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圆_阴影部分面积(含答案)
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圆_阴影部分面积(含答案)
官方公共微信2014秋人教版数学六上5.3《圆的面积》ppt课件3
资料编号 ：1-74077
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操作系统：WinXP及以上
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适合地区：全国
资源年段：2014
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等级评定：4星级
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资源简介：
圆的面积公式能不能通过 “割补法” 转化成我们已学过的图形推导出来呢？
你想把 圆转化成什么图形呢？
以拼成的近似平行四边形为例： 圆面8等分时：
马儿被主人用一根2米长的绳子拴在了这棵小树上，它能吃到的草地的最大面积是多少？
＝ 3.14×2×2
＝12.56 m2
答：它能吃到的草地的最大面积为12.56平方米。
已知一个圆的直径为40分米，求这个圆的面积？
r ＝ 40÷2 ＝20
＝ 3.14×20×20
＝1256 dm2
答：这个圆的面积1256平方分米。
小组讨论：比一比谁的方法最多？
小明家新买了一个圆桌，妈妈让他求桌面的面积。你能够帮助小明回答吗？
2、把边长为4厘米的正方形剪成一个最大的圆，求这个圆的面积和周长？ 你今天的收获是什么？ 十 六 等 分 三 十 二 等 分 圆面16等分时：
圆面32等分时： 等分的份数越多，拼成的图形越接近长方形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 10 11 12 13 14 15 16 9 10 11 12 13 14 15 1 6 1 2 3 4 5 6 7 8
1 ? ? 长方形的长相当于 圆周的一半πr r 长方形 的宽相 当圆的 半径 r
长方形的面积=长×宽 圆的面积=πr×r=πr2 设圆的半径为r，面积为S，那么圆的 面积
若测出圆的半径为10分米，试求它的面积？ 若测出圆的直径为20分米，试求它的面积？ 若测出圆的周长为62.8分米，试求它的面积？ * *
我被主人用一根2米长的绳子拴在了这棵小树上，你知道我走一圈的路程是多少吗？
2米 我能吃到最大的草地面积是多少？ 推导过程：
长方形的面积=长×宽
平形四边形的面积=底×高 平行四边形的面积公式是怎样得到的呢？ 这个方法叫做 “割补法” 四等份 八等份
十六等份 三十二等份 圆的具体 转化过程 四 等 分 八 等 分
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圆2012年四川省各市中考数学题（有答案）
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
圆2012年四川省各市中考数学题（有答案）
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文章来源莲山 课件 w ww.5 YK J.COM 四川各市2012年中考数学试题分类解析汇编专题11：圆一、1. （2012四川成都3分）已知两圆外切，圆心距为5cm，若其中一个圆的半径是3cm，则另一个圆的半径是【&&& 】&& A． 8cm&&& B．5cm&&& C．3cm&&& D．2cm【答案】D。【考点】两圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，&&&&&&& ∵两圆外切，圆心距为5cm，若一个圆的半径是3cm，∴另一个圆的半径=53=2（cm）。故选D。2. （2012四川乐山3分）⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2=5厘米，这两圆的位置关系是【&&& 】　　A．内含　　B．内切　　C．相交　　D．外切【答案】D。【考点】两圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，&&&&&& ∵⊙O1的半径r=3，⊙O2的半径r=2，∴3+2=5。∵两圆的圆心距为O1O2=5，∴两圆的位置关系是外切。故选D。3. （2012四川内江3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥A，∠CDB=300，CD= ，则阴影部分图形的面积为【&&& 】&& A.&&&&&&&& B.&&&&&&&& C.&&&&&&&&& D. 【答案】D。【考点】垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积公式。【分析】连接OD。∵CD⊥AB，CD= ，∴CE=DE= （垂径定理）。∴ 。∴阴影部分的面积等于扇形OBD的面积。又∵∠CDB=30°，∠COB=∠BOD，∴∠BOD=60°（圆周角定理）。∴OC=2。∴ ，即阴影部分的面积为 。故选D。4. （2012四川达州3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连结OB、OC，若OB=BC，则∠BAC等于【&&& 】&A、60°&&&&&&&& B、45°&&&&&&&& C、30°&&&&&&&& D、20°【答案】C。【考点】圆周角定理，等边三角形的判定和性质。【分析】∵OB=BC=OC，∴△OBC是等边三角形。∴∠BOC=60°。∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠BAC= ∠BOC=30°。故选C。5. （2012四川德阳3分）已知AB、CD是⊙O的两条直径，∠ABC=30°，那么∠BAD=【&&& 】&A.45°&&&&&&&&&& B. 60°&&&&&&&&&& C.90°&&&&&&&&&& D. 30°【答案】D。