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四年级奥数数列规律总汇.doc56页
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寻找常见数列的排列规律可以从以下三个方面入手：
一、仔细观察数据的特征（对于一些特殊数要有一定的积累，如平方数、立方数），根据数据特征极其相互之间的关系找规律。
二、对数列中相邻两个数作差或相除，根据差和商的情况找规律。
三、统筹考虑数列中相邻的三、四个数，根据它们之间的关系找规律。
《奥赛天天练》第1讲，模仿训练，练习2
【题目】：
按规律在“？”处填数。
【解析】：
第（1）小题，仔细观察前三幅图，通过计算可找到规律：上格的数字与左下格数字之差的2倍就是右下格数字，如第一幅图中：（8-6）×2 4。
所以第四幅图中“？”处的数字为：（13-6）×2 14；第五幅图中“？”处的数字为：32-（24÷2） 20。
第（2）小题，仔细观察前两幅图，通过计算可找到规律：中间方格中的数字就等于左、上、右方三角形中三个数字连乘的积，如第一幅图中：1×4×5 20。
所以第三幅图中“？”处的数字为：3×5×2 30；第四幅图中“？”处的数字为：56÷（7×8） 1。
《奥赛天天练》第1讲，巩固训练，习题2
【题目】：
将8个数从左到右排成一行，从第三个数开始，每个数恰好等于它前面两个数的和。如果第7个数和第8个数分别是81，131，那么第一个数是多少？
【解析】：
根据题意列出数列（未知数字用方框代替）：
□、□、□、□、□、□、81、131……
“从第三个数开始，每个数恰好等于它前面两个数的和”，倒过来可以推出，这个数列中每个数等于这个数后面两个数的差。如：第8个数等于第7个数与第6个数的和，则第6个数就等于第8个数与第7个数的差，可求出第6个数为：131-81 50。依次倒推，可求出前面5个数。
第5个数为：81-50 31；
第4个数为：50-31 19；
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求值有一分数序列，2/1+3/2+5/3+8/5+13/8+21/12……求出这个数列的前20项之和
5+13&#47，2/3+8/8+21/1+3/2+5&#47有一分数序列
提问者采纳
getche()，13&#47,s)，5&#47，8/
n=t;{[(1+√5)&#47，即得到结果，有分数序列的通项公式为;1;
clrscr()：a[n]=F(n+2)/n;;stdio：32;2]^(n+1)}按此公式编制一段1到20的循环小程序.6f&#92，……∴令F(n)为斐波那契数列;=20,s=0.h&quot,t;s is %9;
for(i=1解;2]^n - [(1-√5)/i&lt,n=1;2]^(n+2)}/2]^n} ∴a[n]={[(1+√5)&#47.6
【此为VB下运行的结果】也可直接在“C语言”中编制如下小程序;2]^(n+2) - [(1-√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)&#47，3/√5)*{[(1+√5)/
float m=1，21/3;main(){n&F(n+1)∵F(n)=(1&#47，完全符合斐波那契数列的展开顺序。本程序在TC3;5：∵分数序列为2&#47：#include &i++) {
t=m+n;}【这样的写法;8; }
printf(&quot.0调试通过;13;
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%f&#92.;int main(){double ans=0;i&n&ans=0;double a=1.h&int i=0,b=2;for (i=0;
b+=2;b.;}printf(&i++){
ans+=a/. 这是语言编程吧;20;stdio,ans);
a+=b？摘个答案#include &quot
这是一道按斐波那契数列的次序，去掉第一项后，按一后一前的次序组成的分数序列，所以楼主抄写该分数序列时，把最后一项“21/13”写成“21/12”了，这应该是个“笔”误，请楼主检查一下。另外，一楼在程序中写了“b+=2;”，显然没有遵照斐波那契数列的展开的要求：每一项是前两项的和。这样，计算的结果就和实际结果大相径庭了。
我算的结果不是那个32我算的是31.282用flash编程的，不知道对不对var i:int=0;var a:int=1;var b:int=1;var c:int=0;var sum:Number=0;while(i&19){ c=a+b; sum+=c/b; a=b; b=c; i++;}txtBox.text=String(sum);
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出门在外也不愁fibonacci数列为什么那么重要，所有关于数学的书几乎都会提到？
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一句话先回答问题：因为斐波那契数列在数学和生活以及自然界中都非常有用。下面我就尽我所能，讲述一下斐波那契数列。一、起源和定义斐波那契数列最早被提出是印度数学家Gopala，他在研究箱子包装物件长度恰好为1和2时的方法数时首先描述了这个数列。也就是这个问题：有n个台阶，你每次只能跨一阶或两阶，上楼有几种方法？而最早研究这个数列的当然就是（Leonardo Fibonacci）了，他当时是为了描述如下情况的兔子生长数目：第一个月初有一对刚诞生的兔子第二个月之后（第三个月初）它们可以生育每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子兔子永不死去这个数列出自他赫赫有名的大作《计算之书》（没有维基词条，坑），后来就被广泛的应用于各种场合了。这个数列是这么定义的：序号为（注意，并非满足第三条的都是斐波那契数列，（）也满足这一特点，但初始项定义不同）二、求解方法讲完了定义，再来说一说如何求对应的项。斐波那契数列是编程书中讲递归必提的，因为它是按照递归定义的。所以我们就从递归开始讲起。1.递归求解int Fib(int n)
