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2016年高考调研模拟卷数学(理科)(一)
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2016年高考调研模拟卷数学(理科)(一)
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浙江省2017高考调研试卷包含答案。这次调考语文试题变化较大,对于明年高考具有导向作用,应仔细研究备考。
审核人：高语乔琛
来源学校：
扫一扫手机阅读更方便2012年浙江省高考调研模拟试卷（一）文综答案【诸暨中学吧】_百度贴吧
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【3年高考2年模拟】第二章函数与导数 &三年高考荟萃 2012年高考数学分类（1）函数的概念 一、选择题 1&．（2012年高考（陕西文））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为&&&&（　　） A．&&&&&B．&&&&&C．&&&&&D．& 2&．（2012年高考（江西文））设函数&,则&&&&&（　　） A．&&&&&B．3&&&&C．&&&&&D．& 3．（2012年高考（湖北文））已知定义在区间&上的函数&的图像如图所示,则&的图像为 && 4．（2012年高考（福建文））设&&,&&,则&的值为&&&&（　　） A．1&&&&B．0&&&&C．&&&&&D．&& 5&．（2012年高考（上海春））记函数&的反函数为&如果函数&的图像过点&,那么函数&的图像过点&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（　　） A．&.&&&&B．&.&&&&C．&.&&&&D．&. 6&．（2012年高考（陕西理））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为&&&&（　　） A．&&&&&B．&&&&&C．&&&&&D．& 二、填空题 7．（2012年高考（重庆文））函数&&为偶函数,则实数&________ 8．（2012年高考（浙江文））设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈时,f(x)=x+1,则&=_______________. 9．（2012年高考（广东文））(函数)函数&的定义域为__________. 10．（2012年高考（安徽文））若函数&的单调递增区间是&,则& 11．（2012年高考（天津文））已知函数&的图像与函数&的图像恰有两个交点,则实数&的取值范围是________. 12．（2012年高考（四川文））函数&的定义域是____________.(用区间表示) 13．（2012年高考（上海文））已知&是奇函数.&若&且&.,则&_______&. 14．（2012年高考（山东文））若函数&在上的最大值为4,最小值为m,且函数&在&上是增函数,则a=____. 祥细答案 一、选择题 1.&&解析:运用排除法,奇函数有&和&,又是增函数的只有选项D正确.& 2.&&【答案】D& 【解析】考查分段函数,&.& 3.&B【解析】特殊值法:当&时,&,故可排除D项;当&时,&,故可排除A,C项;所以由排除法知选B.& 【点评】本题考查函数的图象的识别.有些函数图象题,从完整的性质并不好去判断,作为徐总你则提,可以利用特殊值法(特殊点),特性法(奇偶性,单调性,最值)结合排除法求解,既可以节约考试时间,又事半功倍.来年需注意含有&的指数型函数或含有&的对数型函数的图象的识别.& 4.&【答案】B& 【解析】因为&&&所以&.&B&正确& 【考点定位】该题主要考查函数的概念,定义域和值域,考查求值计算能力.& 5.&&B& 6.&&解析:奇函数有&和&,又是增函数的只有选项D正确.& 7.&【答案】4& 【解析】由函数&为偶函数得&即&& &.& 【考点定位】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切&都有&成立.& 8.&【答案】&& 【命题意图】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性.& 【解析】&.& 9.解析:&.由&解得函数的定义域为&.& 10.&【解析】&&&&&&&&由对称性:&& 11.&【解析】函数&,当&时,&,当&时,&,综上函数&,做出函数的图象,要使函数&与&有两个不同的交点,则直线&必须在蓝色或黄色区域内,如图,则此时当直线经过黄色区域时&,&满足&,当经过蓝色区域时,&满足&,综上实数的取值范围是&或&. 12.&(&)&& 由分母部分的1-2x&0,得到x∈(&).& 定义域问题属于低档题,只要保证式子有意义即可,相对容易得分.常见考点有:分母不为0;偶次根下的式子大于等于0;对数函数的真数大于0;0的0次方没有意义.& 13.&&&是奇函数,则&,&,& 所以&.& 14.答案:&&解析:当&时,有&,此时&,此时&为减函数,不合题意.若&,则&,故&,检验知符合题意.& 另解:由函数&在&上是增函数可知&;& 当&时&在上的最大值为&4,解得&,最小值为&不符合题意,舍去;当&时,&在上的最大值为&,解得&,此时最小值为&,符合题意,&故a=&.& 2012年高考数学分类（2）基本初等函数 一、选择题 1．（2012年高考（安徽文））&&&&&（　　） A．&&&&&B．&&&&&C．&&&&&D．& 2．（2012年高考（广东理））(函数)下列函数中,在区间&上为增函数的是&&&&（　　） A．&&&&&B．&&&&&C．&&&&&D．& 3&．（2012年高考（重庆文））设函数&集合&&&则&为&&&&（　　） A．&&&&&B．(0,1)&&&&C．(-1,1)&&&&D．& 4&．（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在区间&内是增函数的为（　　） A．&&&&&B．&&&&&C．&&&&&D．& 5&．（2012年高考（四川文））函数&的图象可能是& & 6&．（2012年高考（山东文））函数&的定义域为&&&&（　　） A．&&&&&B．&&&&&C．&&&&&&&D．& 7．（2012年高考（广东文））(函数)下列函数为偶函数的是&&&&（　　） A．&&&&&B．&&&&&C．&&&&&D．& 8．（2012年高考（安徽文））设集合&,集合&是函数&的定义域;则&&&&&（　　） A．&&&&&B．&&&&&C．&&&&&D．& 9&．（2012年高考（新课标理））设点&在曲线&上,点&在曲线&上,则&最小值为&&&&（　　） A．&&&&&B．&&&&&C．&&&&&D．& 10&．（2012年高考（四川理））函数&的图象可能是& & 11．（2012年高考（江西理））下列函数中,与函数y=&定义域相同的函数为&&&&（　　） A．y=&&&&&B．y=&&&&&C．y=xex&&&&D．& 12．（2012年高考（湖南理））已知两条直线&&:y=m&和&:&y=&(m&0),&与函数&的图像从左至右相交于点A,B&,&与函数&的图像从左至右相交于C,D&.记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a&,b&,当m&变化时,&的最小值为&&&&（　　） A．&&&&&B．&&&&&C．&&&&&D．&& 二、填空题 13．（2012年高考（上海文））方程&的解是_________. 14．（2012年高考（陕西文））设函数发&,则&=_____ 15．（2012年高考（北京文））已知&,&.若&或&,则&的取值范围是________. 16．（2012年高考（北京文））已知函数&,若&,则&_________. 17．（2012年高考（上海春））函数&的最大值是______. 18．（2012年高考（江苏））函数&的定义域为____. 三、解答题 19．（2012年高考（上海文理））已知函数&. (1)若&,求&的取值范围; (2)若&是以2为周期的偶函数,且当&时,有&,求函数 &&的反函数. 基本初等函数参考答案 一、选择题 1.&【解析】选&&&& 2.解析:A.&在&上是增函数.& 3.&&【答案】:D& 【解析】:由&得&则&或&即&或&& 所以&或&;由&得&即&所以&故&& 【考点定位】本题考查了利用直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式的解法.本题以函数为载体,考查复合函数,关键是函数解析式的确定.& 4.&&【解析】函数&为偶函数,且当&时,函数&为增函数,所以在&上也为增函数,选B.& 5.&&C& 采用特殊值验证法.&函数&恒过(1,0),只有C选项符合.& 函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用.& 6.&&解析:要使函数&有意义只需&,即&,解得&,且&.答案应选B.& 7.解析:D.&.& 8.&【解析】选&&,&& 9.&&【解析】选&& 函数&与函数&互为反函数,图象关于&对称& 函数&上的点&到直线&的距离为&& 设函数&& 由图象关于&对称得:&最小值为&& 10.&&C& 采用排除法.&函数&恒过(1,0),选项只有C符合,故选C.& 函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用.& 11.&D&【解析】本题考查常有关对数函数,指数函数,分式函数的定义域以及三角函数的值域.& 函数&的定义域为&,而答案中只有&的定义域为&.故选D.& 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大于0:(4)实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域,来年需要注意一些常见函数:带有分式,对数,偶次根式等的函数的定义域的求法.& 12.&【答案】B& 【解析】在同一坐标系中作出y=m,y=&(m&0),&图像如下图,& 由&=&m,得&,&=&&,得&.& 依照题意得&&.& &,&.& && 【点评】在同一坐标系中作出y=m,y=&(m&0),&图像,结合图像可解得.& 二、填空题 13.&&&,&,&,&.& 14.解析:&,&& 15.&【答案】&& 【解析】首先看&没有参数,从&入手,显然&时,&,&时,&,而对&或&成立即可,故只要&时,&(*)恒成立即可.当&时,&,不符合(*),所以舍去;当&时,由&得&,并不对&成立,舍去;当&时,由&,注意&,故&,所以&,即&,又&,故&,所以&,又&,故&,综上,&的取值范围是&.& 【考点定位】&本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小,涉及到指数函数,还涉及到简易逻辑中的“或”,还考查了分类讨论的思想,对&进行讨论.& 16.&【答案】&& 【解析】&,&& && 【考点定位】本小题考查的是对数函数,要求学生会利用对数的运算公式进行化简,同时也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉.& 17.&&&&& 18.&【答案】&.& 【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式.& 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得& &.& 三、解答题 19.&(1)由&,得&.& 由&得&&& 因为&,所以&,&.& 由&得&&& (2)当x时,2-x,因此& &&& 由单调性可得&.& 因为&,所以所求反函数是&,&&& 2012年高考数学分类（3）函数的应用 一、选择题 1．（2012年高考（北京文））函数&的零点个数为&&&&（　　） A．0&&&&B．1&&&&C．2&&&&D．3&&& 2&．（2012年高考（天津理））函数&在区间&内的零点个数是&&&&（　　） A．0&&&&B．1&&&&C．2&&&&D．3 3&．（2012年高考（江西文））如右图,OA=2(单位:m),OB=1(单位:m),OA与OB的夹角为&,以A为圆心,AB为半径作圆弧&与线段OA延长线交与点&&&&C．甲.乙两质点同时从点O出发,甲先以速度1(单位:ms)沿线段OB行至点B,再以速度3(单位:ms)沿圆弧&行至点C后停止,乙以速率2(单位:m/s)沿线段OA行至A点后停止.设t时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0),则函数y=S(t)的图像大致是 & & 4．（2012年高考（湖南文））设定义在&上的函数&是最小正周期为&的偶函数,&是&的导函数,当&时,&;当&且&时&,&,则函数&在&上的零点个数为&&&&（　　） A．