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初等数学方法建模
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内容提示：现实世界中有很多问题，它的机理较简单，用静态,线性或逻辑的方法即可建立模型，使用初等的数学方法，即可求解，我们称之为初等数学模型。本章主要介绍有关自然数，
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数学建模第六章初等数学方法建模【数学建模】.doc18页
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第二章 初等数学方法建模
现实世界中有很多问题，它的机理较简单，用静态,线性或逻辑的方法即可建立模型，使用初等的数学方法，即可求解，我们称之为初等数学模型。本章主要介绍有关自然数，比例关系，状态转移，及量刚分析等建模例子，这些问题的巧妙的分析处理方法，可使读者达到举一反三，开拓思路，提高分析, 解决实际问题的能力。 第一节
有关自然数的几个模型 1.1鸽笼原理 鸽笼原理又称为抽屉原理，把个苹果放入 个抽屉里，则必有一个抽屉中至少有2个苹果。 问题1：如果有个人，其中每个人至多认识这群人中的个人（不包括自己），则至少有两个人所认识的人数相等。 分析：我们按认识人的个数，将个人分为类，其中类，表示认识个人，这样形成
个“鸽笼”。若
，则个人分成不超过 类，必有两人属于一类，也即有两个人所认识的人数相等；若 ，此时注意到类和类必有一个为空集，所以不空的“鸽笼”至多为个，也有结论成立 问题2：在一个边长为的正三角形内最多能找到几个点，而使这些点彼此间的距离大于. 分析：边长为1的正三角形 ，分别以为中心，为半径圆弧，将三角形分为四个部分（如图1-1
），则四部分中任一部分内两点距离都小于
，由鸽笼原理知道，在三角形内最多能找四个点，使彼此间距离大于
，且确实可找到如及三角形中心四个点。
图1―1 问题3：能否在的方格表的各个空格中，分别填写这三个数中的任一个，使得每行，每列及对角线的各个数的和都不相同？为什么？ 分析：若从考虑填法的种类入手，情况太复杂；这里我们注意到，方格表中行,列及对角线的总数为个；而用填入表格，每行,列及对角线都是个数，个数
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＞＞＞设有一个边长为1的正三角形，设为A1，将A1的每边三等分，在中间的..
设有一个边长为1的正三角形，设为A1，将A1的每边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后得到的图形记为A2，将A2的每边三等分，再重复上述过程，得到图形A3，再重复上述过程，得到图形A4，则A4的周长是_________________。&
题型：填空题难度：偏易来源：不详
每个图形的周长构成一个数列记为,,.
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据魔方格专家权威分析，试题“设有一个边长为1的正三角形，设为A1，将A1的每边三等分，在中间的..”主要考查你对&&等差数列的定义及性质，等比数列的定义及性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等差数列的定义及性质等比数列的定义及性质
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
发现相似题
与“设有一个边长为1的正三角形，设为A1，将A1的每边三等分，在中间的..”考查相似的试题有：
767238268210333269841845560845338384在一个边长为1分米的正三角形内任意放置10个点，证明:至少有两个点之间的距离不超过1/3分米._百度知道
在一个边长为1分米的正三角形内任意放置10个点，证明:至少有两个点之间的距离不超过1/3分米.
提问者采纳
D是哪个点?在AC边上吗? 黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36???a?a璤躷2?t它的腰与它的底成黄金比.当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，并形成两个较小的等腰三角形.这两三角形之一相似于原三角形。
提问者评价
太给力了，你的回答完美解决了我的问题！
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