return n & 2 ? 1 : (Fib(n-1) + Fib(n-2));
这是编程最方便的解法，当然，也是效率最低的解法，原因是会出现大量的重复计算。为了避免这种情况，可以采用递推的方式。2.递推求解int Fib[1000];
Fib[0] = 0;Fib[1] = 1;
for(int i = 2;i & 1000;i++) Fib[i] = Fib[i-1] + Fib[i-2];
递推的方法可以在O(n)的时间内求出Fib(n)的值。但是这实际还是不够好，因为当n很大时这个算法还是无能为力的。接下来就要来讲一个有意思的东西：矩阵。3.矩阵递推关系学过代数的人可以看出，下面这个式子是成立的：不停地利用这个式子迭代右边的列向量，会得到下面的式子：这样，问题就转化为如何计算这个矩阵的n次方了，可以采用快速幂的方法。是利用结合律快速计算幂次的方法。比如我要计算，我们知道，而可以通过来计算，而可以通过计算，以此类推。通过这种方法，可以在O（lbn）的时间里计算出一个数的n次幂。快速幂的代码如下：int Qpow(int a,int n)
int ans = 1;
if(n&1) ans *= a;
return ans;
将上述代码中的整型变量a变成矩阵，数的乘法变成矩阵乘法，就是矩阵快速幂了。比如用矩阵快速幂计算斐波那契数列：#include &cstdio&
#include &iostream&
using namespace std;
const int MOD = 10000;
struct matrix//定义矩阵结构体
int m[2][2];
}ans, base;
matrix multi(matrix a, matrix b)//定义矩阵乘法
matrix tmp;
for(int i = 0; i & 2; ++i)
for(int j = 0; j & 2; ++j)
tmp.m[i][j] = 0;
for(int k = 0; k & 2; ++k)
tmp.m[i][j] = (tmp.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j]) % MOD;
return tmp;
int fast_mod(int n)
// 求矩阵 base 的
base.m[0][0] = base.m[0][1] = base.m[1][0] = 1;
base.m[1][1] = 0;
ans.m[0][0] = ans.m[1][1] = 1;
// ans 初始化为单位矩阵
ans.m[0][1] = ans.m[1][0] = 0;
//实现 ans *= 其中要先把 ans赋值给 tmp，然后用 ans = tmp * t
ans = multi(ans, base);
base = multi(base, base);
return ans.m[0][1];
int main()
while(scanf("%d", &n) && n != -1)
printf("%d\n", fast_mod(n));
4.通项公式无论如何，对于一个数列，我们都是希望可以建立与n的关系，也就是通项公式，而用不同方法去求解通项公式也是很有意思的。（1）构造等比数列设,化简得,比较系数得，解得，由于故有，设.则有,设,解得，即{}是等比数列。这样就有到了现在，把上述解出的结果全部带入上式，稍作变形，我们就可以写出斐波那契数列的通项公式了这个方法还是比较麻烦的，但是非常基础。事实上还有其他更简单的方法。（2）线性代数解法这个解法首先用到公式，如果可以找到矩阵使得为对角阵，我们就可以求出通项。下面需要一些高等代数知识，没学过的可直接跳过。首先令,解得两个特征根两个特征向量为则而解出,中间矩阵的n次方可以直接求出来：然后可以轻易得到通项公式，上边已经给出，这里不再赘述。（3）特征方程解法通过方法（2），我们可以推导出一般的线性递推数列的通项求解方法，也就是特征方程法。我们可以发现，对于这种数列，通项总是可以表示为的形式，因此可以直接利用已知项求解，。具体做法如下：a.由递推数列构造特征方程，解出两个特征值。b.带入,列出如下方程：解得这样直接写出通项公式，是比较简单的做法。（4）母函数法（此方法涉及组合数学知识）设斐波那契数列的母函数为,即解得再由幂级数展开公式……合并同类项并与的系数比较即可。到这里，求解斐波那契数列通项的方法就说的差不多了。无论是计算机求解还是数学推导，都体现出了非常多的技巧。而斐波那契数列的许多特性，就更加有意思了。三、斐波那契数列的数学性质1.与黄金比的关系由通项公式，求相邻两项的商的极限，结果是黄金比，所以斐波那契数列又称为黄金比数列。斐波那契数列和黄金比还和一个有趣的数学概念——连分数有关：2.一些简单的规律2.一些简单的规律（1）任意连续四个斐波那契数，可以构造出一个毕达哥拉斯三元组。如取1,1,2,3.中间两数相乘再乘2 ==》 4外层2数乘积==》3中间两数平方和==》5得到3,4,5.下一组是5,12,13,，有兴趣的读者可以再试着推一推，证明也是容易的。（2）整除性每3个连续的斐波那契数有且只有一个被2整除，每4个连续的斐波那契数有且只有一个被3整除，每5个连续的斐波那契数有且只有一个被5整除，每6个连续的斐波那契数有且只有一个被8整除，每7个连续的斐波那契数有且只有一个被13整除，…………每n个连续的斐波那契数有且只有一个被整除.（3）一些恒等式3.杨辉三角中的斐波那契数列如图所示，每条斜线上的数的和就构成斐波那契数列。即有4.相关数列：卢卡斯（Lucas）数列卢卡斯数列的定义除了第0项为2之外，与斐波那契数列完全一致。即其通项公式为：卢卡斯数列和斐波那契数列有这些关系：5.组合数学（1）一些恒等式（2）同余特性当p为大于5的素数时，有：其中斐波那契数列还有许许多多的性质，我就不再一一介绍了。跑题了这么久，终于开始要真正回答问题了：斐波那契数列有什么用？四、斐波那契数列的应用1.算法a.斐波那契堆斐波那契堆(Fibonacci heap)是计算机科学中最小堆有序树的集合。它和二项式堆有类似的性质，可用于实现合并优先队列。特点是不涉及删除元素的操作有O(1)的平摊时间，用途包括稠密图每次Decrease－key只要O(1)的平摊时间，和二项堆的O(lgn)相比是巨大的改进。