求证：2^（n+2）*3^n+5n-4能被25整除
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扫描下载二维码求证1+2+2^2+3^3+..+2^(5n-1)能被31整除用二项式定理
首先按照等比数列求和公式计算 1+2+2^2+2^3+..+2^(5n-1)把 5n 看成一个整体,比如设 m = 5n则以上一共有 m 项按照等比数列公式Sm = 1 * (2^m -1)/(2-1) = 2^m -1= 2^5n - 1 = (2^5)^n - 1= 32^n -1= (31 + 1)^n -1对于 (31 + 1 )^n ,利用二项式定理上式 =31^n + C(n,1)* 31^(n-1) + C(n,2)*31^(n-2) + …… + C(n,n-1)*31 + C(n,n) - 1其中 C(n,n) = 1,所以 继续= 31^n + C(n,1)* 31^(n-1) + C(n,2)*31^(n-2) + …… + C(n,n-1)*31每项中 都含有31,所以 ……
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原题应为求证1+2+2^2+2^3+..+2^(5n-1)能被31整除 吧!原式=2^5n-1=(2^5-1)(2^5(n-1)+2^5(n-2).......)所以1+2+2^2+2^3+..+2^(5n-1)能被31整除
扫描下载二维码求证：2^（n+2）*3^n+5n-4能被25整除370116你的证明有些错误，这样只证明了原代数式能被5整除
证明:2^（n+2）*3^n+5n-4=2^n*4*3^n+5n-4=6^n*4-4+5n=(6^n-1)*4+5n=[(1+5)^n-1]*4+5n=[1^n+n*1^(n-1)*5+n*1^(n-2)*5^2.+5^n-1]*4+5n=(n*5+n*5^2.+5^n)*4+5n=5*{[(n+5n+5^2+.5^(n-1)]*4+n}=25*[n+4n+20n.5^(n-2)]因此...
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【证】 [2^(n+2)]×(3^n)+5n-4 ={[2^(n+2)]×(3^n)-4}+5n ={4×2^n)×(3^n)-4}＋5n =4(6^n-1)＋5n 6^n-1=(1+5)^n-1=5+5^2+...+5^n 所以,4(6^n-1)可以被5整除,后面的一项也可以被5整除， 因此，2^(n+2)×3^n+5n-4可以被25整除
扫描下载二维码2^（n+2）*3^n+5n－4,怎么证明能被25整除
2^（n+2）*3^n+5n-4=4*2^n*3^n+5n-4=4*6^n+5n-4=4（6^n-1）+5n6^n-1的个位一定为5n=4k-3时,4（6^n-1）+5n的末两位数字为25,能被25整除；n=4k-2时,4（6^n-1）+5n的末两位数字为50,能被25整除；n=4k-1时,4（6^n-1）+5n的末两位数字为75,能被25整除；n=4k时,4（6^n-1）+5n的末两位数字为00,能被25整除；故2^（n+2）*3^n+5n-4一定能被25整除.
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2^（n+2）*3^n+5n－4＝2^（n+2）*（5－2）^n+5n－4用二项式定理展开可得（5－2）^n中只有一项不能肯定被5整除，即C（n,0)（－2）＾n上个式子中没有被5直接整除的项是2^（n+2）*（－2）＾n－4＝－（2^（2n+2）+4）2^1 尾数2　除5余22^4 尾数4　除5余42^3 尾数8　除...
用数学归纳法
2^（n+2）*3^n+5n－4＝2^（n+2）*（5－2）^n+5n－4用二项式定理展开可得（5－2）^n中只有一项不能肯定被5整除，即C（n,0)（－2）＾n上个式子中没有被5直接整除的项是2^（n+2）*（－2）＾n－4＝－（2^（2n+2）+4）2^1 尾数2　除5余22^4 尾数4　除5余42^3 尾数8　除5余82^4 尾数6...
扫描下载二维码证明2^(n+2)·3^n+5n-4 能被25整除（n为正整数）
灰原哀丶T665
求证：2^（n+2）*3^n+5n-4能被25整除 先找出原解的错误:6^n-1≠5+5^2+...+5^n,显然当n=2时,左右不相等其实6^n-1=5(1+6+36+……6^n-1)【证】方法I：单刀直入 [2^(n+2)]×(3^n)+5n-4 ={[2^(n+2)]×(3^n)-4}+5n ={4×2^n)×(3^n)-4}＋5n =4(6^n-1)＋5n 二项式定理 （a+b）^n=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1)b^1+...+Cn(n-1)a^1b^(n-1)+Cnna^0b^n Cn0表示从n个物体选0个物体的组合方法数,排列组合你应该学过吧,那对C就比较了解. Cnm=n!/m!(n-m)! 然后用同余法 4*6^n=4*(5+1)^n+5n=4*(Cn05^n*1^0+Cn15^(n-1)*1^1+...+Cn(n-1)5^1*1^(n-1)+Cnn5^0*1^n ),5^2项以上都可以被25整除,然后处理剩余项目,4[Cnn5^0*1^n+Cn(n-1)5^1*1^(n-1)]+5n-4而Cnn=1,Cn(n-1)=n,代入[Cnn5^0*1^n+Cn(n-1)5^1*1^(n-1)]+5n-4=5n+4*5*n=25n也能被25整除,两部分都能被25整除,所以2^（n+2）*3^n+5n-4能被25整除方法II：数学归纳1.当n=1时 2^（n+2）*3^n+5n-4=25,能被25整除2.当n=k时 假定2^（k+2）*3^k+5k-4能被25整除3.当n=k+1时 2^(k+3)*3^(k+1)+5(k+1)-4=6*[2^（k+2）*3^k+5k-4]-25k+25,其中2^（k+2）*3^k+5k-4能被25整除,-25k+25能被25整除,所以2^(k+3)*3^(k+1)+5(k+1)-4能被25整除综上所述,2^（n+2）*3^n+5n-4能被25整除第一种方法如果不懂,可以参看 /question/.html第二种方法是用代数方法处理数论问题的一般方法.
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