360教育网解析几何部分复习：椭圆
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360教育网解析几何部分复习：椭圆
解析几何部分复习：椭圆
二. 教学目的
1、掌握椭圆标准方程的两种形式及椭圆的主要基本量。
2、掌握椭圆的几何性质及其应用。
三. 教学重点、难点
重点：椭圆标准方程及其应用；椭圆的几何性质及其应用。
难点：椭圆标准方程和几何性质及其应用及解决椭圆问题时所涉及的思想方法。
四. 知识分析
【知识梳理】
1、椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2、椭圆的标准方程和几何性质
【要点解析】
1、求椭圆标准方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法（先定性，后定形，再定参）．
椭圆的标准方程有两种形式，所谓“标准”，就是椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上．焦点F1，F2的位置决定椭圆标准方程的类型，是椭圆的定位条件；参数a，b决定椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件。对于方程（m＞0, n＞0）若m＞n＞0，则椭圆的焦点在x轴上；若0＜m＜n，则椭圆的焦点在y轴上，焦点位置不明确时，要注意分类讨论。
2、注意椭圆几何性质的挖掘
（1）椭圆中有“四线”（两条对称轴、两条准线），“六点”（两个焦点、四个顶点），注意它们之间的位置关系（如准线垂直于长轴所在的直线、焦点在长轴上等）及相互间的距离（如焦点到相应顶点的距离为，到相应准线的距离为等）。
（2）设椭圆方程上任意一点为，则，因为，所以时，有最小值b，这时，P在短轴端点处；当时，有最大值a，这时P在长轴端点A1或A2处。
（3）椭圆上任意一点与两焦点构成的三角形△PF1F2称之为焦点三角形，周长为。
（4）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形的边长有。
3、求动点的轨迹方程时，不直接建立间的关系，而是先寻求与中间变量间的关系。利用已知关于间的关系方程得到之间的关系方程，也称为代入法（或相关点法）求轨迹方程。要注意平面向量与椭圆结合的题目，能够根据平面向量的坐标运算解决有关问题。
【典型例题】
& 例1. 一动圆与已知圆：外切，与圆：内切，试求动圆圆心的轨迹方程。
&&&&&& 解析：两定圆的圆心和半径分别为（，0），；（3，0），，设动圆圆心为M（x，y），半径为R，则由题设条件可得，。
由椭圆的定义知：M在以、为焦点的椭圆上，且，。
故动圆圆心的轨迹方程为。
点评：平面内一动点与两个定点、的距离之和等于常数，当时，动点的轨迹是椭圆；当时，动点的轨迹是线段；当时，轨迹不存在。
& 例2. 求满足下列各条件的椭圆的标准方程。
（1）长轴是短轴的3倍且经过点A（3，0）；
（2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；
（3）经过点P（，1），Q（，）两点；
（4）与椭圆有相同离心率且经过点。
解析：（1）若椭圆的焦点在x轴上，设方程为
∵椭圆过点A（3，0），∴，a=3，
∴方程为。
若椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为，
∵椭圆过点A（3，0），∴，
∴，，∴，
∴方程为。
综上所述，椭圆方程为或1。
（2）由已知，∴。从而，
∴所求椭圆的标准方程为或。
（3）设椭圆的标准方程为，
点P（，1），Q（，）在椭圆上，
代入上述方程得，
解得，∴。
（4）由题意，设所求椭圆的方程为，
因为椭圆过点（2，），
故所求椭圆标准方程为。
点评：在求椭圆的标准方程时，会遇到焦点位置不确定而有两种结果的情况，这时应注意分类讨论．仔细体会（1）、（2）两小题中的答案可见，（1）中两个椭圆不仅焦点位置不同，而且椭圆大小形状也不一样，而（2）中两个椭圆只是焦点位置不同，大小形状一样，像（2）小题中的情形，可先求出焦点在x轴上的椭圆的标准方程，然后把x， y交换即可得焦点在y轴上的椭圆方程，但（1）小题是不可以的，要注意区别．由于分类讨论较复杂，因此在处理椭圆焦点位置不确定的情况时，有时可直接设椭圆方程为＝1或由已知条件设椭圆系方程（）来求解，如（3）、（4）两小题，这样可避免讨论和复杂的计算。
& 例3. 已知椭圆的离心率，求的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。
解析：椭圆方程可化为。
由，得，∴。
∴椭圆的标准方程为。
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点分别为，，，。
点评：（1）要掌握椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。
（2）离心率。
（3）通过解关于a，c的齐次方程也可求离心率。
& 例4. 如图1。某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽是多少？
（2）若最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使这半个椭圆隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积，本题结果均精确到米）
解析：（1）如图2建立直角坐标系，则点P（，），
椭圆方程为，
将代入椭圆方程，
得，此时，
因此隧道的拱宽约为米。
（2）将点P（11，）代入椭圆方程，
即，且，，
当S取最小值时，有，
故当拱高约为米，拱宽约为米时，土方工程量最小。
点评：解答应用题可分四个步骤：
（1）阅读理解材料：读懂材料中量与量的关系，模型是什么？（是方程还是不等式等）。
（2）建立变量关系：利用量与量的关系列出相应的关系式（建模）。
（3）讨论变量性质：利用代数知识对所建立的变化关系化简、推导并讨论变化具有的性质（单调性、最大值或最小值等）。
（4）做出问题结论：最后的结论不可少，注意实际问题中变量的含义。
【模拟试题】
1. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（&&& ）
A. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& C. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.