斐波那契堆由一组最小堆构成，这些最小堆是有根的无序树。可以进行插入、查找、合并和删除等操作1）插入：创建一个仅包含一个节点的新的斐波纳契堆，然后执行堆合并2）查找：由于用一个指针指向了具有最小值的根节点，因此查找最小的节点是平凡的操作。3）合并：简单合并两个斐波纳契堆的根表。即把两个斐波纳契堆的所有树的根首尾衔接并置。4）删除（释放）最小节点分为三步：查找最小的根节点并删除它，其所有的子节点都加入堆的根表，即它的子树都成为堆所包含的树；需要查找并维护堆的最小根节点，但这耗时较大。为此，同时完成堆的维护：对堆当前包含的树的度数从低到高，迭代执行具有相同度数的树的合并并实现最小树化调整，使得堆包含的树具有不同的度数。这一步使用一个数组，数组下标为根节点的度数，数组的值为指向该根节点指针。如果发现具有相同度数的其他根节点则合并两棵树并维护该数组的状态。对当前堆的所有根节点查找最小的根节点。5）降低一个点的键值：对一个节点的键值降低后，自键值降低的节点开始自下而上的迭代执行下述操作，直至到根节点或一个未被标记（marked）节点为止：如果当前节点键值小于其父节点的键值，则把该节点及其子树摘下来作为堆的新树的根节点；其原父节点如果是被标记（marked）节点，则也被摘下来作为堆的新树的根节点；如果其原父节点不是被标记（marked）节点且不是根节点，则其原父节点被加标记。如果堆的新树的根节点被标记（marked），则去除该标记。6）删除节点：把被删除节点的键值调整为负无穷小，然后执行“降低一个节点的键值”算法，然后再执行“删除最小节点”算法。b.欧几里得算法的时间复杂度欧几里得算法是求解两个正整数最大公约数的算法，又称辗转相除法。代码如下：int gcd(int a,int b)
return b ? gcd(b,a%b) : a;
在最坏的情况下，我们可以证明，若a较小，需要计算的次数为n，则.虽然说一般分析的时候会当成对数阶，但数论最常用的欧几里得算法竟然与斐波那契数列有关，也确实是很让人吃惊呢。2.物理学：氢原子能级问题假定我们现在有一些氢气原子，一个电子最初所处的位置是最低的能级（Ground lever of energy），属于稳定状态。它能获得一个能量子或二个能量子（Quanta of energy）而使它上升到第一能级或者第二能级。但是在第一级的电子如失掉一个能量子就会下降到最低能级，它如获得一个能量子就会上升到第二级来。现在研究气体吸收和放出能量的情形，假定最初电子是处在稳定状态即零能级，然后让它吸收能量，这电子可以跳到第1能级或第2能级。然后再让这气体放射能量，这时电子在1级能级的就要下降到0能级，而在第2能级的可能下降到0能级或者第1能级的位置去。电子所处的状态可能的情形是：1、2、3、5、8、13、21…种。这是斐波那契数列的一部份。3.自然界：植物的生长科学家发现，一些植物的花瓣、萼片、果实的数目以及排列的方式上，都有一个神奇的规律，它们都非常符合著名的斐波那契数列。例如：蓟，它们的头部几乎呈球状。在下图中，你可以看到两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有21条。此外还有菊花、向日葵、松果、菠萝等都是按这种方式生长的。还有菠萝、松子等，也都符合这个特点，一般会出现34,55，89和144这几个数字。最后上一张“斐波那契树”的图片：是的，这玩意就长这样，这种植物是存在的。是的，这玩意就长这样，这种植物是存在的。4.波浪理论与股市这个答主不懂，大家可自行阅读文章。不过波浪的形状确实符合下边要说的斐波那契螺旋：5.斐波那契螺旋斐波那契螺旋又称黄金螺旋，在自然界中广泛存在。如图是一个边长为斐波那契数列的正方形组成的矩形。（加一句：看着这个图，是不是能发现是显而易见的？）是显而易见的？）这样连起来就是斐波那契螺旋了贝壳螺旋轮廓线向日葵的生长神奇的花6.建筑学7.据说一个小男孩参考斐波那契数列发明了太阳能电池树：一名13岁的男孩根据斐波那契数列，其产生的电力比太阳能光伏电池阵列多20-50%。类似从0和1开始，之后的数是之前两数的和，如0，1，1，2，3，5，8，13，21...在观察树枝分叉时发现它的分布模式类似斐波那契数列，这是大自然演化的一种结果，可能有助于树叶进行光合作用。因此，Dwye猜想为什么不按照斐波那契数列排列太阳能电池？他设计了太阳能电池树，发现它的输出电力提高了20%，每天接受光照的时间延长了2.5小时。8.斐波那契螺旋形的摇椅妈妈摇椅是设计师Patrick Messier为自己的妻子兼合作伙伴Sophie Fournier设计的，当时他们刚有了第一个宝宝。当Sophie宣布自己怀孕时，她说想要一把摇椅，但发现没有一把摇椅能满足美观舒适的标准，于是Patrick决定自己做一把。于是就有了这把妈妈摇椅。像是一个飘在空中的丝带，由一片纤维玻璃做成，曲线服从，经过特殊的高光聚氨酯处理。五、数学上的扩展（1）广义斐波那契数列定义：,数列满足：其通项为：其通项为：当当时即为斐波那契数列。（2）反斐波那契数列定义：反斐波那契数列相邻项比值的极限为。（3）巴都万数列()斐波那契数列可以刻画矩形，而巴都万数列则刻画的是三角形。其定义如下：(4)未解之谜：角谷猜想对一个正整数，若为奇数则乘3加1，若为偶数则除以2，通过有限次这样的操作，能否使得该数变成1？这个猜想和斐波那契数列又很大关系，具体的可以看。六、总结斐波那契数列是各个学科中都出现的小滑头，它许多漂亮的性质让我们着迷。上文我所描述的这些只是它的冰山一角，权当抛砖引玉。大家读完了我的答案，还可以再结合自己的专业去看一些相关的资料，更好的去了解这个有趣的数列。七、参考文献[1][2][3][4][5][6][7][8]['9][10][11][12][13][14]
首先，斐波拉契数列和黄金分割有关，即相邻两项前后比值区域黄金分割数。这个是很著名的一点。其次，自然界中有很多现象满足斐波拉契数列，比如向日葵的种子分布。再次，斐波拉契数列在数学中和很多东西有关。比如杨辉三角的“对角和”就是它。同样在组合数学，二进制，数论（连分数）等方面都是可以见到它。它甚至可用来估计theta函数的某些值。甚至于希尔伯特第十问题（丢番图方程）的不可解反例就是可以从它构造而来。详情可见【来看解决第十问题的帅哥了】
