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考研线性代数怎么复习 线性代数 考研数学 试题试卷剖析
You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina2003年线性代数考研试题[数一]1. 从R的基α1=??0??,α2=??-1??到基β1=??1??,β2=??2??的过渡矩阵为??-1-2?? ??????????【详解】 根据定义，从R的基α1=??0??,α2=??-1??到基β1=??1??,β2=??2??的过渡????????矩阵为 22魔剑考研 2014考研 2015考研?1??1??1??1??23??1??1??1??1??11??11?-1P=[α1,α2][β1,β2]=?. ????0-1??12?=? 2. 设向量组I：α1,α2,",αr可由向量组II：β1,β2,",βs线性表示，则[ D ](A) 当r&s时，向量组II必线性相关. (B) 当r&s时，向量组II必线性相关.(C) 当r&s时，向量组I必线性相关. (D) 当r&s时，向量组I必线性相关.但β1,β2【详解】 用排除法：如α1=?则α1=0?β1+0?β2，?0??,β1=??0??,β2=??1??，??????-13??11??11??2=. ??????0-1??12??-1-2??0??1??0??0??1??1?线性无关，排除(A)；α1=??0??,α2=??0??,β1=??0??，则α1,α2可由β1线性表示，但β1线??????性无关，排除(B)；α1=??0??,β1=??0??,β2=??1??，α1可由β1,β2线性表示，但α1线性无??????关，排除(C). 故正确选项为(D).3. 设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为m×n矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)；② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是[ B ](A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如A=??1??1??0??10?，??00?You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina?00?，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),B=???01?故正确选项为(B). 魔剑考研 2014考研 2015考研?322??010?????-1*4. 设矩阵A=232，P=101，B=PAP，求B+2E的特征值与特征向?????????223??001?量，其中A为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.【详解】经计算可得 *?5-2-2??01-1??， P-1=?100?， ?-2 A*=-25?????????-2-25??001?00??7?. ?-1*-4 B=PAP=-25?????-2-23?从而00??9?， ?-4 B+2E=-27?????-2-25?λ-9λE-(B+2E)=220λ-7204=(λ-9)2(λ-3)， λ-5故B+2E的特征值为λ1=λ2=9,λ3=3.当λ1=λ2=9时，解(9E-A)x=0，得线性无关的特征向量为?-1??-2????? η1=1, η2=0, ?????????0??1?所以属于特征值λ1=λ2=9的所有特征向量为?-2??-1????? k1η1+k2η2=k11+k20，(其中k1,k2是不全为零的任意常数). ????????1???0?当λ3=3时，解(3E-A)x=0，得线性无关的特征向量为You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina?0??? η3=1， ?????1??0???所以属于特征值λ3=3的所有特征向量为k3η3=k31，(其中k3≠0为任意常数). ?????1?5. 已知平面上三条不同直线的方程分别为l1: ax+2by+3c=0，l2: bx+2cy+3a=0，l3: cx+2ay+3b=0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.【详解】 ：必要性设三条直线l1,l2,l3交于一点，则线性方程组 魔剑考研 2014考研 2015考研?ax+2by=-3c,??bx+2cy=-3a, (*)?cx+2ay=-3b,??a2b??a2b-3c?????有唯一解，故系数矩阵A=b2c与增广矩阵=b2c-3a的秩均为2，于是?????????c2a??c2a-3b?=0. a2b-3c222由于 =b2c-3a=6(a+b+c)[a+b+c-ab-ac-bc]c2a-3b=3(a+b+c)[(a-b)+(b-c)+(c-a)], 但根据题设 (a-b)+(b-c)+(c-a)≠0，故a+b+c=0.充分性：由a+b+c=0，则从必要性的证明可知，=0，故秩(&3. 由于 b=2(ac-b2)=-2[a(a+b)+b2] b2cYou stupid cunt ! cunnilingus penis vagina=-2[(a+12b)2+324b]≠0， 故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩()=2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线l1,l2,l3交于一点.[数二]?1-11?1. 设α为3维列向量，αT是α的转置. 