【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质。【分析】∵∠ADC与∠ABC所对的弧相同，∴∠ADC=∠ABC=30°。∵OA=OD，∴∠BAD =∠ADC 30°，故选D。6. （2012四川凉山4分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线 与⊙O的位置关系是【&&& 】&A．相离&&&&&&& B．相切&&&&&&& C．相交&&&&& D．以上三种情况都有可能【答案】B。【考点】坐标与图形性质，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，在 中，令x=0，则y=－& ；令y=0，则x=& ，∴A（0，－ ），B（ ，0）。∴OA=OB= 2 。∴△AOB是等腰直角三角形。∴AB=2，过点O作OD⊥AB，则OD=BD= AB= ×2=1。又∵⊙O的半径为1，∴圆心到直线的距离等于半径。∴直线y=x- 2 与⊙O相切。故选B。7. （2012四川巴中3分） 已知两圆的半径分别为1和3，当这两圆内含时，圆心距d的范围是【&&& 】A. 0&d&2&&&&&&&&& B. 1&d&2&&&&&&&&&& C. 0&d&3&&&&&&&& D. 0≤d&2【答案】D。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，由题意知，两圆内含，则0≤d＜3－1。故选D。8. （2012四川自贡3分）如图，圆锥形冰淇淋盒的母线长是13cm，高是12cm，则该圆锥形底面圆的面积是【&& 】&　&A．10πcm2&B．25πcm2&C．60πcm2&D．65πcm2【答案】B。【考点】圆锥的计算，勾股定理。菁优网版权所有【分析】如图， 在Rt△AOB中，圆锥的母线长AB=13cm，圆锥的OB=高12cm， ∴圆锥的底面半径 （cm），∴S =π×52=25π（cm2）。故选B。9. （2012四川泸州2分）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B = 60°，∠BOD = 100°，则∠C的度数为【&&& 】&A、50°&B、60°&C、70°&D、80°【答案】C。【考点】圆周角定理，三角形的内角和定理。【分析】∵∠BOD＝100°，∴∠A＝ ∠BOD＝50°。∵∠B＝60°，∴∠C=180°－∠A－∠B=70°。故选C。10. （2012四川南充3分）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍。则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是【&&& 】A .1200&&&& B.1800&&&& C.2400&&&& D.3000【答案】B。【考点】圆锥的计算，扇形的弧长。【分析】设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR.∵侧面积是底面积的2倍，∴R=2r。设圆心角为n，有& ,∴n=180°。故选B。二、题1. （2012四川成都4分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=& ，0C=1，则半径OB的长为&&& ▲&&& ．&【答案】2。【考点】垂径定理，勾股定理。【分析】∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB= ，∴BC= AB= 。∵OC=1，∴在Rt△OBC中， 。2. （2012四川成都4分）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积(即表面积)为&&& ▲&&&& (结果保留π)&【答案】68π。【考点】圆锥和圆柱的计算，勾股定理。【分析】圆锥的母线长是： 。∴圆锥的侧面积是： ×8π×5=20π，圆柱的侧面积是：8π×4=32π．几何体的下底面面积是：π×42=16π。∴该几何体的全面积（即表面积）为：20π+32π+16π=68π。3. （2012四川乐山3分）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，E、F、G、H是切点，点P是优弧 上异于E、H的点．若∠A=50°，则∠EPH=&& ▲ 　．&【答案】65°。【考点】切线的性质，圆周角定理。【分析】如图，连接OE，OH，∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，E、F、G、H是切点，∴∠OEA=∠OHA=90°。又∵∠A=50°，∴∠EOH=360°∠OEA∠OHA∠A=360°90°90°50°=130°。又∵∠EPH和∠EOH分别是 所对的圆周角和圆心角，∴∠EPH= ∠EOH= ×130°=65°。4. （2012四川攀枝花4分）底面半径为1，高为 的圆锥的侧面积等于&& ▲&& ．【答案】2π。【考点】圆锥的计算，勾股定理。【分析】由于高线，底面的半径，母线正好组成直角三角形，故母线长可由勾股定理求得，再由圆锥侧面积= ×底面周长×母线长计算：∵高线长为 ，底面的半径是1，∴由勾股定理知：母线长= 。∴圆锥侧面积= ×底面周长×母线长= ×2π×2=2π。5. （2012四川攀枝花4分）如图，以BC为直径的⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线交于点D，且∠ADC=60°，过B点的⊙O1的切线交其中一条外公切线于点A．若⊙O2的面积为π，则四边形ABCD的面积是&& ▲&& ．&【答案】12 。【考点】相切两圆的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；；切线长定理。【分析】∵⊙O2的面积为π，∴⊙O2的半径是1。∵AB和AH是⊙O1的切线，∴AB=AH。设⊙O2的半径是R，连接DO2，DO1，O2E，O1H，AO1，作O2F⊥BC于F。∵⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线DC、DA，∠ADC=60°∴D．