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相似三角形判定定理的证明课件
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&&三​角​形​相​似​的​三​个​定​理​及​证​明
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关于学大教育相似三角形的判定（二）导学案--沸冰的天空
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相似三角形的判定（二）导学案
17:58:00 | By: 宋晓燕 ]
(1) &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(2) &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&
(3) &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(4) △ABC△A’B’C’&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
3【】
1& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
3【】
2& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
※3P△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD•AD
△ADC∽△CDP
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发表评论：§24.3.2 相似三角形的判定(SAS、SSS)!_百度文库
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§24.3.2 相似三角形的判定(SAS、SSS)!
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你可能喜欢初中数学相似三角形
篇一：数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题 相似三角形（附答案） 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G． （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC． 求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN． 6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形． （1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例） （2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE． （1）写出图中所有相等的线段，并加以证明； （2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由； （3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q． （1）求四边形AQMP的周长； （2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）； （3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论． 12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP． 篇二：相似三角形(初中数学九年级) 相似三角形(初中数学九年级)
学情分析: 学生对八年级所学习的三角形的全等，大部分学生掌握较好，故此，利用三角形的全等来对比相似，易懂。
教学内容分析: 相似三角形的知识是在全等三角形知识的基础上的拓广和发展，相似三角形承接全等三角形，从特殊的相等到一般的成比例予以深化，学好相似三角形的知识，为今后进一步学习三角函数及与固有关的比例线段等知识打下良好的基础。本节课是为学习相似三角形的判定定理做准备的，因此学好本节内容对今后的学习至关重要
教学目标: 1．知识目标：理解相似三角形的概念，掌握判定三角形相似的预备定理。 2．能力目标：培养学生探究新知识，提高分析问题和解决问题的能力，增进发放思维能力和现有知识区向最近发展区迁延的能力。 3．目标：加强学生对斩知识探究的兴趣，渗透几何中理性思维的思想。
教学难点分析：1．重点：相似三角形和相似比约概念及判定三角形相似的预备定理。 2．难点：相似三角形约定义和判定三角形相似的预备定理。
教学课时：1课时
教学过程： 一、引入 1．什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上有何特征？我们如何用符号表示全等？（目的：让学生通过全等三角形，知识迁移，对比马上要学习的新内容，相似三角形， 它在形状上、大小上有何特征？） 2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？（目的：让学生对比马上要学习的两个相似三角形的对应边和对应角有什么关系？） 3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形） 本节学习相似三角形的定义及相关判定定理.（意在让学生在学习相似三角形的时候，加深学生理解边成比例的事实） 二、学习新课 新授1：为加深学生对相似三角形概念的本质的认识给出几组相似三角形，让学生用尺子量出他们边与变的关系， 在学生得出数据之后，询问学生，它们的形状如何，大小如何，是不是类似于一个全等呢？只不过大小不同，并将相似三角形的定义，相似比的概念给出来。
相似三角形的概念： 我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一. （相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别。） 相似比的概念 ：相似三角形对应边的比，叫做相似比（或相似系数）． 指出：两个相似三角形的相似比具有顺序性．全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形．且类比证明全等三角形，在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上．类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比，叫做相似比.如图，是相似三角形，则相似可记作∽.由于，则与的相似比，则与的相似比. 让学生猜测两个三角形全等与相似的区别与联系：当两个相似三角形的相似比 时，这两个相似三角形就成为全等三角形，因此全等三角形是相似三角形的特例. 想一想：如果∽，∽那么与相似吗？请学生利用相似三角形的定义说理.得到相似三角形具有传递性（性质）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似. 思考问题：（l）所有等腰三角形都相似吗？所有等边三角形呢？为什么？ （2）所有直角三角形都相似吗？所有等腰直角三角形呢？为什么？ 由相似三角形的对应角相等，对应边成比例，可以推出： 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。（可以称为三角形相似的传递性） 思考：如果点D、E分别在直线AB和AC上，DE‖BC那么△ADE与△ABC相似吗？为什么？