若ααT=??-11-1?，则?1-11? ???αTα?1-11?【详解】 由ααT=??-11-1??=?1??1?-1?[1-???11????11]，知α=?-1?，于是?1-???1????1???1?αTα=[1-11]??-1?=3.?1?????12. 设三阶方阵A,B满足A2B-A-B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=??0??-2则B=12【详解】 由A2B-A-B=E知，(A2-E)B=A+E，即 (A+E)(A-E)B=A+E，易知矩阵A+E可逆，于是有 (A-E)B=E. 再两边取行列式，得 A-EB=1，001因为 A-E=010=2, 所以 B= 1-2002 3. 设向量组I：α1,α2,",αr可由向量组II：β1,β2,",βs线性表示，则[ D ]魔剑考研 2014考研 2015考研01?20?01? ?? You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina (A) 当r&s时，向量组II必线性相关. (B) 当r&s时，向量组II必线性相关.(C) 当r&s时，向量组I必线性相关. (D) 当r&s时，向量组I必线性相关. 魔剑考研 2014考研 2015考研?220???4. 若矩阵A=82a相似于对角阵Λ，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使?????006?P-1AP=Λ. 【详解】 矩阵A的特征多项式为λ-2λE-A=-8 2-2λ-200-a=(λ-6)[(λ-2)2-16] λ-6 =(λ-6)(λ+2)，故A的特征值为λ1=λ2=6,λ3=-2.由于A相似于对角矩阵Λ，故对应λ1=λ2=6应有两个线性无关的特征向量，即 3-r(6E-A)=2，于是有 r(6E-A)=1.?2-10??4-20??→?00a?， ?-a由 6E-A=-84??????00???000???0知a=0.于是对应于λ1=λ2=6的两个线性无关的特征向量可取为 ?0??1????? ξ1=0， ξ2=2. ?????????1??0?当λ3=-2时，?210??-4-20????? -2E-A=-8-40→001， ??????0-8???000???0You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina?1??2x1+x2=0,??解方程组?得对应于λ3=-2的特征向量ξ3=-2. ???x3=0,??0???011??? 令P=02-2，则P可逆，并有P-1AP=Λ. ????100??5. 已知平面上三条不同直线的方程分别为l1: ax+2by+3c=0，l2: bx+2cy+3a=0，l3: cx+2ay+3b=0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0. 魔剑考研 2014考研 2015考研[数三]1. 设n维向量α=(a,0,",0,a),a&0；E为n阶单位矩阵，矩阵 TA=E-ααT， B=E+其中A的逆矩阵为B，则a= -1 .【详解】 由题设，有 1ααT， a1ααT) a11 =E-ααT+ααT-ααT?ααT aa11 =E-ααT+ααT-α(αTα)αT aa1 =E-ααT+ααT-2aααT a1 =E+(-1-2a+)ααT=E, a11于是有 -1-2a+=0，即 2a2+a-1=0，解得 a=,a=-1. 由于A&0 ,故a2 AB=(E-ααT)(E+a=-1.2.?abb???2. 设三阶矩阵A=bab，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有[ C ] ????bba??(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b≠0.(C) a≠b且a+2b=0. (D) a≠b且a+2b≠0.【分析】 A的伴随矩阵的秩为1, 说明A的秩为2，由此可确定a,b应满足的条件.You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina【详解】 根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有 魔剑考研 2014考研 2015考研abb2 bab=(a+2b)(a-b)=0，即有a+2b=0或a=b.bba但当a=b时，显然秩(A)≠2, 故必有 a≠b且a+2b=0. 应选(C).3. 设α1,α2,",αs均为n维向量，下列结论不正确的是[ B ](A) 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,",ks，都有k1α1+k2α2+"+ksαs≠0，则α1,α2,",αs线性无关.(B) 若α1,α2,",αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,",ks，都有k1α1+k2α2+"+ksαs=0.(C)(D) α1,α2,",αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s. α1,α2,",αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,",ks,都有 k1α1+k2α2+"+ksαs≠0，则α1,α2,",αs必线性无关，因为若α1,α2,",αs线性相关，则存在一组不全为零的数k1,k2,",ks,使得 k1α1+k2α2+"+ksαs=0，矛盾. 可见（A）成立.