2&&&&B．4&&&&C．5&&&&D．8& 5．（2012年高考（湖北文））函数&在区间&上的零点个数为&&&&（　　） A．2&&&&B．3&&&&C．4&&&&D．5 6．（2012年高考（辽宁理））设函数f(x)&满足f(&)=f(x),f(x)=f(2&x),且当&时,f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos&|,则函数h&(x)=g(x)-f(x)在&上的零点个数为&&&&（　　） A．5&&&&B．6&&&&C．7&&&&D．8 7．（2012年高考（湖北理））函数&在区间&上的零点个数为&&&&（　　） A．4&&&&B．5&&&&C．6&&&&D．7 二、解答题 8．（2012年高考（上海春））本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分. 某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为&千米(忽略内、外环线长度差异). (1)当&列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为&分钟,求内环线列车的最小平均速度; (2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为&千米/小时,外环线列车平均速度为&千米/小时.现内、外环线共有&列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过&分钟,问:内、外环线应名投入几列列车运行? 9．（2012年高考（江苏））如图,建立平面直角坐标系&,&轴在地平面上,&轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程&表示的曲线上,其中&与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标&不超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由. & 10．（2012年高考（湖南理））某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数). (1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间; (2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案. 参考答案 一、选择题 1.&【答案】B& 【解析】函数&的零点,即令&,根据此题可得&,在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像,可得交点只有一个,所以零点只有一个,故选答案B.& 【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题,实质上考查的是函数图像问题,该题涉及到图像幂函数和指数函数.& 2.&&【答案】B& 【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想,函数的零点的概念,零点存在定理以及作图与用图的数学能力.& 【解析】解法1:因为&,&,即&且函数&在&内连续不断,故&在&内的零点个数是1.& 解法2:设&,&,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示:可知B正确.& 3.&&【答案】A& 4.&【答案】B& 【解析】由当x∈(0,π)&且x≠&时&,&,知& &&& 又&时,0&f(x)&1,在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,在同一坐标系中作出&和&草图像如下,由图知y=f(x)-sinx在&上的零点个数为4个.& && 【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.& 5.&D【解析】由&,得&或&;其中,由&,得&,故&.又因为&,所以&.所以零点的个数为&个.故选D.& 【点评】本题考查函数的零点,分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法.对于三角函数的零点问题,一般需要规定自变量的取值范围;否则,如果定义域是&,则零点将会有无数个;来年需注意数形结合法求解函数的零点个数,所在的区间等问题.& 6.&【答案】B& 【解析】因为当&时,f(x)=x3.&所以当&,f(x)=f(2&x)=(2&x)3,& 当&时,g(x)=xcos&;当&时,g(x)=&&xcos&,注意到函数f(x)、&g(x)都是偶函数,且f(0)=&g(0),&f(1)=&g(1),&,作出函数f(x)、&g(x)的大致图象,函数h(x)除了0、1这两个零点之外,分别在区间&上各有一个零点,共有6个零点,故选B& 【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点,考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想,难度较大.& 7.考点分析:本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.& 解析:&,则&或&,&,又&,&& 所以共有6个解.选C.& 二、解答题 8.解:(1)设内环线列车运行的平均速度为&千米/小时,由题意可知,&& 所以,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,列车的最小平均速度是20千米/小时.& (2)设内环线投入&列列车运行,则外环线投入&列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间分别为&分钟,则&& 于是有&& 又&,所以&,所以当内环线投入10列,外环线投入8列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟.& 9.&【答案】解:(1)在&中,令&,得&.& 由实际意义和题设条件知&.& ∴&,当且仅当&时取等号.& ∴炮的最大射程是10千米.& (2)∵&,∴炮弹可以击中目标等价于存在&,使&成立,& 即关于&的方程&有正根.& 由&得&.& 此时,&(不考虑另一根).& ∴当&不超过6千米时,炮弹可以击中目标.& 【考点】函数、方程和基本不等式的应用.& 【解析】(1)求炮的最大射程即求&与&轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解.& (2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解.& 10.&【解析】& 解:(Ⅰ)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为& &由题设有& && 期中&均为1到200之间的正整数.& (Ⅱ)完成订单任务的时间为&其定义域为& &易知,&为减函数,&为增函数.注意到& &于是& (1)当&时,&&此时 &,& 由函数&的单调性知,当&时&取得最小值,解得& &.由于& &.& 故当&时完成订单任务的时间最短,且最短时间为&.& (2)当&时,&&由于&为正整数,故&,此时&易知&为增函数,则& &&& &.& 由函数&的单调性知,当&时&取得最小值,解得&.由于&& 此时完成订单任务的最短时间大于&.& (3)当&时,&&由于&为正整数,故&,此时&由函数&的单调性知,& 当&时&取得最小值,解得&.类似(1)的讨论.此时& 完成订单任务的最短时间为&,大于&.& 综上所述,当&时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数& 分别为44,88,68.& 【点评】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、最值等,考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型;第二问利用单调性与最值来解决,体现分类讨论思想.& 2012年高考数学分类（4）函数的应用 一、选择题 1．（2012年高考（北京文））函数&的零点个数为&&&&（　　） A．0&&&&B．1&&&&C．2&&&&D．3&&& 2&．（2012年高考（天津理））函数&在区间&内的零点个数是&&&&（　　） A．0&&&&B．1&&&&C．2&&&&D．3 3&．（2012年高考（江西文））如右图,OA=2(单位:m),OB=1(单位:m),OA与OB的夹角为&,以A为圆心,AB为半径作圆弧&与线段OA延长线交与点&&&&C．甲.乙两质点同时从点O出发,甲先以速度1(单位:ms)沿线段OB行至点B,再以速度3(单位:ms)沿圆弧&行至点C后停止,乙以速率2(单位:m/s)沿线段OA行至A点后停止.设t时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0),则函数y=S(t)的图像大致是 & & 4．（2012年高考（湖南文））设定义在&上的函数&是最小正周期为&的偶函数,&是&的导函数,当&时,&;当&且&时&,&,则函数&在&上的零点个数为&&&&（　　） A．2&&&&B．4&&&&C．5&&&&D．8& 5．（2012年高考（湖北文））函数&在区间&上的零点个数为&&&&（　　） A．2&&&&B．3&&&&C．4&&&&D．5 6．（2012年高考（辽宁理））设函数f(x)&满足f(&)=f(x),f(x)=f(2&x),且当&时,f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos&|,则函数h&(x)=g(x)-f(x)在&上的零点个数为&&&&（　　） A．5&&&&B．6&&&&C．7&&&&D．8 7．（2012年高考（湖北理））函数&在区间&上的零点个数为&&&&（　　） A．4&&&&B．5&&&&C．6&&&&D．7 二、解答题 8．（2012年高考（上海春））本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分. 某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为&千米(忽略内、外环线长度差异). (1)当&列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为&分钟,求内环线列车的最小平均速度; (2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为&千米/小时,外环线列车平均速度为&千米/小时.现内、外环线共有&列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过&分钟,问:内、外环线应名投入几列列车运行? 9．（2012年高考（江苏））如图,建立平面直角坐标系&,&轴在地平面上,&轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程&表示的曲线上,其中&与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标&不超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由. & 10．（2012年高考（湖南理））某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数). (1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间; (2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案. 参考答案 一、选择题 1.&【答案】B& 【解析】函数&的零点,即令&,根据此题可得&,在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像,可得交点只有一个,所以零点只有一个,故选答案B.& 【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题,实质上考查的是函数图像问题,该题涉及到图像幂函数和指数函数.& 2.&&【答案】B& 【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想,函数的零点的概念,零点存在定理以及作图与用图的数学能力.& 【解析】解法1:因为&,&,即&且函数&在&内连续不断,故&在&内的零点个数是1.