众数、中位数、算术平均数的关系
第三节& 众数
一、众数的概念
二、众数的计算方法
三、众数的应用、优缺点及适用条件
四、算术平均数、中位数、众数三者的关系
范数，密集数，通常数。用MO表示。
指在次数分布中出现次数最多的那个数的数值。
对众数有理论众数和粗略众数两种定义方法：
理论众数是指与频数分布曲线最高点相对应的横坐标上的一点。
粗略众数是指一组数据中频数出现最多的那个数。
理论众数可根据资料的分布形态，用积分法求得，但计算甚繁，一般是用经验公式求理论众数的近似值，或用观察法直接寻找粗略众数。
能直观地说明现象分布的集中趋势，当总体中出现极端数值时，可代替算术平均数来说明现象的一般水平。
当缺乏平均数资料或某些场合不必计算平均数时，可采取判断决定众数，代替平均数。
例如，集贸市场上成交量最多的价格；购买量最多的商品规格尺码等。&
众数(概念要点)
集中趋势的测度值之一
出现次数最多的变量值
不受极端值的影响
可能没有众数或有几个众数
主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值型数据
二、众数的计算方法
1、用观察法直接寻找粗略众数
粗略众数不需要计算，可通过观察直接寻得。
（1）对原始数据求众数
在一组原始数据中，频数出现最多的那个数值就是众数。
如，一组原始数据2、4、3、6、4、5、4，其中频数出现最多的数值是4，于是4就是这组数据的众数。
（2）对频数分布表求众数
当数据整理成次数分布表后，在频数分布表中：
频数最多一组的组中值就是粗略众数。
当两个相邻组频数都是最多时，那么两组的分组点就是众数。
由于同一组数据，可以有不同的分组方法，即分组的组数不同、组距大小不一、各组上下限也可能不一样，所以次数分布表内频数最多一组的组中值就可能不同，因此众数也可能不同。可见，众数受分组的影响，并非唯一的。
众数(众数的不唯一性)
定类数据的众数(算例)
定序数据的众数(算例)
2、用公式求理论众数的近似值
求理论众数近似值常用方法有两种：
（1）皮尔逊（K. Pearson）的经验法
利用皮尔逊发现的算术平均数、中位数、众数三者关系来求理论众数近似值的经验公式为：
公式的适用条件：
只有当频数分布呈正态分布或接近正态分布时才能使用
因为只有在这种条件下，众数才近似地等于三倍的中位数减去两倍的算术平均数。&
（2）金氏（w. I. King）插补法
当频数分布呈偏态，即众数所在组以上各组频数总和与以下各组频数总和相差较多时，可以采用金氏公式计算众数，以进行比率调整。公式为：
公式中：Lmo 表示众数所在组的下限
fa&& 表示大于众数所在组上限那个相邻组的频数
fb 　表示小于众数所在组下限那个相组的频数
i　　表示组距
公式的适用条件：当频数分布呈偏态，当然，比较接近正态分布的也适用。
数值型分组数据的众数(要点及计算公式)
数值型分组数据的众数(算例)
三、众数的应用、优缺点及适用条件
众数的概念简单明了，容易理解，但它不稳定，受分组的影响，亦受样本变动有影响，计算时不需每一个数据都加入，因而较少受极端数目的影响，反应不够灵敏，观察众数，不是严格计算而来，用计算方法所得众数亦是一个估计值。同时众数不能作进一步的代数运算。总数乘以众数，也不与数据的总数相等。
但可以利用它较少受两极端数值的影响、反应不灵敏的特点，在下述情况下也常常使用：
当需要快速而粗略地寻求一组数据的代表值时；
当一组数据出现不同质的情况时，可用众数表示典型情况，如工资收入、学生成绩等常以次数最多者为代表值；
当次数分布中有两极端的数目时，有是也用众数（一般用中位数）；
当粗略估计次数分布的形态时，有时用平均数、中位数、众数之间的关系粗略判断次数分布。
数据类型与集中趋势测度值
数据类型和所适用的集中趋势测度值
※众数
※中位数
※均值
※均值
调和平均数
几何平均数
四、算术平均数、中位数、众数三者的关系
1、算术平均数、中位数、众数的大小与频数分布的形态有关
正态分布的关系
算术平均数、中位数、众数三者重合为一点。即：
正偏态：M & Md & Mo
负偏态：M & Md & Mo
当频数分布呈偏态时，中位数(Md)居中，均值与中位数(Md)距离较近，众数(Mo)与中位数(Md)距离较远。均值与中位数(Md)的距离约占均值与众数(Mo)距离的1／3，而众数(Mo)与中位数(Md)的距离约占2／3。即
各种分布情况下三者的关系，可参见王P46，以帮助我们理解。
四、算术平均数、中位数、众数三者的关系