(B): 若α1,α2,",αs线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数k1,k2,",ks，都有k1α1+k2α2+"+ksαs=0. (B)不成立.(C) α1,α2,",αs线性无关,则此向量组的秩为s；反过来，若向量组α1,α2,",αs的秩为s，则α1,α2,",αs线性无关，因此(C)成立.(D) α1,α2,",αs线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).4. 已知齐次线性方程组You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina?(a1+b)x1+a2x2+a3x3+"+anxn?ax+(a+b)x+ax+"+ax112233nn???a1x1+a2x2+(a3+b)x3+"+anxn?""""""""""???a1x1+a2x2+a3x3+"+(an+b)xn其中魔剑考研2014考研 2015考研=0,=0,=0, =0,∑ai=1ni≠0. 试讨论a1,a2,",an和b满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.【详解】 方程组的系数行列式a1+ba2a3an"a1a2+ba3an"a2a3+b"an A=a1#####a1a2a3"an+b=bn-1(b+∑ai).i=1n(1) 当b≠0时且b+∑ai=1ni≠0时，秩(A)=n，方程组仅有零解.(2) 当b=0 时，原方程组的同解方程组为 a1x1+a2x2+"+anxn=0. 由∑ai=1ni≠0可知，ai(i=1,2,",n)不全为零. 不妨设a1≠0，得原方程组的一个基础解系为α1=(-aaa2,1,0,",0)T，α2=(-3,0,1,",0)T，",αn=(-n,0,0,",1)T. a1a1a1当b=-∑ai=1ni时，有b≠0，原方程组的系数矩阵可化为You stupid cunt ! cunnilingus penis vaginan??a1-∑aii=1??a1???a1??#?a1??魔剑考研 2014考研 2015考研a2a2-∑aii=1na3a3a3-∑ai#i=1na2#a2a3????"an?? ?"an?#?n?"an-∑ai?i=1?"an1倍）i（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n行同乘以-∑ai=1nn??a1-∑aii=1??-1→ ?-1?#??-1?a210#0?a3"an??0"0? 1"0??##?0"1??（ 将第n行-an倍到第2行的-a2倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）→?-1?-1??#??-1??010#0001#00"0?"0??#?. ?"1?"0??由此得原方程组的同解方程组为x2=x1，x3=x1，",xn=x1 . 原方程组的一个基础解系为α=(1,1,",1)T.5. 设二次型22f(x1,x2,x3)=XTAX=ax12+2x2-2x3+2bx1x3(b&0)中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b的值；(2) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【分析】 特征值之和为A的主对角线上元素之和，特征值之积为A的行列式，由此可进一步求出A的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若求出a,b 的值；有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina【详解】 （1）二次型f的矩阵为 魔剑考研 2014考研 2015考研?a0b??? A=020. ?????b0-2?设A的特征值为λi(i=1,2,3). 由题设，有λ1+λ2+λ3=a+2+(-2)=1，a0bλ1λ2λ3=020=-4a-2b2=-12.b0-2解得 a=1,b= -2.(2) 由矩阵A的特征多项式λ-1λE-A=0-20-2λ-20=(λ-2)2(λ+3)， 0λ+2得A的特征值λ1=λ2=2,λ3=-3.对于λ1=λ2=2,解齐次线性方程组(2E-A)x=0，得其基础解系 ξ1=(2,0,1)T，ξ2=(0,1,0)T.对于λ3=-3，解齐次线性方程组(-3E-A)x=0，得基础解系 ξ3=(1,0,-2)T.由于ξ1,ξ2,ξ3已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将ξ1,ξ2,ξ3单位化，由此得η1=(令矩阵 25,0,1)T，η2=(0,1,0)T，η3=(15,0,-25T.Q=[η1η2???η3]=??????10?， 20-??0则Q为正交矩阵. 在正交变换X=QY下，有You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina?200??， QTAQ=?020?????00-3?且二次型的标准形为22f=2y12+2y2-3y3. 魔剑考研 2014考研 2015考研[数四]?202???1. 设A,B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵. 已知AB=2A+B,B=040,则 ?????202??001?? . 010(A-E)-1= ??????100?【分析】 应先化简，从AB=2A+B中确定(A-E).【详解】 由AB=2A+B, 知AB-B=2A-2E+2E,即有 (A-E)B-2(A-E)=2E，(A-E)(B-2E)=2E， (A-E)?-11(B-2E)=E， 2?001?1??