阿列夫零 阿列夫
在集合论这一数学分支里，阿列夫数，又称阿列夫数是一连串超穷基数。其标记符号为？？？（由希伯来字母？？？？？？演变而来）加角标表示可数集（包括自然数）的势标记为？？？，下一个较大的势为？？？，再下一个是，以此类推。一直继续下来，便可以对任一序数？α？定义一个基数。阿列夫数用来衡量集合的大小，而无限只是定义成实数线上的最大的极限或扩展的实轴上的端点。某些阿列夫数会大于另一些阿列夫数，而无限只是无限而已。在了解阿列夫零前，先看1个关于无穷大悖论的故事基塔：“无穷饭店”是我们银河系中心的一家巨大的旅馆。它拥有无穷多个房间，这些房间通过黑洞伸展到更高级的时空领域。房间号从1开始，无限制地排下去。基塔：一天，这个旅店的客房全住进了客人，这时候来了一位飞碟（不明飞行物）的驾驶员，他正要去别的星系。基塔：尽管已经没有空房间了，可是旅店老板仍然给驾驶员找到了1个房间。他不过是把原来住在各个房间里的房客都一一移到高一号的房间。于是左边第1号房间就空出来给该驾驶员住。基塔：第二天又来了五对夫妇渡蜜月。无穷饭店能不能接待他们？可以，老板只不过把每个客人都一一移到高5号的房间中去，空出的1到5号房就给这5对夫妇基塔：周末，又有无穷多个泡泡糖推销员来到这家旅馆开会。赫尔曼：我能够理解无穷饭店可以怎样接待有限数量的新到者，可是它怎么能够再给无穷多旅客找到新房间呢？基塔：很容易，我亲爱的赫尔曼。老板只要把每个房间里的客人移到原来号码两倍的房间中去就行了。赫尔曼：对了！这下每个房间里的人都住到双号房中，余下的所有单号房间有无穷多个，它们空出来给泡泡糖商人住！关于无穷大还有很多悖论。计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数。在整个宇宙中的点数是第二级无穷大数，第三级无穷大数比这要多得多！德国数学家乔治?康妥发现了无穷大的这种等级，他把这种新型的奇异等级称为阿列夫零、阿列夫1、阿列夫2等等。关于阿列夫数有很多深刻的神秘性，解决它们是现代数学中最激动人心的挑战之一。如我们所知，任何1个有限集都不能与它的1个真子集建立一一对应的关系。对于无穷集这―点就不成立了。看上去这样就违反了整体大于局部这一古老法则。确实，1个无穷集可以定义为能够与它的1个真子集一一对应的集。无穷饭店的老板首先表明了由一切计数用的数所组成的集合（这是乔治?康妥称为阿列夫零的集合）可以与它的某1个真子集一一对应，并余下1个元素，或者5个元素。显然，这一程序可以变化，使得从1个阿列夫零集中减去它的1个子集，这个子集也是阿列夫零集，从其余下的数中就会得到所要的任何有限个数量的元素。还有1个办法可以使这一减法形象化，想象有两根无限长的测量棒并排放在桌子上，把两棍棒的零端对齐放在桌子中心。两根棒都刻了线，按厘米计数。两根棒在右端延伸到无穷远，所有数都一一对应：0―0、1―1、2―2等等。现在想象把一根棒向右移动n厘米。移动以后，那棍棒上的所有数仍与不动的棒上的数一一对应。如果那根棒移动了3厘米，则棒上教的对应就是0―3、1―4、2―5、……。移动的n厘米代表两棍棒长之差。不过，两根棒的长度仍然是阿列夫零厘米长。由于我们可以让二者之差n为我们所要的任何1个值，很明显用阿列夫零减阿列夫零就是1个不确定的运算。饭店老板最后施的策略就是打开无穷多个房间。这表明如何用阿列夫零减阿列夫零得到阿列夫零。让每1个数与每1个偶数一一对应，则余下的是1个由全部奇数所构成的阿列夫零集。由实数所构成的集合形成更高一级的无穷集，康妥称之为阿列夫1。康妥的辉煌成就之一就是著名的“对角线证明”，它说的是阿列夫1的元素不可能与阿列夫0的元素构成一一对应关系。阿列夫1也就是在一条线段上全部点的数目。康妥证明了这些点怎样能与一条无限直线上的点一一对应，怎样与一方块上的点、与一无限大平面上的点；与一立方体中的点、与无限大空间中的点一一对应，如此下去还可以与超立方体或更高维空间中的点一一对应。阿列夫1又称为“连续统的势”。阿列夫2是一切可能的数学函数――连续函数和不连续函数的数目。因为任何1个函数都可画为一曲线，我们把“曲线”取广义以包括不连续曲线，则阿列夫2就是一切可能的曲线数目。同样，如果我们所指的曲线是在一张邮票上，或者在1个无穷空间里，或者在1个无穷超空间里的全部曲线，这一切都没有问题，仍是阿列夫2。康妥还证明了阿列夫2不可能与阿列夫1一一对应。当1个阿列夫数被升级为它本身的幂，则产生1个更高级的阿列夫数，它不能与产生它的阿列夫数一一对应。因此，阿列夫数的阶梯向上是无穷的。在阿列夫数之间有没有什么超限数？比如说，有没有1个数比阿列夫零大、比阿列夫1小？康妥确信不存在这种数。他的猜测成为著名的广义连续统假设。1938年，哥德尔证明标准集合论与不存在中介的超限数假设是一致的。1963年，保罗?科恩证明，如果人们假定存在中介数，这也不与集合论矛盾。简言之，连续统假设是由表明它是“不可判定的”来判定的。科恩的研究结果是：集合论现在分为康妥型和非康妥型的。康妥型集合论是假设在阿列夫数之间没有中介数。非康妥型集合论是假定有无限多个中介数。情况类似于几何学中，发现平行线假设不能被证明后，几何学分成了欧氏几何和非欧几何一样。希望学习更多关于这些神秘的超限数知识的学生可以阅读爱德华?卡斯纳和詹姆斯?纽曼著的《数学与想象力》第二章“古格尔之后”和《科学美国人》1966年三月号数学游戏部分阿列夫(aleph)，是希伯来文字母表的第1个字母。提醒您本文地址：
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