& 2. 曲线与曲线的（&&& ）
A. 焦距相等&&&&&&&&&&&&&&& B. 离心率相等&&&&&&&&&&&& C. 焦点相同&&&&&&&&&&&&&&& D. 准线相同
& 3. 已知椭圆，过椭圆的右焦点作轴的垂线交椭圆于A、B两点，若=0，则椭圆的离心率等于（&&& ）
&&&&&& A. &&&&&&&&&&&&&&& B. &&&&&&&&&&&&&&& C. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.
& 4. 如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B，该椭圆的离心率为（&&& ）
&&&&&& A. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& C. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.
& 5. 椭圆的两个焦点为、，过作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则=（&&& ）
&&&&&& A. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& C. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.
& 6. 若椭圆的左、右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成5：3的两段，则此椭圆的离心率为（&&& ）
&&&&&& A. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B. &&&&&&&&&&&&&&&&&&& C. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.
& 7. 如图，，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△PO是面积为的正三角形，则的值是__________。
& 8. 设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点，使，，，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为_____________。
& 9. 、是椭圆C：的焦点，在C上满足的点P的个数为___________。
& 10. 如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于、、…、七个点，F是椭圆的一个焦点，则=_________________。
& 11. 点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点。点P在椭圆上，且位于x轴的上方，PA⊥PF。
&&&&&& （1）求点P的坐标。
&&&&&& （2）设M为椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值。
& 12. 已知椭圆C：的左、右焦点分别是、，离心率为e。直线：与轴、轴分别交于点A、B，M是直线与椭圆C的一个公共点，P是点关于直线的对称点。设。
&&&&&& （1）证明：；
&&&&&& （2）确定的值，使得是等腰三角形。
& 13. 如图，椭圆；的右焦点为F（，0），过点F的一动直线绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点。
&&&&&& （1）求点P的轨迹H的方程；
&&&&&& （2）若在Q的方程中，令，，确定的值，使原点距椭圆Q的右准线最远。此时，设与轴交点为D，当直线绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？
【试题答案】
1. B&&&& 2. A&&&&&&& 3. A&&&&&&& 4. D&&&&&&& 5. C&&&&&&& 6. D
7.&&&&&& 8. &&&&&&&& 9. 2&&&&&&&& 10. 35
11. （1）&&&&&&&&&&&&&& （2）
12. （1）略&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （2）
（2），当直线m绕点F转动到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。
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解析几何问题的题型与方法(第3课时)
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3秒自动关闭窗口解析几何中与角有关的问题；一．课前热身：；1．在平面直角坐标系xOy中，已知?ABC顶点A；sinB2516；2．已知直线y=2x上一点P的横坐标为a，两定点；?1上，则；sinA?sinC；?3．已知点B(-1,1)，点A在圆(x-2)2；二．典型例析：；O为坐标原点）；4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F；(Ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1
解析几何中与角有关的问题
一．课前热身：
1．在平面直角坐标系xOy中，已知?ABC顶点A(?4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆x
2．已知直线y=2x上一点P的横坐标为a，两定点A(-1,1)、B(3,3)。若∠APB为钝角，则a的取值范围是
?3．已知点B(-1,1)，点A在圆(x-2)2+(y-2)2=1上，则∠AOB ，
二．典型例析：
O为坐标原点）
4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1)，P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)． 解：（Ⅰ）设椭圆方程为
=1(a&b&0),半焦距c，则
-a，|A1F1|=a-c，
2(a?c),?c22?xy?