c：初涉递归+1离散数学：+1数据结构：+1算法课：分治+1，动态规划+1，并行算法+1，矩阵积，fft+1，操作系统：线程+1计算机组成：线程级并行，openmp+1...........我都见了八百遍了！！！！
令欧几里得算法较慢的输入是f(n),f(n-1)
斐波那契数列实际上体现的是自然界某些情形下更本质的平权意识，尤其是当表面上的「对半法」实际上并不能做到平权时。 以下就斐波那契与有序向量查找算法为例来说明这一点。对于有序向量的查找，我们通常会采取二分查找的策略。一般地，对于主体部分，可能会这样写：while ( lo & hi )
int mi = ( lo + hi ) && 1;
if ( e & a[mi] ) hi = mi;
else if ( a[mi] & e ) lo = mi + 1;
else return mi;
简单说，就是对于目标元素e与当前选取的居中元素x，分 3 中情况处理：1）若 e & x，往左区间 [lo, mi) 查找；2）若 x & e，往右区间 (mi, hi)查找；3）若 e = x，查找命中，返回退出。表面上看，此版本每次都将区间完美的分成两个相同大小的部分，即采用绝对的「对半法」来分解子问题。当问题输入随机时（即对于待查找区间的每个元素，待查找元素处出现的概率相同），效率似乎已达最优。实际上并不是这样。仔细考究会发现，当前情形下，每次进入左区间时需要一次比较（ if (e & a[mi]) ），而每次进入右区间则需要两次比较（ if (e & a[mi]) 和 else if (a[mi] & e) ），这直接导致了进入左区间和进入右区间所花费的成本是不一样的。正是这一点，使算法效率在常系数意义上并未达到最优。进过思考，不难想出改进的方向有两个：1、将左右区间进行更合理的拆分（而不是简单的对半分），将进入区间的成本加入考虑范畴，使左右区间做到真正的平权。2、左右区间依然对半分，但使进入左右区间都只需要一次比较。其中的改进想法1，正是对应了 Fibonacci 查找算法。直观上，我们不难想出，左区间比右区间更大是更加平权的区间拆分办法（因为进入左区间所花费的成本更低，所以应更多地使目前元素落入左区间）。经过数学分析，发现如果左右区间划分满足黄金分割比，此时正好就是最优的区间划分点（详细的数学分析可参考相关数据结构和算法书籍）。而 Fibonacci 相邻项的比正好近似等于黄金分割比。所以改进后对于 mi 轴点的选取可以改进为：mi = lo + fib.get() - 1;
这样的轴点选取是更本质上的对于区间划分的平权。------------------拓展部分，此部分是对改进方向二的简要阐述，与Fibonacci无关-----------------其中改进想法2可以认为是对普通版本二分查找的补丁，但其技巧性和严谨的算法思维依然有值得一提的必要。对于此想法，可将代码改写为：while ( lo & hi )
int mi = ( lo + hi ) && 1;
( e & a[mi] ) ? hi = mi : lo = mi + 1;
return --lo;
此版本无论是进入左区间还是右区间，都是进过一次同样的比较。如果你仔细思考和测试，会发现此时这个版本的语义接口跟原版本已经有了细微的差别。具体表现在查找失败时，不仅仅只是简单地返回一个 -1 ，而是返回了查找失败的位置。更统一的表述为：总是返回不大于 e 的元素的最大秩（无论是查找成功还是失败）。此部分更详细的讨论见：，实际上还经过了一个中间版本。--------------------拓展部分结束------------------正如目前高票的其他答案所述，黄金分割或者说 Fibonacci 在大自然中很多地方都有体现，而数理科学是对大自然的研究与抽象，自然在数学、物理等自然科学领域中我们就可以时常见到 Fibonacci 的身影。更进一步地哲思：Fibonacci 规律是不是造物主当初造物时所用的普遍规律之一呢？从以上讨论，我倾向于认为，自然是更趋向于万物平权的。
据《具体数学》，因为自然界回交现象很常见（不要想歪哦），所以generation成员数很容易构成fibonacci数列
因为 fib(13) = 233.
看一楼想起个视频
代表了神一样的递归思想。并在数论和计算机科学领域中长盛不衰。由此引出的递归思想在函数式编程中体现得尤为深刻，就一行代码可以让大多数函数对一整个数列自动运行，这种能量是巨大的。设一个不动点组合子为Y设一个函数为N可以得到由此可以推出 N可以是斐波那契函数。前提是 n&= 2。也就是只给出初始数0和1，我可以让整个数列发散下去。斐波那契数列的通项公式本身也是通过解不动点方程得出的。所以斐波那契数列蕴含的知识很典型很丰富，又非常简单容易上手，是最适合作为教学材料的。
数学书我不知道，任何编程的书中都会提到这个数列，并且用此来证明这本书所用的编程语言是可以实现递归的。
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小学的奥数题中，最令人头疼的题型无非是找规律了，各种毫无规律的数列。你可以试试下面的例子：*1，4，14，53，90，268，977，1586*1 ，3， 7， 8， 0， 5， 9， 2， 4， 6*4，2，5，2，6，10，3，7，6，4，6其实一直以来，我也一直很疑惑有没有什么找规律的秒杀解。就像小学的挠破头都解不了的应用题，到了中学以连数学不及格的人都可以轻而易举地列个方程解掉。直到看到了两个网友的对话： ：哦，设一个8次多项式，待定系数法，结束了。。。 ：不如直接说用拉格朗日插值呢……等等，拉格朗日插值，我学过。等等？这货居然可以这么用！？好吧，作为面向小学生以及其父母的方法，我觉得有义务要详细解释一下什么叫做拉格朗日插值法。首先，这个方法为什么叫做拉格朗日插值法呢？一是因为拉格朗日“提出”了这种方法（其实拉格朗日并不是第一个提出的，只是因为他名气比较大，很多人都是因为他才了解到这个方法），所以有“拉格朗日”。那为什么叫做“插值法”呢？好吧……所谓的插值，就是“插”“值”，就是指找出一个通过给出离散数据点的函数（好吧，好吧，我知道小学生不懂函数和离散）。那么，数列中给出数据可以表示为在坐标系上的点，x坐标就是第几项，y坐标就是该项的值。