算术平均数、中位数、众数之间的关系可参看书。
算术平均数、众数、中位数作为集中量数，各自描述的典型情况不同，可图示如下：
平均数为一个平衡点，是一组数据的重心。它使数轴保持平衡，即支点两侧的力矩是相等的。
中位数：只使其两侧的数据个数相同。本例中7的两侧各包含4个数。
众数：是指次数出现最多的，重量较大的那个数据。本例为10，因为只有它在系列中出现两次。
众数、中位数和均值的关系
2、平均数、中数、众数之间的比较
比较的项目
与其两侧数据距离之和相等& 数据的重心
其两侧数据个数相等
出现次数最多的数典型
适用数据类型
等距、等比
顺序、等距、等比
性质 顺序 等距 等比
需要所有的数据
只需中间数据
进一步运算特性
受抽样的影响
受分组的影响
受极端数据的影响
一般情况都用平均数
①有极端数据时
②当两端数据或个别数据不清楚时
③快速估计代表值时
①有极端数据时
②数据不同质找典型
③快速估计代表值时
④估计分布形态时
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平均数中位数和众数及它们之间的关系
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摘要: 平均数、中位数和众数及它们之间的关系
"平均数中位数和众数及它们之间的关系"：：
最近大 boss“迷上”了一个网络游戏（什么游戏就不多说啦～），让我写个程序帮他算一下（现在他让另一个同事写了，我要改 bug 没时间，所以，我主要是没事时“凑热闹”提点想法）。期间，发现这个游戏一定是基于某个数学模型，于是在网上找了一个 var 模型，虽然现在觉得正态分布更合适。 var 模型最初是 j.p morgan 用来预测金融风险的数学模型，现在有很多改进型。我对里边使用的一些统计名词有些模糊，就找资料回忆了一下，毕竟我不是学统计学的，虽然知道点，但认识得不深、不系统。
本文主要说明平均数、中位数和众数，以及它们之间的关系，这三种的目的类似，都是为了反应一组数据的一般情况（代表性），只是适用的场景不同。我们对平均数很熟悉，但它并不是“万能的”，若数据中出现极大或极小值，则平均数受到的影响很大，而中位数则不会。这也就是为什么，早先一些娱乐节目，台下的评委评分后，主持人会去掉一个最小分数和一个最大分数，再取平均数的原因。或是，上学时，老师对成绩差的学生会特别“愤怒”，常说“你拉下了全班的成绩”、“拖了大家的后退~”。
平均数（mean），或均值是统计中的一个重要概念。是集中趋势的最常用测度值，目的是确定此文来自: 马开东博客
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一组数据的均衡点。这里的平均数是指算术平均数，即一组数据的和除以这组数据的个数所得的平均值，也叫算术平均值。
平均数的计算公式为：
在统计中，算术平均数常用于表示统计对象的一般水平，描述数据集中程度的一个量。我们既可以用它来反映一组数据的一般情况，也可以用它进行不同组数据的比较，以便看出组与组之间的差别。用平均数可以直观、简明地表示一组数据的情况，所以日常生活中经常用到，如中小学学生的平均身高，由于生活条件的改善，现在孩子的身高肯定比80年代要高；平均成绩，这个一定不陌生，上学时，老师对成绩差的学生会特别“愤怒”，常说“你拉下了全班的成绩”、“拖了大家的后退~”。
统计学上，算术平均数较中位数、众数更少地受到随机因素影响，但缺点是它更容易受到极端值影响。
除了算术平均数，还有几何平均数、调和平均数、平方平均数、移动平均数等。
算术平均数用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序数据。
若有包含 7 个数值的数组 ，则算术平均数为 24.7。
若有包含 8 个数值的数组 ，则算术平均数为 25.7。
平均数很简单，但引出它主要是为了跟后面的中位数和众数进行比较。
中位数（medians）是一个统计学的专有名词此文来自: 马开东博客
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，代表一个样本、种群或概率分布中的一个数值，可以将数值集合划分为相等的两部分，即，若设连续随机变量 x 的分布函数为 f(x)，那么满足条件 f(x)=1/2 ，称为 x 或分布 f 的中位数。中位数是用来衡量集中趋势的方法。对于一个有限的、有序的数集，位于中间位置的那个数值就是中位数，用 me 表示。