& 解法2:设&,&,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示:可知B正确.& 3.&&【答案】A& 4.&【答案】B& 【解析】由当x∈(0,π)&且x≠&时&,&,知& &&& 又&时,0&f(x)&1,在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,在同一坐标系中作出&和&草图像如下,由图知y=f(x)-sinx在&上的零点个数为4个.& && 【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.& 5.&D【解析】由&,得&或&;其中,由&,得&,故&.又因为&,所以&.所以零点的个数为&个.故选D.& 【点评】本题考查函数的零点,分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法.对于三角函数的零点问题,一般需要规定自变量的取值范围;否则,如果定义域是&,则零点将会有无数个;来年需注意数形结合法求解函数的零点个数,所在的区间等问题.& 6.&【答案】B& 【解析】因为当&时,f(x)=x3.&所以当&,f(x)=f(2&x)=(2&x)3,& 当&时,g(x)=xcos&;当&时,g(x)=&&xcos&,注意到函数f(x)、&g(x)都是偶函数,且f(0)=&g(0),&f(1)=&g(1),&,作出函数f(x)、&g(x)的大致图象,函数h(x)除了0、1这两个零点之外,分别在区间&上各有一个零点,共有6个零点,故选B& 【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点,考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想,难度较大.& 7.考点分析:本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.& 解析:&,则&或&,&,又&,&& 所以共有6个解.选C.& 二、解答题 8.解:(1)设内环线列车运行的平均速度为&千米/小时,由题意可知,&& 所以,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,列车的最小平均速度是20千米/小时.& (2)设内环线投入&列列车运行,则外环线投入&列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间分别为&分钟,则&& 于是有&& 又&,所以&,所以当内环线投入10列,外环线投入8列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟.& 9.&【答案】解:(1)在&中,令&,得&.& 由实际意义和题设条件知&.& ∴&,当且仅当&时取等号.& ∴炮的最大射程是10千米.& (2)∵&,∴炮弹可以击中目标等价于存在&,使&成立,& 即关于&的方程&有正根.& 由&得&.& 此时,&(不考虑另一根).& ∴当&不超过6千米时,炮弹可以击中目标.& 【考点】函数、方程和基本不等式的应用.& 【解析】(1)求炮的最大射程即求&与&轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解.& (2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解.& 10.&【解析】& 解:(Ⅰ)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为& &由题设有& && 期中&均为1到200之间的正整数.& (Ⅱ)完成订单任务的时间为&其定义域为& &易知,&为减函数,&为增函数.注意到& &于是& (1)当&时,&&此时 &,& 由函数&的单调性知,当&时&取得最小值,解得& &.由于& &.& 故当&时完成订单任务的时间最短,且最短时间为&.& (2)当&时,&&由于&为正整数,故&,此时&易知&为增函数,则& &&& &.& 由函数&的单调性知,当&时&取得最小值,解得&.由于&& 此时完成订单任务的最短时间大于&.& (3)当&时,&&由于&为正整数,故&,此时&由函数&的单调性知,& 当&时&取得最小值,解得&.类似(1)的讨论.此时& 完成订单任务的最短时间为&,大于&.& 综上所述,当&时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数& 分别为44,88,68.& 【点评】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、最值等,考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型;第二问利用单调性与最值来解决,体现分类讨论思想.& 2012年高考数学分类汇编（5）导数 一、选择题 1&．（2012年高考（重庆文））设函数&在&上可导,其导函数&,且函数&在&处取得极小值,则函数&的图象可能是 & 2&．（2012年高考（浙江文））设a&0,b&0,e是自然对数的底数&&&&（　　） A．若ea+2a=eb+3b,则a&b& B．若ea+2a=eb+3b,则a&b& C．若ea-2a=eb-3b,则a&b& D．若ea-2a=eb-3b,则a&b 3&．（2012年高考（陕西文））设函数f(x)=&+lnx&则&&&&（　　） A．x=&为f(x)的极大值点&&&&B．&x=&为f(x)的极小值点& C．x=2为&f(x)的极大值点&&&&D．x=2为&f(x)的极小值点 4&．（2012年高考（山东文））设函数&,&.若&的图象与&的图象有且仅有两个不同的公共点&,则下列判断正确的是&&&&（　　） A．&&&&&B．&& C．&&&&&D．& 5&．（2012年高考（辽宁文））函数y=&x2&Rx的单调递减区间为&&&&（　　） A．(&1,1]&&&&B．(0,1]&&&&C． (1)若对一切x∈R,f(x)&&1恒成立,求a的取值集合;恒成立,求a+b的取值范围. 6．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.) 设&其中&,曲线&在点&处的切线垂直于&轴. (Ⅰ)&求&的值; (Ⅱ)&求函数&的极值. 7．（2012年高考（陕西理））设函数& (1)设&,&,证明:&在区间&内存在唯一的零点; (2)设&,若对任意&&,有&,求&的取值范围; (3)在(1)的条件下,设&是&在&内的零点,判断数列&的增减性. 8．（2012年高考（山东理））已知函数&(&为常数,&是自然对数的底数),曲线&在点&处的切线与&轴平行. (Ⅰ)求&的值; (Ⅱ)求&的单调区间; (Ⅲ)设&,其中&为&的导函数.证明:对任意&. 9．（2012年高考（辽宁理））设&,曲线&与 直线&在(0,0)点相切. (Ⅰ)求&的值. (Ⅱ)证明:当&时,&. 10．（2012年高考（江苏））若函数&在&处取得极大值或极小值,则称&为函数&的极值点. 已知&是实数,1和&是函数&的两个极值点. (1)求&和&的值; (2)设函数&的导函数&,求&的极值点; (3)设&,其中&,求函数&的零点个数. 11．（2012年高考（湖南理））已知函数&=&,其中a≠0. (1)&&&&若对一切x∈R,&≥1恒成立,求a的取值集合. (2)在函数&的图像上取定两点&,&&,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使&成立?若存在,求&的取值范围;若不存在,请说明理由. 12．（2012年高考（湖北理））(Ⅰ)已知函数&,其中&为有理数,且&.&求&的 最小值; (Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题: 设&,&为正有理数.&若&,则&; (Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题. 注:当&为正有理数时,有求导公式&. 13．（2012年高考（广东理））(不等式、导数)设&,集合&,&,&. (Ⅰ)求集合&(用区间表示); (Ⅱ)求函数&在&内的极值点. 14．（2012年高考（福建理））已知函数&.& (Ⅰ)若曲线&在点&处的切线平行于&轴,求函数&的单调区间; (Ⅱ)试确定&的取值范围,使得曲线&上存在唯一的点&,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点&. 15．（2012年高考（大纲理））(注意:在试题卷上作答无效) 设函数&. (1)讨论&的单调性; (2)设&,求&的取值范围. 16．（2012年高考（北京理））已知函数&(&),&. (1)若曲线&与曲线&在它们的交点(1,&)处具有公共切线,求&的值; (2)当&时,求函数&的单调区间,并求其在区间&上的最大值. 17．（2012年高考（安徽理））(本小题满分13分)设& (I)求&在&上的最小值; (II)设曲线&在点&的切线方程为&;求&的值. 2012年高考文科数学解析分类汇编：导数参考答案 一、选择题 1.&&【答案】:C& 【解析】:由函数&在&处取得极小值可知&,&,则&;&,&则&时&,&时&& 【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题.& 2.&&【答案】A& 【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.& 【解析】若&,必有&.构造函数:&,则&恒成立,故有函数&在x&0上单调递增,即a&b成立.其余选项用同样方法排除.& 3.&&解析:&,令&得&,&时,&,&为减函数;&时,&,&为增函数,所以&为&的极小值点,选D.& 4.&&解析:设&,则方程&与&同解,故其有且仅有两个不同零点&.由&得&或&.这样,必须且只须&或&,因为&,故必有&由此得&.不妨设&,则&.所以&,比较系数得&,故&.&,由此知&,故答案应选B.& 另解:令&可得&.& 设&& 不妨设&,结合图形可知,&,& 即&,此时&,&,即&.答案应选B.& 5.&&【答案】B& 【解析】&故选B& 【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题.& 6.&&C&&【解析】如图,不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S1,S2,两块阴影部分的面积分别为S3,S4,& 则S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=&①,& 而S1+S3&与S2+S3的和恰好为一个半径为a的圆,即S1+S3&+S2+S3&②.& ①-②得S3=S4,由图可知S3=&,所以.&&.& 由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率& P=&.& 【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积,即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用.& 7.&&【答案】C& 【解析】&,& 又&,所以&在&和&上单调增加,在&上单调递减,故&,&& 【考点定位】本题考查函数的零点,函数的单调性极值,考查分析判断能力、必然与或然的思想.& 8.&&【解析】选&& && 得:&或&均有&&&排除&& 9.&&【答案】A& 【解析】若&,必有&.构造函数:&,则&恒成立,故有函数&在x&0上单调递增,即a&b成立.其余选项用同样方法排除.& 10.&&【答案】D& 【解析】&,由&,函数&为增;& &,由&,函数&为减;& &,由&,函数&为减;& &,由&,函数&为增.& 【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于0,则函数为增,当导函数小于0则函数递减.& 11.&&解析:&,令&得&,&时,&,&为减函数;&时,&,&为增函数,所以&为&的极小值点,选D.& 12.&&【解析】若函数&在R上为减函数,则有&.函数&为增函数,则有&,所以&,所以“函数&在R上为减函数”是“函数&为增函数”的充分不必要条件,选A.& 13.&&考点分析:本题考察利用定积分求面积.&&& 解析:根据图像可得:&&,再由定积分的几何意义,可求得面积为&.& 14.&&【答案】C& 【解析】&,故&,答案C& 【考点定位】本题主要考查几何概型的概率和定积分,考查推理能力、计算求解能力.& 15.&&答案A& 【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用.要是函数图像与&轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可.