O2、O1三点共线，∠CDO1=30°。∴∠DAO1=60°，∠O2EC=∠ECF=∠CFO2=90°。∴四边形CFO2E是矩形，∴O2E=CF，CE=FO2，∠FO2O1=∠CDO1=30°。∴DO2=2O2E=2，∠HAO1=60°，R+1=2（R1），解得：R=3。即DO1=2+1+3=6，在Rt△CDO1中，由勾股定理得：CD= 。∵∠HO1A=90°60°=30°，HO1=3，∴AH= =AB。∴四边形ABCD的面积是： ×（AB+CD）×BC= ×（ + ）×（3+3）=12 。6. （2012四川宜宾3分）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是 的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是&& ▲&& （写出所有正确结论的序号）．&【答案】②③④。【考点】切线的性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】①如图，连接BD，&&&&&&& ∵点C是 的中点，∴∠ABC =∠CBD，即∠ABD=2∠ABC。又∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°。∴∠BAD＋∠ABD=900，即∠BAD＋2∠ABC =900。∴当∠ABC =300时，∠BAD=∠ABC；当∠ABC ≠300时，∠BAD≠∠ABC。∴∠BAD与∠ABC不一定相等。所以结论①错误。②∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD。又∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°。∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°。∴∠ADB=∠AFP。又∵∠PAF=∠BAD， ∴∠ABD=∠APF。又∵∠APF=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD。∴GP=GD。所以结论②正确。∵直径AB⊥CE，∴A为 的中点，即 。又∵点C是 的中点，∴ 。∴ 。∴∠CAP=∠ACP。∴AP=CP。又∵AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°。∴∠PCQ=∠PQC。∴PC=PQ。∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点。∴P为Rt△ACQ的外心。所以结论③正确。④如图，连接CD，∵ ，∴∠B=∠CAD。又∠ACQ=∠BCA，∴△ACQ∽△BCA。∴ ，即AC2=CQ•CB。∵ ，∴∠ACP=∠ADC。又∠CAP=∠DAC，∴△ACP∽△ADC。∴ ，即AC2=AP•AD。∴AP•AD=CQ•CB。所以结论④正确。则正确的选项序号有②③④。7. （2012四川达州3分）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积是&&& ▲&&& .（不取近似值）【答案】24π。【考点】圆锥的计算。【分析】依题意知母线长=6，底面半径r=4，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×4×6=24π。8. （2012四川广元3分）在同一平面上，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为&& ▲&& cm【答案】2。【考点】点与圆的位置关系。【分析】当点P在圆外时，直径=6 cm－2 cm =4cm，因而半径是2cm。9. （2012四川凉山4分）如图，小正方形构成的网络中，半径为1的⊙O在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为&&& ▲&&& （结果保留 ）。&【答案】 。【考点】扇形面积的计算，直角三角形两锐角的关系。【分析】如图，先根据直角三角形的性质求出∠ABC+∠BAC的值，再根据扇形的面积公式进行解答即可：∵△ABC是直角三角形，∴∠ABC+∠BAC=90°。∵两个阴影部分扇形的半径均为1，∴S阴影 。10. （2012四川巴中3分）有一个底面半径为3cm，母线长10cm的圆锥，则其侧面积是&&& ▲&&& cm2【答案】30π。【考点】圆锥的计算。【分析】直接根据公式：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2计算即可：∵底面圆的半径为3cm，母线长10cm，则底面周长=6πcm，∴圆锥的侧面积= ×6π×10=30πcm2。11. （2012四川泸州3分）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为&&& ▲&&& 【答案】 。【考点】弧长的计算。【分析】利用底面周长=展开图的弧长可得：&，解得r= 。三、解答题1. （2012四川成都10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．&& （1）求证：KE=GE；&& （2）若 =KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；&& （3） 在（2）的条件下，若sinE= ，AK= ，求FG的长．&【答案】解：（1）证明：如答图1，连接OG。∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°。∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°。又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG。∴∠KGE=∠AKH=∠GKE。∴KE=GE。（2）AC∥EF，理由如下：连接GD，如答图2所示。∵KG2=KD•GE，∴ 。又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK。∴∠E=∠AGD。