-1可见 (A-E)=(B-2E)=010. ??2???100??001???2. 设矩阵B=010.已知矩阵A相似于B，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于[ C ] ?????100?(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5.【分析】 利用相似矩阵有相同的秩计算，秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于秩(B-2E)与秩(B-E)之和.【详解】 因为矩阵A相似于B，于是有矩阵A-2E与矩阵B-2E相似，矩阵A-E与矩阵B-E 相似，且相似矩阵有相同的秩，而1??-20?-101????? 秩(B-2E)=秩0-10=3，秩(B-E)=秩000=1， ??????0-2????1?10-1?可见有 秩(A-2E)+秩(A-E)= 秩(B-2E)+秩(B-E)=4，故应选(C).3. 设有向量组（I）：α1=(1,0,2)，α2=(1,1,3)，α3=(1,-1,a+2)T和向量组（II）：TTYou stupid cunt ! cunnilingus penis vaginaβ1=(1,2,a+3)T，β2=(2,1,a+6)T，β3=(2,1,a+4)T. 试问：当a为何值时，向量组（I）与（II）等价？当a为何值时，向量组（I）与（II）不等价？【分析】 两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示，而两个向量组不等价，只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可. 而线性表示问题又可转化为对应非齐次线性方程组是否有解的问题，这可通过化增广矩阵为阶梯形来判断. 一个向量β1是否可由α1,α2,α3线性表示，只需用初等行变换化增广矩阵（α1,α2,α3而一组向量（α1,α2,α3魔剑考研 2014考研 2015考研β1）为阶梯形讨论，β1,β2,β3是否可由α1,α2,α3线性表示，则可结合起来对矩阵β1,β2,β3）同时作初等行变换化阶梯形，然后类似地进行讨论即可.【详解】 作初等行变换，有#1122??11? ?#-1211 (α1,α2,α3#β1,β2,β3)=01?????23a+2#a+3a+6a+4?2#-111??10?. ?211 →01-1#?????00a+1#a-1a+1a-1?(1) 当a≠-1时，有行列式[α1方程组x1α1+x2α2+x3α3=线性表示.同样，行列式α2α3]=a+1≠0，秩（α1,α2,α3)=3，故线性βi(i=1,2,3)均有唯一解. 所以，β1,β2,β3可由向量组（I）[β1β2β3=6≠0，秩（β1,β2,β3)=3，故α1,α2,α3可由向量组（II）线性表示. 因此向量组（I）与（II）等价.(2) 当a=-1时，有?102#-111??? (α1,α2,α3#β1,β2,β3)→01-1#211. ?????000#-20-2?由于秩（α1,α2,α3）≠秩（α1,α2,α3#β1)，线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1无解，故向量β1不能由α1,α2,α3线性表示. 因此，向量组（I）与（II）不等价.?211??1?????*5. 设矩阵A=121可逆，向量α=b是矩阵A的一个特征向量，λ是α对应的特?????????11a??1?征值，其中A是矩阵A的伴随矩阵. 试求a,b和λ的值. *You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina【分析】 题设已知特征向量，应想到利用定义：A*α=λα，又与伴随矩阵A相关的问题，应利用AA=AE进行化简.【详解】 矩阵A属于特征值λ的特征向量为α，由于矩阵A可逆，故A可逆.于是***魔剑考研 2014考研 2015考研*λ≠0，A≠0，且A*α=λα.两边同时左乘矩阵A，得AA*α=λAα，Aα=Aλα，即??211??1??1??121??b?A?b?，????=?11a????1??λ????1??由此，得方程组??3+b=A,?λ??2+2b=Ab,?λ??a+b+1=A?λ.由式(1),(2)解得b=1 或b=-2;由式(1),(3)解得a=2.由于211A=121=3a-2=4，11a根据(1)式知，特征向量α所对应的特征值λ=A43+b=3+b.所以，当b=1时，λ=1；当b=-2时，λ=4. (1)(2) (3)
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即存在m属于N，证明设A，且B可逆:满足矩阵方程AX=XB的，B为同阶方阵，使A^m=0，若A为m次幂零阵
提问者采纳
B可逆，得A^2X=AXB=(AX)B=(XB)B=XB^2，A^3X=A(XB^2)=(AX)B^2=(XB)B^2，由归纳法可得A^mX=XB^m=0AX=XB两边左乘以A
提问者评价
按照你说的，真的成功了，好开心，谢谢你！
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==&gt，可得 X=A^2XC^2=.令C=B的逆矩阵,由此迭代; X=AXC .=A^mXC^m=O.
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单项选择题设A，B为n阶方阵，且AB=0，则下列结论
①A=0或B=0
③|A|=0或|B|=0
④|A|+|B|=0
⑤若A≠0，则B=0
⑦(A-B)2=A2+B2
⑧rA．+rB．≤n
&C．③⑧．D．①③⑤⑦⑧．
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