由题意，得?2a?4∴,c=1故椭圆方程为??1
（Ⅱ）设P(m,y0)，|m|&1, 当y0=0时，∠F1PF2=0， 当y0≠0时，0&∠F1PF2&∠P F1M&
∴只需求tan∠F1PF2的最大值即可。 设直线PF1的斜率k1=
k2?k11?k1k2
，直线PF2的斜率k2=
∴tan∠F1PF2==
0|时，∠F1PF
2最大，∴Q（m,，|m|&1.
5：如图，椭圆
＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共
点T，且椭圆的离心率e=
(Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T. 解：（Ⅰ）过A、B的直线方程为
因为由题意得?有惟一解。 ?a2b
?y??1x?1?2?
?0有惟一解，所以
??a2b2(a2?4b2?4)?0
（ab≠0），
a2 + 4b2 －4 = 0.
又因为c所以
a2 = 4b2 .
从而得a2= 2， 故所求的椭圆方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）得c所以
?2y?1, 由??2?
?y??1x?1?2?
解得x1 = x2 = 1,
).因为tan∠AF1T?
?1，又 tan?TAM?
?1，因此 ∠ATM = ∠AF1T
6．设F1、F2分别是椭圆
?1的左、右焦点.
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1?PF2的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角
中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围. 解：
（Ⅰ）解法一：易知a?2,b?1,c?所以F10,F2
?0，设P?x,y?，则
PF1?PF2??x,?y,
?x,?y?x?y?3?x?1?
因为x???2,2?，故当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值?2 ?????????
当x??2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值1
解法二：易知a?2,b?1,c?
0，设P?x,y?，则
???????????????????????????PF1?PF2?PF1?PF2?cos?F1PF2?PF1?PF2?
?????2??????PF2?F1F2
?y?12?x?y?3（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线x?0不满足题设条件，可设直线l:y?kx?2,A?x1,y2?,B?x2,y2?，
联立?x2，消去y，整理得：?k2??x2?4kx?3?0
由???4k??4?k?
k??得： k?
?3?4k?3?0?
又0??A0B?90?cos?A0B?0?OA?OB?0
∴OA?OB?x1x2?y1y2?0
又y1y2??kx1?2??kx2?2??kx1x2?2k?x1?x2??4?
故由①、②得?2?k??
6．如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3，0)，右准线l的方程为：x?12． （1）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点P1，P2，P3，使∠P1FP2?∠P2FP3?∠P3FP1， 证明：
为定值，并求此定值．
解：（I）设椭圆方程为
因焦点为F(3，0)，故半焦距c?3．
又右准线l的方程为x?
，从而由已知
?12，a?36，
答（22）图
6，b?故所求椭圆方程为
（II）记椭圆的右顶点为A，并设?AFPi??i（i?1，2，3），不失一般性， 假设0≤?1?
，且?2??1?
又设点Pi在l上的射影为Qi，因椭圆的离心率e??a2FPi?PiQi?e???c?FPicos?i
(9?FPicos?i)
(i?1，，23．)
2?11?cos?i?9?2?
2，3)． ? (i?1，
2?1?2??4??????
????3??cos?1?cos??1???cos??1????，
FP1FP2FP39?2?33??????1
而cos?1?cos??1?
?cos????1? 3?3?
cos?1??1?cos?1??1?0，
三．拓展延伸：
7．设A、B分别为椭圆
?1?a,b?0?的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦
距，且x?4为它的右准线.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内.
解：（Ⅰ）依题意得 a＝2c，
＝4，解得a＝2，c＝1，
故椭圆的方程为
（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）
设M（x0，y0
∵M点在椭圆上，∴y0＝
又点M异于顶点A、B，∴－2&x0&2，由P、A、M三点共线可以得 P（4，
从而BM＝（x0－2，y0）， ????6y0
?????????6y0222∴BM?BP＝2x0－4＋＝（x0－4＋3y0
?????????5
将○1代入○2，化简得BM?BP＝（2－x0）
∵2－x0&0，∴BM?BP&0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
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