又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠C。∴AC∥EF。（3）连接OG，OC，如答图3所示。&&&& 由（2）∠E=∠ACH，∴sinE=sin∠ACH= 。∴可设AH=3t，则AC=5t，CH=4t。∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t。∴HK=CKCH=t。在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（ ）2，解得t= 。设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r3t）2+（4t）2=r2，解得r= t= 。∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形。在Rt△OGF中，OG=r= ，tan∠OFG=tan∠CAH= ，∴FG= 。【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，锐角三角函数定义。【分析】（1）如答图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出连接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE。（2）AC与EF平行，理由为：如答图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF。（3）如答图3所示，连接OG，OC．首先求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度。2. （2012四川乐山10分）如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于E，过O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G．（1）求证：OF•DE=OE•2OH；（2）若⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，求阴影部分的面积．（结果保留根号）&&【分析】（1）由BD是直径，根据圆周角定理，可得∠DAB=90°，又由FG⊥AB，可得FG∥AD，即可判定△FOE∽△ADE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得 ，然后由O是BD的中点，DA∥OH，可得AD=2OH，则可证得OF•DE=OE•2OH。（2）由⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，即可求得OE，DE，OF的长，由 ，求得AD的长，又由在Rt△ABC中，OB=2OH，可求得∠BOH=60°，继而可求得BH的长，又由S阴影=S扇形GOBS△OHB，即可求得答案。3. （2012四川宜宾10分）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2= ．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E．（1）求证： ；（2）若PQ=2，试求∠E度数．&【答案】（1）证明：∵⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2= ，∴PC=4，PD=2 。∵CD⊥PQ，∴∠PQC=∠PQD=90°。∴PC．PD分别是⊙O1、⊙O2的直径，在⊙O1中，∠PAB=∠PCD，在⊙O2中，∠PBA=∠PDC，∴△PAB∽△PCD。∴ ，即 。（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2，∴cos∠CPQ= 。∴∠CPQ=60°。∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=2 ，PQ=2，∴sin∠PDQ= 。∴∠PDQ=45°。∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°。又∵PD是⊙O2的直径，∴∠PBD=90°。∴∠ABE=90°∠PBQ=45°。在△EAB中，∴∠E=180°∠CAQ∠ABE=75°。答：∠E的度数是75°。【考点】相交两圆的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，三角形内角和定理。【分析】（1）求出PC、PD，证△PAB∽△PCD，得出 ，从而 。（2）由cos∠CPQ= ，求出∠CPQ=60°，同理求出∠PDQ=45°。由圆周角定理，得出∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，求出∠PBD=90°，求出∠ABE=45°根据三角形的内角和定理求出即可。4. （2012四川广安9分）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2 ，sin∠BCP= ，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．&【答案】解：（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，∴2∠BCP+2∠BCA=180°。∴∠BCP+∠BCA=90°，即∠PCA=90°。又∵AC是⊙O的直径，∴直线CP是⊙O的切线。（2）如图，作BD⊥AC于点D，∵PC⊥AC，∴BD∥PC。∴∠PCB=∠DBC。∵C=2 ，sin∠BCP= ∴ ，解得：DC=2。∴由勾股定理得：BD=4。∴点B到AC的距离为4。（3）如图，连接AN，在Rt△ACN中， ，又CD=2，∴AD=ACCD=52=3。∵BD∥CP，∴△ABD∽△ACP。∴ ，即 。∴ 。在Rt△ACP中， 。∴△ACP的周长为 。【考点】切线的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1））根据∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，从而得到∠BCP+∠BCA=90°，证得直线CP是⊙O的切线。