& 【解析】因为三次函数的图像与&轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而&,当&时取得极值& 由&或&可得&或&,即&.& 二、填空题 16.&&&如图1,&,& 所以&,&&&&& 易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND与OMP全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP的面积S=&.& 17.&&【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题.& 【解析】∵&,∴切线斜率为4,则切线方程为:&.& 18.&&如图1,&,& 所以&,& 易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MNO与OMP全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP的面积S=&.& 对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路.& 19.&【解析】由已知得&,所以&,所以&.& 20.&&&【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用.&&& &.& 【点评】这里,许多学生容易把原函数写成&,主要是把三角函数的导数公式记混而引起的.体现考纲中要求了解定积分的概念.来年需要注意定积分的几何意义求曲面面积等.& 21.解析:&.&,所以切线方程为&,即&.& 三、解答题 22.&【答案】:(Ⅰ)&(Ⅱ)&& 【解析】::(Ⅰ)因&&故&&&由于&&在点&&处取得极值& 故有&即&&,化简得&解得&& (Ⅱ)由(Ⅰ)知&&&,&& 令&&,得&当&时,&故&在&上为增函数;& 当&&时,&&故&在&&上为减函数& 当&&时&&,故&在&&上为增函数.& 由此可知&&在&&处取得极大值&,&&在&&处取得极小值&由题设条件知&&得&此时&,&因此&&上&的最小值为&& 【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值,最值之间的关系,属于导数的应用.(1)先对函数&进行求导,根据&=0,&,求出a,b的值.(1)根据函数&=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a,b的值,再令导数等于0,求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负,当左正右负时有极大值,当左负右正时有极小值.再代入原函数求出极大值和极小值.(2)列表比较函数的极值与端点函数值的大小,端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值,端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值.& 23.&【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间,并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力.& 【解析】(1)由题意得&,& 当&时,&恒成立,此时&的单调递增区间为&.& 当&时,&,此时函数&的单调递增区间为&.& (2)由于&,当&时,&.& 当&时,&.& 设&,则&.& 则有 & 0&&&&& & & 1 & &&&&-&&&&0&&&&+&&&& & 1&&&&减&&&&极小值&&&&增&&&&1 & 所以&.& 当&时,&.& 故&.& 24.解:(1)&,由&,得&& && && 25.&&& &&&&&&&&& 26.解:(I)&,由已知,&,∴&.& (II)由(I)知,&.& 设&,则&,即&在&上是减函数,& 由&知,当&时&,从而&,& 当&时&,从而&.& 综上可知,&的单调递增区间是&,单调递减区间是&.& (III)证明:由(II)可知,当&时,&≤0&1+&,故只需证明&在&时成立.& 当&时,&&1,且&,∴&.& 设&,&,则&,& 当&时,&,当&时,&,& 所以当&时,&取得最大值&.& 所以&.& 综上,对任意&,&.& 另证:因为&,& 设&,则&,令&,& 当&时&,&单调递增;当&时&,&单调递减.所以当&时,&,& 而当&时&,& 所以当&时&,综上可知结论成立.& 27.&【答案与解析】& && && && && && 【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大.& 28.&(Ⅰ)&解:&的定义域为&,&;& 若&,则&恒成立,所以&在&总是增函数& 若&,令&,求得&,所以&的单增区间是&;& 令&,&求得&&,所以&的单减区间是&& (Ⅱ)&把&&&&代入&得:&,& 因为&,所以&,所以:&,&,& &,所以:&& 令&,则&,由(Ⅰ)知:&在&& 单调递增,而&&,所以&在&上存在唯一零点&,且&;& 故&在&上也存在唯一零点且为&,当&时,&&,当&时,&,所以在&上,&;由&得:&,所以&,所以&,& 由于(*)式等价于&,所以整数的最大值为2&&& 29.&【解析】(1)由&,&&,则&,&,依题意须对于任意&,有&,当&时,因为二次函数&的图像开口向上,而&,所以须&,即&,当&时,对任意&,有&,符合条件;当&时,对任意&,&,&符合要求,当&时,因&,&不符合条件,故&的取值范围为&.& (2)因&& 当&时,&,&在&上取得最小值&,在&上取得最大值&;& 当&时,对于任意&,有&,&在&上取得最大值&,在&上取得最小值&;& 当&时,由&,& && 30.&【解析】解:&令&. 当&时&单调递减;当&时&单调递增,故当&时,&取最小值&& 于是对一切&恒成立,当且仅当& &.&&&&&&&&&&&&&&&&&&①& 令&则&& 当&时,&单调递增;当&时,&单调递减.& 故当&时,&取最大值&.因此,当且仅当&时,①式成立.& 综上所述,&的取值集合为&.& (Ⅱ)由题意知,&& 令&则& && && 令&,则&.& 当&时,&单调递减;当&时,&单调递增.& 故当&,&即&& 从而&,&又&&& 所以&&& 因为函数&在区间&上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在& &使&即&成立.& 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出&取最小值&对一切x∈R,f(x)&&1恒成立转化为&从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.& 31.&【解析】(1)因为&,由点&在&上,可得&& 因为&,所以&& 又因为切线&的斜率为&,所以&,所以&& (2)由(1)可知,&& 令&,即&在&上有唯一的零点&.& 在&上,&,故&单调递增;而在&上,&,&单调递减, 故&在&的最大值为&.& (3)令&,则&& 在&上,&,故&单调递减,而在&上,&,&单调递增,& 故&在&上的最小值为&,所以&& 即&,令&,得&,即&& 所以&,即&& 由(2)知,&,故所证不等式成立.& 【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.&导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等.&来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另外,要注意含有&等的函数求导的运算及其应用考查.& 32.解析:(Ⅰ)考虑不等式&的解.& 因为&,且&,所以可分以下三种情况:& ①当&时,&,此时&&,&.& ②当&时,&,此时&,&.& ③当&时,&,此时&有两根,设为&、&,且&,则&,&,于是& &.& 当&时,&,&,所以&,此时&;当&时,&,所以&,&,此时&.& 综上所述,当&时,&;当&时,&;当&时,&;当&时,&.其中&,&.& (Ⅱ)&,令&可得&.因为&,所以&有两根&和&,且&.& ①当&时,&,此时&在&内有两根&和&,列表可得 & & & & 1&&&&& & +&&&&0&&&&-&&&&0&&&&+ & 递增&&&&极小值&&&&递减&&&&极大值&&&&递增 所以&在&内有极大值点1,极小值点&.& ②当&时,&,此时&在&内只有一根&,列表可得 & & & & & & +&&&&0&&&&-&&&&+ & 递增&&&&极小值&&&&递减&&&&递增 所以&在&内只有极小值点&,没有极大值点.& ③当&时,&,此时&(可用分析法证明),于是&在&内只有一根&,列表可得 & & & & & & +&&&&0&&&&-&&&&+ & 递增&&&&极小值&&&&递减&&&&递增 所以&在&内只有极小值点&,没有极大值点.& ④当&时,&,此时&,于是&在&内恒大于0,&在&内没有极值点.& 综上所述,当&时,&在&内有极大值点1,极小值点&;当&时,&在&内只有极小值点&,没有极大值点.当&时,&在&内没有极值点.& 33.&【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想. 解:&& 当&时,&不合题意;& 当&时,&,&单调递减,&,不合题意;& 当&时,&,&单调递增,&& &,所以综上&& (2)&在&上有两个零点.证明如下:& 由(1)知&,&& ∴&在&上至少有一个零点,又由(1)知&在&上单调递增,& 故在&上只有一个零点,当&时,令&,& &,&在&上连续,∴&,&& &,∴&在&上递减,当&时,& &,& &,&递增,∴当&时,&& ∴&在&上递增,∵&& ∴&在&上只有一个零点,综上&在&上有两个零点.& 34.&【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一问就是三次函数,通过求解导数求解单调区间.另外就是运用极值概念,求解参数值的运用.& 解:(1)依题意可得&& 当&即&时,&恒成立,故&,所以函数&在&上单调递增;& 当&即&时,& &有两个相异实根&且&& 故由&&或&,此时&单调递增& 由&,此时此时&单调递增递减& 综上可知& 当&时,&在&上单调递增;当&时,&在&上单调递增,在&单调递增,在&单调递减.& (2)由题设知,&为方程&的两个根,故有& && 因此&& 同理&& 因此直线&的方程为&& 设&与&轴的交点为&,得&& 而&& 由题设知,点&在曲线&的上,故&,解得&或&或&& 所以所求&的值为&或&或&.& 【点评】试题分为两问,题面比较简单,给出的函数比较常规,这一点对于同学们来说没有难度,但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响,求解函数的单调区间.第二问中,运用极值的问题,和直线方程的知识求解交点,得到参数的值.& 35.&【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容.也是学生掌握比较好的知识点,在题目占能够发现&和分析出区间&包含极大值点&,比较重要.& 解:(1)&,&.因为曲线&与曲线&在它们的交点&处具有公共切线,所以&,&.即&且&.解得&& (2)记&& 当&时,&,&& 令&,解得:&,&;& &与&在&上的情况如下: & & & & 1&&&&(1,2)&&&&2 & +&&&&0&&&&―&&&&0&&&&+&&&& & & 28&&&&& -4&&&&& 3 由此可知:& 当&时,函数&在区间&上的最大值为&;& 当&时,函数&在区间&上的最大值小于28.& 因此,&的取值范围是&& 36.&【解析】(I)&& 当且仅当&时,&的最小值为&& (II)由题意得:&&&①& &&&&②& 由①②得:&& 37.&【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力.& (1)&的定义域为& && & 得：&时，& （2）设& 则&在&上恒成立&（*） & & ①当&时，&与（*）矛盾 ②当&时，&符合（*） 得：实数&的最小值为&(lfxlby) （3）由（2）得：&对任意的&值恒成立 取&：& 当&时，&&得：&（lb&ylfx） 当&时，& 得：& 【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行.& 38.&【解析】(1)&& 令&得:&& && 得:&& &在&上单调递增& && 得:&的解析式为&& 且单调递增区间为&,单调递减区间为&& (2)&得&& ①当&时,&在&上单调递增& &时,&与&矛盾& ②当&时,&& 得:当&时,&& && 令&;则&& && 当&时,&& 当&时,&的最大值为&& 39.