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第二章 机器人运动学
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1.75亿学生的选择
空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，在此区域建立直角坐标系O-xyz，如图所示．匀强电场沿x方向，电场强度1＝E0i，匀强磁场沿z方向，磁感应强度0k，E0、B0为已知常量，、分别为x方向和z方向的单位矢量．（1）有一束带电量都为+q、质量都为m的粒子，同时从Oyz平面内的某点射出，它们的初速度均在Oyz平面内，速度的大小和方向各不相同．问经过多少时间这些粒子又能同时回到Oyz平面内；（2）现在该区域内再增加一个沿x方向随时间变化的匀强电场，电场强度2=（E0cosωt），式中ω=0m．若有一电荷量为正q、质量为m的粒子，在t=0时刻从坐标原点O射出，初速度0在Oyz平面内，试求以后此粒子的坐标随时间变化的规律．（不计粒子所受重力以及各带电粒子之间的相互作用，也不考虑变化的电场产生的磁场）
拆吧狗逆袭0Q
（1）．根据题意，粒子的初速度只有y方向和z方向的分量，设它们为voy和voz．因为粒子在z方向不受电场力和磁场力作用，故粒子在z方向以初速度voz作匀速运动．粒子在Oxy面内的运动可以看作由以下两部分运动的合成：可把粒子在y方向的初速度表示为&&&&&&&&&&&&&&&&&voy=-voy1+voy+voy1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （1）其中&&&&&&&&&&& voy1=0B0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2）沿y负方向．与voy1相关的磁场力&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&fBX=-qvoy1B0；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（3）沿x负方向．粒子受到的电场力&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&fE=fEX=qE0；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（4）沿x正方向．由（2）、（3）、（4）式可知，粒子在x方向受到的电场力和磁场力正好抵消，故粒子以大小为0B0的速度沿y负方向运动．除此之外，由（1）式可知，粒子还具有初速度&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&voy2=voy+0B0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（5）沿y正方向，与voy2相关的磁场力使粒子以速率voy2在Oxy面内作匀速圆周运动，以r表示圆周运动的半径，有&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&qvoy2Bo=m&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（6）可得r=0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（7）由周期的定义和（7）式可得圆周运动的周期T=0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（8）（8）式表明，粒子运动的周期与粒子在y方向的初速度无关．经过时间T或T的整数倍所考察的粒子就能同时回到Oyz平面．（2）．增加的电场2对粒子在Oxy平面内的运动无影响，但粒子在z方向要受到此电场力作用．以az表示在此电场力作用下的加速度，有&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&maz=qE0cosωt&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（9）或&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&az=0mcosωt&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（10）这是简谐运动的加速度，因而有&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&az=-ω2z&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（11）由（10）、（11）可得&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&z=2qE0mcosωt&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（12）因未增加电场时，粒子在z方向作初速度为voz的匀速运动，增加电场后，粒子在z方向的运动是匀速运动与简谐运动的叠加，即有&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&z=vozt=2qE0mcosωt&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（13）&粒子在Oxy平面内的运动不受电场2的影响．设ω0为粒子在Oxy平面内作圆周运动的角速度，则有ω0=0m&&&&&&&&&&&（14）由图示可得与圆周运动相联系的粒子坐标随时间t的变化关系&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&x′=r（1-cosω0t）&&&&&&& （15）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& y′=rsinω0t&&&&&&&&&&& （16）考虑到粒子在y方向还具有速度为voy1的匀速运动，并利用（2）、（5）、（7）、（14）以及己知条件，可得带电粒的运动规律：x=0(voy+E0B0)(1-cosqB0mt)y=-0B0t+mqB0(voy+E0B0)sinqB0mtz=vozt-0qB0cosqB0mt；答：（1）经过时间T或T的整数倍所考察的粒子就能同时回到Oyz平面；（2）可得带电粒的运动规律：x=0(voy+E0B0)(1-cosqB0mt)y=-0B0t+mqB0(voy+E0B0)sinqB0mtz=vozt-0qB0cosqB0mt；
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（1）根据运动的合成与分解，结合牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力，及周期公式，即可求解；（2）根据牛顿第二定律，结合向心力加速度表达式，及角速度公式，依据运动的叠加，即可求解．
本题考点：
带电粒子在混合场中的运动．
考点点评：
考查运动的合成与分解，掌握平行四边形定则的应用，理解牛顿第二定律的内容，及洛伦兹力提供向心力的应用，注意向心加速度与角速度的关系式．
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同济大学 大学物理 上学期 (4)
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