比如说，“1 ，3， 7， 8， 0， 5， 9， 2， 4， 6”这个数列可以表示为：在Mathematica中用几行简单的代码即可做到：接下来，我们找出这些点都在哪一个函数上面，接着下来把下一项的项数带进去，就得到了下一项的值——这实际上就是通项公式！事不宜迟，马上来试一试！首先，我们先来看看拉格朗日插值公式是怎么样的： 好吧，我知道小学生又看不懂了。那下面我们先试一一个简单的数列：1、8、27…那下一个是什么呢？首先，这表示存在一个函数。当自变量分别为1、2、3时函数值为1、8、27。于是我们可以设一个函数：接下来就是关键的一步了！小学生可以不懂这是怎么回事。但有什么问题？考试会用就行了（如果你不介意再解释一下一些其他的问题...比如未知数、自变量和分数的运算）。容易看到，整个式子是三项的和，每一个点都有一项。对于每一个单独的点来说，分子是这一点的函数值乘上x与其他点的自变量的差。而分母就是该店的自变量和其他点的自变量的差的积。于是，一个通项公式就出来了。是 于是我们迫不及待地把x=4带进去，得到58.至此，大功告成。等等，什么答案写着是64？别管了，肯定是盗版书印错答案了。有什么可能拉格朗日大牛会错呢？什么，我们的规律不对？正确的是y=x^3?好的，让我看看。嗯…难道是拉格朗日错了？但是前面我们的估算也是没问题的啊。再仔细看一下坑爹的高数课本，才发现原来是我们一直搞错了。如果我们给的是n个点，那么拉格朗日给出的函数将会是(n-1)次的。这不坑爹吗…用公式之前还得想清楚这个函数是几次的，而且如果是更高次数的还没办法加上点去求（更别说斐波那契数列这样的用递归定义的数列了）。这就意味着，就算是1、2、3、4、5、6…这样的数列，拉格朗日插值法在耗尽你大量的考试时间去求出通项公式以后，还会给出一个超级坑爹的答案！那么这个方法还有什么用！别急，前面的计算都是为后面做铺垫的。现在才是主要内容。无论是分布得多么奇怪的点，拉格朗日插值法总能给出一条经过这些点的函数图象。也就是说，就算是1、2、3、4、5、6、（1568）这样明显不靠谱的答案也是“有规律的”。因为你总可以设一个六次多项式，找出这个数列的通项公式。所以说：1、3、5、7、9、（1598），是对的3、1、4、1、5、9、2、（999），是对的1，1，2，3，5，7，（8989），是对的2，4，6，8，（5），是对的如果老师斗胆把你的答案批错的话，你大可以把这篇文章打印出来，然后跟老师说：“这个空填任何数都是可以的，因为你总可以设一个n次多项式，然后……”(我承认这是伪科普，真娱乐....)
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生命科学专业，天函地方小组长
这就万能了？弱爆了……碰到复数怎么办？真正的万能方法是：答案是 1，因为这是一个以 n+1 为周期的循环数列
随便写一个值，然后你说这些点满足你的一个分段函数...
计算机系研究生，硬件开发工程师
很早以前我就喷过这种题目了公务员考试题目里面屡见不鲜
计算机系研究生，硬件开发工程师
很早以前我就喷过这种题目了公务员考试题目里面屡见不鲜
这个方法看起来好麻烦
文字游戏小组管理员
呵呵..这种东西从来我想喷的时候都是直接开maple秒个lagrange插值过去的..
生命科学专业，天函地方小组长
这就万能了？弱爆了……碰到复数怎么办？真正的万能方法是：答案是 1，因为这是一个以 n+1 为周期的循环数列
=。=带个电脑就行了，找什么规律。/
理论物理学硕士在读，维基百科小组管理员
公务员考试……我高中的时候都用矩阵做……虽然我那时候不知道那东西叫矩阵……话说前段时间数模作业留的是matlab插值实验，三维插值被弄晕了，老是出错，表示matlab几乎白学……
理论物理学硕士在读，维基百科小组管理员
不过话说回来，楼主的东西木有考虑噪音带来的影响，我忘了我学的是啥了……（又等于没学……囧）
录音爱好者，万有青年养成计划入围选手
引用 的话：很早以前我就喷过这种题目了公务员考试题目里面屡见不鲜总想不明白这种测试跟所谓的“行政能力”究竟有毛关系……
随便写一个值，然后你说这些点满足你的一个分段函数...
难道没人吐槽：6*4*4-11*4+6=58么？楼主怎么算个36了？
引用 的话：难道没人吐槽：6*4*4-11*4+6=58么？楼主怎么算个36了？已改正。晚上十点钟口算的...但是我就九半以后就是个废物。
引用 的话：这就万能了？弱爆了……碰到复数怎么办？真正的万能方法是：答案是 1，因为这是一个以 n+1 为周期的循环数列汗...针对小学生的话就不用考虑复数了，但是这种方法也不错。
可如果是小学奥数怎么办？还要先学这个不成？
如果是考公务员时呢？还有时间用这个去算？
所有找规律题目都是耍流氓，靠合情推理得不出完全严谨的结果，规律永远可以自恰
引用 的话：=。=带个电脑就行了，找什么规律。/就事，有事找度娘！
显然这篇文章是个大槽(￣Д￣)话说开头那三串数字不会是楼主自己编的吧？
我发现中学生也不怎么看的懂
引用 的话：显然这篇文章是个大槽(￣Д￣)话说开头那三串数字不会是楼主自己编的吧？这是槽点啦...
引用 的话：就事，有事找度娘！OEIS
引用 的话：这是槽点啦...。。。我了个去！那个（pi）+1果然是碉堡了！！(￣▽￣)
数学渣提问：这个方法输出的结果是用F（x）定义的 ，也就是用映射定义的那么如果这个规律不能用映射定义怎么办 就如裴波纳切数列（本人水平有限 请多多包含）
引用 的话：数学渣提问：这个方法输出的结果是用F（x）定义的 ，也就是用映射定义的那么如果这个规律不能用映射定义怎么办就如裴波纳切数列（本人水平有限 请多多包含）就比如 2,3,5,7,11，13,17,19 素数列
引用 的话：数学渣提问：这个方法输出的结果是用F（x）定义的 ，也就是用映射定义的那么如果这个规律不能用映射定义怎么办就如裴波纳切数列（本人水平有限 请多多包含）那是递归定义的，如果用拉格朗日插值法，就是一个超级混乱的错误的式子。不过这篇文章纯粹娱乐...主要是为了吐槽找规律什么的后面那个空填什么都可以。
请教：设有a、b、c、d、e五点对应函数值分别为f（a）……则在插值计算中 过abcd的函数f1与过abcde的函数f2是怎样的关系f2是否是f1的一种可能解呢还是只是说由于给定点数量的限制 插值计算只是给出n-1次方程的解？
这些东西都还给老师了...