&【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力.& (Ⅰ)& ()&.& 当b≤0时,&&0在0≤x≤1上恒成立,& 此时&的最大值为:&=|2a-b|a;& 当b&0时,&在0≤x≤1上的正负性不能判断,& 此时&的最大值为:& &=|2a-b|a;& 综上所述:函数&在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|a;& ()&要证&+|2a-b|a≥0,即证&=&≤|2a-b|a.& 亦即证&在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|a,& ∵&,∴令&.& 当b≤0时,&&0在0≤x≤1上恒成立,& 此时&的最大值为:&=|2a-b|a;& 当b&0时,&在0≤x≤1上的正负性不能判断,& && && ≤|2a-b|a;& 综上所述:函数&在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|a.& 即&+|2a-b|a≥0在0≤x≤1上恒成立.& (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数&在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|a,& 且函数&在0≤x≤1上的最小值比(|2a-b|a)要大.& ∵1≤&≤1对x&恒成立,& ∴|2a-b|a≤1.& 取b为纵轴,a为横轴.& 则可行域为:&和&,目标函数为z=a+b.& 作图如下:& 由图易得:当目标函数为z=a+b过P(1,2)时,有&,&.& ∴所求a+b的取值范围为:&.& && 【答案】(Ⅰ)&见解析;(Ⅱ)&&.& 40.&【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义,两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力.& 解:(1)因&,故&& 由于曲线&在点&处的切线垂直于&轴,故该切线斜率为0,即&,& 从而&,解得&& (2)由(1)知&,& && && 令&,解得&(因&不在定义域内,舍去),& 当&时,&,故&在&上为减函数; 当&时,&,故&在&上为增函数;& 故&在&处取得极小值&.& 41.解析:(1)&,&时,&& ∵&,∴&在&内存在零点.& 又当&时,&& ∴&&在&上是单调递增的,所以&在&内存在唯一零点.& (2)当&时,&& 对任意&都有&等价于&在&上最大值与最小值之差&,据此分类讨论如下:()当&,即&时,& &,与题设矛盾& ()当&,即&时,& &恒成立& ()当&,即&时,& &恒成立.& 综上可知,&& 注:()()也可合并证明如下:& 用&表示&中的较大者.当&,即&时,& && && && &恒成立& (3)证法一&&设&是&在&内的唯一零点&& &,&,&& 于是有&& 又由(1)知&在&上是递增的,故&,& 所以,数列&是递增数列.& 证法二&&设&是&在&内的唯一零点& &&&& 则&的零点&在&内,故&,& 所以,数列&是递增数列.& 42.解析:由f(x)&=&&可得&&,而&,即&,解得&;& (Ⅱ)&&,令&可得&,& 当&时,&;当&时,&.& 于是&在区间&内为增函数;在&内为减函数.& (Ⅲ)&,& (1)当&时,&&,&.& (2)当&时,要证&.& 只需证&即可& 设函数&.& 则&,& 则当&时&,& 令&解得&,& 当&时&;当&时&,& 则当&时&,且&,& 则&&,于是可知当&时&成立& 综合(1)(2)可知对任意x&0,&恒成立.& 另证1:设函数&,则&,& 则当&时&,& 于是当&时,要证&,& 只需证&即可,& 设&,&,& 令&解得&,& 当&时&;当&时&,& 则当&时&,& 于是可知当&时&成立& 综合(1)(2)可知对任意x&0,&恒成立.& 另证2:根据重要不等式当&时&,即&,& 于是不等式&,& 设&,&,& 令&解得&,& 当&时&;当&时&,& 则当&时&,& 于是可知当&时&成立.& 43.&【答案及解析】& && && && 【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用.本题容易忽略函数&的定义域,根据条件曲线&与直线&在(0,0)点相切,求出&的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明&即可.从近几年的高考命题趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练.本题属于中档题.& 44.&【答案】解:(1)由&,得&.& ∵1和&是函数&的两个极值点,& ∴&&,&,解得&.& (2)∵&由(1)得,&&,& ∴&,解得&.& ∵当&时,&;当&时,&,& ∴&是&的极值点.& ∵当&或&时,&,∴&&不是&的极值点.& ∴&的极值点是-2.& (3)令&,则&.& 先讨论关于&&的方程&&根的情况:&& 当&时,由(2&)可知,&的两个不同的根为I&和一2&,注意到&是奇函数,∴&的两个不同的根为一和2.& 当&时,∵&,&&,& ∴一2&,&-1,1&,2&都不是&的根.& 由(1)知&.& ①&当&时,&&,于是&是单调增函数,从而&.& 此时&在&无实根.& ②&当&时.&,于是&是单调增函数.& 又∵&,&,&的图象不间断,& ∴&&在(1&,&2&)内有唯一实根.& 同理,&在(一2&,一I&)内有唯一实根.& ③&当&时,&,于是&是单调减两数.& 又∵&,&&,&的图象不间断,& ∴&在(一1,1&)内有唯一实根.& 因此,当&时,&有两个不同的根&满足&;当&&时& &有三个不同的根&,满足&.& 现考虑函数&的零点:& (&i&)当&时,&有两个根&,满足&.& 而&有三个不同的根,&有两个不同的根,故&有5&个零点.& (&11&)当&时,&有三个不同的根&,满足&.& 而&有三个不同的根,故&有9&个零点.& 综上所述,当&时,函数&有5&个零点;当&时,函数&有9&个零点.& 【考点】函数的概念和性质,导数的应用.& 【解析】(1)求出&的导数,根据1和&是函数&的两个极值点代入列方程组求解即可.& (2)由(1)得,&,求出&,令&,求解讨论即可.& (3)比较复杂,先分&和&讨论关于&&的方程&&根的情况;再考虑函数&的零点.& 45.&【解析】(Ⅰ)若&,则对一切&,&&,这与题设矛盾,又&,& 故&.& 而&令&& 当&时,&单调递减;当&时,&单调递增,故当&时,&取最小值&& 于是对一切&恒成立,当且仅当& &.&&&&&&&&&&&&&&&&&&①& 令&则&& 当&时,&单调递增;当&时,&单调递减.& 故当&时,&取最大值&.因此,当且仅当&即&时,①式成立.& 综上所述,&的取值集合为&.& (Ⅱ)由题意知,&& 令&则& && && 令&,则&.& 当&时,&单调递减;当&时,&单调递增.& 故当&,&即&& 从而&,&又&&& 所以&&& 因为函数&在区间&上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在&使&&单调递增,故这样的&是唯一的,且&.故当且仅当&时,&&.& 综上所述,存在&使&成立.且&的取值范围为& &.& 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出&取最小值&对一切x∈R,f(x)&&1恒成立转化为&,从而得出a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.& 46.考点分析:本题主要考察利用导数求函数的最值,并结合推理,考察数学归纳法,对考生的归纳推理能力有较高要求.& 解析:(Ⅰ)&,令&,解得&.& 当&时,&,所以&在&内是减函数;& 当&&&时,&,所以&在&内是增函数.& 故函数&在&处取得最小值&.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当&时,有&,即&&&&①& 若&,&中有一个为0,则&成立;& 若&,&均不为0,又&,可得&,于是 在①中令&,&,可得&,& 即&,亦即&.& 综上,对&,&,&为正有理数且&,总有&.&②& (Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为:& 设&为非负实数,&为正有理数.&& 若&,则&.&&&&&&&&&&&&③&&&&& 用数学归纳法证明如下:& (1)当&时,&,有&,③成立.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (2)假设当&时,③成立,即若&为非负实数,&为正有理数,& 且&,则&.&&&&&&&&&&&&&&&&&& 当&时,已知&为非负实数,&为正有理数,& 且&,此时&,即&,于是& &=&.& 因&,由归纳假设可得& &&&,& 从而&&.&& 又因&,由②得& &&& &,& 从而&&.& 故当&时,③成立.& 由(1)(2)可知,对一切正整数&,所推广的命题成立.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 说明:(Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对&成立,则后续证明中不需讨论&的情况.& 47.解析:(Ⅰ)考虑不等式&的解.& 因为&,且&,所以可分以下三种情况:& ①当&时,&,此时&&,&.& ②当&时,&,此时&,&.& ③当&时,&,此时&有两根,设为&、&,且&,则&,&,于是& &.& 当&时,&,&,所以&,此时&;当&时,&,所以&,&,此时&.& 综上所述,当&时,&;当&时,&;当&时,&;当&时,&.其中&,&.& (Ⅱ)&,令&可得&.因为&,所以&有两根&和&,且&.& ①当&时,&,此时&在&内有两根&和&,列表可得 & & & & 1&&&&& & +&&&&0&&&&-&&&&0&&&&+ & 递增&&&&极小值&&&&递减&&&&极大值&&&&递增 所以&在&内有极大值点1,极小值点&.& ②当&时,&,此时&在&内只有一根&,列表可得 & & & & & & +&&&&0&&&&-&&&&+ & 递增&&&&极小值&&&&递减&&&&递增 所以&在&内只有极小值点&,没有极大值点.& ③当&时,&,此时&(可用分析法证明),于是&在&内只有一根&,列表可得 & & & & & & +&&&&0&&&&-&&&&+ & 递增&&&&极小值&&&&递减&&&&递增 所以&在&内只有极小值点&,没有极大值点.& ④当&时,&,此时&,于是&在&内恒大于0,&在&内没有极值点.& 综上所述,当&时,&在&内有极大值点1,极小值点&;当&时,&在&内只有极小值点&,没有极大值点.当&时,&在&内没有极值点.& 48.&【考点定位】本题主要考查函数的导数、导数的应用、二次函数的性质、函数的零点等基础知识,考查运算求解能力、抽象与概括的能力、推理与论证的能力,考查数形结合的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想、有限与无限的思想.& 解:(1)&,&,故&& &时,&,&时,&,所以函数&的增区间为&,减区间为&& (2)设切点&,则切线&& 令&,因为只有一个切点,所以函数&就只有一个零点,因为&& &,若&& &,因此有唯一零点,由&的任意性知&不合题意& 若&,令&,则&& &,存在一个零点&,使曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.故&的取值范围为&.& 49.&【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一就是函数中有三角函数,要利用三角函数的有界性,求解单调区间.另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用.& 解:&.& (Ⅰ)因为&,所以&.& 当&时,&,&在&上为单调递增函数;& 当&时,&,&在&上为单调递减函数;& 当&时,由&得&,& 由&得&或&;& 由&得&.& 所以当&时&在&和&上为为单调递增函数;在&上为单调递减函数.& (Ⅱ)因为&& 当&时,&恒成立& 当&时,&& 令&,则& && 又令&,则& && 则当&时,&,故&,&单调递减& 当&时,&,故&,&单调递增& 所以&在&时有最小值&,而& &,&& 综上可知&时,&,故&在区间&单调递& 所以&& 故所求&的取值范围为&.& 另解:由&恒成立可得&& 令&,则&& 当&时,&,当&时,&& 又&,所以&,即&& 故当&时,有&& ①当&时,&,&,所以&& ②当&时,&&nbsp, ; 综上可知故所求&的取值范围为&.