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第51届IMO第4题向量解法看不懂设P是△ABC内一点,直线AP、BP、CP与△ABC的外接圆的另一个交点分别是K、L、M,圆Γ在点C处的切线与直线AB交于点S.若SC=SP,证明:MK=ML.证明：设→PA,PB,PC方向上的单位向量分别为e1,e2,e3,→PA,PB,PC的模分别为λ1,λ2,λ3,则PA=λ1e1,PB=λ2e2,PC=λ3e3,由圆幂定理可知→PK=R2-d2,→PA=R2-d2λ1,→PK=(d2-R2)e1λ1,同理可知→PL=(d2-R2)e2λ2,→PM=(d2-R2)e3λ3(其中d=OP),∴→ML=→PL-PM=(d2-R2)e2λ2-e3λ3,→MK=PK-PM=(d2-R2)e1λ1-e3λ3,→ML2→MK2=e2λ2-e3λ32e1λ1-e3λ32=1λ22+1λ23-2e2·e→3λ2λ31λ21+1λ23-2e1·e3λ1λ3=λ23+λ22-2λ3λ主要解释有圆幂定理得出的三个式子和下面很乱的推导过程,最好附图说明,
以下AB表示向量, |AB|表示模长.为记号简便, 设PA, PB, PC方向的单位向量为a, b, c, |PA| = x, |PB| = y, |PC| = z.由圆幂定理可知|PA|·|PK| = R²-d², 由|PA| = x, 有|PK| = (R²-d²)/x, PK = ((d²-R²)/x)a.同理PL = ((d²-R²)/y)b, PM = ((d²-R²)/z)c.∴ML = PL-PM = ((d²-R²)/y)b-((d²-R²)/z)c = (d²-R²)(b/y-c/z), MK = PK-PM = (d²-R²)(a/x-c/z).ML²-MK² = (d²-R²)²((1/y²+1/z²-2b·c/(yz))-(1/x²+1/z²-2a·c/(xz))) ①.这里到原文最后一个等号之前, 之后就不知所云了. 接下来的步骤是我推测的. 首先要表达PS. 由S在直线AB上, 可设PS = tPA+(1-t)PB.则AS = PS-PA = (1-t)(PB-PA) = (1-t)(yb-xa), BS = t(PA-PB) = t(xa-yb).SC为切线, 由切割线定理, |CS|² = |AS|·|BS|, 得(txa+(1-t)yb-zc)² = (t²-t)(xa-yb)².展开得t(x²-y²-2xza·c+2yzb·c) = -y²-z²+2yzb·c, 进而有(1-t)(x²-y²-2xza·c+2yzb·c) = x²+z²-2xza·c.又|PS| = |CS|, 即PS² = (PS-PC)², 得z² = PC² = 2PS·PC = 2txza·c+2(1-t)yzb·c.则(x²-y²-2xza·c+2yzb·c)z² = 2xza·c(-y²-z²+2yzb·c)+2yzb·c(x²+z²-2xza·c).化简得(x²-y²)z² = 2xyz(xb-ya)·c.于是①式右端 = (d²-R²)²((x²-y²)z²-2xyz(xb-ya)·c)/(xyz)² = 0, 即有|ML| = |MK|.
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你打错了还是他们印错了？如果PK=R^2-d^2,PK=(d^2-R^2)e1λ1，则e1λ1=-1？
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追求风一般的速度
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自己顶下！
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机身颜色 白色,黑色&&
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楼主RP应该阔以呢~~:victory:
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