引用 的话：总想不明白这种测试跟所谓的“行政能力”究竟有毛关系……怎么说呢……如果你确实的在一个一般性的行政岗位上干过，你就会知道，其实对一个行政人员的知识面要求，真的是很夸张的……举个例子：你是某市分管教科文卫的副市长，也许之前是财政局长提拔上来的。现在，科委想要立项引进某种作物在当地试种，据说商业前景如何如何好。好吧，如果你没点生物学的知识，你可能就被蒙了~~~就好比我想在大西北种菠萝蜜，弄个大棚也许确实可以种出来，但是绝对不是你听到的那个情况……科委的从此不是好东西了，再立项也不给了。好，教育局长拿着一份宣传资料来找你，据说他的某个同学刚从美国回来，对如何健康引导中小学生的心理健康颇有研究，在国际上获得某某大奖云云~~~~请不请这个人来？花多少钱请？你要是对心理学俩眼一抹黑，看着资料如同天书……又有谁能够帮你做判断呢？好吧好吧，教育虽然是百年大计，是重要事但好歹不是要紧事。与之相比，卫生局长那片可是一个疏忽就要死人的…………卫生局长也来诉苦了。本市没有一个医院有伽马刀啊，严重的影响了本市医疗水平的提升！唔~~~伽马刀？能拿来切西瓜不？？这笔款子给还是不给呢？？？诸如此类等等等等…………所以说，伙计们，不要觉着官好当，想要在那个位置上把屁股坐稳了，不怕别人拆台，不怕媒体曝光…………你还真得无所不精无所不会才行…………
坑爹的水印。。。。。。。。。
引用 的话：数学渣提问：这个方法输出的结果是用F（x）定义的 ，也就是用映射定义的那么如果这个规律不能用映射定义怎么办就如裴波纳切数列（本人水平有限 请多多包含）谁该书你斐波那契那数列没有通项公式的？一阶线性递归数列肯定有通项公式的。
傅立叶阿傅立叶！
虽然很符合死理性标准，但还是要喷一下楼主公务员才不要死理性呢，人家要的是符合考纲精神以及符合考官精神论证题目有误这种事情，恰恰是公务员的大忌
确实。这种找规律的题目其实都应该是开放的，只要规律能自洽其实都是对的。公务员考试那种找规律，说起来，其实是让人找到最常见合乎大众情理的一种规律。与其说是找规律，不如说它是做了一个模子，让应试者全部必须投到它已经设定好的模子中被塑造，这样其实也是一种思维定势。这就是把所有人的思维全都约束在那个所谓的最常见最合乎大众情理的规律中，从而扼杀所有独立的独特的其他自洽规律。这就是磨掉你特立独行的棱角，强制让你泯然众人沦为平庸。这不能不说是一种悲哀。
引用 的话：怎么说呢……如果你确实的在一个一般性的行政岗位上干过，你就会知道，其实对一个行政人员的知识面要求，真的是很夸张的……举个例子：你是某市分管教科文卫的副市长，也许之前是财政局长提拔上来的。...这种东西，不管知识面多丰富都没用的啊。比如说我也是分析化学方向的硕士，对于有机化学也比较熟悉，但真的来一个新的合成工艺问我工业上能否实现有没有前途我一样完全不知道。这种时候需要的不是知识面，而是需要专业的第三方来替你做判断。
引用 的话：这种东西，不管知识面多丰富都没用的啊。比如说我也是分析化学方向的硕士，对于有机化学也比较熟悉，但真的来一个新的合成工艺问我工业上能否实现有没有前途我一样完全不知道。这种时候需要的不是知识面，而是需要...你说得很对。现在社会的专业分工越来越精细，想要求行政人员具备各个学科的知识那是越来越难的。行政人员，虽要求知识面广博，但也只能是浅层次的概述类广博，也就是说知道个大概，是无法直接操作专业分析的。所以决策中，引入第三方专业人员或机构作具体的考察分析总结报告，将是一个未来的趋势。
表示我数学白学了！纯坑爹的题目
引用 的话：这种东西，不管知识面多丰富都没用的啊。比如说我也是分析化学方向的硕士，对于有机化学也比较熟悉，但真的来一个新的合成工艺问我工业上能否实现有没有前途我一样完全不知道。这种时候需要的不是知识面，而是需要...引用 的话：你说得很对。现在社会的专业分工越来越精细，想要求行政人员具备各个学科的知识那是越来越难的。行政人员，虽要求知识面广博，但也只能是浅层次的概述类广博，也就是说知道个大概，是无法直接操作专业分析的。所...唉……伙计们，说真的，这还是没实际干过工作的理想的想法。没错，自己不可能全懂，当然最好是通过专业的第三方来辅助决策。但问题是，咱们国家大大小小的各级政府有多少？“现在”能够提供专业服务的第三方有多少？当日常决策额外的需要费用的时候，地方财政又能承担多少？同时，承担多少可以不被骂官员无能？能够被认为是必须的开销？就以scmccr举的例子而言，假设我现在是管工业的副市长，管区内有一个急待救活的大国企给你交了一份报告，说是想要上一条新线来增加新产品。而你面对的情况，是在下午的常委会上要去和其它分管市长打架去切蛋糕……好了，现在会出现这么几种情况：第一、我自己是完全搞不懂，所以我需要找第三方来帮我判断这事靠谱不靠谱，所以，首先要做是找第三方，让厂子里先立项，报过来以后再在不知道哪一次的会上去讨论怎么招标第三方……好吧，我相信工人们一定会骂我拖拖拖，同时揣测这个第三方的咨询费一定有一半进了我的腰包，要不为啥丫的非得弄个第三方进来。第二、我自己是完全搞不懂，所以我猜猜猜。如果决定不做，结果同上。决定做，将来有任何事故啊、市场问题啊什么的，老百姓毫无疑问的会骂我尸位素餐，然后继续揣测这其中我上下其手捞了多少多少。第三、我多少懂点，自己估摸着，大概靠谱或者不靠谱。要是靠谱，下午常委会上就可以先争取一个立项的可能，先在书记那挂个号。然后有了名目就有了费用，有费用了就可以找第三方来做评估、做设计做等等等等。当然，最后肯定老百姓还是要骂的，不过起码咱不是白挨骂，好歹咱有动静了…………你看，这其实是大多数一般性政府官员都会遇到的情况。怎么办呢？依靠专业的第三方来辅助决策，说起来容易，实际政务操作中，很困难。