（2）作BD⊥AC于点D，得到BD∥PC，从而利用 求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4。（3）先求出AC的长度，然后由BD∥PC求得△ABD∽△ACP，利用比例线段关系求得CP的长度，再由勾股定理求出AP的长度，从而求得△ACP的周长。5. （2012四川达州7分）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P.（1）求证：PC是⊙O的切线.（2）若AF=1，OA= ，求PC的长. &【答案】解：（1）证明：连结OC， &&&&&&&&&&&&&&& ∵OE⊥AC，∴AE=CE。∴FA=FC。∴∠FAC=∠FCA。∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO。∵FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，∴FA⊥AB。∴∠FCO=∠FAO=90°。又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线。（2）∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°。而∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，∴△PAF∽△PCO 。∴ 。∵CO=OA= ，AF=1，∴PC= PA 。设PA=x，则PC= 在Rt△PCO中，由勾股定理得，& ，解得： 。∴PC 。【考点】切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）连接OC，根据垂径定理，利用等角代换可证明∠FAC=∠FCA，然后根据切线的性质得出∠FAO=90°，然后即可证明结论。&（2）先证明△PAF∽△PCO，利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系，在Rt△PCO中，利用勾股定理可得出x的值，从而也可得出PC得长。6. （2012四川广元9分）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD（1）求证：AE平分∠DAC；（2）若AB=3，∠ABE=60°，①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积。&【答案】解：（1）证明：连接OE。∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD。∵AD⊥CD，∴AD∥OE。∴∠DAE=∠AEO。∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO。∴∠DAE=∠EAO。∴AE平分∠DAC。 （2）①∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°。∵∠ABE=60°，∴∠EAO=30°。∴∠DAE=∠EAO=30°。∵AB=3，∴在Rt△ABE中， 在Rt△ADE中，∵∠DAE=30°，AE=& ，∴ 。②∵∠EAO=∠AEO=30°，∴ 。∵OA=OB，∴ 。∴ &。【考点】切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，扇形面积的计算。【分析】（1）连接OE，由切线的性质可知，OE⊥CD，再根据AD⊥CD可知AD∥OE，故∠DAE=∠AEO，再由OA=OE可知∠EAO=∠AEO，故∠DAE=∠EAO，故可得出结论。（2）①根据∠ABE=60°求出∠EAO的度数，进而得出∠DAE的度数，再根据锐角三角函数的定义求出AE及BE的长，在Rt△ADE中利用锐角三角函数的定义即可得出AD的长。②由三角形内角和定理求出∠AOE的度数，再根据OA=OB可知 求出△AOE的面积，由 即可得出结论。7. （2012四川德阳14分） 如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O 的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连结并延交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G.⑴求证：AE•FD=AF•EC；⑵求证：FC=FB；⑶若FB=FE=2，求⊙O 的半径r的长.&【答案】（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠DBA=90°。∵CH⊥AB，∴CH∥BD。∴△AEC∽△AFD。∴ 。∴AE•FD=AF•EC。（2）证明：∵CH∥BD，∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF。∴ 。∵CE=EH（E为CH中点），∴BF=DF。∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠DCB=90°。∴CF=DF=BF，即CF=BF。（3）解：∵BF=CF=DF（已证），EF=BF=2，∴EF=FC。∴∠FCE=∠FEC。∵∠AHE=∠CHG=90°，∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°。∵∠AEH=∠CEF，∴∠G=∠FAG。∴AF=FG。∵FB⊥AG，∴AB=BG。连接OC，BC，∵BF切⊙O于B，∴∠FBC=∠CAB。∵OC=OA，CF=BF，∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC∴∠FCB=∠CAB。∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°。∴∠FCB+∠BCO=90°，即OC⊥CG。∴CG是⊙O切线。