& 【点评】试题分为两问,题词面比较简单,给出的函数比较新颖,因为里面还有三角函数,这一点对于同学们来说有点难度,不同于平时的练习题,相对来说做得比较少.但是解决的关键还是要看导数的符号,求解单调区间.第二问中,运用构造函数的思想,证明不等式,一直以来是个难点,那么这类问题的关键是找到合适的函数,运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决.& 50.&【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考查的切线、单调性、极值以及最值的问题都是课本中要求的重点内容,也是学生掌握比较好的知识点.& 解:(1)由&为公共切点可得:&,则&,&,& &,则&,&,&&①& 又&,&,&&,即&,代入①式可得:&.& (2)&&,&设&& 则&,令&,解得:&,&;& &&,&&,& &原函数在&单调递增,在&单调递减,在&上单调递增& ①若&,即&时,最大值为&;& ②若&,即&时,最大值为&& ③若&时,即&时,最大值为&.& 综上所述:当&时,最大值为&;当&时,最大值为&.& 51.&【解析】(I)设&;则&& ①当&时,&&在&上是增函数& 得:当&时,&的最小值为&& ②当&时,&& 当且仅当&时,&的最小值为&& (II)&& 由题意得:&& 2011年高考题 一、选择题 1.（安徽理3）&设&是定义在&上的奇函数，当&时，&，则& &&&&（A）&&&&&&&&&(B)&&&&&&&&（Ｃ）１　　　　　　（Ｄ）3 【答案】A 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题. 【解析】&.故选A. 2.(安徽理10)&函数&在区&&& 间〔0,1〕上的图像如图所示，则m，n的值 可能是 （A）&&&&&&&& &(B)&&&&&&& &&&(C)&&&&&&&&&& &(D)&& 【答案】B【命题意图】本题考查导数在研究&&& 函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证，当&，&，则 &，由&可知，&，结 合图像可知函数应在&递增，在&递减，即在&取得最大值，由 &，知a存在.故选B. 3.（安徽文5）若点(a,b)在&&图像上，&,则下列点也在此图像上的是 （A）（&，b）&&(B)&&(10a,1&b)&&&&(C)&(&,b+1)&&&&&&&(D)(a2,2b) 【答案】D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系. 【解析】由题意&，&，即&也在函数&&图像上. 4.(安徽文10)&函数&在&& 区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n可 能是 （A）1&&&&&&(B)&&2&&&&&& &&(C)&&3&&&&&&&&&(D)&4& 【答案】A【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证，当&时，&&&& & ，则&， 由&可知，&，结合图像可知函数应在&递增，在&递减，即在&取得最大值，由&，知a存在.故选A. 5.（北京理6）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为&（A，c为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件&&& 产品时用时15分钟，那么c和A的值分别是 A.&75，25&&&&&&&&&&&&B.&75，16&&&&&&&&&&C.&60，25&&&&&&&&&&&&D.&60，16 【答案】D 【解析】由条件可知，&时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即&，&，选D。 6.（北京文8）已知点&,&,若点&在函数&的图象上，则使得&的面积为2的点&的个数为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& A.&4&&&&&&&&&&&&&&B.&&&&3&&&&&&&&&&&&&&&&C.&2&&&&&&&&&&&&&&&&D.&1 【答案】A 7.（福建理5）&等于&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&A．1&&&&&&&&&&&&B．&&&&&&&&&&&&&C．&&&&&&&&&&&&&D．& 【答案】C 8.（福建理9）对于函数&&(其中，&)，选取&的一组值计算&和&，所得出的正确结果一定不可能是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&A．4和6&&&&&&&&B．3和1&&&&&&&&C．2和4&&&&&&&&D．1和2 【答案】D 9.（福建理10）已知函数&，对于曲线&上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&①△ABC一定是钝角三角形 &&&&②△ABC可能是直角三角形 &&&&③△ABC可能是等腰三角形 &&&&④△ABC不可能是等腰三角形 &&&&其中，正确的判断是 &&&&A．①③&&&&&&&&&&&&B．①④&&&&&&&&&&&&C．②③&&&&&&&&&&&&D．②④ 【答案】B 10.（福建文6）若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 A．（－1，1）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&B．（－2，2） C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）&&&&D．（－∞，－1）∪（1，＋∞） 【答案】C 11.（福建文8）已知函数f(x)＝2x，&&x＞0&x＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于 &&&&A．－3&&&&B．－1&&&&C．1&&&&D．3 【答案】A 12.（福建文10）若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于 A．2&&&&&&&&&&&&&&&&&B．3&&&&&&&&&&&&&&&&&&C．6&&&&&&&&&&&&&&&&&&&D．9&&& 【答案】D 13.（广东理4）设函数&和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是&& A．&+|g(x)|是偶函数&&&&&&&&&&&&&&&&B．&-|g(x)|是奇函数 C．|&|&+g(x)是偶函数&&&&&&&&&&&&&&&D．|&|-&g(x)是奇函数 【答案】A 【解析】因为&g(x)是R上的奇函数,所以|g(x)|是R上的偶函数,从而&+|g(x)|是偶函数,故选A. 14.（广东文4）函数&的定义域是&&&（&&&&&）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& A．&&&&&B．&&&&&&&&&&C．&&&&&D．& 【答案】C 15.（广东文10）设&是R上的任意实值函数．如下定义两个函数&和&；对任意&,&；&．则下列等式恒成立的是（&&&&&） A．& B．& C．& D．&& 【答案】B 16.（湖北理6）已知定义在R上的奇函数&和偶函数&满足 & &，若&，则& A.&&&&&&&&&&&B.&&&&&&&C.&&&&&&&&D.&& 【答案】B 【解析】由条件&，&，即 &，由此解得&，&， 所以&，&，所以选B. 17.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量&（单位：太贝克）与时间&（单位：年）满足函数关系：&，其中&为&时铯137的含量，已知&时，铯137的含量的变化率是&（太贝克/年），则& A.&5太贝克&&&&&&B.&&太贝克&&&&C.&&太贝克&&&D.&150太贝克 【答案】D 【解析】因为&，则&，解得&，所以&，那么 &（太贝克），所以选D. 18.（湖南文7）曲线&在点&处的切线的斜率为（&&&&） A．&&&&&B．&&&&&&C．&&&&&&&D．& 【答案】B 【解析】&，所以 &。 19.（湖南文8）已知函数&若有&则&的取值范围为 A．&&&&&B．&&&C．&&&&&D．& 【答案】B 【解析】由题可知&，&，若有&则&，即&，解得&。 20.（湖南理6）由直线&与曲线&所围成的封闭图形的面积为（&&&&） A．&&&&&&&B．1&&&&&&&C．&&&&&&&D．& 【答案】D 【解析】由定积分知识可得&，故选D。 21.（湖南理8）设直线&与函数&的图像分别交于点&，则当&达到最小时&的值为（&&&&） A．1&&&&&&B．&&&&&&&C．&&&&&&&D．& 【答案】D 【解析】由题&，&不妨令&，则&，令&解得&，因&时，&，当&时，&，所以当&时，&达到最小。即&。 22.（江西文3）若&，则&的定义域为(&&&) &&&&&B.&&&&&C.&&&&&D.& 【答案】C&&&&& 【解析】&& 23.（江西文4）曲线&在点A（0,1）处的切线斜率为（&&&） A.1&&&&&&&&&&&&&B.2&&&&&&&&&&C.&&&&&&&&&&&&&&&D.& 【答案】A&&&&&& 【解析】&& 24.（江西文6）观察下列各式：则&，…，则&的末两位数字为（&&&） A.01&&&&&&&&&&&&B.43&&&&&&&&&&&C.07&&&&&&&&&&&&&D.49 【答案】B&&& 【解析】&& 25.（江西理3）若&，则&定义域为 A.&&&&&&&&&B.&&&&&&&C.&&&&&&D.&& 【答案】A 【解析】由&解得&，故&，选A 26.（江西理4）设&，则&的解集为 A.&&&&&&&&&&&B.&&&&&&&&C.&&&&&&D.& 【答案】C 【解析】&定义域为&，又由&，解得&或&，所以&的解集& 27.（江西理7）观察下列各式：&，&，&，…，则&的末四位数字为 A.&3125&&&&&&&&&&B.&5625&&&&&&&&&&C.&0625&&&&&&&&&&&&D.8125 【答案】D 【解析】观察可知当指数为奇数时，末三位为125；又&，即&为第1004个指数为奇数的项，应该与第二个指数为奇数的项（&）末四位相同，∴&的末四位数字为8125 28.（辽宁理9）设函数&，则满足&的x的取值范围是 &&&&A．&，2]&&&&&&&B．&&&&&&&C．&&&&&&D． 【答案】D 29.（辽宁理11）函数&的定义域为&，&，对任意&，&，则&的解集为 &&&&A．（&，1）&&&&&&B．（&，+&）&&&&&C．（&，&）&&&&D．（&，+&） 【答案】B 30.（辽宁文6）若函数&为奇函数，则a=&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&A．&&&&&&&&&B．&&&&&&&&&&&&C．&&&&&&&&&&&D．1 【答案】A 31.（全国Ⅰ理2）下列函数中，既是偶函数又在&单调递增的函数是&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （A）&&&&(B)&&&&&（C）&&&&(D)&&& 【答案】B 32.（全国Ⅰ理9）由曲线&，直线&及&轴所围成的图形的面积为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （A）&&&&&&&&&&&（B）4&&&&&&&&&&&（C）&&&&&&&&&&（D）6& 【答案】C 33.&(全国Ⅰ理12)函数&的图像与函数&的图像所有交点的横坐标之和等于&&&&&（A）2&&&&&&&&&&&(B)&4&&&&&&&&&(C)&6&&&&&&&&&&(D)8 【答案】D 34.（全国Ⅰ文4）曲线&在点（1,0）处的切线方程为&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&（A）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（B）& &&&&&（C）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（D）& 【答案】A 35.&(全国Ⅰ文9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4&(x&0），则&=&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&（A）&&&&&&&&（B）& （C）&&（D）& 【答案】B 36.