教材通过探讨的方法，根据题设中有平行线的条件，结合定理的结论，再根据三角形的定义，从而得出了这两个三角形相似的结论，这里要强调的是： （1）本定理的导出不仅让学生复习了相似三角形的定义，而且为后面的证明打下了基础，它的重要性是显而易见的． （2）由本定理的题设所构成的三角形有三种可能，基本图形在“平行线分线段成比例”出现过． （3）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，每个比的前项是同一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，做题时务必要认真仔细，如本定理的比例式，防止出现错误 （4）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，还应给学生强调，这两个三角形中相等的角所对的边就是对应边，对应边应写在对应位置． 得到：相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。 新授3：相似三角形的判定定理 思考：如图在△ABC和△ 中，问：△ABC和△ 似？ （分析：可采用问答式以启发学生了解证明方法．） 是否相问：判定两个三角形全等的方法有哪几种？ 答：SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 问：全等三角形判定中的“对应角相等”及“对应边相等”的语句，用到三角形相似的判定中应如何说？ 答：“对应角相等”不变，“对应边相等”说成“对应边成比例”． 问：我们知道，一条边是写不出比的，那么你能否由“ASA”或“AAS”，采用类比的方法，引出一个关于三角形相似判定的新的命题呢？ 答：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．如图在△ABC和△ 中，问：△ABC和△是否相似？ （分析：可采用问答式以启发学生了解证明方法．） 问：我们现在已经学习了哪几个判定三角形相似的方法？ 答：①相似三角形的定义，②预备定理． 问：根据本命题条件，探讨时应采用哪种方法？为什么？ 答：预备定理，因为用定义条件明显不够． 问：采用预备定理，必须构造出怎样的图形？ 问：应如何添加辅助线，才能构造出上一问的图形？ 此问学生回答如有困难，教师可领学生共同探讨，注意告诉学生作辅助线一定要合理． （1）在△ABC边AB（或延长线）上，截取 ，过D作DE∥BC交AC于E．“作相似．证全等”． （2）在△ABC边AB（或延长线上）上，截取，在边AC（或延长线上）截取AE=*，连结DE，“作全等，证相似”．（教师向学生解释清楚“或延长线”的情况） 证明：在射线AB上截取 ∵ ∴△ABC≌△,∠A=∠ ，再过点D作∠ADE=∠，∠ADE=∠, ，DE与射线AC相交于点E。 ∵∠B=∠, ∴∠ADE=∠B，得DE∥BC ∴△ADE∽△ABC(相似三角形的预备定理） ∴△ABC∽△ 这样，得到相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似（两角对应相等，两个三角形相似） 三、巩固课后练习 四、课堂小结 1、相似三角形的定义，相似比的概念 2、三角形相似与全等的判定方法的类比. 3、三角形相似的判定定理1，并强调判定相似需且只需两个独立条件. 4、常用的找对应角的方法：①已知角相等;②已知角度计算得出相等的对应角;③公共角;④对顶角;⑤同角的余(补)角相等.五、作业布置 A类基础练习册24.4（1）中1、2、4、5. B类作业抄黑板的几道题附录（教学资料及资源）
课堂练习：1、依据下列条件判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由，若相似，用符号表示出来。 （1）∠A=∠D=70°, ∠B=60°, ∠E=50° （2）∠A=40°，∠B=80°,∠E=80° ∠F=60° 2、已知：如图D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED=∠B 求证：AE?AC=AD?AB
作业安排 A类基础练习册24.4（1）中1、2、4、5. B类作业抄黑板的几道题附录（教学资料及资源）
附录（教学资料及资源） 1、如果四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线OG∥AB交BC于E，交AD于F，交CD的延长线于G，求证：OG2=GE?GF.
b2 2、已知：线段a、b，求作线段c，使c=(写出作法，不要求证明)
自我问答 1、相似三角形的概念是本节的重点也是本节的难点.相似三角形是研究相似形的最重要和最基本的图形，是在全等三角形知识的基础上的拓广和发展，全等形是相似形的特殊情况，研究相似三角形比研究全等三角形更具有一般性.2、相似三角形的预备定理和相似三角形的判定定理的证明尽量让学生多参与，类比全等三角形学习.3、理解常见图形，掌握常用的找对应角的方法篇三：2013初中数学相似三角形 难题 易错题(附详解) 2013初中相似三角形难题易错题 一．填空题（共2小题） 1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．
2．如图，?ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=．
二．解答题（共17小题） 3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：
4．如图所示，?ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．
6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．
7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF． 8．已知：P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：．
9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．
10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）． 求证： ． 11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB．
12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F． 求证：（1）
（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．
13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB． 14．如图所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH．
15．已知M是Rt△ABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．求证：PQ=PB+QC．222
16．如图所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求证：EF∥BC．
17．如图所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：PB=PA?PC． （提示：设法证明△PAB∽△PBC．） 2}