∵GBA是⊙O割线，FB=FE=2，由切割线定理得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2，【注，没学切割线定理的可由△AGC∽△CGB求得】在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2=FG2BF2，∴FG24FG12=0。解得：FG=6，FG=2（舍去）。由勾股定理得：AB=BG= 。∴⊙O的半径r是 。【考点】切线的判定和性质，等腰三角形判定和的性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，圆周角定理，切割线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由BD是⊙O的切线得出∠DBA=90°，推出CH∥BD，证△AEC∽△AFD，得出比例式即可。（2）证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可。（3）求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，连接OC，BC，求出∠FCB=∠CAB推出CG是⊙O切线，由切割线定理（或△AGC∽△CGB）得出（2+FG）2=BG×AG=2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG2=FG2BF2，推出FG24FG12=0，求出FG即可，从而由勾股定理求得AB=BG的长，从而得到⊙O的半径r。8. （2012四川绵阳12分）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接PO、AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C=60°。（1）求∠APB的大小；（2）若PO=20cm，求△AOB的面积。&&【考点】切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）由PA、PB分别切⊙O于A、B，由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小。（2）由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长，从而求得答案。 9. （2012四川凉山8分）如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把 三等分，连接PC并延长PC交y轴于点D（0，3）．（1）&求证：△POD≌△ABO；（2）&若直线l：y=kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式&【答案】（1）证明：连接PB，∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把 三等分，∴∠APB=∠DPO= ×180°=60°，∠ABO=∠POD=90°。∵PA=PB，∴△PAB是等边三角形。∴AB=PA，∠BAO=60°，∴AB=OP，∠BAO=∠OPD。在△POD和△ABO中，∵∠OPD=∠BAO， OP=BA ，∠POD=∠ABO ，& ∴△POD≌△ABO（ASA）。（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO=∠AOB。∵∠AOB= ∠APB= ×60°=30°，∴∠PDO=30°。∴OP=OD•tan30°=3× 。∴点P的坐标为：（－ ，0）。∵点P，D在直线y=kx+b上，∴& ，解得：& 。 ∴直线l的解析式为：y= x+3。【考点】圆周角定理，全等三角形的判定，锐角三角函数定义，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把 三等分，可求得∠APB=∠DPO=60°，∠ABO=∠POD=90°，即可得△PAB是等边三角形，可得AB=OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO。（2）易求得∠PDO=30°，由OP=OD•tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式。10. （2012四川巴中10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°。（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值。&【答案】解：（1）连接BD，OD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°。∵∠ABD=∠E=45°，∴∠DAB=45°，则AD=BD。∴△ABD是等腰直角三角形。∴OD⊥AB。又∵DC∥AB，∴OD⊥DC， ∴CD与⊙O相切。（2）过点O作OF⊥AE，连接OE，则AF= AE= ×10=5。∵OA=OE，∴∠AOF= ∠AOE。∵∠ADE= ∠AOE，∴∠ADE=∠AOF。在Rt△AOF中，sin∠AOF= ，∴sin∠ADE= sin∠AOF = 。【考点】平行四边形的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的判定，垂径定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接OD，BD，由AB为直径，∠AED=45°，证得△ABD是等腰直角三角形，即AD=BD，然后由等腰三角形的性质，可得OD⊥AB，又由四边形ABCD是平行四边形，即可证得OD⊥CD，即可证得CD与⊙O相切。（2）过点O作OF⊥AE，连接OE，由垂径定理可得AF=6，∠AOF= ∠AOE，又由圆周角定理可得∠ADE= ∠AOE，从而证得∠AOF=∠ADE，然后在Rt△AOF中，求得sin∠AOF的值，即可求得答案。11. （2012四川资阳9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BＣ于点D，交AC于点 ，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．