引用 的话：实。这种找规律的题目其实都应该是开放的，只要规律能自洽其实都是对的。公务员考试那种找规律，说起来，其实是让人找到最常见合乎大众情理的一种规律。与其说是找规律，不如说它是做了一个模子，让应试者全部...公务员必须有能力找出合大众情理的规律，否则还不被喷死
引用 的话：实。这种找规律的题目其实都应该是开放的，只要规律能自洽其实都是对的。公务员考试那种找规律，说起来，其实是让人找到最常见合乎大众情理的一种规律。与其说是找规律，不如说它是做了一个模子，让应试者全部...公考考纲上“严谨”地说过，“数字推理。每道题给出一个数列，但其中缺少一项，要求报考者仔细观察这个数列各数字之间的关系，找出其中的排列规律，然后从四个供选择的答案中选出最合适、最合理的一个来填补空缺项，使之符合原数列的排列规律。”公考是清白的。
一直觉得这种东西玩一玩怡情是可以的，就跟脑筋急转弯一样，锻炼下数感之类的，当面试题也还行，用来考试就过分了
引用 的话：唉……伙计们，说真的，这还是没实际干过工作的理想的想法。没错，自己不可能全懂，当然最好是通过专业的第三方来辅助决策。但问题是，咱们国家大大小小的各级政府有多少？“现在”能够提供专业服务...你干嘛这么激动。我上面说的就是”趋势“，所谓趋势，就是现在还不现实但是将来应该着力发展的。我赞同的的是一个方向，而不是否定现实的困难。
引用 的话：公考考纲上“严谨”地说过，“数字推理。每道题给出一个数列，但其中缺少一项，要求报考者仔细观察这个数列各数字之间的关系，找出其中的排列规律，然后从四个供选择的答案中选出的一个来填补空缺项，使之符合原数...难道我有抹黑或者污蔑公考？我说的正是公考的这种特性。这种特性之所以存在就是因为选拔的是能够从事顺乎大众情理之逻辑的人才，就是选拔善于用最普通中庸的方法来思考和解决问题的人才。这是实际的，我并没有否定。我所说的悲哀是指这种通过国家权力推行的思维模式在社会上的泛滥，导致整个社会的绝大部分人都愿意做这个中庸思维的人，而绝少部分愿意别出心裁愿意特立独行，这无疑对科学和技术的发展有着负面影响。
引用 的话：你干嘛这么激动。我上面说的就是”趋势“，所谓趋势，就是现在还不现实但是将来应该着力发展的。我赞同的的是一个方向，而不是否定现实的困难。我倒不是激动，怎么说呢，是经常能够看到这样的理想化的主意，然后当不能马上实现的时候，出主意的人就开始进入很流行的骂官模式……我因为环境原因，对中层官员，也就是打县处级干部到厅省级干部的工作和生活状况有些了解，所以很多时候真心觉得这个层面的官员们，挺冤的。
引用 的话：我倒不是激动，怎么说呢，是经常能够看到这样的理想化的主意，然后当不能马上实现的时候，出主意的人就开始进入很流行的骂官模式……我因为环境原因，对中层官员，也就是打县处级干部到厅省级干部的工作和生...现实确实很复杂，有时还总是很无奈，想有一点进步和变革都是比较难得。实际工作所需要的知识面是不能否认的，所以我才说，那是大概的广博，凭此和人们的经验以及逻辑，人们应该能够应付得了多数问题。而另一方面，人类社会的知识总量呈爆炸性增长，精于一科都越来越难，广博也只能是浅层次的，我说的就是这个层面。当然，想真正解决问题，还是得根植于现实。我总是偏向于设想，这一点你批评得到点，我是承认的。
引用 的话：现实确实很复杂，有时还总是很无奈，想有一点进步和变革都是比较难得。实际工作所需要的知识面是不能否认的，所以我才说，那是大概的广博，凭此和人们的经验以及逻辑，人们应该能够应付得了多数问题。而另一方...不敢说批评……大家都是想能把事情办好。只能说，现实真的太TMD骨感了。我有个很要好的伙计，二十多的时候进的政府，干活各种卖力，不会不懂，学！结果刚整明白一个口，调别的口去了……没事，再学……又调动……当然，调动是因为干得好，干得好是因为学得好。但是调动本身，人家也是给你机会，总不能因为熟悉对口业务了，就不识好歹，自己好歹也是有家小要养活的不是。结果总是不对口到对口再到不对口。等到结了婚有了孩子，四十大几岁了，再学？真没精神头了。一起喝小酒聊天，他自己也感慨，觉着自己跟年轻的时候相比，现在尸位素餐就是个混吃等死的废物，可是确实是没心劲了…………
引用 的话：难道我有抹黑或者污蔑公考？我说的正是公考的这种特性。这种特性之所以存在就是因为选拔的是能够从事顺乎大众情理之逻辑的人才，就是选拔善于用最普通中庸的方法来思考和解决问题的人才。这是实际的，我并没有...公务员考试一不受科技青年追求，二不对未成年人开放，请问如何能对科学和技术的发展带来负面影响？就解题而言，用拉格朗日插值之类的数学方法去解一道普通的数列题，我没看出有什么特立独行或创新的地方，除非这种数学方法或在其应用方面是在解这道题时首创的。反而，我觉得普通答案即便用专业思维来考察，它也是最优的。1，8，27，……通过插值迭代会产生无数解，你不觉得从无数解中取一个二次方程解才是“中庸”的么，并且它依赖于插值公式。无疑y=x^3得出64是在无数解之外一个最朴素简洁的解，也是最合适、最合理的。