（全国Ⅱ理2）函数&＝&（&≥0）的反函数为 (A)&＝&（&∈R）&(B)&＝&（&≥0）&(C)&＝&（&∈R）&(D)&＝&（&≥0） 【答案】B 【命题意图】：本小题主要考查函数与反函数概念及求法特别要注意反函数的定义域即原函数的值域。 【解析】由&＝&，得&＝&.&函数&＝&（&≥0）的反函数为&＝&.（&≥0） 37.（全国Ⅱ理8）曲线&在点（0,2）处的切线与直线&和&围成的三角形的面积为 (A)&&&&&&&&&&&&&(B)&&&&&&&&&&&&(C)&&&&&&&&&&&(D)1 【答案】A 【命题意图】：本小题主要考查导数的求法、导数的几何意义及过曲线上一点切线的方程的求法。 【解析】&，故曲线&在点（0,2）处的切线方程为&，易得切线与直线&和&围成的三角形的面积为&。 38.（全国Ⅱ理9）设&是周期为2的奇函数，当&时，&，则& (A)&&&&&&&&&&&&(B)&&&&&&&&&&(C)&&&&&&&&&&&(D)& 【答案】A 【命题意图】：本小题主要考查了函数的奇偶性、周期性的概念。 【解析】&。 39.（山东理9）函数&的图象大致是 & 【答案】C 【解析】因为&,所以令&,得&,此时原函数是增函数;令&,得&,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确. 40.（山东理10）已知&是&上最小正周期为2的周期函数，且当&时,&,则函数&的图象在区间上与&轴的交点的个数为 （A）6&&&&（B）7&&&&&（C）8&&&&&&（D）9 【答案】A 【解析】因为当&时,&&,又因为&是&上最小正周期为2的周期函数，且&,所以&,又因为&,所以&,&,故函数&的图象在区间上与&轴的交点的个数为6个,选A. 41.（山东文4）曲线&在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 &&&&（A）-9&&&&（B）-3&&&&（C）9&&&&（D）15 【答案】C 42.（陕西理3）设函数&（&R）满足&，&，则函数&的图像是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（&&） & & 【答案】B 【分析】根据题意，确定函数&的性质，再判断哪一个图像具有这些性质． 【解析】选由&得&是偶函数，所以函数&的图象关于&轴对称，可知B，D符合；由&得&是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B． 43.（陕西文4）&函数&的图像是&&（&&&）&&&&& & 【答案】B 【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断． 【解析】&取&，&，则&，&，选项B，D符合；取&，则&，选项B符合题意． 44.（上海理16）下列函数中，既是偶函数，又是在区间&上单调递减的函数是（&&&） （A）&.&&&&&（B）&.&&&&&（C）&.&&&&&（D）&. 【答案】A 45.（上海文15）下列函数中，既是偶函数，又在区间&上单调递减的函数是（&&&） （A）&&&&&&（B）&&&&&&（C）&&&&&&（D）& 【答案】A 46.（四川理7）若&是R上的奇函数，且当&时，&，则&的反函数的图象大致是 & 【答案】A 【解析】当&时，函数&单调递减，值域为&，此时，其反函数单调递减且图象在&与&之间，故选A． 47.（四川文4）函数&的图象关于直线y=x对称的图象像大致是 & 【答案】A 【解析】&图象过点&，且单调递减，故它关于直线y=x对称的图象过点&且单调递减，选A． 48.（天津理2）函数&的零点所在的一个区间是（　　）． 　Ａ．&　　　Ｂ．&　　　Ｃ．&　　　Ｄ．& 【答案】B 【解析】解法1．因为&，&，&， 所以函数&的零点所在的一个区间是&．故选Ｂ． 解法2．&可化为&． 画出函数&和&的图象，可观察出选项Ｃ，Ｄ不正确，且 &，由此可排除Ａ，故选Ｂ． 49.（天津理8）设函数&若&，则实数&的取值范围是（&　&）． 　　Ａ．&　　　　　Ｂ．& 　　Ｃ．&　　　　Ｄ．& 【答案】C 【解析】若&，则&，即&，所以&， 若&则&，即&，所以&，&。 所以实数&的取值范围是&或&，即&．故选C． 50.（天津文4）函数&的零点所在的一个区间是（　　）． 　　Ａ．&　　　Ｂ．&　　　　Ｃ．&　　　Ｄ．& 【答案】C 【解析】因为&，&， &，所以函数&的零点所在的一个区间是&．故选Ｃ． 51.（天津文6）设&，&，&，则（　　　）． 　　Ａ．&　　　　　　　Ｂ．&& 　　Ｃ．&　　　　　　　Ｄ．&& 【答案】D 【解析】因为&，&，&， 所以&， 所以&，故选Ｄ． 52.（天津文10）设函数&&，&则&的值域是（　　）． 　　Ａ．&　　　　　Ｂ．&，& 　　Ｃ．&　　　　　　　　Ｄ．& 【答案】D 【解析】解&得&，则&或&．因此&的解为：&．于是& 当&或&时，&． 当&时，&，则&， 又当&和&时，&，所以&． 由以上，可得&或&，因此&的值域是&．故选Ｄ． 53.（浙江理1）已知&，则&的值为& A．6&&&&&&&&&&&&&&&&B．5&&&&&&&&&&&&&&&C．4&&&&&&&&&&&&&&&D．2 【答案】B 54.（浙江文10）设函数&，若&为函数&的一个极值点，则下列图象不可能为&的图象是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& & 【答案】D 55.（重庆理5）下列区间中，函数&=&在其上为增函数的是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （A）（-&&&&&&&&（B）&&&&&&（C）&&&&&（D）& 【答案】D 56.（重庆理10）设m，k为整数，方程&在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为 （A）-8&&&&&&&&&&&（B）8&&&&&&&&&&&&&&&&&(C)12&&&&&&&&&&(D)&13 【答案】D 57.&(重庆文3)曲线&在点&,&处的切线方程为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&A (A)&　　　　　　　　　　(B)& (C)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(D)& 58.&(重庆文6)设&,&,&,则&,&,&的大小关系是 (A)&　　　　　　　　　　(B)& (C)&　　　　　　　　　　(D)& 【答案】B 59.&(重庆文7)若函数&在&处取最小值,则&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (A)&　　　　　　　　　　　(B)& (C)3　　　　　　　　　　　　&&&(D)4 【答案】C 二、填空题 60.&(重庆文15)若实数&,&,&满足&,&，则&的最大值是&&&&&&&&&. 【答案】& 61.（浙江文11）设函数&&&,若&,则实数&=________________________ 【答案】-1 62.（天津文16）设函数&．对任意&，&恒成立，则实数&的取值范围是　　　　． 【答案】&． 【解析】解法1．显然&，由于函数&对&是增函数， 则当&时，&不恒成立，因此&． 当&时，函数&在&&是减函数， 因此当&时，&取得最大值&， 于是&恒成立等价于&&的最大值&， 即&，解&得&．于是实数&的取值范围是&． 解法2．然&，由于函数&对&是增函数，则当&时，&不成立，因此&． &， 因为&，&，则&，设函数&，则当&时为增函数，于是&时，&取得最小值&． 解&得&．于是实数&的取值范围是&． 解法3．因为对任意&，&恒成立，所以对&，不等式&也成立，于是&，即&，解&得&．于是实数&的取值范围是&． 63.（天津理16）设函数&．对任意&， &恒成立，则实数&的取值范围是　　　　． 【答案】&． 【解析】解法１．不等式化为&，即 &， 整理得&， 因为&，所以&，设&，&． 于是题目化为&，对任意&恒成立的问题． 为此需求&，&的最大值．设&，则&． 函数&在区间&上是增函数，因而在&处取得最大值． &，所以&， 整理得&，即&， 所以&，解得&或&， 因此实数&的取值范围是&． 解法2．同解法1,题目化为&，对任意&恒成立的问题． 为此需求&，&的最大值． 设&，则&．&． 因为函数&在&上是增函数，所以当&时，&取得最小值&． 从而&有最大值&．所以&，整理得&， 即&，所以&，解得&或&， 因此实数&的取值范围是&． 解法3．不等式化为&，即 &， 整理得&， 　　令&． 由于&，则其判别式&，因此&的最小值不可能在函数图象的顶点得到， 所以为使&对任意&恒成立，必须使&为最小值， 即实数&应满足 　　　& 　解得&，因此实数&的取值范围是&． 解法4．(针对填空题或选择题)由题设，因为对任意&， &恒成立， 则对&，不等式&也成立， 把&代入上式得&，即 &，因为&，上式两边同乘以&，并整理得 &，即&，所以&，解得&或&， 因此实数&的取值范围是&．&&&& 64.（四川理13）计算&_______． 【答案】－20 【解析】&． 65.（四川理16）函数&的定义域为A，若&且&时总有&，则称&为单函数．例如，函数&=2x+1(&)是单函数．下列命题： ①函数&（x&R）是单函数； ②若&为单函数，&且&，则&； ③若f：A→B为单函数，则对于任意&，它至多有一个原象； ④函数&在某区间上具有单调性，则&一定是单函数． 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号） 【答案】②③ 【解析】对于①，若&，则&，不满足；②实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；对于③，若任意&，若有两个及以上的原象，也即当&时，不一定有&，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题④不满足条件． 66.（上海文3）若函数&的反函数为&，则&&&&&&& 【答案】& 67.（上海文12）行列式&所有可能的值中，最大的是&&&&&&& 【答案】& 68.（上海文14）设&是定义在&上，以1为周期的函数，若函数&在区间&上的值域为&，则&在区间&上的值域为&&&&&&&&& 【答案】& 69.（上海理1）函数&的反函数为&&&&&&&&&&&&&.& 【答案】& 70.（上海理10）行列式&所有可能的值中，最大的是&&&&&&&&&&&.& 【答案】& 71.（上海理13）&设&是定义在&上，以1为周期的函数，若函数&在区间&上的值域为&，则&在区间&上的值域为&&&&&&&&&&&.& 【答案】& 72.（陕西文11）设&，则&______. 【答案】& 【分析】由&算起，先判断&的范围，是大于0，还是不大于0,；再判断&作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果． 【解析】∵&，∴&，所以&，即&． 73.（陕西理11）设&，若&，则&&&&&&&&． 【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从&算起是解答本题的突破口. 【解析】因为&，所以&，又因为&， 所以&，所以&，&． 【答案】1 74.（陕西理12）设&，一元二次方程&有整数根的充要条件是&&&&&&&&． 【答案】3或4 【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算． 【解析】&&，因为&是整数，即&为整数，所以&为整数，且&，又因为&，取&，验证可知&符合题意；反之&时，可推出一元二次方程&有整数根． 75.（山东理16）已知函数&=&当2＜a＜3＜b＜4时，函数&的零点&&&&&&&&&. 【答案】5 【解析】方程&=0的根为&,即函数&的图象与函数&的交点横坐标为&,且&,结合图象,因为当&时,&,此时对应直线上&的点的横坐标&;当&时,&对数函数&的图象上点的横坐标&,直线&的图象上点的横坐标&,故所求的&. 76.（辽宁文16）已知函数&有零点，则&的取值范围是___________． 【答案】& 77.（江苏2）函数&的单调增区间是__________ 【答案】& 【解析】&在&&在&大于零,且增. 本题主要考查函数的概念，基本性质，指数与对数，对数函数图象和性质，容易题 78.（江苏8）在平面直角坐标系&中，过坐标原点的一条直线与函数&的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________. 【答案】4. 【解析】设经过原点的直线与函数的交点为&，&，则&. 本题主要考查幂函数，函数图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用,两点间距离公式以及基本不等式，中档题. 79.