“中位数”中的“位”，即“位置”，看后“意义”小节，你会理解这段话的意思。
若集合的项数为奇数，则处于中间位置的数据为中位数；若项数为偶数，则中位数为处于中间位置的两个数值的算术平均数。
实数 ，按大小顺序（降序、升序都可）排列为
。则实数数列 的中位数为 ：
若有包含7个数值的数组 ，按升序为 ，则中位数为 23。
若有包含8个数值的数组 ，按升序为 ，则中位数为 (23+25)/2=24。
意义——算术平均数与中位数
中位数趋于的中间，是所有数据的代表值，它不受分布数列的极大或极小值影响，对极大极小值不敏感，一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性。有些离散型变量的单项式数列，当次数分布偏态时，中位数的代表性会受到影响。
中位数的作用与算术平均数相近，也是作为数据的代表值。在一个等差数列或一个正态分布数列中，中位数就等于算术平均数。
在数列中出现了极端值的情况下，用中位数作为代表值比算术平均数更好。如果研究的目的是为了反映中间水平，应该用中位数。在统计数据的处理和分析时，可结合使用中位数。
例如，有序组数 x=(200, 250, 300, )，其平均数为 750，中位数为 300，因为一半比 300 多，另一个半比 300 少；若有序数组为 x=(200，250，300，500，1000)，其平均数变为 450，但中位数还是 300。
因此，平均数的变化较大。而中位数相对于平均数不太受极大极小值的影响。
众数（statistical mode）是数据中出现频率最多的数。用众数代表一组数据，适合于数据量较多时使用，且众数不受极端数据的影响，并且求法简便。在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，选择中位数表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。
当数值或被观察者没有明显次序（常发生于非数值性资料）时特别有用，由于可能无法良好定义算术平均数和中位数。例子：(苹果, 苹果, 香蕉, 橙, 橙, 橙, 桃) 的众数是“橙”。
一组数据可能没有众数或有多个众数。在高斯分布（正态分布）中，众数位于峰值。
众数主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据。
若有数组  (2, 2, 3, 3, 4)，则其众数为 (2, 3)；若数组为 (1, 2, 3, 4) ，则其没有众数。
算术平均数、中位数和众数之间的关系
平均数、中位数和众数三者之间，一个有趣的经验关系是：
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算术平均数、中位数和众数之间的关系 统计基础理论及相关知识 统计师考试
发表时间：日17:56 来源：中大网校
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（7）算术平均数、中位数和众数之间的关系。
如果数据的分布是对称的，众数、中位数和算术平均数必定相等，即
如果数据偏左，说明数据存在极小值，必然拉动算术平均数向极小值一方靠，而众数和中位数不受极值影响，即
如果数据右偏，说明数据存在极大值，必然拉动算术平均数向极大值一方靠，而众数和中位数不受极值影响，即
标志变异指标
1.&标志变异指标
反映各变量值远离中心值的趋势称为离散趋势。数据的离散趋势越大，说明集中趋势代表性就越差，反之，离散趋势越小，集中趋势代表值的代表性就越高。
标志变异指标又称为标志变动度指标，是测定总体各单位变量值及其分布差异程度的统计指标。常用的有全距、平均差、标准差和离散系数。
全距又称极差。它是总体各单位变量值中最大值与最小值之差。
例20：两组学生英语考试（单位为分）如下：
RA＝（90-68）分＝22分&& RB＝（96-60）分＝36分
显然B组学生英语考试成绩的差距大于A组学生。
全距是测定标志变异程度最简单的方法。易受极值的影响。
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平均数中位数众数之间的区别与联系
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