x=1两点处间断．B．(B) F(x)只可能在x=1处间断．C．(C) F(x)的导函数可能在x=1处间断．D．(D) F(x)的导函数处处连续．5A．(A) 若函数f(x)在[a，b]上连续，则F(x)可导，且F'(x)=f(x)．B．(B) 若函数f(x)存[a，b]上连续，则F(x)就是f(x)在[a，b]上的一个原函数．C．(C) 若函数f(x)存[a，b]上(有界，且只有有限个第一类间断点)可积，则F(x)在[a，b]上连续，且可微．D．(D) 若积分上限是x的可微函数g(x)，则是F(u)与u=g(x)的复合函数，求导时必须使用复合函数求导法则，即
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解：⑴ 若a≤b&0，则最大值为f(b)=－b2+=2b．最小值为f(a)=－a2+=2a．即a，b是方程x2+4x－13=0的两个根，而此方程两根异号．故不可能．⑵ 若a&0&b，当x=0时，f(x)取最大值，故2b=，得b=．当x=a或x=b时f(x)取最小值，①f(a)=－a2+=2a时．a=－2±，但a&0，故取a=－2－．由于|a|&|b|，从而f(a)是最小值．②f(b)=－b2+==2a&0．与a&0矛盾．故舍．⑶ 0≤a&b．此时，最大值为f(a)=2b，最小值为f(b)=2a．∴ －b2+=2a．－a2+=2b．相减得a+b=4．解得a=1，b=3．∴ [a，b]=[1，3]或[－2－，]．相关试题根据轴对称中最短路线问题,可以得出的长即为的最小值,利用三角函数关系求出即可;根据轴对称中最短路线问题,得出,即是的最小值,求出即可;运用待定系数法求二次函数解析式,再求出直线与坐标轴的交点坐标,当取最小值时,周长最小值,求出最小值,即可得出.
在等腰梯形中,,,点,是底边与的中点,,,,,,故答案为:;如图作点关于的对称点,则在上,连接交于点,此时最小.由对称性可知,,连接,,,可知弧弧,则,而点为弧中点,而,在中,即的最小值.抛物线的对称轴为,且抛物线经过,两点,分别代入二次函数解析式得:,解得:,,,二次函数解析式为:,得到直线,,的长为:,周长最小值即是:最小时的值,,周长最小值为:.
此题主要考查了轴对称中最短路线问题以及圆周角定理和二次函数解析式的求法等知识,题目综合性较强,利用轴对称求最小值问题,是近几年中考中热点问题,应该引起同学们的注意.
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