（1）(3分)BD＝DC吗？说明理由；（2）(3分)求∠BOP的度数；（3）(3分)求证：CP是⊙O的切线；如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．&【答案】解：（1）BD=DC。理由如下：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°。∵AB=AC，∴BD=DC。（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，&∴∠BAD=∠CAD 。∴ 。∴BD=DE。∴BD=DE=DC。∴∠DEC=∠DCE。&∵△ABC中，AB=AC，∠A=30°，∴∠DCE=∠ABC=& (180°－30°)=75°。∴∠DEC=75°。∴∠EDC=180°－75°－75°=30°。∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°。∴∠ABP=∠ABC－∠PBC=75°－30°=45°。∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°。∴∠BOP=90°。（3）设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP =90°。在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴ 。又∵ ，∴ 。∴ 。又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG。∴∠GPC=∠AOG=90°。∴CP是⊙ 的切线。【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定。【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，故BD=DC。（2）由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线，所以∠BAD=∠CAD，故 ，从而可得出BD=DE，故BD=DE=DC，所以∠DEC=∠DCE，△ABC中由等腰三角形的性质可得出∠ABC=75°，故∠DEC=75°由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP的度数，再由OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°。（3）设OP交AC于点G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在Rt△AOG中，由∠OAG=30°，可知 ，由 得 ，& ，由∠AGO=∠CGP可得出△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°，故可得出CP是⊙O的切线。 12. （2012四川自贡12分）如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．&【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP。∴∠BAP=90°。又∵AB=2，∠P=30°，∴AP= 。（2）证明：如图，连接OC，OD．AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。∴∠ACP=90°。又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。在△OAD和△OCD中，∵OA=OC，OD=DD，AD=CD，∴△OAD≌△OCD（SSS）。∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）。又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP。∴∠OAD=90°。∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线。【考点】切线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，直角三角形斜边上中线的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）首先根据切线的性质判定∠BAP=90°；然后在Rt△ABP中利用三角函数的定义求得AP的长度。（2）连接OC，OD、AC构建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的对应角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD。13. （2012四川泸州9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的弧AD中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。(1)求证：P是线段AQ的中点；(2)若⊙O的半径为5，AQ= ，求弦CE的长。&【答案】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，∴ 。又∵C是弧 的中点，∴ 。∴ 。∴∠ACP=∠CAP。∴PA=PC。∵AB是直径．∴∠ACB=90°。∴∠PCQ=90°－∠ACP，∠CQP=90°－∠CAP。∴∠PCQ=∠CQP。∴PC=PQ。∴PA=PQ，即P是AQ的中点。（2）∵ ，∴∠CAQ=∠ABC。又∵∠ACQ=∠BCQ，∴△CAQ∽△CBA。∴ 。又∵AQ= ，BA=10，∴ 。设AC=3k， BC=4k，则由勾股定理得， ，解得k=2。∴AC=6，BC=8。根据直角三角形的面积公式，得：AC•BC=AB•CH，∴6×8=10CH。∴CH= 。又∵CH=HE，∴CE=2CH= 。 文章来源莲山 课件 w ww.5 YK J.COM
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