数列题是面向所有考生的题目，命题人把解题所需知识限制为中学文理分科前的“共识”，考试公平性原则得到维护。数列题确有其弊，许多人也看到，近年的公考试卷对此类题型作出了不同程度削弱。数列题所占分值比例不过4%-8%，何况广大考生基本无视这类赤贫而无聊的鸡肋题，如何就能导致“（中庸）思维模式在社会上的泛滥”？——可是，“通过国家权力推行”&“导致整个社会的绝大部分人都愿意做这个中庸思维的人”，这是不是言过其实、漂浮在阴谋论层面哪？首先，这种题型是没有任何国家强制力保障的，事实上有些试卷里并无此类题目（如果你对整张试卷的题型不满，我可以指出，比如试卷中分值比例在8%-16%间逻辑判断，和果壳的“谣言粉碎机”别无二致；如果你是对考试制度不满……）。其次，参加公考的人群规模约在1000万左右，这1000万之于13亿，如何就成了整个社会的绝大多数？
引用 的话：公务员考试一不受科技青年追求，二不对未成年人开放，请问如何能对科学和技术的发展带来负面影响？就解题而言，用拉格朗日插值之类的数学方法去解一道普通的数列题，我没看出有什么特立独行或创新的地方，除非...我使用的名词指代得很清楚的。“通过国家权力推行的思维模式在社会上的泛滥”，这一句是个总括性叙述，而不是直接说国家权力推广公考数列题的思维模式。换句话说，数列题这个问题仅仅是一个例子，故而仅就例子而言你所说的公考其实没有那么大影响这个事实我是不能否认而且也没有否认的。一个例子当然无法对全体人民都施加影响，但是这个例子所代表的更多问题都具有这相似的结构。如果仔细考察传统中国的发展，就会发现各种哲学思想和社会伦理总是倾向于把全体人们都塑造成同一种形态，久而久之，这种自觉和不自觉并行纠缠的统一模式，就成为这个世界的中心价值观，例如儒家试图把所有人塑造成修身齐家治国平天下的君子，后来的马克思主义也倾向于把所有人都塑造成唯物主义和阶级斗争的战士。这其中的关键就是“统一思维模式”对社会的正面影响和负面影响，而统一思维模式又恰恰是传统中国最擅长的一个能力，相比于那些注重自由性多元性的文明体系而言，这也未尝不是一种缺陷。总而言之，这就是“统一的同质化”和“自由的多元化”之间的矛盾。依据于现实的条件，这两者的每一种，都有其正眠作用和负面作用。相对而言，传统中国发展出来的文明偏重于前者，欧洲发展出来的文明偏重于后者，在中国向往后者，欧美人也在反思前者的益处。所以，我不是在批评那种那种不好，而是在寻求一种能够解释现实中国的方法，并以之为未来的发展提高作有益的探索。
生命科学专业，天函地方小组长
引用 的话：汗...针对小学生的话就不用考虑复数了，但是这种方法也不错。你给1,2,1,2,1,2,1,2,1,__,1插一个看看……
引用 的话：我使用的名词指代得很清楚的。“通过国家权力推行的思维模式在社会上的泛滥”，这一句是个总括性叙述，而不是直接说国家权力推广公考数列题的思维模式。换句话说，数列题这个问题仅仅是一个例子，故而仅就例子而言...佩服佩服，你有一颗忧国忧民的良心，你的文字让我想到钱穆的哲学思想。但我觉得现下的中国更倾向于“泛自由、多元化”，农村乡镇，或到上海的南京路、南京的湖南路上，去社会底层瞧瞧，在中国哪里都没有普世价值，观念都是离散的。至于和谐社会、科学发展、改革开放等等，那都是课本上的、口号上的，是GCD想实现而没实现的“统一的同质化”目标，也是它的做法。但在政治上，切实点，没有同心同德，是很难维持政权长存的，这样的国家也是不安全的。当然，这跟科学技术不在一条路线上。
引用 的话：我使用的名词指代得很清楚的。“通过国家权力推行的思维模式在社会上的泛滥”，这一句是个总括性叙述，而不是直接说国家权力推广公考数列题的思维模式。换句话说，数列题这个问题仅仅是一个例子，故而仅就例子而言...如果当下中国确实更倾向于“泛自由、多元化”，那么那道数列题、那个拉格朗日公式可真是雪中炭火了。
引用 的话：如果当下中国确实更倾向于“泛自由、多元化”，那么那道数列题、那个拉格朗日公式可真是雪中炭火了。当下中国到底是个什么状态，这个我看是有待商量。因为很多表面的多元化其实并不是真正的多元化，仍然摆脱不了大一统的思维。”度'这个东西很难衡量，也很难把握。至于一道那种模式的题就能给多元到松散以至于混乱的社会“雪中送炭'，则未免太看得起一道题目了。同样，假如说现今中国的状态就是过度同一，那么也不是区区几剂多元化的方针就能变革的了的。无论向那个方向提升，都得需要整个社会全方位的努力才能有效果。
引用 的话：当下中国到底是个什么状态，这个我看是有待商量。因为很多表面的多元化其实并不是真正的多元化，仍然摆脱不了大一统的思维。”度'这个东西很难衡量，也很难把握。至于一道那种模式的题就能给多元到松散以至于...我在这里做的事情，就是从一个例子的思考生发开来从而思考整个社会的思维模式和文化心理，往好听了说可以称为窥斑知豹，往难听了说那就是管窥蠡测。能不能由此推彼，能不能演绎归纳，这都是严峻的问题，我其实是惶恐的。甚至于我每说一句话每下一个结论其实都需要很多材料来证明，而这显然是网络讨论无法提供的或者说其实也是我自己都无法提供的——我害怕下一些大而无当的结论，但是我总忍不住这样做，所以我总是为不能严密的给出论证过程而感到惭愧。
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