（江苏11）已知实数&，函数&，若&，则a的值为________ 【答案】& 【解析】&&. &，不符合； &&. 本题主要考查函数概念，函数与方程,函数模型及其应用,含参的分类讨论，中档题. 80.（江苏12）在平面直角坐标系&中，已知点P是函数&的图象上的动点，该图象在P处的切线&交y轴于点M，过点P作&的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________ 【答案】& 【解析】设&则&，过点P作&的垂线 &， & &，所以，t在&上单调增，在&单调减， &. 本题主要考查指数运算,指数函数图象、导数的概念,导数公式,导数的运算与几何意义、利用导数研究函数,导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系，运算求解能力,综合应用有关知识的能力,本题属难题.& 81.（湖南文12）已知&为奇函数，&&&&&&&&&． 【答案】6 【解析】&，又&为奇函数，所以 &。 82.（湖北文15）里氏震级M的计算公式为：&，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅 是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍。 【答案】6，10000 83.（广东文12）设函数&若&，则&&&&&&&&&&&&． 【答案】-9 84.（广东理12）函数&在&&&&&&&&处取得极小值. &&【答案】 &85.（北京理13）已知函数&，若关于x的方程&有两个不同的&&&& 实根，则实数k的取值范围是________. 【答案】 【解析】&单调递减且值域为(0,1]，&单调递增且值域为&，&有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）。 86.（安徽文13）函数&的定义域是&&&&&&&&&&.& 【答案】（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法. 【解析】由&可得&，即&，所以&. 三、解答题 87.（安徽理16）设&，其中&为正实数 （Ⅰ）当&&时，求&的极值点； （Ⅱ）若&为&上的单调函数，求&的取值范围。 本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力. &&&&解：对&求导得&&&&① &&&&（I）当&，若& &&&&综合①,可知 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&+&&&&0&&&&－&&&&0&&&&+ &&&&&J&&&&极大值&&&&K&&&&极小值&&&&J &&&&所以,&是极小值点,&是极大值点. &&&&（II）若&为R上的单调函数，则&在R上不变号，结合①与条件a&0，知& &&&&在R上恒成立，因此&由此并结合&，知& 88.（北京理18）已知函数&. (1)求&的单调区间； (2)若对&，&，都有&，求&的取值范围。 解：(1)&，令&得& 当&时，&在&和&上递增，在&上递减； 当&时，&在&和&上递减，在&上递增 (2)&当&时，&；所以不可能对&，&都有&； 当&时有（1）知&在&上的最大值为&，所以对&，&都有& 即&，故对&，&都有&时，&的取值范围为&。 89.（北京文18）已知函数&，（I）求&的单调区间； （II）求&在区间&上的最小值。 解：（I）&，令&；所以&在&上递减，在&上递增； （II）当&时，函数&在区间&上递增，所以&； 当&即&时，由（I）知，函数&在区间&上递减，&上递增，所以&； 当&时，函数&在区间&上递减，所以&。 90.（福建理18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量&(单位：千克)与销售价格&(单位：元/千克)满足关系式&，其中&，&为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． &&&&(Ⅰ)&求&的值； (Ⅱ)&若该商品的成品为3元/千克,&试确定销售价格&的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 解：(Ⅰ)因为&时&，所以&； (Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量&，所以商场每日销售该商品所获得的利润： &； &，令&得& 函数&在&上递增，在&上递减，所以当&时函数&取得最大值& 答：当销售价格&时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. 91.（福建文22）已知a、b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2，（e＝2.71828…是自然对数的底数）。 （Ⅰ）求实数b的值； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间； （Ⅲ）当a＝1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈，直线y＝t与曲线y＝f(x)（x∈[1e，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。 解：（Ⅰ）b＝2；（Ⅱ）a＞0时单调递增区间是（1，＋∞），单调递减区间是（0，1），a＜0时单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，＋∞）；（Ⅲ）存在m，M；m的最小值为1，M的最大值为2。 92.（广东理21） & （2）设&是定点，其中&满足&.过&作&的两条切线&，切点分别为&，&与&分别交于&.线段&上异于两端点的点集记为&.证明：& &； 解：（１）&， 直线AB的方程为&，即&， &，方程&的判别式&， 两根&或&， &，&，又&， &，得&， &． （２）由&知点&在抛物线L的下方， ①当&时，作图可知，若&，则&，得&； 若&，显然有点&；&&&． ②当&时，点&在第二象限， 作图可知，若&，则&，且&； 若&，显然有点&；& &&． 根据曲线的对称性可知，当&时，&&， 综上所述，&&（*）； 由（１）知点M在直线EF上，方程&的两根&或&， 同理点M在直线&上，方程&的两根&或&， 若&，则&不比&、&、&小， &，又&&， &&；又由（１）知，&&； &&，综合（*）式，得证． （３）联立&，&得交点&，可知&， 过点&作抛物线L的切线，设切点为&，则&， 得&，解得&， 又&，即&， &，设&，&&， &，又&，&； &，&， &． 93.（广东文19）&&设&,讨论函数&&的单调性． 解：函数f(x)的定义域为（0，+∞） &综上所述，f(x)的单调区间如下表： &&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （其中&） 94.（湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度&（单位：千米/小时）是车流密度&（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当&时，车流速度&是车流密度&的一次函数． （Ⅰ）当&时，求函数&的表达式； （Ⅱ）当车流密度&为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）&可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析：（Ⅰ）由题意：当&时，&；当&时，设&，显然&在&是减函数，由已知得&，解得& 故函数&的表达式为&=& （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得&& 当&时，&为增函数，故当&时，其最大值为&； 当&时，&， 当且仅当&，即&时，等号成立． 所以，当&时，&在区间&上取得最大值&． 综上，当&时，&在区间&上取得最大值&， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 95.（湖北理21）（Ⅰ）已知函数&，&，求函数&的最大值； （Ⅱ）设&&…，&均为正数，证明： （1）若&…&&&…&，则&； （2）若&…&=1，则&&&&&&…+&。 解：（Ⅰ）&的定义域为&，令&， &在&上递增，在&上递减，故函数&在&处取得最大值& （Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知当&时有&即&， ∵&，∴& ∵&∴&即& （2）①先证&，令&，则& 由（1）知& ∴&； ②再证&&&&…+&，记& 则&于是由（1）得 & 所以&&&&…+&。综合①②，（2）得证 96.（湖北文20）设函数&，&，其中&，a、b为常数，已知曲线&与&在点（2,0）处有相同的切线&。 (I)&求a、b的值，并写出切线&的方程； (II)若方程&有三个互不相同的实根0、&、&，其中&，且对任意的&，&恒成立，求实数m的取值范围。 解：(I)&，由于曲线曲线&与&在点（2,0）处有相同的切线，故有&，由此解得：&； 切线&的方程：&‘ (II)由(I)得&，依题意得：方程&有三个互不相等的根 &，故&是方程&的两个相异实根，所以 &； 又对任意的&，&恒成立，特别地，取&时， &成立，即&，由韦达定理知：&，故&，对任意的&，有&，则： &；又& 所以函数在&上的最大值为0，于是当&时对任意的&，&恒成立；综上：&的取值范围是&。 97.（湖南文22）设函数& (I)讨论&的单调性； （II）若&有两个极值点&，记过点&的直线的斜率为&，问：是否存在&，使得&若存在，求出&的值，若不存在，请说明理由． 解析：（I）&的定义域为& &&&&&&&&& 令&& 当&故&上单调递增． 当&的两根都小于0，在&上，&，故&上单调递增． 当&的两根为&， 当&时，&&；当&时，&&；当&时，&&，故&分别在&上单调递增，在&上单调递减． （II）由（I）知，&． 因为&，所以 & 又由(I)知，&．于是& 若存在&，使得&则&．即&．亦即 && 再由（I）知，函数&在&上单调递增，而&，所以&这与&式矛盾．故不存在&，使得& 98.（湖南理20）如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为&，雨速沿E移动方向的分速度为&。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与&×S成正比，比例系数为&；（2）其它面的淋雨量之和，其值为&，记&为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=&时。& （Ⅰ）写出&的表达式 （Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度&，使总淋雨量&最少。 解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为&， 故&. （II）由(I)知，当&时，& 当&时，& 故&。 (1)当&时，&是关于&的减函数.故当&时，&。 (2)&当&时，在&上，&是关于&的减函数；在&上，&是关于&的增函数；故当&时，&。 99.（湖南理22）&&已知函数&(&)&=&，g&(&)=&+&。 &（Ⅰ）求函数h&(&)=&(&)-g&(&)的零点个数，并说明理由； &（Ⅱ）设数列&满足&，&，证明：存在常数M,使得对于任意的&，都有&≤&&. 解析：（I）由&知，&，而&，且&，则&为&的一个零点，且&在&内有零点，因此&至少有两个零点 解法1：&，记&，则&。 当&时，&，因此&在&上单调递增，则&在&内至多只有一个零点。又因为&，则&在&内有零点，所以&在&内有且只有一个零点。记此零点为&，则当&时，&；当&时，&； 所以， 当&时，&单调递减，而&，则&在&内无零点； 当&时，&单调递增，则&在&内至多只有一个零点； 从而&在&内至多只有一个零点。综上所述，&有且只有两个零点。 解法2：&，记&，则&。 当&时，&，因此&在&上单调递增，则&在&内至多只有一个零点。因此&在&内也至多只有一个零点， 综上所述，&有且只有两个零点。 （II）记&的正零点为&，即&。 （1）当&时，由&，即&.而&，因此&，由此猜测：&。下面用数学归纳法证明：&& ①当&时，&显然成立； ②假设当&时，有&成立，则当&时，由 &知，&，因此，当&时，&成立。 故对任意的&，&成立。 （2）当&时，由（1）知，&在&上单调递增。则&，即&。从而&，即&，由此猜测：&。下面用数学归纳法证明： ①当&时，&显然成立； ②假设当&时，有&成立}